Table Of ContentTorkel Glad Lennart Ljung
Reglerteknik
Grundläggande teori
OM Studentlitteratur
Processbilderna i kapitel 1 och 2 publiceras med tillstånd av:
ABB, Ericsson, Saab, Volvo samt ETH, Automatic Control
Laboratory Zärich och Department of Anesthesiology Bern.
(K) Kopieringsforbud
Detta verk ar skyddat av lagen om upphovsratt.
Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för
undervisningsbruk enligt BONUS-Presskopias
avtal, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan
upphovsrättsorganisationer och huvudman för
utbildningsanordnare t.ex. kommuner/universitet.
För information om avtalet hänvisas till
utbildningsanordnarens huvudman eller
BONUS-Presskopia.
Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan
åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller
fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga
- ersdttning till upphovsman/rattsinnehavare.
Denna trycksak är miljöanpassad, både när det
gäller papper och tryckprocess.
Art.nr 1789
ISBN 978-91-44-02275-8
Upplaga 4:8
© Torkel Glad, Lennart Ljung och Studentlitteratur 1981, 2006
www.studentlitteratur.se
Studentlitteratur AB, Lund
Omslag: Thomas Dahlgren
Printed by Replika Press Pvt Ltd, India 2011
a
Finnehåll
1 Vad är reglerteknik?
6
e 1.1 Att få system att uppföra sig som man vill 0
2 Exempel på reglerteknikens användning
0
13 Reglerproblemet 14
1.4 Reglerprinciper 15
yo Principer för återkoppling 17
eee ee ee ee ee
1.6 PID-regulatorer ooo rr rr rr rr rr rr rr rr ts
ai Boken i sammandrag 21
23
Differentialekvationer (Matematiska modeller I)
23
2.1 Differentialekvationer . . cosr rmr rr rer rr t s tr
28
2.2 Överföringsfunktion, poler och nollställen
30
MIRtUNKtionen ss. ce oe ee ep tere eee a et
32
Lösning av differentialekvationer . . ...s.rc ssossse ssr s es
ADC: onanera a siengarl sar ge fm) a NGE gråten Wiebe. lr0 33
35
Samband mellan tidssvar och polplacering
39
Blockschemarepresentation
41
Tidsfördröjningar
42
Exempel på överföringsfunktioner
Inledning
Reglering av nivån i en tank
PID-regulatorer
Inverkan av återkoppling på olinjäriteter
Det återkopplade systemet
Specifikationer
Rotort
NCU Ce: oh 040 MRE TG ok 1820 1,0 LG id yee 6 MR I BRA TE BKN 0 Me
Nyquistkriteriet
Innehåll
Frekvensbeskrivning (Matematiska modeller IT) 81
SU ASA DSO PBLI ON fi Anu en IN INR MG rMm ee UN Jee Med leva lacus ts 81
Aya) PTeKVENSSVAr OCH TLCKVEDSTUNRELOM Si, OeD e a 81
EO ROGECIASTAM oie ii ee eI lee EE EE Ct es 83
Kompensering (Syntes IT) 93
Seb inledning 3 ey ee Dee Oe Ee rdr NARE 93
5.2 Kretsforstarkning och stabilitet. 2... 2... 2 2 94
5.3. Specifikationerifrekvensplanet ................0.. 97
5.4 Kompensering med hjélp av bodediagram .............., 105
5.5 Tidsf6rdréjningar och bodediagram ...............-.. 116
5.6 Icke-minfassystem ooo oe ee ss ss ss es 116
Prestandagränser, känslighet och robusthet 121
Ol. Inledning coe eee sis ee eae ae abt 0 elek dis ER LEK RR om dö 121
6.2 Varfér kan inte känslighetsfunktionen bli godtyckligt liten? . . . .. 122
6.3 Robusthet gentemot instabilitet . . co. oso sc ss ss oso sve 124
6.4 - Modellfel och känslighetsfunktionen . . ossses ss vers 125
6.5. En allmän linjär återkoppling . .. osss es raes sa ers bs 126
Regulatorstrukturer 137
7.4: InledDing:-3 s.d vas el sele ee I ea en nee a eg es 137
7.2. "Kaskadreglering «mma Wes a vee ln ge, ON 137
73. Bram koOppung ic ce isso sits age AE TA Ks ay sue dod cat wach bce. % 142
74, Smith=prediktom, oo jositysogapye dde siebeiieycioie a«ccya gScec i ie 147
Tillstandsbeskrivning (Matematiska modeller III) 149
8.1. Begreppet tillstanid. ne ee ee 149
8.2 Tillstand for linjiira differentialekvationer .............. 149
8.3 Linjara system pa tillstandsform ...........0....004. 151
8.4 Att satta upp tillstandsbeskrivningen för ett system ......... 153
8.5 Att ga fran G6verf6ringsfunktion till tillstandsform ........2.. 156
8.6 Att ga fran tillstandsrepresentation till 6verféringsfunktion ..... 161
8.7 Losning av tillstandsekvationerna ..............200. 162
8.8 Stabilitet.. 28 ec ere ee RARE da Er breder 167
8.9 Minimal realisation, styrbarhet och observerbarhet ......... 168
Tillstandsaterkoppling (Syntes I) 177
9.1 Modifiering av ett systems dynamik genom tillstandsaterkoppling . 177
9.2 Var skall man placera polerna? il: oe eerns svor ella ia 184
9.3 Optimering av kvadratiska kriterier. . 2... 2.2.ee. e.ee 187
9.4. Rekonstruktion av tillstand’\.).4.0.0. 008 6 DR ey 191
9:5 Aterkoppling fran rekonstruerade tillstand .............. 199°,
9.6 Tillstandsaterkoppling och konstanta störningar . .......... 204 \y,
0 Implementering 207
LOM Detonmnlementerderesuiatorer ee 208
LO Wdsdiskreta vatianter ay regleralgoritmen ............4.. 209
ie valev samplnesintetvall och forfilter 0 J)...6 RA 215
10.4 Digital implementering av en Pl-regulator .. 2.2... 0.0.0... 220
ri
11 Tillbakablick
223
Maiti Reglerproblemet. .0.0.0.06 2 6. Pe ee ce 223
Mle 2'WModelibyose sele sla oe ea ee ee ee ee el 224
11.3 Specifikationer ...... ee eee 225
11.4 Analys . 228
11.5 Syntes . 228
Matematiska grunder 231
Wel Differentialekvationer’..:. 6 2b eeee ae Se 231
2: Laplacetransformen . . 20.0.0. coe i ee ae a 232
A.3. Argumentvariationsprincipen .. oss esse sr rr se ss rs 234
A.4 Matriser 235
239
241
HoL aket SaM
| Förord
| Förord till första upplagan
Alltsedan 1940-talet har reglertekniken haft en stor och växande betydelse inom vitt
skilda delar av det industriella samhället. Inom reglerteknik ryms dels praktiska frå-
geställningar rörande val av givare och ställdon samt implementering av olika regu-
latortyper, dels teoretiska metoder för att analysera, simulera och systematiskt beräk-
na regulatorer. Ofta är det svårt att förstå egenskaperna hos även enkla regulatorer
utan att kunna åtminstone vissa grunddrag av den teori som utvecklats för att be-
skriva reglertekniska fenomen. I denna bok presenteras denna grundläggande teori,
omfattande dels klassisk servomekanismteori i form av rotortanalys och frekvensbe-
skrivning med Bodediagram, dels den modernare, s k tillståndsteorin.
De verktyg som utvecklas kan användas både för analys och syntes (dvs kon-
struktion av regulatorer). Boken är därför uppdelad i tre delar, som vardera omfattar
ett kapitel där teori för att analysera reglersystem presenteras och ett följande kapitel
där det visas hur denna teori kan utnyttjas vid framtagning av regulatorer.
Eftersom boken avser att presentera de teoretiska grunderna för reglertekniken
tar vi bara upp implementeringsfrågor mycket kortfattat. De aspekter av implemen-
tering som kanske är viktigast för närvarande är de som hänger samman med att
mini- och mikrodatorer allt oftare används som regulatorer. För vidare studier hän-
visas till boken L. Ljung: Reglerteori — Moderna analys- och syntesmetoder, Stu-
dentlitteratur 1981, som förutom behandlingen av dessa problem också ger en mer
djupgående analys av reglerproblem och visar på syntesmetoder som kan sägas vara
mer systematiska än de som presenteras i denna bok.
Bokens innehåll svarar i stort sett mot en grundkurs i reglerteknik i civilingen-
jOrsutbildningen. Férutom till studerande vid tekniska högskolor vänder sig boken
till ingenjörer i industrin som vill förbättra eller förnya sina reglertekniska kunska-
per.
De matematiska förkunskaper som behövs är sådana att de i allmänhet ingår i
grundkurser i matematik i civilingenjörsutbildningen. Det vi utnyttjar är framförallt
teorin för linjära differentialekvationer, egenskaper hos komplexa tal, Laplacetrans-
formen, viss funktionsteori (argumentvariationsprincipen) samt grundläggande linjär
algebra. Den som känner sig tveksam på denna punkt kan i Appendix finna de vä-
5
6 Förord
sentligare matematiska resultat som vi använder och kontrollera om en komplettering
eller repetition av matematik behövs.
Olika versioner av manuskriptet till boken har använts i civilingenjörsutbildning-
en vid Linköpings Tekniska Högskola och vid Teknikum i Uppsala, samt vid fort-
bildningskurser för industrin. Eleverna vid dessa kurser har bidragit med synpunkter
som vi haft stor glädje av. Våra medarbetare vid avdelningen för Reglerteknik i Lin-
köping har på olika sätt givit oss värdefull hjälp. Det gäller Peter Andersson, Bengt
Bengtsson, Henrik Jonson, Stefan Ljung, Mille Millnert, Ton Van Overbeek, Inge-
gerd Stenlund och Eva Trulsson. Figurerna har ritats av Marianne Anse-Lundberg.
Vi tackar alla dessa personer för deras bidrag till bokens innehåll och form.
Torkel Glad Lennart Ljung
Förord till andra upplagan
Utvecklingen inom reglertekniken har gjort det angeläget att komplettera boken i
några avseenden. Framförallt har utvecklingen hos datorer och signalprocessorer
gjort att digitala implementeringar av regulatorer i stort sett är standard. Samtidigt
har utvecklingen mot högre beräkningshastigheter gjort att en digital implementerad
regulator ofta kan ses som en god approximation av en tidskontinuerlig sådan. Vi har
därför styrkts i vår uppfattning att en grundkurs bör koncentreras på tidskontinuer-
lig beskrivning av system, vilket ju från processmodelleringssynpunkt också är det
naturliga. Emellertid har vi omarbetat och utökat kapitlet om implementering med
tonvikt på de frågor som uppstår vid en digital realisering av regulatorer.
En annan aspekt av reglertekniken som uppmärksammats mycket under senare
år är känslighet och robusthet. Det handlar här om reglersystems förmåga att fungera
väl under de icke-ideala förhållanden som råder vid praktisk drift. Därvid har ett an-
tal klassiska analys- och syntesmetoder fått ny aktualitet tillsammans med nya forsk-
ningsresultat. Tillgången till effektiva interaktiva datorhjälpmedel för beräkningar,
simulering och presentation av resultat gör det enkelt och naturligt att använda dem
i praktiskt arbete. Vi presenterar därför en introduktion till detta ämne i ett nyskrivet
kapitel.
Slutligen har vi insett att olinjära fenomen är så viktiga att de bör beröras även i
en grundläggande bok. I ett kapitel om olinjära system presenterar vi metoder som
är naturliga utvidgningar av de linjära. T ex generaliseras Nyquistkriteriet till cirkel-
kriteriet.
Vi vill tacka samtliga medarbetare inom reglerteknikgruppen vid Tekniska Hög-
skolan i Linköping för diskussioner och uppslag. Ett speciellt tack riktas till Svante
Gunnarsson, Alf Isaksson och Mille Millnert, som använt boken som föreläsare, och
bidragit med värdefulla synpunkter. Vi tackar också Ingegerd Stenlund och Ulla Sa-
laneck för deras arbete med manuskriptet och Marianne Anse-Lundberg för figurer-
na.
Linköping juni 1989 Torkel Glad Lennart Ljung
förord till tredje upplagan
denna omarbetning av boken har vi bland annat gjort följande: En tydligare for-
ulering av stabilitetsbegreppen (insignal-utsignalstabilitet och asymptotisk stabili-
et), en mer systematisk presentation av återkoppling, känslighetsfunktion och slutet
system, omarbetning av syntesdelen, framför allt i frekvensplanet, för att anknyta
till moderna datorhjälpmedel och bearbetning av vissa exempel. Vi har presenterat
fasavancerande och fasretarderande regulatorer med en parametrisering som under-
stryker sambandet med PID-regulatorer. Här vill vi tacka Tekn. Dr. Alf Isaksson vid
ABB för att han delat med sig av erfarenheter och idéer. Vidare har vi utelämnat den
korta behandlingen av olinjära system, och hänvisari stället till den nya upplagan av
Reglerteori — Flervariabla och olinjära metoder, T. Glad och Ljung, Studentlittera-
F tur, 2003.
Vi välkomnar alla synpunkter från läsare, både på uppläggningen i stort och
på detaljer. Slutligen vill vi tacka alla medarbetare inom Reglerteknik-Kommuni-
kutionssystem för synpunkter och givande diskussioner.
Linköping december 2005 Torkel Glad Lennart Ljung
Den fjärde upplagan har kompletterats med mer material om industriella processer,
avsnittet om känslighet och robusthet har omarbetats, och en del förtydliganden och
rilttelser har skett.
Alla figurer har omarbetats med hjälp av figurpaketet i mpscatter och en prelimi-
när version av figurspråket Drool. Dessa har utvecklats av Henrik Tidefelt. Det förra
finns tillgängligt under www. control.isy.liu.se/-tidefelt/projects/
ompscatter. Vi tackar Henrik för hans hjälp med detta. Han och Gustaf Hendeby
har också bidragit med viktig assistans vad gäller avancerade TEX-frågor.
Processbilderna i kapitel 1 och 2 har välvilligt ställts till förfogande av ABB,
Ericsson, Saab, Volvo, samt ETH , Automatic Control Laboratory, Zärich, och Uni-
versity Hospital, Department of Anesthesiology, Bern, Schweiz. Vi tackar för detta
tillmötesgående.
| Vi tackar än en gång alla våra medarbetare på Reglerteknikavdelningen i Linkö-
; ping för deras viktiga kommentarer och insiktsfulla diskussioner.
Linköping september 2006 Torkel Glad Lennart Ljung
