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Regelungstechnik 11
Aus dem Programm __________
Regelungstechnik
Grundlegende Lehrbücher
Regelungstechnik für Ingenieure, von M. Reuter
Einführung in die Regelungstechnik, von W. Leonhard
Aufgabensammlung zur Regelungstechnik,
von W. Leonhard und E. Schnieder
Regelungstechnik I, 11 und 111
von H. Unbehauen
Grundlagen der Regelungstechnik, von E. Pestel
und E. Kollmann
Weiterführende Lehrbücher
Theorie linearer Regelsysteme, von M. Thoma
Einführung in die moderne Systemtheorie, von H. Schwarz
Zeitdiskrete Regelungssysteme, von H. Schwarz
Optimale Regelung und Filterung, von H. Schwarz
Stochastische Vorgänge in linearen und nichtlinearen
Regelkreisen, von H. Schlitt
Digitale Regelung mit Mikroprozessoren, von N. Hoffmann
---Vieweg----------------------~
Heinz Unbehauen
Regelungstechnik 11
Zustandsregelungen, digitale und
nichtlineare Regelsysteme
4., durchgesehene Auflage
Mit 91 Bildern
Friedr. Vieweg & Sohn Braunschweig/Wiesbaden
1. Auflage 1983
2., durchgesehene Auflage 1985
3., durchgesehene Auflage 1986
4., durchgesehene Auflage 1987
Vieweg ist ein Unternehmen der Verlagsgruppe Bertelsmann.
Alle Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1987
Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede
Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne
Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für
Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherun
und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
Umschlaggestaltung: Peter Neitzke, Köln
ISBN 978-3-528-33348-5 ISBN 978-3-322-86468-0 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-86468-0
Vorwort
Der vorliegende Band- 11 der "Regelungstechnik" führt gemäß der Ziel
setzung des Bandes I die Behandlung der Regelungstechnik als methodi
sche Wissenschaft fort. Dabei wurden bezüglich der Stoffauswahl weit
gehend solche Analyse- und Syntheseverfahren ausgesucht, die bei der
Realisierung moderner Regelkonzepte benötigt werden. Hierzu gehören
insbesondere die Grundlagen zur Behandlung von Regelsystemen im Zu
stands raum sowie die Grundkenntnisse der digitalen Regelung. Daneben
muß aber der Regelungsingenieur auch die Methoden zur Darstellung
nichtlinearer Regelsysteme beherrschen, da viele technische Prozesse
nichtlineare Elemente enthalten, und damit die übliche Linearisierung
meist nicht mehr angewandt werden kann. Der Stoff des Buches entspricht
dem Umfang einer weiterführenden regelungstechnischen Vorlesung, wie
sie für Studenten der Ingenieurwissenschaften an Universitäten und
Technischen Hochschulen heute weitgefiendangeboten wird. Das Buch wen
det sich aber nicht nur an Studenten, sondern auch an Ingenieure der
industriellen Praxis, die sich"fü:c regelungstechnische Methoden zur
Lösung praktischer Probleme interessieren. Es ist daher außer zum Ge
brauch neben Vorlesungen auch zum Selbststudium vorgesehen. Deshalb
wurde der Stoff auch nach didaktischen Gesichtspunkten ausgewählt, wo
bei die zahlreichen Rechenbeispiele zur Vertiefung desselben beitragen
sollen.
Das Buch umfaßt drei größere Kapitel. Im Kapitel 1 werden lineare kon
tinuierliche Systeme im Zustandsraum behandelt. Dabei werden zunächst
die Zustandsgleichungen im Zeit- und Frequenzbereich gelöst. Nach der
Einführung einiger wichtiger Grundbeziehungen aus der Matrizentheorie
werden dann für Eingrößensysteme die wichtigsten Normalformen defi
niert; weiterhin wird die Transformation von Zustandsgleichungen auf
Normalform durchgeführ-t. Die Definition der Begriffe der Steuerbarkeit
und Beobachtbarkeit als Systemeigenschaften bilden dann den Übergang
zu einer ausführlichen Darstellung des Syntheseproblems im Zustands
raum. Dabei wird insbesondere die Synthese von Zustandsreglern durch
Polvorgabe für Ein- und Mehrgrößenregelsysteme eingehend behandelt, wo
bei auch das Problem der Zustandsrekonstruktion mittels Beobachter ein
bezogen wird.
Im Kapitel 2 werden zunächst die Grundlagen zur Beschreibung linearer
diskreter Systeme besprochen, wobei sich nach Einführung der z-Trans-
- VI -
formation auch die Ubertragungsfunktion diskreter Systeme definieren
läßt. Die Stabilität diskreter Systeme kann dann in einfacher Weise
analysiert werden. Einen breiten Raum nimmt auch hier die Synthese di
gitaler Regelsysteme ein. Hier werden bei dem Entwurf auf endliche Ein
stellzeit gerade die für digitale Regelungen besonders typischen Eigen
schaften genutzt. Den Abschluß dieses Kapitels bildet die Behandlung
diskreter Systeme im Zustandsraum.
Das Kapitel 3 ist der Analyse und Synthese nichtlinearer Regelsysteme
gewidmet. Es wird gezeigt, daß es hierfür keine so allgemein anwendbare
Theorie wie für lineare Systeme gibt, sondern nur bestimmte Verfahren,
hauptsächlich zur Analyse der Stabilität, existieren, auf deren wich
tigste dann eingegangen wird. So stellen die Beschreibungsfunktion und
die Phasenebenendarstellung wichtige und erprobte Verfahren zur Behand
lung nichtlinearer Regelsysteme dar. Die Methode der Phasenebene er
weist sich dabei auch für die Synthese von Relaisregelsystemen und ein
fachen zeitoptimalen Regelungen als sehr vorteilhaft. Eine recht allge
meine Behandlung sowohl linearer als auch nichtlinearer Systeme ermög
licht die Stabilitätstheorie von Ljapunow, deren wichtigste Grundzüge
dargestellt werden. Abschließend wird das für die praktische Anwendung
so wichtige Popov-Stabilitätskriterium behandelt.
Auch bei diesem zweiten Band war es mein Anliegen, aus didaktischen
Gründen den Stoff so darzustellen, daß der Leser sämtliche wesentlichen
Zwischenschritte und die einzelnen Gedanken selbständig nachvollziehen
kann. Als Voraussetzung für das Verständnis des Stoffes dient Band I.
Darüber hinaus sollte der Leser die Grundkenntnisse der Matrizenrech
nung beherrschen, wie sie gewöhnlich in den mathematischen Grundvorle
sungen für Ingenieure vermittelt werden.
Das Buch entstand aus einer gleichnamigen Vorlesung, die ich seit 1976
an der Ruhr-Universität Bochum halte. Durch meine Studenten und Mitar
beiter habe ich zahlreiche Anregungen bei der Abfassung des Manuskripts
erhalten. Ihnen allen gilt mein Dank. Besonders möchte ich meinen der
zeitigen und früheren Mitarbeitern, den Herrn Dr. K. Zeiske, Dr. ehr.
Schmid, F. Böttiger, J. Dastych, H. Loest, F. Ley, F. Haase und F. Sie
bierski danken, die mit Verbesserungsvorschlägen, mit dem Durchrechnen
von Beispielen sowie mit der kritischen Durchsicht des Manuskripts zum
Gelingen dieses Buches beigetragen haben. Dem Vieweg-Verlag danke ich
für die gute Zusammenarbeit. Ganz besonderer Dank gilt Frau E. Schmitt
- VII -
für die große Geduld und Sorgfalt, die für die Herstellung der Druck
vorlage erforderlich war. Fräulein Vollbrecht danke ich für das sorg
fältige Zeichnen der Bilder.
. i
Bochum, Januar 1983 H. Unbehauen
Inhalt
Inhaltsübersichten zu Band I und Band 111 XIII
1. Zur Behandlung linearer kontinuierlicher Systeme im Zustandsraum
1. 1. Die Zustandsraumdarstellung .•••••••••••••.••••••.••••.•.•••• 2
1.2. Lösung der Zustandsgleichung im Zeitbereich .••.••••.••••••.• 6
1.2.1. Die Fundamentalmatrix •••••.•.•••.••••.••••••.•.••••• 6
1.2.2. Eigenschaften der Fundamentalmatrix ••••••••••.••.••• 9
1.2.3. Die Gewichtsmatrix oder Matrix der Gewichtsfunktionen 10
1.3. Lösung der Zustandsgleichungen im Frequenzbereich ...•••••••• 12
1.4. Einige Grundlagen der Matrizentheorie zur Berechnung der Fun-
damentalmatrix 1(t) ••.••..•.••.•..•.....•.••••••••••.••••.•. 16
1.4.1. Der Satz von Cayley-Hamilton .••.•••••••••••.•.•.••.. 16
1.4.2. A~wendung auf Matrizenfunktionen •••.•••••••••..•..•• 19
1.4.3. Der Entwicklungssatz von Sylvester ••.••.•••••••••... 22
1.5. Normalformen für Eingrößensysteme in Zustandsraumdarstellung 23
1.5.1. Frobenius-Form oder Regelungsnormalform .•••••••••••• 24
1.5.2. Beobachtungsnormalform •.••...••••.•••••••••.•••••..• 28
1.5.3. Diagonalform und Jordan-Normalform •.•••.••••••..•..• 30
1 .5.3. 1 • Einfache reelle Pole .•••.••••••••••••••.•••..••• 30
1.5.3.2. Mehrfache reelle Pole .••....••.••.•••.•..•••.••. 31
1.5.3.3. Konjugiert komplexe Pole........................ 34
1.6. Transformation der Zustandsgleichungen auf Normalformen ••••• 37
1.6.1 . Ähnlichkeitstransformation. • • • • . . . • . . • • • • . . • . • • • • • • • 38
1.6.2. Transformation auf Diagonalform ••.•••.••••••..•••••• 40
1.6.3. Transformation auf Jordan-Normalform .••.•••••••••••• 43
1.6.4. Anwendung kanonischer Transformationen .•••••••.••••• 46
1.7. Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit ••••.•..••••••••••••..••... 50
1.7.1. Steuerbarkeit ••••••.•..••••...••••.. , .•••••••••••••• 52
1.7.2. Beobachtbarkeit ••••••••••••••.•.•••••••••••••••••.•• 55
1.7.3. Anwendung der Steuerbarkeits- und Beobachtbarkeits-
begriffe •••..•••••••••.•••.•••••••••••••••••••••• ~ .• 57
1.8. Synthese linearer Regelsysteme im Zustandsraum ••••.•••••.••• 62
1.8.1. Das geschlossene Regelsystem •••••.•••••••••••••••••• 62
- x -
1.8.1.1. Regelsystem mit Rückführung des Zustandsvektors 64
1.8.1.2. Regelsystem mit Rückführung des Ausgangsvektors 65
1.8.1.3. Berechnung des Vorfilters ••••.•.••••.•.••.•.••• 66
1.8.2. Der Grundgedanke der Reglersynthese •.••.•.•••.•..•. 67
1.8.3. Verfahren zur Reglersynthese ..•.•..•••••.••••.••.•• 68
1.8.3.1. Das Verfahren der Polvorgabe ••••••••••••••••••• 68
1.8.3.2. Die modale Regelung............................ 68
1.8.3.3. Optimaler Zustandsregler nach dem quadratischen
Gütekriterium •••••••••••.••••••••••..•..••..•.• 69
1 .8. 4. Das Meßproblem ..•.•....•••••••.••.•••...••.•.••..•• 70
1 .8. 5. Einige kritische Anme-rkungen ....................... 71
1.8.6. Synthese von Zustandsreglern durch Polvorgabe ••.... 71
1.8.6.1. Polvorgabe bei Ein- und Mehrgrößensystemen an-
hand der charakteristischen Gleichung ...•••••.• 71
1.8.6.2. Polvorgabe bei Eingrößensystemen in der Rege-
lungsnormalform .••..•• ;........................ 82
1.8.6.3. Polvorgabe bei Eingrößensystemen in beliebiger
Zustandsraumdarstellung ••.•••.•.••••••••...••.• 85
1.8.7. Zustandsrekonstruktion mittels Beobachter ..•••..... 90
1.8.7.1. Entwurf eines Identitätsbeobachters .•. •.•.•••.• 90
1.8.7.2. Das geschlossene Regelsystem mit Zustandsbeob-
achter .•..•.•..•.•••..•.•.•...•....•••.••..••.. 97
2. Lineare zeitdiskrete Systeme {digitale Regelung) 100
2.1. Arbeitsweise digitaler Regelsysteme .•..••.•...••.•••.•••.•• 100
2.2. Grundlagen der mathematischen Behandlung digitaler Regel-
systeme •.••••.•.•••..•.••••••.•••..•..•..•••....•••.••..•.• 103
2.2.1. Diskrete Systemdarstellung durch Differenzenglei-
chung und Faltungssumme ••..•....•••...•.•.••.•.•••• 103
2.2.2. Mathematische Beschreibung des Abtastvorgangs ••••.. 106
2.3. Die z-Transformation .•....••.•.....•••...•.••••.••........• 109
2.3.1. Definition der z-Transformation ..•.•••••.•..••..••• 109
2.3.2. Eigenschaften der z-Transformation •..•..•..••.•.•.. 113
2.3.3. Die inverse z-Transformation •...........•..•..•.••• 114
2.4. Darstellung im Frequenzbereich ...•..•.......•....••...•.... 118
2.4.1. Ubertragungsfunktion diskreter Systeme ••••.••.••••• 118
2.4.2. Berechnung der z-Ubertragungsfunktion kontinuier-
licher Systeme ..•••••••••••..••.••......••..•••.... 120
2.4.2.1. Herleitung der Transformationsbeziehungen •••..• 120
- XI -
2.4.2.2. Durchführung der exakten Transformation .•••.••• 123
2.4.2.3. Durchführung der approximierten Transformation 127
2.4.3. Einige Strukturen von Abtastsystemen ••...••.•.••••. 129
2.4.4. Stabilität diskreter Systeme ••...••••.•••.••..•.••. 132
2.4.4.1. Bedingungen für die Stabilität ..•.••.••.••••..• 132
2.4.4.2. Zusammenhang zwischen dem Zeitverhalten und den
Polen bei kontinuierlichen und diskreten Syste-
men •..••.••.•..••...•.•.••..••.•..••.•••.••.••. 135
2.4.4.3. Stabilitätskriterien ..•.....••••.••....••••••.. 139
2.4.5. Spektrale Darstellung von Abtastsignalen und dis-
kreter Frequenzgang ..••••••.••••...•••..•.••.••.•.• 142
2.5. Regelalgorithmen für die digitale Regelung ...••.•.••.•••.•• 145
2.5.1. PID-Algori thmus ...•.••.••...•..••.•..•..•..•••...•• 145
2.5.2. Der Entwurf diskreter Kompensationsalgorithmen .••.• 149
2.5.2.1. Allgemeine Grundlagen ...•••.••..•.•...••.••.... 149
2.5.2.2. Kompensationsalgorithmus für endliche Einstell-
zeit ••.•..••.•••.•.•••.•••.•••.•..••.••.•.•..•• 153
2.5.2.3. Deadbeat-Regelkreisentwurf für Störungs- und
FÜhrungsverhalten ..•.•..•..••.•••...•.....•.... 159
2.6. Darstellung im Zustandsraum .....•..••.••.......••••.•...••• 169
2.6.1. Lösung der Zustandsgleichungen •..•...••.••...•.•••. 171
2.6.2. Zusammenhang zwischen der kontinuierlichen und der
diskreten Zustandsraumdarstellung •••.•.......••..•• 173
2.6.3. Stabilität, Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit ...... 175
3. Nichtlineare Regelsysteme 176
3.1. Allgemeine Eigenschaften nichtlinearer Regelsysteme .•.....• 176
3.2. Regelkreise mit Zwei- und Dreipunktreglern ...•..••....•.... 181
3.2.1 . Der einfache Zweipunktregler .•.••..•.•..•..•......• 182
3.2.2. Der einfache Dreipunktregler .....•.•..•......•.•..• 189
3.2.3. Zwei- und Dreipunktregler mit Rückführung ......•.•. 190
3.3. Analyse nichtlinearer Regelsysteme mit Hilfe der Beschrei-
bungsfunktion .•.....••.....••.•••••.•••••.••.••............ 194
3.3.1. Die Methode der harmonischen Linearisierung ......•. 195
3.3.2. Die Beschreibungsfunktion •..•...................... 197
3.3.3. Berechnung der Beschreibungsfunktion .....•....•..•. 199
3.3.4. Stabilitätsuntersuchung mittels der Beschreibungs-
funktion ......•••.•.•.•..••.••...•.•.•..•..•....•.. 203
