Table Of ContentSpringer-Lehrbuch
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
Jan Lunze
Regelungstechnik 1
Systemtheoretische Grundlagen
Analyse und Entwurf einschleifiger Regelungen
Mit 261 Abbildungen, 42 Beispielen, 104 Übungsaufgaben
sowie einer Einfiihrung in MAT LAB
, Springer
Prof. Dr. -Ing. Jan Lunze
Technische Universität Hamburg-Harburg
Arbeitsbereich Regelungstechnik
D-21071 Hamburg
Die Deutsche Bibliothek -CIP-Einheitsaufnahme
Lunze, Jan:
Regelungstechnik: Systemtheoretische Grundlagen;
Analyse und Entwurf einschleifiger Regelungen / Jan Lunze
I. Mit 42 Beispielen, 104 Übungsaufgaben
sowie einer Einfilhrung in MATLAB. -1996
ISBN 978-3-540-61404-3 ISBN 978-3-662-09723-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-09723-6
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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New Yo rk 1996
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Vorwort
Die Regelungstechnik ist ein Pflichtfach vieler Ingenieurstudienrichtungen. Für
Elektrotechnik-Studenten erweitert sie die Kenntnisse über dynamische Sy
steme vor allem um das Wichtigste der Regelungstechnik, den Entwurf von
Rückführsteuerungen. Für Studenten der Verfahrenstechnik, des Maschinen
baus und anderer Disziplinen kommt ein weiterer Aspekt hinzu. Die Rege
lungstechnik basiert auf der Analyse dynamischer Systeme und betont diesen
Aspekt gegenüber stationären Modellvorstellungen, wie sie durch die Kinetik
chemischer Prozesse oder die Kinematik mechanischer Systeme beschrieben
werden.
Modellbildung und Analyse dynamischer Systeme sowie der Entwurf von
Regelungen stehen im Mittelpunkt dieses Lehrbuches, das den Leser in anwen
dungsnaher Weise mit den methodischen Grundlagen der Regelungstechnik
vertraut macht.
In den ersten Kapiteln wird ausführlich auf das Zeitverhalten dynamischer
Systeme eingegangen. Dabei wird das Zustandsraummodell eingeführt, das auf
dem fundamentalen und zugleich ingenieurtechnisch sehr gut interpretierbaren
Begriff des Systemzustandes beruht und eine Standardform dynamischer Sy
stembeschreibungen darstellt. In der nachfolgenden Analyse wird gezeigt, daß
nicht nur zwischen der Eigenbewegung und der erzwungenen Bewegung eines
Systems zu unterscheiden ist, sondern die erzwungene Bewegung weiter in das
Übergangsverhalten und das stationäre Verhalten aufgetrennt werden kann.
Dies hat mehrere Konsequenzen. Erstens wird deutlich, daß Kenngrößen wie
Pole und Nullstellen bereits im Zeitverhalten sichtbar werden. Zweitens erkennt
der Leser, daß zwischen Forderungen an das stationäre und an das Übergangs
verhalten des Regelkreises unterschieden werden muß, wobei sich später her
ausstellt, daß die erste Gruppe von Forderungen durch eine zweckmäßige Wahl
der Reglerstruktur erfüllt werden kann, während die zweite Forderung eine
zweckmäßige Parameterauswahl erfordert.
Mit dieser ausführlichen Darstellung der Modellformen und der Analyseme
thoden für das zeitliche Verhalten verläßt dieses Buch den traditionellen Weg,
einschleifige Regelkreise von vornherein mit Frequenzbereichsmethoden zu be
handeln, und umgeht damit die Schwierigkeit, daß der Lernende von Beginn an
Eigenschaften des Zeitverhaltens dynamischer Systeme in den Frequenzbereich
transformieren muß.
Die Behandlung dynamischer Systeme im Frequenzbereich schließt sich
an die Betrachtungen im Zeitbereich nahtlos an, wobei die bereits behan
delten Systemeigenschaften jetzt als Kenngrößen des Frequenzgangs bzw. der
Übertragungsfunktion wiedererkannt werden. Deshalb ist es in späteren Kapi
teln möglich, auf Zeitbereichs- oder Frequenzbereichsdarstellungen wechselweise
zurückzugreifen, je nachdem, wie es die im dritten Teil des Buches behandelten
Entwurfsaufgaben erfordern.
vi
Ein wichtiges Ziel bei der Stoffauswahl bestand darin, möglichst viele der
grundlegenden Regelungsprobleme, Denkweisen sowie Analyse- und Entwurfs
methoden zu berücksichtigen. So wurden mit der Mo dellvereinfachung , dem
Inneren-Modell-Prinzip und einfachen Methoden der Robustheitsanalyse The
men aufgenommen, die in vielen Grundlagenbüchern ausgeklammert sind, ob
wohl sie wichtige und bereits bei einschleifigen Regelkreisen sehr nutzbringende
Methoden darstellen.
Beispiele aus sehr unterschiedlichen Gebieten wie der Elektrotechnik, der
Verfahrenstechnik, des Maschinenbaus und der Verkehrstechnik sowie aus Be
reichen des täglichen Lebens demonstrieren den fachübergreifenden Charakter
der Regelungstechnik und tragen den unterschiedlichen Interessen der Studen
ten der genannten Fachrichtungen Rechnung. Diese Beispiele zeigen, wo die
hier behandelten theoretischen Probleme in der Praxis auftreten und wie sie
mit den beschriebenen Methoden gelöst werden können.
Zahlreiche Übungsaufgaben dienen zur Festigung des Stoffes und regen
die Leser an, über Anwendungen und eine Erweiterung des Stoffes nachzuden
ken. Die Lösungen der wichtigsten Aufgaben sind im Anhang angegeben.
Die Literaturhinweise am Ende jedes Kapitels beziehen sich einerseits auf
Aufsätze und Bücher, die maßgeblich zur Entwicklung der Regelungstheorie
beigetragen haben. Andererseits werden Lehrbücher für ein vertieftes Studium
einzelner Anwendungsgebiete der Regelungstechnik empfohlen.
Die Lösung praktischer Regelungsaufgaben wie auch der hier verwendeten
Beispiele erfordern umfangreiche numerische Auswertungen, die man problem
los einem Rechner übertragen kann. Um den Anschluß an die rechnergestützte
Arbeitsweise des Regelungstechnikers herzustellen, werden die grundlegenden
Befehle des Programmsystems MATLAB angegeben. MATLAB wurde gewählt,
weil dieses System heute an fast allen Universitäten angewendet wird und als
Classroom Kit den Studenten kostenlos zur Verfügung steht. Die angeführten
MATLAB-Befehle sollen den Leser anregen, den erlernten Stoff an umfang
reicheren Beispielen zu erproben, um ein Gefühl für dynamische Vorgänge zu
bekommen und erste Erfahrungen beim Reglerentwurf zu sammeln. Dabei wird
auch offensichtlich, daß numerische Berechnungen einem Rechner übertragen
werden können, daß aber die Aufbereitung der Aufgabenstellung und die Inter
pretation der erhaltenen Ergebnisse dem Ingenieur überlassen bleiben, wofür
fundierte Kenntnisse der regelungstechnischen Grundlagen notwendig sind.
Die Lehre in der Regelungstechnik lebt im Spannungsfeld zwischen mathe
matischer Exaktheit und Allgemeingültigkeit einerseits sowie ingenieurgemäßer
Darstellung und Interpretation andererseits. Die Mathematik wird als Spra
che verwendet, in der Regelungsaufgaben und Lösungmethoden allgemein und
kompakt formuliert werden können, so daß sie für sehr unterschiedliche prak
tische Probleme anwendbar sind. Das Buch zeigt diesen Aspekt der Rege
lungstechnik, ohne die größtmögliche Allgemeingültigkeit der Darstellung an
zustreben. Unter Nutzung praktisch zweckmäßiger Vereinfachungen wird der
mathematische Apparat auf das Notwendige beschränkt, so daß vom Leser
lediglich Kenntnisse über die Matrizenrechnung sowie die Fourier- und La
placetransformation vorausgesetzt werden müssen. Die Abschnitte zu den In
tegraltransformationen geben keine mathematisch vollständigen Einführungen,
vii
sondern stellen die ingenieurtechnische Interpretation in den Mittelpunkt, die
für die Kombination der Denkweisen im Zeit- und im Frequenzbereich wichtig
ist.
Das Buch ist in zwei Bände unterteilt, wobei der erste Band den Stoff
einer Einführungsvorlesung, der zweite Band den einer Vertiefungsvorlesung
enthält. Ich nutze den ersten Band an der Technischen Universität Hamburg
Harburg für Grundlagenvorlesungen sowohl in der Elektrotechnik als auch im
Maschinenbau und der Verfahrenstechnik. Dabei werden für Elektrotechnik
Studenten die im ersten Teil behandelten systemtheoretischen Grundlagen
kürzer abgehandelt als im Buch, weil die Hörer mit dynamischen Modellen
und einigen Analysemethoden aus vorhergehenden Lehrveranstaltungen zur Sy
stemtheorie, zu elektrischen Netzwerken und zur Signalanalyse vertraut sind.
Die Regelungstechnik-Vorlesung bietet vor allem mit der Anwendung dieser
Methoden auf nichtelektrische Systeme und der Analyse rückgekoppelter Sy
steme Neues und widmet sich dann ausführlich den Reglerentwurfsverfahren.
Im Unterschied dazu ist Studenten des Maschinenbaus und der Verfahrenstech
nik die systemtheoretische Denkweise weniger geläufig, so daß die Darstellung
der Modellbildung und die Erläuterung verschiedener Verhaltensweisen dyna
mischer Systeme einen breiten Raum einnehmen muß.
Bei der Konzipierung meiner Vorlesung und später dieses Buches wur
de mir bewußt, wie stark meine Auffassungen von Regelungstechnik durch
meinen verehrten Lehrer, Herrn Prof. Dr.-Ing.habil. Dr.E.h. Karl Reinisch ge
prägt sind, der in seinen Lehrveranstaltungen in Ilmenau moderne Theorie
mit anschaulichen Beispielen aus vielen Bereichen kombinierte. Das in seinem
Institut später mit regelungstechnischen Methoden untersuchte Wachstum der
Gewächshausgurke ist anschauliches Beispiel dafür, daß das Anwendungsgebiet
der Regelungstechnik nicht auf technische Bereiche beschränkt ist.
An der mehrjährigen Umarbeitung meiner Vorlesung, aus der dieses Buch
entstand, haben meine Mitarbeiter und Studenten an der Technischen Univer
sität Hamburg-Harburg großen Anteil. Stellvertretend für sie danke ich meinen
Mitarbeitern Dipl.-Ing. Markus Pahl und Dipl.-Phys. Gerwald Lichtenberg, die
auch Teile des Manuskripts durchgesehen haben. Dem Springer-Verlag gilt
mein Dank für die schnelle Herausgabe des Buches.
Heute werden Bücher vom Autor nicht nur geschrieben, sondern auch ge
setzt. Unter tatkräftiger Mithilfe meiner Studenten Christian Junge und Ro
land Porath habe ich versucht, den Text übersichtlich zu gliedern, angepaßte
Schriftarten auszuwählen, die wichtigsten Konzepte und Formeln durch Rah
men hervorzuheben, Aufgaben und Beispiele vom Text abzusetzen und durch
viele Bilder das Verhalten dynamischer Systeme anschaulich zu machen. Ich
hoffe, daß wir eine gute Lösung dieses fachfremden Entwurfsproblems gefunden
haben.
Hamburg, im Mai 1996 J. Lunze
Inhaltsverzeichnis
Teil 1: Einführung 1
1 Zielstellung und theoretische Grundlagen der Regelungstech-
nik 1
1.1 Aufgaben der Regelungstechnik. . . . . . . 1
1.2 Prinzipielle Funktionsweise einer Regelung 4
1.3 Lösungsweg für Regelungsaufgaben . . . . . 8
1.4 Theoretische Grundlagen der Regelungstechnik. 10
2 Beispiele für technische und nichttechnische Regelungsaufga-
ben 12
2.1 Gebäudeautomatisierung . . . . . . . . . 12
2.2 Prozeßregelung . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Regelungsaufgaben in Energiesystemen 17
2.4 Robotersteuerungen .. 20
2.5 Flugregelung ..... . 22
2.6 Der Mensch als Regler. 23
2.7 Biologische Regelkreise. 24
2.8 Gemeinsamkeiten von Regelungsaufgaben aus unterschiedlichen
Anwendungsgebieten 25
Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Teil 2: Modellbildung und Systemanalyse 29
3 Strukturelle Beschreibung dynamischer Systeme 29
3.1 Ziele und wichtige Schritte der Modellbildung 29
3.2 Strukturbild . . 31
3.3 Signalflußgraph 36
Literaturhinweise . . 37
4 Beschreibung linearer Systeme im Zeitbereich 38
4.1 Beschreibung linearer Systeme durch Differentialgleichungen 38
4.1.1 Lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung 38
4.1.2 Aufstellung der Differentialgleichung. 39
4.1.3 Linearität dynamischer Systeme . . 45
4.1.4 Kausalität................ 47
4.2 Zustandsraumdarstellung linearer Systeme . 49
4.2.1 Einführung der Zustandsraumdarstellung 49
4.2.2 Zustandsraumdarstellung von Mehrgrößensystemen 54
4.2.3 Gültigkeitsbereich und Normierung ......... 55
4.2.4 Ableitung des Zustandsraummodells aus der Differential-
gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 59
INHALTSVERZEICHNIS
x
4.2.5 Aufstellung des Zustandsraummodells aus den physikali-
schen Grundbeziehungen ...... 63
4.3 Erweiterungen ................ 68
4.3.1 Linearisierung nichtlinearer Systeme 68
4.3.2 Totzeitsysteme . . . . 74
4.3.3 Zeitvariable Systeme. 74
Literaturhinweise . . . . . . . . 75
5 Verhalten linearer Systeme 76
5.1 Lösung der Zustandsgleichung .................... 76
5.1.1 Lösung einer linearen Differentialgleichung erster Ordnung 76
5.1.2 Lösung eines Differentialgleichungssystems erster Ordnung 80
5.1.3 Verhalten linearer Systeme . . . . . . . 85
5.2 Normalformen des Zustandsraummodells ... 86
5.2.1 Transformation der Zustandsgleichung. 87
5.2.2 Kanonische Normalform . . . . . . . . . 88
5.2.3 Erweiterung der kanonischen Normalform für nicht-diago-
nalähnliche Systemmatrizen . . . . . . . . . . . . . 92
5.2.4 Bewegungsgleichung in kanonischer Darstellung ...... 96
5.2.5 Weitere Normalformen des Zustandsraummodells ..... 101
5.3 Eigenschaften und Berechnungsmethoden für die Übergangsmatrix105
5.4 Kennfunktionen des dynamischen Übertragungsverhaltens . . 107
5.4.1 Übergangsfunktion ....................... 107
5.4.2 Gewichtsfunktion ........................ 109
5.5 Übergangsverhalten und stationäres Verhalten linearer Systeme . 116
5.6 Eigenschaften wichtiger Übertragungsglieder im Zeitbereich . . 121
5.6.1 Proportionalglieder . . 121
5.6.2 Integralglieder .. . 124
5.6.3 Differentialglieder . . . 126
5.6.4 Totzeitglieder . . . . . 127
5.7 Modellvereinfachung und Kennwertermittlung . 129
5.7.1 Modellvereinfachung . . . . . . . . . . . . 130
5.7.2 Approximation dynamischer Systeme durch PT1-Glieder .134
5.7.3 Kennwertermittlung für PT -Glieder ....... . 138
2
5.7.4 Kennwertermittlung für PT1Tt-Glieder . . . . . . .139
5.8 MATLAB-Funktionen für die Analyse des Zeitverhaltens . 141
Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6 Beschreibung linearer Systeme im Frequenzbereich 145
6.1 Zielstellung . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.2 Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . 146
6.2.1 Zerlegung periodischer Signale . . . . 146
6.2.2 Zerlegung nichtperiodischer Signale . 151
6.3 Frequenzgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.3.1 Verhalten linearer Systeme mit sinusförmigem Eingangs-
signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.3.2 Berechnung des Frequenzganges . . . . . . . 157
6.3.3 Eigenschaften und graphische Darstellung. . 159
INHALTSVERZEICHNIS xi
6.4 Laplacetransformation..... .162
6.4.1 Definition ....... . .162
6.4.2 Wichtige Eigenschaften .168
6.5 Übertragungsfunktion .171
6.5.1 Definition ....... . .171
6.5.2 Berechnung....... .173
6.5.3 Eigenschaften und graphische Darstellung. .178
6.5.4 Pole und Nullstellen ............ . .180
6.5.5 Berechnung der Signalübertragung mit Hilfe der Über-
tragungsfunktion ........................ 189
6.5.6 Übertragungsfunktion zusammengeschalteter Übertragungs-
glieder .............................. 195
6.6 Beziehungen zwischen den Kennfunktionen im Zeitbereich und
im Frequenzbereich ........................... 198
6.7 Eigenschaften wichtiger Übertragungsglieder im Frequenzbereich 200
6.7.1 Proportionalglieder . .200
6.7.2 Integralglieder ............ . 211
6.7.3 Differentialglieder . . . . . . . . . . . . 212
6.7.4 Übertragungsglieder mit Nullstellen . 213
6.7.5 Übertragungsglieder mit gebrochen rationaler Übertra-
gungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
6.7.6 Allpaßglieder und nichtminimalphasige Systeme ...... 220
6.8 MATLAB-Funktionen für die Systemanalyse im Frequenzbereich 228
Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
7 Der Regelkreis 232
7.1 Regelungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . 232
7.2 Modell des Standardregelkreises ..... . 235
7.2.1 Beschreibung im Frequenzbereich .235
7.2.2 Beschreibung im Zeitbereich . . . .240
7.3 Stationäres Verhalten des Regelkreises. . . 241
7.3.1 Stationäres Verhalten bei sprungförmiger Erregung .241
7.3.2 Inneres-Modell-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
7.4 Übergangsverhalten des Regelkreises: Entwurfskompromisse und
erreichbare Regelgüte .................. .247
7.4.1 Beschränkungen für die erreichbare Regelgüte .247
7.4.2 Auswirkungen von Modellunsicherheiten ... . 252
7.4.3 Vorgehen beim Reglerentwurf . . . . . . . . . . .256
7.5 Reglertypen und Richtlinien für die Wahl der Reglerstruktur . .257
Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 263
8 Stabilität rückgekoppelter Systeme 264
8.1 Zustandsstabilität .................. . 264
8.1.1 Definition der Zustandsstabilität . . . . . . . 264
8.1.2 Stabilitätsprüfung anhand der Eigenwerte. .266
8.1.3 Hurwitzkriterium.... . 269
8.1.4 Routh-Kriterium.... .271
8.2 Eingangs-Ausgangs-Stabilität. . 273
