reduced-order aerodynamic models for aeroelastic control of turbomachines

143 Pages·2010·1.93 MB·English

REDUCED(cid:2)ORDER AERODYNAMIC MODELS FOR
AEROELASTIC CONTROL OF TURBOMACHINES
by
KAREN ELIZABETH WILLCOX
B(cid:2)E(cid:2) University of Auckland(cid:3) New Zealand (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:6)(cid:7)(cid:8)
S(cid:2)M(cid:2) Massachusetts Institute of Technology (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:6)(cid:9)(cid:8)
SUBMITTED TO THE DEPARTMENT OF AERONAUTICS AND
ASTRONAUTICS
IN PARTIAL FULFILLMENT OF THE REQUIREMENTS FOR THE DEGREE
OF
DOCTOR OF PHILOSOPHY
at the
MASSACHUSETTS INSTITUTE OF TECHNOLOGY
February (cid:10)(cid:11)(cid:11)(cid:11)
(cid:0)c Massachusetts Institute of Technology (cid:10)(cid:11)(cid:11)(cid:11)(cid:2) All rights reserved(cid:2)
Author
Department of Aeronautics and Astronautics
November (cid:6)(cid:3) (cid:5)(cid:6)(cid:6)(cid:6)
Certi(cid:12)ed by
Jaime Peraire
Professor of Aeronautics and Astronautics
Certi(cid:12)ed by
James Paduano
Principal Research Engineer(cid:3) Department of Aeronautics and Astronautics
Certi(cid:12)ed by
Mark Drela
Associate Professor of Aeronautics and Astronautics
Certi(cid:12)ed by
Jacob White
Professor of Electrical Engineering and Computer Science
Accepted by
Associate Professor Nesbitt Hagood
Chairman(cid:3) Department Graduate Committee
Reduced(cid:2)Order Aerodynamic Models for Aeroelastic Control of
Turbomachines
by
Karen Elizabeth Willcox
Submitted to the Department of Aeronautics and Astronautics
on November (cid:2)(cid:3) (cid:4)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3) in partial ful(cid:5)llment of the
requirements for the degree of
Doctor of Philosophy
Abstract
Aeroelasticity is a critical consideration in the design of gas turbine engines(cid:3) both for stability and
forced response(cid:6) Current aeroelastic models cannot provide high(cid:7)(cid:5)delity aerodynamics in a form
suitablefordesignorcontrolapplications(cid:6) Inthisthesislow(cid:7)order(cid:3)high(cid:7)(cid:5)delityaerodynamicmodels
are developed using systematic model order reduction from computational (cid:8)uid dynamic (cid:9)CFD(cid:10)
methods(cid:6) Reduction techniques are presented which use the proper orthogonal decomposition(cid:3) and
alsoanewapproachforturbomachinerywhichisbasedoncomputingArnoldivectors(cid:6) Thismethod
matches the input(cid:11)output characteristic of the CFD model and includes the proper orthogonal
decomposition as a special case(cid:6) Here(cid:3) reduction is applied to the linearised two(cid:7)dimensional Euler
equations(cid:3) although the methodology applies to any linearised CFD model(cid:6) Both methods make
e(cid:12)cient use of linearity to compute the reduced(cid:7)orderbasis on a single blade passage(cid:6)
Thereduced(cid:7)ordermodelsthemselvesaredevelopedinthetimedomainforthefullbladerowandcast
in state(cid:7)space form(cid:6) This makes the model appropriate for control applications and also facilitates
couplingtootherenginecomponents(cid:6) Moreover(cid:3)becausethefullbladerowisconsidered(cid:3)themodels
canbe appliedtoproblemswhich lackcyclic symmetry(cid:6) Although most aeroelasticanalysesassume
each blade to be identical(cid:3) in practice variations in blade shape and structural properties exist due
tomanufacturinglimitationsandenginewear(cid:6) Thesebladetobladevariations(cid:3)knownasmistuning(cid:3)
have been shown to have a signi(cid:5)cant e(cid:13)ect on compressor aeroelastic properties(cid:6)
A reduced(cid:7)order aerodynamic model is developed for a twenty(cid:7)blade transonic rotor operating in
unsteady plunging motion(cid:3) and coupled to a simple typical section structural model(cid:6) Stability and
forced response of the rotor to an inlet (cid:8)ow disturbance are computed and compared to results
obtained using a constant coe(cid:12)cient model similar to those currently used in practice(cid:6) Mistuning
of this rotor and its e(cid:13)ect on aeroelastic response is also considered(cid:6) The simple models are found
to inaccuratelypredict important aeroelasticresults(cid:3) while the relevant dynamicscan be accurately
captured by the reduced(cid:7)order models with less than two hundred aerodynamic states(cid:6) Models
are also developed for a low(cid:7)speed compressor stage in a stator(cid:11)rotor con(cid:5)guration(cid:6) The stator is
shown to have a signi(cid:5)cant destabilising e(cid:13)ect on the aeroelastic system(cid:3) and the results suggest
that analysis of the rotor as an isolated blade row may provide inaccurate predictions(cid:6)
Thesis Supervisor(cid:14) Jaime Peraire
Title(cid:14) Professorof Aeronautics and Astronautics
Thesis Supervisor(cid:14) James Paduano
Title(cid:14) Principal Research Engineer(cid:3) Department of Aeronautics and Astronautics
(cid:15)
Acknowledgments
So many people have contributed so much to this thesis(cid:3) it is di(cid:12)cult to know where to begin(cid:6)
My advisor(cid:3) Prof(cid:6) Jaime Peraire(cid:3) has contributed to making my time at MIT very enjoyable by
providing me with an outstanding balance of academic support and freedom(cid:6) I am extremely lucky
tohavenotonlyhadthebene(cid:5)tofexcellentresearchadvice(cid:3)butalsothefreedomtopursuemyextra(cid:7)
curricular activities(cid:6) My second advisor(cid:3) Dr(cid:6) Jim Paduano(cid:3) has also provided me with invaluable
help and practical suggestions(cid:6) I especially thank him for the opportunities he has provided for
interesting applications of my research and interaction with industry(cid:6) I have been lucky enough
to have a large and very diverse committee(cid:6) Thanks to Prof(cid:6) Mark Drela for always knowing the
right answer(cid:3) and o(cid:13)ering valuable insight to problems(cid:16) to Prof(cid:6) JacobWhite for introducing me to
the Arnoldi method(cid:3) and the most interesting result of my thesis(cid:16) to my minor advisor Prof Carlos
Cesnik(cid:16) and to Dr(cid:6) Choon Tan for teaching me what I know about internal (cid:8)ows(cid:6) I would also like
to thank Prof(cid:6) Ken Hall who had many helpful suggestions for my eigenmode problems while he
was here at MIT(cid:3) and Ben Shapiro for the joint work on mistuning and allowing me to use MAST(cid:6)
ThankstothecurrentFDRLcrew(cid:3)whoareallprobablygladtheydon(cid:17)thavetohearmypresentation
again(cid:6) EspeciallyIwouldliketothankEdandAnjie(cid:3)whomIhaveplaguedwith countlessquestions
on LaTex(cid:3) Unix and every other aspect of my computer problems(cid:6) Thanks also to Prof(cid:6) Dave
Darmofal for reading my thesis and o(cid:13)ering me a great deal of important and relevant feedback(cid:16)
and to Tolu (cid:18)the Unix master(cid:19)forshell scripts which savedmy life anda wonderful programcalled
Cplot(cid:9)althoughIstillwantmymoneyrefunded(cid:10)(cid:6) ThanksalsotoBobHaimeswhoprovidesaunique
and honest perspective on life at MIT(cid:3) and has provided me with much encouragement(cid:6) I would
especially like to thank Jean Sofronas whose hard work so often goes unnoticed(cid:6) The organisation
she has brought to the lab has made life so much easier(cid:3) especially for those of us trying to track
down Jaime(cid:6)
To those who have gone before (cid:9)and escaped(cid:10) (cid:14) my former o(cid:12)ce mate (cid:18)by the way my real name is
Josh Elliot(cid:19) for setting the example of thesis defense preparation (cid:9)by the way (cid:7) London is further
than Florida(cid:3) Josh(cid:10) and for providing the inspiration for the infamous Mardi Gras trip(cid:6) To the
incorrigible group who helped me survive my (cid:5)rst years at MIT (cid:7) Graeme(cid:3) Ray(cid:3) Jim(cid:3) Guy(cid:3) Mike(cid:3)
Carmen(cid:3)Lou and Ernie(cid:6) In particular(cid:3)to GraemeShawwho hasbeen likeabrotherto me(cid:3) toMike
Fife for being the wonderfully unique person that he is(cid:3) and to Ray for staying behind to share the
(cid:18)later years(cid:19)(cid:6)
Away from the lab(cid:3) I have been fortunate to meet many interesting people and form some priceless
(cid:20)
friendships(cid:6) I would like to thank my housemates Matt and Chris for many fun times(cid:3) and for not
throwing out the vegemite(cid:16) Pat Kreidl who always gave me the best perspective on things when I
needed it most(cid:3) and showed us all not to be afraid of following our dreams(cid:16) Rebecca Morss who
has been adventurous (cid:9)or stupid(cid:10) enough to go with some of my crazier ideas and out(cid:5)ts(cid:16) Blotto
Van Der Helm for some of my more exciting moments in a car(cid:16) Simon Karecki for introducing me
to Jagermeister(cid:16) Matthew Dyer for introducing me to bridge(cid:16) Samuel Mertens for all the chocolate(cid:16)
and Yoshi Uchida for many great hours of chocolate(cid:3) ice(cid:7)cream and conversation(cid:6) I would also like
to thank Tienie Van Schoorforrunning the most hospitable companyever(cid:3) Brett Mastersfor being
the other NZer(cid:3) and Gert Gogga Muller for his help in my endeavours to master Afrikaans(cid:6)
I would especially like to thank William Web Ellis (cid:7) without that crazy game I would never have
survived graduate school(cid:6) In particular(cid:3) my years playing with the MIT women(cid:17)s rugby team are
some of the best sporting memories of my life (cid:7) too many great ruggers to mention here(cid:3) and great
coaches(cid:3) I just hope I was not too bossy on the (cid:5)eld(cid:21) Playing with Beantown RFC has provided
me with a fantastic sporting challenge(cid:3) and also the opportunity to meet many inspiring women(cid:6)
In particular I would like to thank Sonya Church(cid:3) Liz Satter(cid:5)eld(cid:3) Jen Crouse(cid:3) Anna Mackay and
Daniel ScarySpice for their friendship(cid:6) I wouldhaveliked to thank the All Blacksfor providingme
with the best post(cid:7)defense celebration opportunity(cid:3) but (cid:6)(cid:6)(cid:6)(cid:6) Rugby has given me the opportunity to
form some very special friendships (cid:7) in particular with Marianne Bitler who taught me all I know
about midri(cid:13) shirts (cid:7) I(cid:17)m just sorry I never learned to go without sleep(cid:16) and Judi Burgess for the
margaritaswhenIneededthemandwhenIreallydidn(cid:17)t(cid:3) andforreallyappreciatingthelittlebrown
bird in me(cid:6)
ImustalsothankthefacultyandstudentsofmyundergraddepartmentattheUniversityofAuckland
for the encouragement and help to come to the US for grad school(cid:6) In particular(cid:3) Dr Roger Nokes
providedsomemuchneededsupportduringtheGREsandapplicationprocess(cid:6) TomyfriendsJames
Deaker(cid:3) Mike O(cid:17)Sullivan(cid:3) JP Hansen and Tim Watson (cid:7) thanks for the visits and the emails to this
poor stranded kiwi(cid:6) And of course thanks to Ivan Brunton and Chris Bradley for their best e(cid:13)orts
to sabotage my defense preparation(cid:3) and to Mark and Justine Sagar for the wonderful times while
they were in Boston (cid:9)and the coolest bathroom ever(cid:21)(cid:10)(cid:6)
I owe a special debt of gratitude to my Thursday afternoon counselling group for their unique
perspective on life(cid:6) I am honoured to have developed a friendship with Michael Cook(cid:3) who is one
of the most unsel(cid:5)sh people I have ever met(cid:6) I would also like to give special thanks to Tony and
Doreen Puttick who have been my (cid:18)American(cid:19) surrogateparents and have contributed so much to
my life here in Boston(cid:6) I only hope I can one day repay your hospitality down under(cid:6)
(cid:22)
I specially owe thanks to my sole(cid:7)mate Vanessa Chan for recognising my accent(cid:3) never being the
voice of reason(cid:3) and always providing the transport(cid:6) Who would have thought MIT could be so
muchfun(cid:21) And lastbut certainly notleast(cid:3) JacoPretoriuswhohas sharedsomuchofthe pain(cid:3)and
now hopefully the rewards (cid:9)and a more peaceful night(cid:17)s sleep(cid:10)(cid:6) He has provided me with all the
supportandunderstanding to (cid:5)nishthis degree(cid:3)andIhavethebest beer coolerinthe world(cid:6) Beste
wense met jou beroep as professionele(cid:3) sosiale gholfer (cid:21)
Finally(cid:3) I must thank my family(cid:3) who from afar have provided so much love and support(cid:6) To Mum(cid:3)
Dad(cid:3) Dawn and Keith (cid:14) thanks for the emails(cid:3) the letters(cid:3) the newspaper clippings(cid:3) the lamb(cid:3) the
vegemite and the clothes to let me dress like a real kiwi(cid:6) I will thank in advance my brother for the
ride in the F(cid:7)(cid:4)(cid:23)(cid:3) and my sister for the visit to her excavation site(cid:3) and wish them both the best of
luck in their careers(cid:6)
And (cid:5)nally to my grandmothers(cid:3) Grace and Flora(cid:3) two very unique and inspiring women who over
the last (cid:15)(cid:24) years have done so much for me(cid:6) To you both I dedicate this thesis(cid:6) Happy reading(cid:21)
(cid:25)
Contents
List of Figures (cid:2)
(cid:3) Introduction (cid:3)(cid:4)
(cid:4)(cid:6)(cid:4) Aeroelastic Modelling (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:4)(cid:23)
(cid:4)(cid:6)(cid:15) Model Order Reduction (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:4)(cid:26)
(cid:4)(cid:6)(cid:20) Reduced(cid:7)Order Modelling Applications (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:15)(cid:27)
(cid:4)(cid:6)(cid:22) Outline (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:15)(cid:20)
(cid:5) Aeroelastic Model (cid:5)(cid:4)
(cid:15)(cid:6)(cid:4) Aerodynamic Model (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:15)(cid:24)
(cid:15)(cid:6)(cid:4)(cid:6)(cid:4) Governing Equations (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:15)(cid:26)
(cid:15)(cid:6)(cid:4)(cid:6)(cid:15) Nonlinear Model (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:20)(cid:27)
(cid:15)(cid:6)(cid:4)(cid:6)(cid:20) Linearised Model (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:20)(cid:20)
(cid:15)(cid:6)(cid:4)(cid:6)(cid:22) Linearised Boundary Conditions (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:20)(cid:25)
(cid:15)(cid:6)(cid:4)(cid:6)(cid:25) Modal Analysis (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:20)(cid:23)
(cid:15)(cid:6)(cid:15) CFD Model Validation (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:20)(cid:26)
(cid:15)(cid:6)(cid:15)(cid:6)(cid:4) UTRC Low(cid:7)Speed Cascade (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:20)(cid:2)
(cid:15)(cid:6)(cid:15)(cid:6)(cid:15) DFVLR Transonic Cascade (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:20)(cid:2)
(cid:15)(cid:6)(cid:15)(cid:6)(cid:20) First Standard Con(cid:5)guration (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:22)(cid:27)
(cid:23)
(cid:15)(cid:6)(cid:20) Structural Model (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:22)(cid:15)
(cid:15)(cid:6)(cid:22) Coupled Aerodynamic(cid:11)Structural Model (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:22)(cid:25)
(cid:6) Reduced(cid:7)Order Aerodynamic Modelling (cid:8)(cid:9)
(cid:20)(cid:6)(cid:4) Aerodynamic In(cid:8)uence Coe(cid:12)cients (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:22)(cid:2)
(cid:20)(cid:6)(cid:15) Reduction Using Congruence Transforms(cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:25)(cid:4)
(cid:20)(cid:6)(cid:20) Eigenmode Representation(cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:25)(cid:15)
(cid:20)(cid:6)(cid:22) Proper Orthogonal Decomposition (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:25)(cid:25)
(cid:20)(cid:6)(cid:22)(cid:6)(cid:4) Snapshot Generation (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:25)(cid:23)
(cid:20)(cid:6)(cid:25) Arnoldi(cid:7)Based Model Order Reduction (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:25)(cid:26)
(cid:20)(cid:6)(cid:25)(cid:6)(cid:4) Computation of Arnoldi Basis (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:23)(cid:27)
(cid:20)(cid:6)(cid:25)(cid:6)(cid:15) Arnoldi Approach versus POD (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:23)(cid:4)
(cid:20)(cid:6)(cid:25)(cid:6)(cid:20) Arnoldi Model Extensions (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:23)(cid:15)
(cid:20)(cid:6)(cid:23) Projection onto Optimal Basis Vectors (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:23)(cid:15)
(cid:20)(cid:6)(cid:23)(cid:6)(cid:4) Static Corrections (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:23)(cid:20)
(cid:20)(cid:6)(cid:23)(cid:6)(cid:15) Reduced(cid:7)Order Models(cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:23)(cid:22)
(cid:20)(cid:6)(cid:24) Reduced(cid:7)Order Modelling Summary (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:23)(cid:24)
(cid:8) Reduced(cid:7)Order Modelling of a Transonic Rotor (cid:10)(cid:2)
(cid:22)(cid:6)(cid:4) Aerodynamic Reduced(cid:7)Order Models (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:23)(cid:26)
(cid:22)(cid:6)(cid:4)(cid:6)(cid:4) POD Reduced(cid:7)Order Model (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:23)(cid:2)
(cid:22)(cid:6)(cid:4)(cid:6)(cid:15) Arnoldi Reduced(cid:7)Order Model (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:24)(cid:27)
(cid:22)(cid:6)(cid:15) Aerodynamic Forced Response (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:24)(cid:20)
(cid:22)(cid:6)(cid:20) Coupled Aerodynamic(cid:11)Structural Reduced(cid:7)Order Model (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:24)(cid:26)
(cid:22)(cid:6)(cid:22) Comparison of POD with In(cid:8)uence Coe(cid:12)cient Model (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:26)(cid:25)
(cid:22)(cid:6)(cid:25) Physical Mode Identi(cid:5)cation(cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:2)(cid:20)
(cid:24)
(cid:4) Mistuning (cid:11)(cid:9)
(cid:25)(cid:6)(cid:4) Mistuning Analysis via Symmetry Considerations (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:2)(cid:26)
(cid:25)(cid:6)(cid:15) Reduced(cid:7)Order Models for Mistuning Analysis (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:4)(cid:27)(cid:27)
(cid:25)(cid:6)(cid:20) Mistuning Analysis of Transonic Rotor (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:4)(cid:27)(cid:15)
(cid:25)(cid:6)(cid:20)(cid:6)(cid:4) Reduced(cid:7)Order Aerodynamic Model (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:4)(cid:27)(cid:15)
(cid:25)(cid:6)(cid:20)(cid:6)(cid:15) Aerodynamic In(cid:8)uence Coe(cid:12)cient Model (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:4)(cid:4)(cid:4)
(cid:25)(cid:6)(cid:22) Mistuning Summary (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:4)(cid:4)(cid:15)
(cid:10) Multiple Blade Row Analysis (cid:3)(cid:3)(cid:9)
(cid:23)(cid:6)(cid:4) Blade Row Coupling (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:4)(cid:4)(cid:24)
(cid:23)(cid:6)(cid:15) GE Low Speed Compressor (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:4)(cid:15)(cid:27)
(cid:23)(cid:6)(cid:15)(cid:6)(cid:4) Steady(cid:7)State Solutions (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:4)(cid:15)(cid:27)
(cid:23)(cid:6)(cid:15)(cid:6)(cid:15) Unsteady Analysis (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:4)(cid:15)(cid:4)
(cid:23)(cid:6)(cid:20) Summary (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:4)(cid:15)(cid:23)
(cid:9) Conclusions and Recommendations (cid:3)(cid:6)(cid:6)
A GMRES Algorithm (cid:3)(cid:6)(cid:10)
Bibliography (cid:3)(cid:6)(cid:2)
(cid:26)
List of Figures
(cid:4)(cid:7)(cid:4) Concept of reduced(cid:7)order modelling from CFD(cid:6) Unsteady inputs include blade mo(cid:7)
tion and incoming (cid:8)ow disturbances(cid:6) Outputs of interest are typically outgoing (cid:8)ow
disturbances and blade forces and moments(cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:4)(cid:26)
(cid:15)(cid:7)(cid:4) Input(cid:11)output view of aeroelastic model(cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:15)(cid:23)
(cid:15)(cid:7)(cid:15) Rectilinear(cid:3) two(cid:7)dimensional representation of compressor stage(cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:15)(cid:26)
(cid:15)(cid:7)(cid:20) Computational domain for single blade row(cid:6) Inlet boundary (cid:9)(cid:4)(cid:10)(cid:3) exit boundary (cid:9)(cid:15)(cid:10)(cid:3)
blade surfaces (cid:9)(cid:20)(cid:10) and periodic boundaries (cid:9)(cid:22)(cid:10)(cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:15)(cid:2)
(cid:15)(cid:7)(cid:22) Controlvolume Vj associated toa genericnode j of an unstructuredgrid (cid:9)a(cid:10) Interior
node(cid:3) (cid:9)b(cid:10) Boundary node(cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:20)(cid:15)
(cid:15)(cid:7)(cid:25) Computational domain for solution of steady(cid:7)state (cid:8)ow(cid:6) Boundary conditions are
applied at blade surfaces and passage inlet and exit(cid:6) Periodic conditions are applied
at dashed boundaries(cid:6) Inlet and exit boundary conditions shown assume subsonic
axial (cid:8)ow(cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:20)(cid:15)
(cid:15)(cid:7)(cid:23) CFD grid for UTRC subsonic blade(cid:6) (cid:15)(cid:25)(cid:22)(cid:4) points(cid:3) (cid:22)(cid:26)(cid:4)(cid:24) triangles(cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:20)(cid:2)
(cid:15)(cid:7)(cid:24) Pressuredistribution forUTRC subsonicblade(cid:3) experimentaldata(cid:9)points(cid:10) and CFD
(cid:0)
results (cid:9)lines(cid:10)(cid:6) M (cid:28) (cid:27)(cid:2)(cid:4)(cid:4)(cid:20)(cid:3)(cid:4) (cid:28) (cid:20)(cid:26) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:22)(cid:27)
(cid:15)(cid:7)(cid:26) CFD grid for DFVLR transonic rotor(cid:6) (cid:20)(cid:23)(cid:23)(cid:26) points(cid:3) (cid:24)(cid:27)(cid:22)(cid:27) triangles(cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:22)(cid:4)
(cid:0)
(cid:15)(cid:7)(cid:2) Steady(cid:7)state pressure contours for DFVLR transonic rotor(cid:6) M (cid:28) (cid:27)(cid:2)(cid:26)(cid:15)(cid:3) (cid:5)(cid:28)(cid:25)(cid:26)(cid:2)(cid:25) (cid:6) (cid:6) (cid:22)(cid:15)
(cid:15)(cid:7)(cid:4)(cid:27) Pressure distribution for DFVLR transonic blade(cid:3) experimental data (cid:9)points(cid:10) and
(cid:0)
CFD results (cid:9)lines(cid:10)(cid:6) M (cid:28) (cid:27)(cid:2)(cid:26)(cid:15)(cid:3)(cid:4) (cid:28) (cid:25)(cid:26)(cid:2)(cid:25) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:22)(cid:20)
(cid:2)
(cid:0) (cid:0)
(cid:15)(cid:7)(cid:4)(cid:4) First standardcon(cid:5)gurationblade pressuredistribution(cid:14) M (cid:28)(cid:27)(cid:2)(cid:4)(cid:26)(cid:3) (cid:4) (cid:28) (cid:23)(cid:23) (cid:3)(cid:6) (cid:28)(cid:25)(cid:25) (cid:6) (cid:22)(cid:22)
(cid:0)
(cid:15)(cid:7)(cid:4)(cid:15) Firststandardcon(cid:5)guration(cid:14) torsionalaerodynamicdampingcoe(cid:12)cientasafunction
(cid:0)
of interblade phase angle(cid:6) M (cid:28)(cid:27)(cid:2)(cid:4)(cid:26)(cid:3)(cid:4) (cid:28) (cid:23)(cid:23) (cid:3)k (cid:28)(cid:27)(cid:2)(cid:4)(cid:15)(cid:15)(cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:22)(cid:25)
(cid:0)
(cid:15)(cid:7)(cid:4)(cid:20) Typical section structural model for blade i(cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:22)(cid:23)
(cid:20)(cid:7)(cid:4) Eigenvalue spectrum for small problem(cid:3) n (cid:28) (cid:22)(cid:2)(cid:15)(cid:6) Eigenvalues for unperturbed
matrix (cid:9)diamonds(cid:10) and random perturbations of order (cid:27)(cid:2)(cid:4)(cid:29) (cid:9)squares(cid:10) and (cid:27)(cid:2)(cid:27)(cid:27)(cid:4)(cid:29)
(cid:9)plus signs(cid:10) of the diagonal(cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:25)(cid:20)
(cid:20)(cid:7)(cid:15) Eigenvalue spectrum for large problem(cid:3) n (cid:28) (cid:24)(cid:23)(cid:20)(cid:15)(cid:6) Eigenvalues for unperturbed
matrix (cid:9)plus signs(cid:10) and random perturbations of order (cid:27)(cid:2)(cid:27)(cid:27)(cid:4)(cid:29) (cid:9)diamonds(cid:10) of the
diagonal(cid:6)(cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:25)(cid:22)
(cid:22)(cid:7)(cid:4) Computational domain for two passages of the DFVLR transonic rotor(cid:6) (cid:20)(cid:23)(cid:23)(cid:26) nodes(cid:3)
(cid:24)(cid:27)(cid:22)(cid:27) triangles per blade passage(cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:23)(cid:2)
(cid:0) (cid:0)
(cid:22)(cid:7)(cid:15) POD Eigenvalue spectra for transonic cascade in plunge(cid:6) M (cid:28) (cid:27)(cid:6)(cid:26)(cid:15)(cid:3) (cid:7) (cid:28) (cid:27) (cid:3)(cid:4)(cid:26)(cid:27) (cid:6) (cid:6) (cid:24)(cid:27)
(cid:22)(cid:7)(cid:20) Eigenvalue spectrum for POD reduced(cid:7)order aerodynamic system(cid:6) Six modes per
interblade phase angle (cid:9)total (cid:4)(cid:15)(cid:27) modes(cid:10)(cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:24)(cid:4)
(cid:22)(cid:7)(cid:22) Eigenvalue spectrum for Arnoldi reduced order aerodynamic system(cid:6) Six modes per
interblade phase angle (cid:9)total (cid:4)(cid:15)(cid:27) modes(cid:10)(cid:6) All basis vectors computed about s(cid:28)(cid:27)(cid:6) (cid:6) (cid:24)(cid:15)
(cid:22)(cid:7)(cid:25) Pulse input in plunge(cid:3) g (cid:28)(cid:27)(cid:2)(cid:27)(cid:4)(cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:24)(cid:25)
(cid:0)
(cid:22)(cid:7)(cid:23) PulseresponseforPODreduced(cid:7)ordermodelandlinearisedsimulationcode(cid:6) (cid:7) (cid:28) (cid:27) (cid:3)
g (cid:28) (cid:27)(cid:6)(cid:27)(cid:4)(cid:3) M (cid:28) (cid:27)(cid:6)(cid:26)(cid:15)(cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:24)(cid:25)
(cid:22)(cid:7)(cid:24) Pulse response for Arnoldi reduced(cid:7)order model and linearised simulation code(cid:6) (cid:7) (cid:28)
(cid:0)
(cid:27) (cid:3) g (cid:28)(cid:27)(cid:2)(cid:27)(cid:4)(cid:3) M (cid:28)(cid:27)(cid:2)(cid:26)(cid:15)(cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:24)(cid:23)
(cid:22)(cid:7)(cid:26) Pulse response for Arnoldi reduced(cid:7)order model with (cid:4)(cid:15) modes(cid:3) POD reduced(cid:7)order
(cid:0)
model with (cid:26) modes and linearised simulation code(cid:6) (cid:7) (cid:28)(cid:27) (cid:3) g (cid:28)(cid:27)(cid:2)(cid:4)(cid:3) M (cid:28)(cid:27)(cid:2)(cid:26)(cid:15)(cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:24)(cid:23)
(cid:22)(cid:7)(cid:2) Pulse displacement input (cid:9)dashed line(cid:10) and blade lift force response (cid:9)solid line(cid:10) for
(cid:0)
Arnoldi reduced(cid:7)order model(cid:6) Six modes for (cid:7) (cid:28) (cid:27) and ten modes for all other
interblade phase angles (cid:9)total (cid:4)(cid:2)(cid:23) modes(cid:10)(cid:6) g (cid:28) (cid:27)(cid:6)(cid:27)(cid:4)(cid:3) M (cid:28) (cid:27)(cid:6)(cid:26)(cid:15)(cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:24)(cid:24)
(cid:4)(cid:27)