Table Of ContentDetlef D. Spalt
Herausgeber
Rechnen
•
mit
dem
Unendlichen
Beiträge zur Entwicklung
eines kontroversen Gegenstandes
1990 Springer Basel AG
Dr. D. Spalt
Technische Hochschule Darmstadt
Fachbereich Mathematik, AG I I
Sch lossgartenstrasse 7
D-6100 Darmstadt
ISBN 978-3-0348-5243-2 ISBN 978-3-0348-5242-5 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-5242-5
Cip-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Rechnen mit dem Unendlichen: Beiträge zur Entwicklung eines kontroversen Gegenstandes I hrsg.
von Detlef D. Spalt. - Basel; Boston; Berlin : Birkhäuser, 1990
NE: Spalt, Detlef D. [Hrsg.]
Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere der Übersetzung,
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© 1990 Springer Basel AG
Ursprünglich erschienen bei Birkhäuser Verlag Basel 1990.
INHALT
Detlef D. Spalt
Einleitung: Rechnen mit dem Unendlichen VII
Hassan Givsan
Wozu Historie? - Anmerkungen zur Frage der
Geschichtsschreibung der Wissenschaften (Mathematik) 1
Wilhelmus A.J. Luxemburg
Robinson's Nonstandard Analysis and its Influence
on Mathematics 13
Detlef Laugwitz
Frühe Delta-Funktionen -
Eine Fallstudie zu den Beziehungen zwischen Nichtstandard-
Analysis und mathematischer Geschichtsschreibung 23
Herbert Breger
Know-how in der Mathematik. Mit einer Nutzanwendung
auf die unendlichkleinen Größen 43
Teunis Koetsier
Etappen in der Entwicklungsgeschichte des sogenannten
Vertauschbarkeitssatzes von Schwarz 59
Rüdiger Thiele
Carnots Betrachtungen über die Grundlagen der
Infinitesimalrechnung 79
Ivor Grattan-Guinness
Thus it mysteriously appears:
impressions of Laplace's use of series 95
Hans Niels J ahnke
Algebraische Analysis in Deutschland, 1780-1860 103
Jan Berg
Zur logischen und mathematischen Ontologie.
Geneseologie und Resultatismus in der Analysis der
Grundlagen der Bolzanoschen Zahlenlehre 123
Bob van Rootselaar
Die "mengentheoretischen" Begriffe Bolzanos 157
Hanns Peter Becker
Bolzanos meßbare Zahlen 165
Walter Purkert
Infinitesimalrechnung für Ingenieure -
Kontroversen im 19. Jahrhundert 179
DeUef D. Spalt
Die unendliche Zahlenmenge im Wandel
von Bolzano zur Mengenlehre -
oder: Cantor als Vater der bürgerlichen Mathematik 193
Bibliographie 219
Einleitung: Rechnen mit dem Unendlichen
I. Eine Geschichte (Ein Rahmen für dieses Buch)
Am 3. Juni 1784 schrieb die Berliner Akademie der Wissenschaften auf Be
treiben von Lagrange folgende mathematische Preisaufgabe aus:
"Die Nützlichkeit der Mathematik, die ihr entgegengebrachte Hoch
achtung sowie der ihr zu Recht verliehene ehrenvolle Name der
'exakten Wissenschaft' par excellence verdanken sich allesamt der
Klarheit ihrer Prinzipien, der Strenge ihrer Beweise und der Be
stimmtheit ihrer Lehrsätze.
Um die Fortdauer dieser kostbaren Überlegenheit in diesem vor
nehmen Teil unserer Kenntnisse zu bewahren, wird gefragt nach
Einer klaren und bestimmten Theorie dessen, was das
Unendliche in der Mathematik genannt wird.
Es ist bekannt, daß die höhere Mathematik beständig das unend
lich Große und das unendlich Kleine verwendet. Indessen vermie
den die [antiken] Geometer und selbst die alten Analysten aufs
sorgfältigste alles, was mit dem Unendlichen in Verbindung steht;
und die großen modernen Analysten anerkennen sogar, daß der
Ausdruck unendliche Größe widerspruchsvoll ist.
Die Akademie wünscht daher eine Erklärung dafür, wie so viele
richtige Lehrsätze aus einer widerspruchsvollen Voraussetzung her
geleitet werden können, und daß ein sicheres, klares - kurz ein
wahrhaft mathematisches Prinzip angezeigt werde, welches das Un
endliche zu ersetzen vermag, ohne jedoch die durchzuführenden
Untersuchungen zu schwierig oder zu lang zu gestalten. Es ist
gefordert, das Thema in aller Allgemeinheit und in aller Strenge,
Klarheit und Einfachheit zu behandeln."l
Am 1. Juni 1786, ein halbes Jahr nach dem Einsendeschluß, erklärte die Aka
demie anläßlich ihrer Zuerkennung des Preises an L'Huilier unter anderem:
1 Nouveauz Memoires de l'Academie Royale des Sciences et de Beiles Lettres 1784, S. 12f.,
meine Übersetzung. Eine englische Übersetzung sowie nähere Erläuterungen zu dem Preis
ausschreiben und dessen Ausgang gibt Juskevic 1971.
VIII Einleitung
"Alle Einsender haben es versäumt zu erklären, wie so zahlreiche
richtige Lehrsätze aus einer widerspruchsvollen Voraussetzung her
geleitet werden können, wie es die einer unendlichen Größe ist. Alle
haben sie mehr oder weniger die erforderten [Qualitäten der] Ein
fachheit und Klarheit und über allem der Strenge außer acht ge
lassen. Die meisten von ihnen haben nicht einmal gesehen, daß das
gesuchte Prinzip nicht auf den Infinitesimalkalkül beschränkt sein
sollte, sondern auf Algebra und auf Geometrie, wie sie in der Weise
der Alten gehandhabt wird, auszudehnen war. Nach Ansicht der
Akademie ist daher die Frage nicht in vollem Umfang gelöst."2
Heute, im Abstand von zwei Jahrhunderten sehen wir, daß diese Preisaufgabe
der Akademie die Qualität einer Forschungsaufgabe für viele Generationen
hatte - und daß sie nach den Maßstäben der Akademie bis auf den heutigen
Tag nicht gelöst ist - vielleicht, weil sie in dieser Form tatsächlich unlösbar ist.
Gefragt wurde nach einem einzigen Mathematischen Prinzip des Unendlichen,
welches, ohne widerspruchsvoll zu sein, hinreicht, sämtliche wahren mathema
tischen Lehrsätze in einfacher, klarer und strenger Weise zu deduzieren - und
zwar in allen mathematischen Gebieten (ausdrücklich genannt wurden neben
der Infinitesimalrechnung die Geometrie und die Algebra).
In heutiger Sicht unerfüllbar scheint jedenfalls die Forderung der Einzigkeit;
Es ist bisher nicht zu sehen, wie ein einziges solches Prinzip für die gesamte
Mathematik formulierbar sein könnte.
Die Entwicklung der Geometrie im frühen 19. Jahrhundert verlief noch am
ehesten in den von der Preisaufgabe gewünschten Bahnen. Aus der naiven
Frage, ob sich zwei Parallelen im Unendlichen schneiden oder nicht, wurden
die beiden Axiome "Parallelen schneiden sich nicht" und "Je zwei Geraden
haben gen au einen Schnittpunkt", die in nüchterner Sprache zwei Typen von
Geometrie charakterisieren: die affine und die projektive. Hier also hat sich die
Rede vom Unendlichen gänzlich verflüchtigt und allenfalls noch metaphorisch
erhalten (dem unendlichfernen Punkt oder der unendlichfernen Geraden haftet
keinerlei problematischer Hauch mehr an - und so sprechen die Geometer auch
kürzer vom Fernpunkt und der Ferngeraden).
Wenn man unter dem von der Akademie gebrauchten Titel Algebra die Arith
metica universalis, also die Allgemeine Arithmetik versteht (etwa in der Tradi
tion Newtons), so gab Georg Cantor zu Ende des 19. Jahrhunderts den Anstoß
zu einer Lösung der gestellten Aufgabe für dieses Gebiet. Seine Begründung
der Lehre von den transfiniten Kardinalzahlen und den transfiniten Ordinal
zahlen wurde und wird weiterhin sogar als erste wirkliche Mathematisierung
2a.a.O. S. 156
Einleitung IX
des Unendlichen gepriesen. Dies bezieht sich darauf, daß Cantor konkretes
Rechnen mit unendlichgroßen Zahlen lehrt, also eine Arithmetik des (Aktual-)
Unendlichen.
In der Infinitesimalrechnung schließlich wurde ebenfalls zum Ende des 19.
Jahrhunderts eine neue Lösung der Preisaufgabe formuliert: Durch die Ar
beiten von Dedekind, Meray, Cantor/Heine und schließlich Hilbert wurde
mit den reellen Zahlen ein. Zahlenbegriff geschaffen, der ohne jegliches ak
tuale Unendlich auskommt, aber dennoch geeignet ist, die unendlichen Größen
der Differential- und Integralrechnung zu behandeln. Dieses Kunststück ver
langte jedoch die Entwicklung weiterer, unterstützender Lehren (insbeson
dere zum Konvergenzbegriff), welche heute das Gebiet der Topologie aus
machen. In der Sicht der Akademie wird man dies wohl so beurteilen, daß
dieser Lösungsvorschlag: reelle Zahlen plus Topologie zwar dem Erfordernis
der Strenge und (vielleicht auch) dem der Klarheit genügt - aber gewiß nicht
demjenigen der Einfachheit.
Unter diesem Blickwinkel ist es daher besonders aufregend, daß in den vergan
genen drei Jahrzehnten mit der Nichtstandard-Analysis eine neue Lehre der
Infinitesimalrechnung entwickelt wurde. Sie legt einen reichhaltigeren Zahl
begriff zugrunde (gelegentlich als hyperreelle Zahlen bezeichnet), der ins be
sondere aktual-unendliche Zahlen (kleine wie große) umfaßt und eine oftmals
direktere Behandlungs- und Argumentationsweise gestattet als die frühere
Lehre, die dann Standard-Analysis heißt. Nachdem die anfänglichen Zweifel
an der Strenge dieser neuen Lehre ausgeräumt wurden (indem sie als Vorur
teile aus der Sicht der alten Lehre erkannt wurden), hat man allen Grund zu
der Vermutung, daß die heute neu einberufene Jury der alten Akademie in
der Nichtstandard-Analysis eine höchst preis würdige Lösung ihrer damaligen
Aufgabe sehen könnte. Und dies nicht nur deswegen, weil sie im Vergleich
zur älteren Analysis ebenso streng, dabei jedoch einfacher ist3 - sondern ins
besondere deswegen, weil sie in Form eines allgemeinen Prinzips auch andere
Gebiete der Mathematik zu erfassen vermag. Zutreffender spricht man daher
von Nichtstandard-Mathematik (mit den Kernbereichen Analysis, Arithmetik,
Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie) und kennzeichnet so eine bestimmte
Behandlung des Aktualunendlichen in der Mathematik.
3 Klarheit ist, wie wir allmählich lernen, eine weniger objektivierbare, sondern psycholo
gische Kategorie, welche durch Ausbildung einer geeigneten persönlichen Anschauung oder
Intuition gestaltet wird. - Originell dazu Baruk 1985
X Einleitung
11. Der gegenwärtige Stand (Zum Inhalt dieses Buches)
Wie man mit dem Unendlichen mathematisch rechnen kann, begann uns Leib
niz zu lehren - einhundert Jahre vor der von der Akademie ausgeschriebenen
Preisaufgabe. Daß wir seitdem mit dem Unendlichen in der Mathematik rech
nen müssen (daß das Unendliche in der Mathematik unausweichlich ist), sehen
wir am Verlauf der geschichtlichen Entwicklung. (Und beiläufig sei bemerkt,
daß dieses Muß eine Folge jener Rolle ist, die die Mathematik für die Entwick
lung der moderenen Naturwissenschaften und Ingenieurwissenschaften spielt
- also direkter Ausdruck der gesellschaftlichen Erfordernisse an die Mathema
tik.) Der aktuellste Wissensstand des mathematisch Unendlichen ist zweifellos
in der Nichtstandard-Analysis (einschließlich der Diskussion um sie) ausgespro
chen. Die in diesem Buch versammelten Aufsätze beleuchten dieses Thema des
mathematischen Unendlichen unter recht verschiedenen Blickwinkeln und sind
so geeignet, das Verständnis der Sache zu fördern.
Die Sache - das ist in der Wissenschaft die gewordene Sache, die Sache in
ihrem und als ihr Werdegang. Daß sich das Wissen verändert, ist heute ein
Gemeinplatz - daß dies die Historie erfordert, um diese Veränderungen zu
thematisieren, wird dabei heute noch meist übersehen. Und selbst, wo sich
ein diffuses Gefühl für die Notwendigkeit von Historie meldet (wie es heute
häufiger geschieht), bleibt das Warum? und ins besondere das konkrete Wie?
im Dunkeln. Hassan Givsan denkt in seinem Beitrag Wozu Historie? in sehr
grundlegender Weise über die Geschichtsschreibung der Mathematik nach und
zeigt, wie fruchtbar hier die Reflexion des ontologischen Aspektes sein kann
(jene also, die nach dem Sein der Gegenstände fragt). Seine Pointe besteht
in der ontologischen Fundierung eines konkreten Wie? der Geschichtsschrei
bung, nämlich einer Historie, welche ihren Gegenstand stets als genau das
nimmt, was er gewesen ist - und nicht etwa als das, was er später, d.h. ge
genwärtig ist. Diese letztere Form der Geschichtsschreibung (von uns Resul
tatismus genannt4) herrscht jedoch eindeutig vor - mit, wie zu begründen ist,
spürbaren Folgen für die gewonnenen Einsichten.
Den aktuellen Stand des mathematischen Wissens zum Unendlichen umreißt
Wilhelmus Luxemburg in seinem Aufsatz. Er bietet einen Steilkurs über mathe
matische Logik und Modelltheorie, dem der Leser ohne eine gewisse vorgängige
Vertrautheit mit diesen Bereichen sicher nicht in allen seinen Einzelheiten, wohl
aber in großen Zügen wird folgen können. Der sachliche Höhepunkt findet sich
zu Ende des Abschnittes IV, wo unter Verwendung von zwei exakt geschiedenen
Sprachebenen (intern und extern) das zentrale (aktual-)unendliche Objekt w
(eine unendlichgroße natürliche Zahl) wie folgt gefaßt wird: w ist endlich und
4zuerst in meinem Aufsatz 1985
