Raum · Zeit · Materie: Vorlesungen über Allgemeine Relativitätstheorie

280 Pages·1919·17.55 MB·German

by  Hermann Weyl (auth.)

RAUM· ZEIT· MATERIE
VORLESUNGEN ÜBER
ALLGEMEINE RELATIVITÄTSTHEORIE
VON
HERMANN WEYL
DRITTE, UMGEARBEITETE AUFLAGE
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
1919
ISBN 978-3-662-42829-0 ISBN 978-3-662-43111-5 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-43111-5
Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen,
vorbehalten.
Copyright 1919 by Springer-Verlag Berlin Heide1berg
Ursprünglich erschienen bei Ju1ius Springer in Berlin 1919.
Meiner Frau gewidmet
Aus dem Vorwort zur ersten Auflage.
Mit der Einsteinsehen Relativitätstheorie hat das menschliche Denken
über den Kosmos eine neue Stufe erklommen. Es ist, als wäre plötzlich
eine Wand zusammengebrochen, die uns von der Wahrheit trennte: nun
liegen Weiten und Tiefen vor unserm Erkenntnisblick entriegelt da, deren
Möglichkeit wir vorher nicht einmal ahnten. Der Erfassung der Vernunft,
welche dem physischen Weltgeschehen innewohnt, sind wir einen gewal
tigen Schritt näher gekommen.
Wenngleich in jüngster Zeit eine ganze Reihe mehr oder minder
populärer Einführungen in die allgemeine Relativitätstheorie erschienen ist,
mangelte es doch bislang an einer systematischen Darstellung. Darum hidt
ich es für angezeigt, die vorliegenden, von mir im Sommersemester 1 9 1 7
an der Eidgen. Technischen Hochschule Zürich gehaltenen Vorlesungen
herauszugeben. Zugleich wollte ich an diesem großen Thema ein Beispiel
geben für die gegenseitige Durchdringung philosophischen, mathematischen
und physikalischen Denkens die mir sehr am Herzen liegt; dies konnte nur
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durch einen völlig in sich geschlossenen Aufbau von Grund auf gelingen,
der sich durchaus auf das Prinzipielle beschränkt. Aber ich habe meinen
eigenen Forderungen in dieser Hinsicht nicht voll Genüge tun können:
der Mathematiker behielt auf Kosten des Philosophen das Übergewicht.
Die beim Leser vorausgesetzten Vorkenntnisse beschränken sich auf
ein Minimum. Nicht nur die spezielle Relativitätstheorie ist ausfUhrlieh
abgehandelt, sogar Maxwellsehe Theorie und analytische Geometrie sind
kurz, unter Herausarbeitung der wesentlichsten Züge, entwickelt. Das lag
im Plane des Ganzen. Die Begründung des Tensorkalküls - durch den
allein die in Frage stehenden physikalischen Erkenntnisse ihren natur
gemäßen Ausdruck finden können - nimmt einen verhältnismäßig breiten
Raum ein. So wird das Buch hoffentlich geeignet sein, den Physikern
dieses mathematische Hilfsmittel vertrauter zu machen und zugleich als
Lehrbuch unter der studierenden Jugend fUr die neuen Ideen zu wirken!
Den Herren Bär und Hiltbrunner bin ich, dem einen für Korrektur
hilfe, dem andern für Anfertigung der Figuren, zu Dank verpflichtet; dem
Verlage für die unter den heutigen Umständen bewundernswtrte rasche
Drucklegung und gute Ausstattung des Buches.
Ribnitz in Mecklenburg, Ostern 1918.
Vorwort zur dritten Auflage.
Obschon dies Buch die Frucht der Erkenntnis in harter Schale bietet,
ist es doch manchem, wie mir verschiedene Zuschriften zeigten, ein Trost
büchlein in wirrer Zeit gewesen; ein Aufblick aus dem Trümmerfeld der
uns unmittelbar bedrängenden Gegenwart zu· den Sternen, das ist: der
unzerbrechlichen Welt der Gesetze; Bekräftigung des Glaubens an die
Vernunft und eine alle Erscheinungen umspannende, nie gestörte, nie zu
störende ,. harmonia mundi «.
Den Zusammenklang noch reiner zu stimmen, ist mein Bestreben in
der neuen, dritten Auflage gewesen. Während die zweite ein unveränderter
Abdruck der ersten war - bis auf die Korrektur eines Versehens auf
pag. 183 -, habe ich jetzt eine gründliche Umarbeitung vorgenommen'
von der vor allem das II. und IV. Kapitel betroffen wurden. Die von
Herrn Levi-Civita im Jahre 1917 gemachte Entdeckung des Begriffs der
infinitesimalen Parallelverschiebung gab den Anstoß zu einer erneuten
Untersuchung der mathematischen Grundlagen der Riemannschen Geometrie.
Der hier in Kapitel li gegebene Aufbau der reinen Infinitesimalgeometrie,
bei welchem ,sich jeder Schritt in voller Nat!irlichkeit, Anschaulichkeit und
Notwendigkeit vollzieht, ist, glaube ich, das in allen wesentlichen Stücken
endgültige Ergebnis dieser Untersuchung. Einige Unvollkommenheiten,
welche meiner ersten Darstellung in der Mathematischen Zeitschrift (Bd. 2,
rgr8) noch anhafteten, sind beseitigt worden. Das IV. Kapitel, dessen
Hauptteil der Einsteinsehen Gravitationstheorie gewidmet ist, hat zunächst
durch Berücksichtigung der in der Zwischenzeit erschienenen wichtigeren
Arbeiten, namentlich derjenigen, welche sich auf das Energie-Impulsprinzip
beziehen, eine ziemlich tiefgreifende Umgestaltung erfahren. Dann aber ist
eine neue, vom Verfasser herrührende Theorie hinzugefügt worden, welche
aus der in Kapitel II vollzogenen Erweiterung der geometrischen Grundlage
über den Riemannschen Standpunkt hinaus die physikalischen Konsequenzen
zieht und sich anheischig macht, aus der Weltgeometrie nicht nur die
Gravitations-, sondern auch die elektromagnetischen Erscheinungen abzu
leiten. Steckt diese Theorie auch gegenwärtig noch in den Kinderschuhen,
so bin ich doch überzeugt, daß ihr der gleiche Wahrheitswert zukommt
wie der Einsteinsehen Gravitationstheorie- mag nun dieser Wahrheits
wert ein unbegrenzter sein oder, wie es wohl wahrscheinlicher ist, begrenzt
werden müssen durch die Quantentheorie. -
Herrn Weinstein danke ich für seine mir bei der Durchsicht der
Korrekturbogen gewährte Hilfe.
Acla Pozzoli bei Samaden, August rgrq.
Hermann Weyl.
Inhaltsverzeichnis.
Seite·
Einleitung • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kap. I. Der Euklidische Raum: seine mathematische Formalisierung
und seine Rolle in der Physik.
§ I. Herleitung der elementaren Raumbegriffe aus dem der Gleichheit . . . . 10
§ 2. Grundlagen der affinen Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
§ 3· Idee der n-dimensionalen Geometrie. Lineare Algebra. Quadratische Formen 2u
§ 4· Grundlagen der metrischen Geometrie. 24
§ 5· Tensoren . . . . . . . . . . . . . 30
§ 6. Tensoralgebra. Beispiele . . . . . . 3S
§ 7· Symmetrie-Eigenschaften der Tensoren 4S
§ 8. Tensoranalysis. Spannungen. . . . . 51
§ 9· Das stationäre elektromagnetische Feld 57
Kap. II. Das metrische Kontinuum.
§ 10. Bericht über Nicht-Euklidische Geometrie .
§ I I. Riemannsche Geometrie . . . . . . . . .
§ I2. Fortsetzung. Dynamische Auffassung der Metrik.
§ IJ. Tensoren und Tensordichten in einer beliebigen Mannigfaltigkeit.
§ I4. Affin zusammenhängende Mannigfaltigkeit .
§ I5. Krümmung ....
§ I6. Der metrische Raum
§ I 7. Riemannscher Raum
Kap. III. Relativität von Raum und Zeit.
§ I 8. Das Galileische Relativitätsprinzip . . 12.1
§ 19. Elektrodynamik zeitlich veränderlicher Felder. Lorentzsches J{clativitäts-
theorem ............ .
§ 20. Das Einsteinsehe Relativitätsprinzip.
§ 21. Relativistische Geometrie, Kinematik und Optik
§ 22. Elektrodynamik bewegter Körper.
§ 23. Mechanik des Relativitätsprinzips.
§ 24. Die Materie : . . .
§ 25. Die Miesehe Theorie .
Schlußbemerkungen . . . .
Kap. IV. Allgemeine Relativitätstheorie.
§ 26. Relativität der Bewegung, metrisches Feld und Gravitation
§ 27. Einsteins Grundgesetz der Gravitation .......... .
Inhaltsverzeichnis.
§ 28. Statisches Gravitationsfeld. Zusammenhang mit der Erfahrung. 207
§ 29. Gravitationswellen . . . . . . . . . . 213
§ 30. Strenge Lösung des Einkörperproblems . . . . 217
§ 31. Weitere strenge Lösungen des statischen Gravitationsproblems . 223
§ 32. Gravitationsenergie. Die Erhaltungssätze . . . . . . . . . . 231
§ 33· Über die Zusammenhangsverhältnisse der Welt im Großen. . 235
§ 34· Die Weltmetrik als Ursprung der elektromagnetischen Erscheinungen 242
§ 3 5· Materie, Mechanik und mutmaßliches Weltgesetz 253
Literatur •• 264
Sachregister 268
Die Formeln sind in jedem Kapitel durchnumeriert. Formelverweise beziehen sich,
wenn nichts ®deres bemerkt ist, jeweils auf das gleiche Kapitel.
Einleitung.
Wir pflegen Zeit und Raum als die Existenzformen der realen Welt,
die Materie als ihre Substanz aufzufassen. Ein bestimmtes Materiestück
erfüllt in einem bestimmten Zeitmoment einen bestimmten Raumteil: in
der daraus resultierenden Vorstellung der Bewegung gehen jene drei
Grundbegriffe die innigste Verbindung ein. Von Descartes wurde es als
Programm der exakten Naturwissenschaft aufgestellt, alles Geschehen von
diesen Grundbegriffen aus zu konstruieren und damit auf Bewegung zu
rückzuführen. - Die tiefe Rätselhaftigkeit des ZeitbewufJtseins, des zeit
lichen Ablaufs der Welt, des Werdens ist vom menschlichen Geist, seit
er zur Freiheit erwachte immer empfunden worden; in ihr liegt eines
1
jener letzten metaphysischen Probleme, um dessen Klärung und Lösung
Philosophie durch die ganze Breite ihrer Geschichte unablässig gerungen
hat. Der Raum ward durch die Griechen zum Gegenstand einer Wissen
schaft von höchster Klarheit und Sicherheit. An ihm hat sich in der
antiken Kultur die Idee der reinen Wissenschaft entfaltet, die Geometrie
wurde zu einer der mächtigsten Kundgebungen des jene Kultur beseelen
den Prinzips der Souveränität des Geistes. An die Geometrie hat sich,
als die kirchlich-autoritative Weltanschauung des Mittelalters in die Brüche
ging und die Wogen des Skeptizismus alles Feste binwegzureißen drohten,
der. Wahrheitsglaube wie an einen Fels geklammert; und es konnte als
das höchste Ideal aller Wissenschaft aufgestellt werden, »more geometricoc
betrieben zu werden. Was endlich die Materie betrifft, so glaubten wir
zu wissen, daß aller Veränderung eine Substanz, eben die Materie, zu
grunde liegen müsse, daß jedes Stück der Materie als ein Quantum sich
messen lasse und ihr Substanzcharakter seinen Ausdruck finde in dem
Gesetz von der Erhaltung des in allen Veränderungen sich gleich blei
benden Materiequantums. Dieses unser bisheriges Wissen von Raum und
Materie, durch die Philosophie vielfach als apriorische Erkenntnis von un
bedingter Allgemeinheit und Notwendigkeit in Anspruch genommen, ist
heute vollständig ins Wanken geraten. Nachdem die Physik unter den
Händen Faradays und Maxwells der Materie als eine Realität anderer
Kategorie das Feld gegenübergestellt hatte, nachdem auf der andern Seite
die Mathematik durch ihre logische Minierarbeit im letztvergangenen Jahr
hundert in aller Heimlichkeit das Vertrauen in die Evidenz der Eukli-'
diseben Geometrie untergraben hatte, kam in unsern Tagen der revolu
tionäre Sturm zum Ausbruch, der jene Vorstellungen über Raum, Zeit
W e y l, Rn um, Zeit, Materie. 3· Autl.
Einleitung.
2
und Materie, welche bis dahin als die festesten Stützen der Naturwissen
schaft gegolten hatten, stürzte; doch nur, um Platz zu schaffen für eine
freiere und tiefere Ansicht der Dinge. Diese Umwälzung wurde im we
sentlichen vollzogen durch die Gedankenarbeit eines einzigen Mannes,
Albert Einstein. Heute scheint die Entwicklung, was die Grundideen
betrifft , zu einem gewissen Abschluß gekommen zu sein; doch einerlei
ob wir bereits vor einem neuen Definitivum stehen oder nicht - auf
jeden Fall muß man sich mit dem Neuen, das da emporgekommen ist,
auseinandersetzen. Auch gibt es kein Zurück; die Entwicklung des wissen
schaftlichen Gedankens mag über das jetzt Erreichte abermals hinaus
gehen, aber eine Rückkehr zu dem alten engen und starren Schema ist
ausgeschlossen.
An den Problemen, die hier aufgeworfen werden, haben Philosophie,
Mathematik und Physik ihren Anteil. Uns soll aber vor allem die mathe
matisch-physikalische Seite der Fragen beschäftigen; auf die philo
sophische werde ich nur ganz nebenher eingehen, aus dem einfachen
Grunde, weil in dieser Richtung etwas irgendwie Endgültiges bisher nicht
vorliegt und ich selber auch nicht imstande bin, auf die hergehörigen
erkenntnistheoretischen Fragen solche Antworten zu geben, die ich vor
meinem Erkenntnisgewissen voll verantworten könnte. Die Ideen, welche
es hier darzustellen gilt, sind nicht aus einer spekulativen· Versenkung
in die Grundlagen physikalischer Erkenntnis hervorgegangen, sondern
haben sich im Ausbau der lebendig vorwärts drängenden Wissenschaft,
der die alte Schale zu eng :-vurde, an konkreten physikalischen Problemen
entwickelt; eine Revision der Prinzipien wurde jedesmal erst nachträglich
vollzogen und nur so weit, als es gerade die neu aufgetauchten Ideen er
heischten. Wie die Dinge heute liegen, bleibt den Einzelwissenschaften
nichts anderes übrig, als in diesem Sinne dogmatisch zu verfahren, d. h.
in gutem Glauben den Weg zu gehen, auf den sie durch vernünftige,
im Rahmen ihrer eigentümlichen Methoden emporkommende Motive ge
drängt werden. Die philosophische Klärung bleibt eine große Aufgabe
von völlig ~nderer Art, als sie den Einzelwissenschaften zufällt; da sehe
nun der Philosoph zu; mit den Kettengewichten der in jener Aufgabe
liegenden Schwierigkeiten behänge und behindere man aber nicht das
Vorwärtsschreiten der konkreten Gegenstandsgebieten zugewandten Wissen
schaften.
Gleichwohl beginne ich mit einigen philosophischen Erörterungen. Als
Menschen in der natürlichen Einstellung, in der wir unser tägliches Leben
führen, stehen uns in Akten der Wahrnehmung leibhaftig wirkliche Körper
dinge gegenüber. Wir schreiben ihnen reale Existenz zu und wir nehmen
sie hin als prinzipiell so beschaffen, so gestaltet, so gefarbt usw. wie
1
sie uns da in der Wahrnehmung erscheinen (prinzipiell, d. h. vorbehalt
lich aller als möglich zugegebenen Sinnestäuschungen, Spiegelungen,
Träume, Halluzinationen usf.). Sie sind umgeben und durchsetzt von
einer ins Unbestimmte verschwimmenden Mannigfaltigkeit analoger Wirk-