Raum · Zeit · Materie: Vorlesungen über Allgemeine Relativitätstheorie

346 Pages·1923·13.09 MB·German

by  Hermann Weyl (auth.)

RAUM· ZEIT· MATERIE
VORLESUNGEN VBER
ALLGEMEINE RELAT IVITA T STHEORIE
VON
HERMANN \iVEYL
FUNFTE, UMGEARBEITETE AUFLAGE
MIT 23 TEXTFIGUREN
BERLIN
VERLAG VON JULIUS SPRINGER
1923
ISBN-l3: 978-3-642-98139-5 e-ISBN-13: 978-3-642-98950-6
DOl: 10.1007/978-3-642-98950-6
ALLE RECHTE, INSBESONDERE DAS DER UBERSETZUNG IN FREMDE SPRACHEN,
VORBEHALTEN.
COPYRiGHT BY JULIUS SPRINGER IN BERLIN.
SOFTCOVER REPRINT OF THE HARDCOVER 5TH EDITION 1923
MEINER FRAU GEWIDMET
Aber ins l\Iondlicht steigen heraut die zerbrochenen Saulen
Und die Tempeltore, die einst der furchtbare traf, der geheime
Geist der Unruh, cler in der Brust der Erd und der 1Ienschen
Ziirnet und g~irt, der Unbezwungne, der alte Eroberer.
Der die Stadte wie Lammer zerrel.Gt, der einst den Olympus
Stiirmte, der in den Bergen sich regt und Flamm en herauswirft,
Der die Walder entwurzelt und durch den Ozean hinfahrt,
Und die Schiffe zerschliigt, und doch in der ewigen Ordnllog
NiemaIs irre dich macht, auf der Tafel deiner Gesetze
Keine Silbe verwischt, cler auch dein Sohn, 0 Natur, ist,
mit clem Geiste der Ruh aus Einem Schone geboren.
H51derlil1 Die Mulle.
Vorwort zur fiinften Auflage.
Mit der Einsteinschen Re1ativitatstheorie hat das menschliche Denken
uber den Kosmos eine neue Stufe erklommen. Es ist, als ware pltitzlich
eine Wand zusammengebrochen, die lms von cler Wahrheit trennte: nun
liegen Weiten uncl Tiefen vor unserm Erkenntnisblick entriegelt cla, deren
Moglichkeit wir vorher nicht einmal ahnten. Der Erfassung cler Vernunft,
weIche dem physischen Weltgeschehen innewohnt, sind wir einen gewaltigen
Schritt naher gekommen.
Dies Buch ging aus Vorlesungen hervor, clie ich im Sommersemester
1917 an der Eidgenossischen Technischen Hochschule Zurich gehalten
habe, und erschien zum ersten Male Fruhjahr 1918. Es lockte mich,
an dies em groBen Thema ein Beispiel zu geben fUr clie gegenseitige Durch
dringung philosophischen, mathematischen und physikalischen Denkens.
Damals war die Re1ativitatstheorie nur erst im Kreise der Zunft, derer,
die Uiglich mit Integral und Fe1dsUirke umgehen, bekannt. Seither ward
sie popular wie seIten eine wissenschaftliche Theorie und zum Gegenstand
leidenschaftlicher, nicht immer sachlichen Grunden entspringencler Partei
nahme. Trotz mancher minder schonen Zuge, die dabei in Erscheinung
traten, und ohne naher zu untersuchen, wie weit das wirkliche Verstandnis
geht, auf welches die Relativitatstheorie in der »offentlichen Meinung«
gestoBen ist, scheint es mir im ganzen doch eine auBerordentlich erfreuliche
Tatsache zu sein, daB tiefe Erkenntnisprobleme bei unsern vielverschrieenen
Zeitgenossen so lebendiges Interesse zu erregen vermochten. Der Theorie
hat weder. ihre Popularitat noeh die Kritik geschadet; beide haben nur
clazu geflihrt, ihren gedanklichen Aufbau immer einfacher lmd deutlieher
herauszustellen. Die Literatur uber Relativitatstheorie ist in den letzten
Jahren ins Unubersehbare gewachsen; an guten Darstellungen fUr aIle
Stufen der mathematisch-physikalischen Vorbildung ist heute kein Mangel.
Ich erwiihne hier nur von Werken deutscher Spraehe das an einen breiteren
Kreis sich wendende prachtvoIle Buch von Born »Die Relativitatstheorie
Einsteins und ihre physikalischen Grundlagen« (in 3. Auflage 1922 erschienen
uei Julius Springer) und den meisterhaften Artikel in der Encyklopaclie
cler Mathematischen Wissenschaften (V 19) von W. Pauli jr. Daneben,
hoffe ich, wird auch cliese Darstelhmg flir das systematische Studinm
weiter ihren Wert behalten und ihre Leser finden, obschon sie vor den
GenuB der Erkenntnisfrucht den SchweiB des Tensorkalktils gesetzt hat.
An dieser Anordnung habe ich auch' in der neuen Ausgabe nichts
geandert. War es doch meine Absicht gewesen, nicht bloB eine DarsteIlung
der Relativitatstheorie zu geben, sondern das ganze Problem von Raum
und Zeit zu entrollen, wie es sich in der Geschichte von Mathematik
und Physik entwickelt hat; und da ist die Mathematik vorangegangen!
So ist namentlich das II. KapiteI nicht mehr aIs Vorbereitung zu betrachten.
sondern steht schon mitten im Thema selbst. AuBerdem soIl ten hier aUe
VI Vorwort.
Mittel an die Hand gegeben werden, die notig sind, urn auf Sehritt und
Tritt den Ubergang voHziehen zu konnen von den allgemeinen Ideen zur
begrifflieh strengen Fassung der Theorie und zur konkreten Anwendung
auf Einze1probleme. Trotzdem verleugnet das Bueh nieht seine philo
sophisehe GrundeinsteHung: auf die gedankliche Analyse kommt es
ihm an; die Physik liefert die Enfahrungsgrundlage, die Mathematik das
seharfe Werkzeug. In der neuen Ausgabe ist diese Tendenz noeh ver
stiirkt worden; zwar das Geranke der Spekulation wurde besehnitten, aber
die tragenden Grundgedanken wurden ansehaulieher, sorgfaltiger und voH
standiger herausgearbeitet und zergliedert. So erwahne ieh: den neu
eingefUhrten § 12 iiber Paralle1versehiebung und Kriimmung; die genaue
Analyse der Grundlagen der speziellen und der allgemeinen Relativitats
theorie in § 23 und § 29. Vor aHem ist die Meehanik ganz anders zur
Geltung gekommen (§§ 27 und 37, 38). Endlich habe ieh versueht, sovie1
Klarheit in das Bewegungsproblem zu bringen, als es bei dem heutigen
Stand unserer Kenntnisse moglieh ist (§§ 36, 39). Es erseheint mir ver
fehlt, die allgemeine Relativitatstheorie von Ursprung her unloslieh mit
einer Kosmologie zu verquieken, welche die Weltmassen fUr die Tragheit
verantwortlieh maeht. Denn das ist eine Hypothese, deren DurehfUhrbarkeit
heute durehaus nieht erwiesen ist. Aueh hat man nieht immer geniigend
beaehtet, daJ3 auf dem Standpunkt der allgemeinen Relativitat der Begriff
der relativen Hewegung zweier Korper zueinander nieht minder bedeutungslos
ist als der der absoluten Bewegung eines einzigen. Den eigentliehen
physikalisehen Inhalt der Einsteinsehen Theorie moehte ieh so formulieren:
Die Bewegung eines Korpers kommt dynamiseh zustande dureh den Kampf
~wisehen Kraft und Fuhrung; das Fiihrungsfeld ist eine mit der Materie
in Weehselwirkung stehende Realitat; die Gravitation gehort zur Fiihrung
und nieht zur Kraft. Meine Auffassung d~s VerhaItnisses von Feld und
Materie, welche Raum sehafft fUr die quantentheoretiseh-statistisehe Physik
der Materie, habe ieh konsequenter der Miesehen Feldtheorie gegeniiber
gestellt, als es in der 4. Allflage geschehenwar; die Benutzung .fingierter
Felder« zur AusfUllung des Gebietes, in dem ein materielles Teilchen sich
befindet, erweist sich als eine bequem zu handhabende und durchsehlagende
Methode (§ 38). Die gruppentheoretische Untersuchung der Raumstruktur
ist in Kapitel II nur fliichtig beriihrt worden; in dieser Hinsieht verweise
ich zur Erganzung auf meine spanisehen Vorlesungen iiber die • Mathe
matische Analyse des Rallmproblemsc, welche von dem Institut d'Estlldis
Catalans (Barcelona) herausgegeben werden (sie werden wahrscheinlich aneh
in deutscher Sprache erscheinen).
Von der 4. Auflage dieses Huches ist eine franzosische und eine englisehe
Ubersetzung herausgekommen. Die erste ist allerdings stellenweise so »frei«,
daB ieh mich genotigt sehe, fUr ihren Inhalt jede Verantwortung abzulehnen.
Ziirieh, Herbst 1922. H. Weyl.
Inhaltsverzeichnis.
Seile
Einleitun g . .
1. Kap. Der Euklidische Raum: seine mathematischc Formalisierung
und seine Rolle in der Physik.
~ 1. Herleitung der elementaren Raumbegriffe aus dem der Gleichheit. . . ., 10
§ 2. Grundlagen der affinen Geometrie • . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
§ 3. Idee der n-dimensionalen Geometrie. Lineare Algebra. Quadratische Formen 20
§ 4. Grundlagen der metrischen Geometrie 24
§ 5. Tensoren. . . . . . . . . . . . . 30
§ 6. Tensoralgebra. Beispiele . . . . . . 38
§ 7. Symmetrie-Eigenschaften der Tensoren 48
§ 8. Tensoranalysis. Spannungen . . 51
§ 9. Das stationare elektromagnetische Feld . 57
II. Kap. Das metrische Kontinuum.
§ 10. Bericht tiber Nicht-Euklidische Geometrie . 71
§ 11. Riemannsche Geometrie. . . . . • • . . 77
§ 12. Parallelverschiebung und Kriimmung . . . 88
§ 13. Die Homogeneitatsfrage. Das Wesenhaft-Absolute und uas Vcrandcrlich-
Zufallige an der Raumstruktur . . . . . . • . 98
§ 14. Tensoren und Tensordichten in einer beliebigen Mannigfaltigkeit. 104
§ IS. Affin zusammenhangende Mannigfaltigkeit . 1I3
§ 16. Kriimmung . . . . .. ...... Il7
§ 17. Der metrische Raum .. ...... 121
§ 18. Beispielc zur Tensorrechnung. Kiirzestc Linieu ill! Riemannschen Raut1l 128
§ lC). Cruppentheoretische Auffassung der Raummetrik . 136
IlL. Kap. l{elativiUlt von Raum und Zeit.
§ 20. Das (;alileische Relativitatsprinzip . . 141
§ 21. Elektrodynamik zeitlich veranderlicher Felder. Lorentzsches Relativitats-
theorem
§ 22. Das Einsteinsche Relativitatsprinzip. .
§ 23. Analyse des Relativitatsprinzips. Die Zerspaltung der Welt in Raum und
Zeit als Projektion. . . . . . . . 166
§ 24. Relativistische Geometrie, Kinematik und Optik . 175
§ 25. Elektrodynamik bewegter Korper. . . . . 183
§ 26. Grundgesetz der Mechanik. Hamiltonsches Prinzip. 190
§ 27. Impuls, Energie und Masse 197
§ 28. Die Miesche Theorie. 210
Schlufibemerkungen. . . 218
Vlll Inhaltsycrzeichnis.
Seite
IV. Ka p. All g emc inc R e la tiv i tat sth eorie.
§ 29. Relativitat der Bewegung, metrisches Feld und Gravitation 2 I 9
§ 30. Einsteins Grundgesetz der Gravitation .. . . . . . 229
Ii 31. Statisches Gravitationsfeld. Zusaml11cnhang mit del' Erfahl'ung 239
~ 32. Gravitationswellen . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Ii 33. Statisches kugelsymmetrisches Feld il11 leeren Raum 250
Ii 34. Lichtstrahlen und Planeten im Gravitationsfeld der Sonne 258
§ 35. vVeitere strenge Losungen des statischen Gravitationsproblems . 262
§ 36. Kompass nnd Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
§ 37. Gravitationsenergie. Schwere und gravitationsfelderzeugendc l\lassc. 1.]I
§ 38. Die mechanischen Gruudgcsetzc. Feld nne! Materic . . . ::.77
S 39. tber die Zusammenhangsverhaltuisse der Welt im Grollen ;E.osmologie) zSj
§ 40. Das elektromagnetische Feld als llestandteil des metrischon. . . 29S
§ 41. Die Invarianzeigenschaften und die differentiellen Erhaltungssatze. 308
Anhang 1. Invarianten der Riemannschen Geometrie. 3 I 8
Anhaug II. Geodatische Prazession. . . . . 320
Anhang III. Rotverschiebung und Kosl11ologie 322
Anhang IV. Weltgeometrische Erweiterungen der Einsteinschen Theorie. 323
Literatur.
Sachverzeiehnis 332
Die Fonneln sind in jedem Kapitel durchnul11cricrt. Fonlleh"erwcise be~iehcll
wenn niehts anderes bemel'kt ist, jeweils auf clas gleiehe l":apitel.
Einleitung.
Wir pflegen Zeit und Raum als die Existenzjormen der realen Welt,
die Matene als ihre Substanz aufzufassen. Ein bestimmtes Materiestiick
erfiillt in einem bestimmten Zeitmoment . einen bestimmten Raumteil: in
der daraus resultierenden· Vorstellung der Bewegunggehen jene drei
Grundbegriffe die innigste Verbindung ein. Von Descartes wurde es als
Programm der exakten Naturwissenschaft aufgestellt, alles Geschehen von
diesen Grundbegriffen aus zu konstruieren und damit auf Bewegung zu
riickzufiihren. - Die tiefe Ratselhaftigkeit des Zeitbewufttseins, des zeit
lichen Ablaufs der Welt, des Werdens, ist vom menschlichen Geist, seit
er zur Freiheit erwachte, immer empfunden worden; in ihr liegt eines
jener letzten metaphysischen Probleme, urn dessen Klarung und Losung
Philosophie durch die ganze Breite ihrer Geschichte unablassig gerungen
hat. Der Raum ward durch die Griechen zum Gegenstand einer Wissen
schaft von hochster Klarheit und Sicherheit. An ihm hat sich in der
antiken Kultur die Idee der rein en Wissenschaft entfaltet, die Geometrie
wurde zu einer der machtigsten Kundgebungen des jene Kultur beseelen
den Prinzips der Souveranitat des Geistes. An die Geometrie hat sich,
als die kirchlich-autoritative Weltanschauung des Mittelalters in die Briiche
ging und die Wogen des Skeptizismus alles Feste hinwegzureiJ3en drohten,
der Wahrheitsglaube wie an einen Fels geklammert; und es konnte als
das hochste Ideal aller Wissenschaft aufgestellt werden, .more geometrico«
betrieben zu werden. Was endlich die Matene betrifft, so glaubten wir
zu wissen, daB aller Veranderung eine Substanz, eben die Materie, zu
grunde liegen miisse, daJ3 jedes Stiick der Materie als ein Quantum sich
messen lasse und ihr Substanzcharakter seinen Ausdruck finde in dem
Gesetz von der Erhaltung des in allen Veranderungen sich gleich blei
benden Materiequantums. Dieses unser bisheriges Wissen von Raum uncl
Materie, durch die Philosophie vielfach als apriorische Erkenntnis von un
bedingter Aligemeinheit und Notwendigkeit in Anspruch genommen, ist
heute vollstandig ins Wanken geraten. Nachdem die Physik unter den
Randen Faradays und Maxwells der Materie als eine Realitat anderer
Kategorie das Feld gegeniibergestellt hatte, nachdem auf der andem Seite
die Mathematik durch ihre logische Minierarbeit im letztvergangenen Jahr
hundert in aller Reimlichkeit das Vertrauen in .d ie Evidenz der Eukli
dischen Geometrie untergraben hatte, kam in unsem Tagen der revolu
tionare Sturm zum Ausbruch, der jene Vorstellungen iiber Raum, Zeit
Weyl, Raum, Zeit, Materie. 5. Auf!.
2 Einleitung.
und Materie, welche bis dahin als die festesten Stiitzen der Naturwissen
schaft gegolten hatten, stiirzte; doch nur, um Platz zu schaffen flir eine
freiere und tiefere Ansicht der Dinge. Diese Umwruzung wurde im we
sentlichen vo11zogen durch die Gedankenarbeit eines einzigen Mannes,
Albert Einstein. Reute scheint die Entwicklung, was die Grundideen
betrifft, zu einem gewissen AbschluB gekommen zu sein; doch einerlei
ob wir bereits vor einem neuen Definitivum stehen oder nicht - auf
jeden Fall mu13 man sich mit dem Neuen, das da emporgekommen ist,
auseinandersetzen. Auch gibt es kein Zuriick; die Entwicklung des wissen
schaftlichen Gedankens mag iiber das jetzt Erreichte aberrnals hinaus
gehen, aber eine· Riickkehr zu dem alten engen und starren Schema ist
ausgeschlossen.
An den Problemen, die hier aufgeworfen werden, haben Philosophie,
Mathematik und Physik ihren Anteil. Uns solI aber vor aHem die mathe
matisch-physikalische Seite der Fragen beschaftigen; auf die philo
sophische werde ich nur ganz nebenher eingehen, aus dem einfachen
Grunde, weil in dieser Richtung etwas irgendwie Endgiiltiges bisher nicht
vorliegt und ich seIber auch nicht imstande bin, auf die hergehOrigen
erkenntnistheoretischen Fragen solche Antworten zu geben, die ich vor
meinem Erkenntnisgewissen voll verantworten konnte. Die Ideen, welche
es hier darzustellen gilt, sind nicht aus einer spekulativen Versenkung
in die Grundlagen physikalischer Erkenntnis hervorgegangen, sondern
haben sich im Ausbau der lebendig vorwarts drangenden Wissenschaft,
der die alte Schale zu eng wurde, an konkreten physikalischen Problemen
entwickelt; eine Revision der Prinzipien wurde jedesmal erst nachtraglich
vollzogen und nur so weit, als es gerade die neu aufgetauchten Ideen er
heischten. Wie die Dinge heute liegen, bleibt den Einzelwissenschaften
nichts anderes iibrig, als in diesem Sinne dogma tisch zu verfahren, d. h.
in gutem Glauben den Weg zu gehen, auf den sie durch verniinftige,
im Rahmen ihrer eigentiimlichen Methoden emporkommende Motive ge
drLingt werden. Die philosophische Klarung bleibt eine groBe Aufgabe
von vollig anderer Art, als sie den Einzelwissenschaften zufallt; da sehe
nun der Philosoph zu; mit den Kettengewichten der in jener Aufgabe
liegenden Schwierigkeiten behange und behindere man aber nicht das
V o'rwartsschreiten der konkreten Gegenstandsgebieten zugewandten Wissen
schaften.
Gleichwohl beginne ich mit einigen philosophisclzen Erorterungen. Als
Menschen in der natiirlichen Einstellung, in der wir unser tagliches Leben
fiihren, stehen uns in Akten der Wahrnehmung leibhaftig wirkliche Korper
dinge gegeniiber. Wir schreiben ihnen reale Existenz zu und wir nehmen
sie hin als prinzipiell so beschaffen, so gestaltet, so gefarbt usw., wie
sie uns da in der Wahrnehmung erscheinen (prinzipiell, d. h. vorbehalt
lich aller als moglich zugegebenen Sinnestauschungen, Spiegelungen.
Traume, Ralluzinationen usf.). Sie sind umgeben und durchsetzt von
einer ins Unbestimmte verschwimmenden Mannigfaltigkeit analoger Wirk-