Table Of ContentRAUM· ZEIT· MATERIE
VORLESUNGEN ÜBER
ALLGEMEINE RELATIVITÄTSTHEORIE
VON
HERMANN WEYL
VIERTE, ERWEITERTE AUFLAGE
MIT 15 TEXTFIGUREN
SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH
1921
ISBN 978-3-662-01749-4 ISBN 978-3-662-02044-9 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-02044-9
Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen,
vorbehalten.
Copyright 1921 by Springer-Verlag Berlin Heidelberg
Ursprünglich erschienen bei Julius Springer in Berlin 192.1
Meiner Frau gewidmet
Aus dem Vorwort zur ersten Auflage.
Mit der Einsteinsehen Relativitätstheorie hat das menschliche Denken
über den Kosmos eine neue Stufe erklommen. Es ist, als wäre plötzlich
eine Wand zusammengebrochen, die uns von der Wahrheit trennte: nun
liegen Weiten und Tiefen vor unserm Erkenntnisblick entriegelt da, deren
Möglichkeit wir vorher nicht einmal ahnten. Der Erfassung der Vernunft,
welche dem physischen Weltgeschehen innewohnt, sind wir einen gewaltigen
Sclp-itt näher gekommen.
Wenngleich in jüngster Zeit eine ganze Reihe mehr oder minder populärer
Einführungen in die allgemeine Relativitätstheorie erschienen ist, mangelte
es doch bislang an einer systematischen Darstellung. Darum hielt ich es
für angezeigt, die vorliegenden, von mir im Sommersemester I 9 I 7 an der
Eidgen. Technischen Hochschule Zürich gehaltenen Vorlesungen heraus
zugeben. Zugleich wollte ich an diesem großen Thema ein Beispiel geben
für die gegenseitige Durchdringung philosophischen, mathematischen und
physikalischen Denkens, die mir sehr am Herzen liegt; dies konnte nur
durch einen völlig in sich geschlossenen Aufbau von Grund auf gelingen,
der sich durchaus auf das Prinzipielle beschränkt. Aber ich habe meinen
eigenen Forderungen in dieser Hinsicht nicht voll Genüge tun können: der
Mathematiker behielt auf Kosten des Philosophen das Übergewicht.
Die beim Leser vorausgesetzten Vorkenntnisse beschränken sich auf
ein Minimum. Nicht nur die spezielle Relativitätstheorie ist ausführlich
abgehandelt, sogar Maxwellsehe Theorie und analytische Geometrie sind
kurz, unter Herausarbeitung der wesentlichsten Züge, entwickelt. Das lag
im Plane des Ganzen. Die Begründung des Tensorkalküls - durch den
allein die in Frage stehenden physikalischen Erkenntnisse ihren naturgemäßen
Ausdruck finden können - nimmt einen verhältnismäßig breiten Raum
ein. So wird das Buch hoffentlich geeignet sein, den Physikern dieses
mathematische Hilfsmittel vertrauter zu machen und zugleich als Lehrbuch
unter der studierenden Jugend flir die neuen Ideen zu wirken!
Den Herren Bär und Hiltbrunner bin ich, dem einen für Korrektur
hilfe, dem andern für Anfertigung der Figuren, zu Dank verpflichtet; dem
Verlage für die unter den heutigen Umständen bewundernswerte rasche
Drucklegung und gute Ausstattung des Buches.
Ribnitz in Mecklenburg, Ostern 19I8.
Vorwort zur dritten Auflage.
Obschon dies Buch die Frucht der Erkenntnis in harter Schale bietet,
ist es doch manchem, wie mir verschiedene Zuschriften zeigten, ein Trost
büchlein in wirrer Zeit gewesen; ein Aufblick aus dem Trümmerfeld der
uns unmittelbar bedrängenden Gegenwart zu den Sternen, das ist: der
unzerbrechlichen Welt der Gesetze; Bekräftigung des Glaubens an die
Vernunft und eine alle Erscheinungen umspannende, nie gestörte, nie zu
störende »harmonia mundi«.
Den Zusammenklang noch reiner zu stimmen, ist mein Bestreben in
der neuen, dritten Auflage gewesen. Während die zweite ein unveränderter
Abdruck der ersten war - bis auf die Korrektur eines Versehens auf
pag. 183 -, habe ich jetzt eine gründliche Umarbeitung vorgenommen,
von der vor allem das Il. und III. Kapitel betroffen wurden. Die von
Herrn Levi-Civita im Jahre I9I7 gemachte Entdeckung des Begriffs der
infinitesimalen Parallelverschiebung gab den Anstoß zu einer erneuten Unter
suchung der mathematischen Grundlagen der Riemannschen Geometrie. Der
hier in Kapitel II gegebene Aufbau der reinen Infinitesimalgeometrie, bei
welchem sich jeder Schritt in voller Natürlichkeit, Anschaulichkeit und
Notwendigkeit vollzieht, ist, glaube ich, das in allen wesentlichen Stücken
endgültige Ergebnis dieser Untersuchung. Einige Unvollkommenheiten, welche
meiner ersten Darstellung in der Mathematischen Zeitschrift (Bd. 2, I 9 I 8)
noch anhafteten, sind beseitigt worden. Das IV. Kapitel, dessen Hauptteil
der Einsteinsehen Gravitationstheorie gewidmet ist, hat zunächst durch
Berücksichtigung der in der Zwischenzeit erschienenen wichtigeren Arbeiten,
namentlich derjenigen, welche sich auf das Energie-Impulsprinzip beziehen,
eine ziemlich tiefgreifende Umgestaltung erfahren. Dann aber ist eine neue,
vom Verfasser herrührende Theorie hinzugefügt worden, welche aus der
in Kapitel II vollzogenen Erweiterung der geometrischen Grundlage über
den Riemannschen Standpunkt hinaus die physikalischen Konsequenzen
zieht und sich anheischig macht, aus der Weltgeometrie nicht nur die
Gravitations-, sondern auch die elektromagnetischen Erscheinungen abzu
leiten. Steckt diese Theorie auch gegenwärtig noch in den Kinderschuhen,
so bin ich doch überzeugt, daß ihr der gleiche Wahrheitswert zukommt
wie der Einsteinsehen Gravitationstheorie- mag nun dieser Wahrheits
wert ein unbegrenzter sein oder, wie es wohl wahrscheinlicher ist, begrenzt
werden müssen durch die Quantentheorie. -
Herrn Weinstein danke ich fÜI seine mir bei der Durchsicht der
Korrekturbogen gewährte Hilfe.
Acla Pozzoli bei Samaden, August I9I9·
Vorwort zur vierten Auflage.
Das Buch hat in der neuen Auflage im ganzen diejenige Gestalt bewahrt,
die ich ihm in der vorigen gegeben hatte; doch erfuhr es im einzelnen
mancherlei Änderungen und Zusätze. Die wichtigeren derselben seien hier
namhaft gemacht. I. Dem II. Kapitel ist ein Paragraph hinzugefügt worden,
in welchem das Raumproblem eine tiefere gruppentheoretische Formulierung
findet; es handelt sich darum, die innere Notwendigkeit und Einzigartig
keit der auf einer quadratischen Differentialform beruhenden Pythagoreischen
Raummetrik zu begreifen. 2. Der Grund dafür, daß Einstein zwangsweise
zu eindeutig bestimmten Gravitationsgleichungen geführt wurde, liegt darin,
daß der Krümmungsskalar die einzige Invariante im Riemannschen Raum
von gewissem Charakter ist; für diesen Satz ist ein Beweis im Anhang
skizziert worden. 3· Im IV. Kapitel werden die neueren experimentellen
Untersuchungen zur allgemeinen Relativitätstheorie berücksichtigt, insbe
sondere die Beobachtungen der Lichtablenkung durch das Gravitationsfeld
der Sonne bei Gelegenheit der Sonnenfinsternis vom 29. Mai 1919, deren
Ergebnisse jüngst das Interesse der weitesten Kreise für die Relativitäts
theorie so mächtig angeregt haben. 4· Der Miesehen Auffassung der
Materie stelle ich eine andere gegenüber (siehe namentlich § 32 und § 36),
nach welcher die Materie als Grenzsingularität des Feldes erscheint, Ladung
und Masse aber als Kraftflüsse im Felde. Damit ist eine veränderte und
vorsichtigere Stellungnahme zu dem ganzen Problem der Materie ver
bunden.
Für den Hinweis auf kleinere wünschenswerte Ausbesserungen bin
ich manchem bekannten und unbekannten Leser, für Durchsicht der
Korrekturbogen Herrn Prof. Nielsen (Breslau) zu Dank verbunden.
Zürich, November rgzo. Hermann Weyl.
Inhaltsverzeichnis.
Seite
Einleitung . .
Kap. I. Der Euklidische Raum: seine mathematische Formalisierung
und seine Rolle in der Physik.
§ I. Herleitung der elementaren Raumbegriffe aus dem der Gleichheit. . . . . 10
§ 2. Grundlagen der affinen Geometrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
§ 3· Idee der n-dimensionalen Geometrie. Lineare Algebra. Quadratische Formen 20
§ 4· Grundlagen der metrischen Geometrie 24
§ 5· Tensoren . . . ." . . . . . . . . . 30
§ 6. Tensoralgebra. Beispiele . . . . . . 38
§ 7· Symmetrie-Eigenschaften der Tensoren 48
§ 8. Tensoranalysis. Spannungen . . . . 5 I
§ 9· Das stationäre elektromagnetische Feld. 57
Kap. II. Das metrische Kontinuum.
§ 10. Bericht über Nicht-Euklidische Geometrie . . . . 68
§ II. Riemannsche Geometrie. . . . . • . . . . . . . . . . 75
§ 12. Fortsetzung. Dynamische Auffassung der Metrik ..... 85
§ 13. Tensoren und Tensordichten in einer beliebigen Mannigfaltigkeit. 92
§ 14. Affin zusammenhängende Mannigfaltigkeit . 100
§ 15. Krümmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
§ 16. Der metrische Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
§ 17. Bemerkungen über den Spezialfall des Riemannschen Raums. II7
§ 18. Gruppentheoretische Auffassung der Raummetrik . . . . . . 124
Kap. 111. Relativität von Raum und Zeit.
§ 19. Das Galileische Relativitätsprinzip . . . . . . . . . . . . . 134
§ 20. Elektrodynamik zeitlich veränderlicher Felder. Lorentzsches Relativitäts-
theorem ........... .
§ 21. Das Einsteinsehe Relativitätsprinzip.
§ 22. Relativistische Geometrie, Kinematik und Optik
§ 23. Elektrodynamik bewegter Körper.
§ 24. Mechanik des Relativitätsprinzips.
§ 25. Masse und Energie. .
§ 26. Die Miesehe Theorie .
Schlußbemerkungen . . . .
Kap. IV. Allgemeine Relativitätstheorie.
§ 27. Relativität der Bewegung, metrisches Feld und Gravitation 197
§ 28. Einsteins Grundgesetz der Gravitation . . . . . . . . . . . 208
Inhaltsverzeichnis. IX
§ 29. Statisches Gravitationsfeld. Zusammenhang mit der Erfahrung . 218
§ 30. Gravitationswellen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
§ 31. Strenge Lösung des Einkörperproblems. . . . . . . . . . . 229
§ 32. Weitere strenge Lösungen des statischen Gravitationsproblems. 236
§ 33· Gravitationsenergie. Die Erhaltungssätze . . • . . . . . . . 244
§ 34· Über die Zusammenhangsverhältnisse der Welt im Großen. . . 248
§ 35· Die Weltmetrik als Ursprung der elektromagnetischen Erscheinungen . 256
§ 36. Durchführung des einfachsten Wirkungsprinzips. Die Grundgleichungen der
Mechanik . 268
Anhang I 285
Anhang II
Literatur .
Sachregister
Die Formeln sind in jedem Kapitel durchnumeriert. Formelverweise beziehen sieb,
wenn nichts anderes bemerkt ist, jeweils auf das gleiche Kapitel.
W e y I, Raum, Zeit, Materie. 4· Auf!.
Einleitung.
Wir pflegen Zeit und Raum als die Existenzformen der realen Welt,
die Materie als ihre Substanz aufzufassen. Ein bestimmtes Materiestück
erfüllt in einem bestimmten Zeitmoment einen bestimmten Raumteil: in
der daraus resultierenden Vorstellung der Bewegung gehen jene drei
Grundbegriffe die innigste Verbindung ein. Von Descartes wurde es als
Programm der exakten Naturwissenschaft aufgestellt, alles Geschehen von
diesen Grundbegriffen aus zu konstruieren und damit auf Bewegung zu
rückzuführen. - Die tiefe Rätselhaftigkeit des Zeitbewußtseins, des zeit
lichen Ablaufs der Welt, des Werdens, ist vom menschlichen Geist, seit
ei zur Freiheit erwachte, immer empfunden worden; in ihr liegt eines
jener letzten metaphysischen Probleme, um dessen Klärung und Lösung
Philosophie durch die ganze Breite ihrer Geschichte unablässig gerungen
hat. Der Raum ward durch die Griechen zum Gegenstand einer Wissen
schaft von höchster Klarheit und Sicherheit. An ihm hat sich in der
antiken Kultur die Idee der reinen Wissenschaft entfaltet, die Geometrie
wurde zu einer der mächtigsten Kundgebungen des jene Kultur beseelen
den Prinzips der Souveränität des Geistes. An die Geometrie hat sich,
als die kirchlich-autoritative Weltanschauung des Mittelalters in die Brüche
ging und die Wogen des Skeptizismus alles Feste binwegzureißen drohten,
der Wahrheitsglaube wie an einen Fels geklammert; und es konnte als
das höchste Ideal aller Wissenschaft aufgestellt werden, »more geometrico"
betrieben zu werden. Was endlich die Materie betrifft, so glaubten wir
zu wissen, daß aller Veränderung eine Substanz, eben die Materie, zu
grunde liegen müsse, daß jedes Stück der Materie als ein Quantum sich
messen lasse und ihr Substanzcharakter seinen Ausdruck finde in dem
Gesetz von der Erhaltung des in allen Veränderungen sich gleich blei
benden Materiequantums. Dieses unser bisheriges Wissen von Raum und
Materie, durch die Philosophie vielfach als apriorische Erkenntnis von un
bedingter Allgemeinheit und Notwendigkeit in Anspruch genommen, ist
heute vollständig ins Wanken geraten. Nachdem die Physik unter den
Händen Faradays und Maxwells der Materie als eine Realität anderer
Kategorie das Feld gegenübergestellt hatte, nachdem auf der andern Seite
die Mathematik durch ihre logische Minierarbeit im letztvergangenen Jahr
hundert in aller Heimlichkeit das Vertrauen in die Evidenz der Eukli
dischen Geometrie untergraben hatte, kam in unsern Tagen der revolu
tionäre Sturm zum Ausbruch, der jene Vorstellungen über Raum, Zeit
Weyl, Raum, Zeit, Materie. 4· Auf!,
