Raízes Unitárias - Uma Introdução

119 Pages·2015·1.52 MB·Portuguese

by  Artur C. B. da Silva Lopes

Raízes Unitárias – Uma Introdução
Artur C. B. da Silva Lopes
Versão 3.02, Setembro de 2014
Instituto Superior de Economia e Gestão
Universidade de Lisboa
2
Conteúdo
1 Introdução: motivações e aspectos preliminares 7
1.1 Estacionaridade vs. não estacionaridade: o caso do AR(1) . . . . . 8
1.2 Processo integrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Caracterização de séries I(0) e I(1) sem componentes determinísticos 14
1.4 Tendências nas séries económicas: “TSP” vs “DSP” . . . . . . . . 19
1.4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.2 Estacionarização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.3 Multiplicadores dinâmicos. A persistência dos choques ou
inovações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.4 Previsão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.5 Resumo e comentários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.6 A decomposição de Beveridge-Nelson . . . . . . . . . . . . . 31
1.5 Introdução aos processos de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.6 Regressões espúrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2 Processos de tendência determinística 53
2.1 Os casos mais simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2 O caso geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3 Estimação e inferência no caso I(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3 Testes DF de raiz unitária 59
3.1 Formas de apresentação de um processo de raiz unitária . . . . . . 59
3.2 Testes no contexto AR(1): testes DF . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 Regressores determinísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4 Testes DF no contexto AR(p) e ARMA: ADF . . . . . . . . . . . . 70
3.4.1 O teste ADF para o caso do AR(2) . . . . . . . . . . . . . . 70
3.4.2 Os testes ADF para o caso AR(p) . . . . . . . . . . . . . . 72
3.4.3 O caso ARMA(p,q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3
4 CONTEÚDO
3.4.4 Como escolher k? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.4.5 Um exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4 Outros testes 83
4.1 Os testes de Phillips e Perron (PP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2 Um exemplo de TSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3 Testes KPSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.4 Outro exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.5 Testes DF-GLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5 Testes de raiz unitária e quebras de estrutura 97
5.1 A abordagem inicial de Perron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.2 Quebras de estrutura com datas endógenas . . . . . . . . . . . . . 101
5.3 Outros testes para o caso de alteração de nível . . . . . . . . . . . 103
5.4 Observações finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6 Anexos 107
6.1 Processo assimptoticamente estacionário . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.2 Previsões com passeios aleatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.3 Decomposição de Beveridge-Nelson: forma alternativa . . . . . . . 109
6.4 Programa para estudo de simulação de regressões simples espúrias 110
6.5 Programa para análise de sensibilidade ao parâmetro de deriva . . 112
6.6 Testes de raiz unitária ao log do PIB português (1947—2002) . . . . 113
CONTEÚDO 5
Prefácio
Este pequeno livro tem origem recente nas notas que escrevi em computador
para apoiar a leccionação de um capítulo da disciplina de Macroeconometria I,
o
do 1 ano do mestrado em Econometria Aplicada e Previsão do ISEG—UL, no
ano lectivo de 2009/10. A sua verdadeira origem situa-se em meados dos anos
90, pois boa parte deste material foi empregue na leccionação de disciplinas de
mestrado desde essa altura. Desde 2009/10 o ritmo de introdução de alterações
e de acrescentos aumentou e espera-se que o texto tenha agora alcançado uma
versão com interesse para uma audiência mais alargada. Naturalmente, contém
ainda erros, imprecisões e omissões, mas espero continuar a introduzir melhorias.
Agradeço comentários e sugestões nesse sentido.
Apesar da sua origem, este texto nem sempre possui o estilo e a estrutura
típicas dostextosde leccionaçãoe, em boaverdade, também procuraservircomo
texto de introdução e de divulgação para alguns leitores, em particular para os
investigadores na área da macroeconomia.
Um pressuposto importante é que o leitor já possui alguns conhecimentos dos
métodos para séries temporais. No referido mestrado, a disciplina de Macro-
econometria I é precedida por uma de Séries Temporais e este texto é fortemente
influenciado por esse facto. Por exemplo, assume-se que o leitor se encontra fa-
miliarizado com a manipulação de polinómios no operador de desfasamento (L).
Também se assume familiaridade com a modelação (ARIMA) de Box & Jenkins.
Por outro lado, note-se que a perspectiva aqui adoptada está bastante mais pró-
ximadadaEconometriaclássica, causal, que daanálise purade sériestemporais.
Em termos de objectivos, este texto pretende ser intermédio, algures a meio
caminho entre os textos menos sustentados de licenciatura e os mais avançados,
detalhados e extensos, como a excelente obra de Hamilton (1994) (na qual este
texto se baseia frequentemente). No entanto, algum material mais técnico é
apresentado apenas nos anexos. Também alguns dos programas de TSP que
deram origem aos resultados de simulação apresentados são relegados para os
anexos.
Uma restrição importante mas usual é que serão considerados apenas proces-
sos lineares. Desta forma, tal como na quase totalidade da literatura, usar-se-á
de forma simples o termo estacionário para designar um processo estacionário e
fracamente dependente ou ergódico.
Materiaisdeapoiocomplementaresaestetextoserãodisponibilizadosnosítio
http://pascal.iseg.utl.pt/~asl/livro_TRU.htm.
6 CONTEÚDO
Capítulo 1
Introdução: motivações e
aspectos preliminares
Nas últimas duas décadas e meia a metodologia econométrica sofreu uma revo-
lução, com a descoberta que, ao contrário do que se supunha, muitas séries
económicas não são estacionárias (em tendência), isto é, têm uma raiz unitária
no polinómio auto-regressivo (da sua representação auto-regressiva).
Como é agora bem sabido, esta presença de raízes unitárias pode criar prob-
lemas ao trabalho empírico, mas também abre novas oportunidades para esse
trabalho:
a) problemas — em muitas das regressões com séries com raízes unitárias, os
estimadores OLS nem sequer convergem em probabilidade para os (ver-
dadeiros) valores dos parâmetros, isto é, nem sequer são consistentes;
b) oportunidades — noutras regressões, pelo contrário, os estimadores OLS são
consistentes e convergem para os valores dos parâmetros com uma veloci-
dade ainda maior do que nas regressões com variáveis estacionárias, o que,
em fases posteriores da modelação, permite tratar os parâmetros como se
fossem conhecidos.
Adicionalmente, em ambos os casos, em geral, a teoria usual das dis-
tribuições assimptóticas dos estimadores e das estatísticas de teste não
é aplicável,oqueconstituiumproblemaadicional. Estefactoderivadeseaban-
donar o ambiente (estacionário e) ergódico usual, com os momentos amostrais e,
mais geralmente, as estatísticas a não convergirem em probabilidade para cons-
tantes. Pelo contrário, como veremos nalguns casos mais adiante, as estatísticas
7
8CAPÍTULO1. INTRODUÇÃO:MOTIVAÇÕESEASPECTOSPRELIMINARES
baseadas em processos não estacionários convergem, fracamente, para variáveis
aleatórias (muitas deles funcionais de processos de Wiener).
O estudo que irá ser feito é introdutório. Nalguns pontos o leitor será convi-
dado a consultar bibliografia adicional.
Neste capítulo introdutório serão apresentadas as razões da importância dos
testes de raiz unitária nas séries económicas. Começar-se-á por estudar o caso
mais simples do AR(1) puro.
1.1 Estacionaridade vs. não estacionaridade: o caso
do AR(1)
Recorde-se que, para que um processo estocástico y seja estacionário em sen-
t
{ }
tido fraco ou em covariância (ou de segunda ordem), devem ser satisfeitas as
seguintes condições:
i) E(y )=µ < , t,
t
∞ ∀
ii) Var(y )=σ2 < , t,
t y ∞ ∀
iii) Cov(y , y )=γ , t,k.
t t−k k ∀
Recorde-se, também, que se poderia ter dispensado ii) escrevendo a condição
iii) para k =0: Var(y )=γ =σ2, t.
t 0 y ∀
Ou seja, um processo é estacionário em covariância quando tem média e va-
riância (finitas e) constantes ao longo do tempo e a covariância entre dois ele-
mentos do processo só depende da distância no tempo a que se encontramum do
outro.
Analise-se o processo AR(1):
y =α+ρy +ǫ , com ǫ iid(0, σ2).
t t−1 t t
∼
1
1. Supondo que o processo é estacionário ou estável , isto é, que ρ <
| |
1, repare-se que ele se comporta como um modelo de correcção de erros
(MCE). Na realidade, trata-se do caso mais simples de MCE pois
E(y )=α+ρE(y ),
t t−1
1Alguns autores preferem referir-se a processo assimptoticamente estacionário; sobre este
assunto, veja-se o primeiro anexo,no último capítulo.
1.1. ESTACIONARIDADEVS.NÃOESTACIONARIDADE:OCASODOAR(1)9
isto é, fazendo µ E(y ),
y ≡ t
α
µ E(y )= .
y ≡ t 1 ρ
−
Ora, subtraindo y a ambos os membros do processo:
t−1
∆y =α+(ρ 1)y +ǫ ,
t t−1 t
−
isto é,
α
∆y =(ρ 1) y +ǫ ,
t t−1 t
− − 1 ρ
(cid:1) − (cid:2)
ou seja,
∆y =(ρ 1)(y µ )+ǫ ,
t t−1 y t
− −
e note-se que se trata, de facto, de um MCE, pois a satisfação da condição
de estacionaridade assegura que o coeficiente (ρ 1) é negativo: ρ <
− | |
1 1 < ρ < 1 2 < ρ 1 < 0. Note-se também que é a média do
⇔ − ⇔ − −
processoquerepresentaoseuvalorousoluçãodeequilíbrio(delongoprazo),
isto é, o valor para o qual o processo é atraído. Desta forma, (y µ )
t−1 − y
representa o desequilíbrio ou erro de equilíbrio do período anterior, e como
o seu coeficiente é negativo, o processo apresenta uma tendência de retorno
para a situação de equilíbrio, dada pela sua média.
Dadaapresençadeǫ (querepresentaoschoquesouinovaçõesdoprocesso),
t
pode acontecer que o processo se mantenha acima ou abaixo da sua média
durante algum tempo; todavia, existe uma tendência para que ele acabe
porregressaraessevalor. Estecomportamentoéchamadode regressão
ou reversão para a média (mean regression ou reversion) e é típico de
qualquer processo estacionário.
2. Ocasoemque ρ >1époucointeressantesobopontodevistaeconómicoe
| |
2
é facilmente detectável pois o processo é explosivo . Por exemplo, no caso
maisinteressanteemqueρ>1,considere-sey =1.05y +ǫ ,casoemque
t t−1 t
ataxamédiadecrescimentoéde5%porperíodo. Umcomportamentodeste
tipo também se consegue obter com um modelo de tendência exponencial:
y =exp(δt+u ),
t t
2Na terminologia de Box & Jenkins, trata-se de um caso de não estacionaridade não ho-
mogénea pois o processo não se torna estacionário por diferenciação.
10CAPÍTULO1. INTRODUÇÃO:MOTIVAÇÕESEASPECTOSPRELIMINARES
para o qual se tem, ignorando os erros, dy/dt = δexp(δt) = δy, isto é,
também uma taxa de variação constante. Mais adiante consideraremos
este tipo de modelo com atenção.
3. Ocasodeρ= 1tambémtemmuitopoucointeresseemtermoseconómicos
−
pois em cada período o processo tenderia a assumir o valor simétrico do do
período anterior. Por outras palavras, trata-se de um caso de raiz unitária
3
que não tem relevância para aplicações económicas .
4. Ocaso mais interessante em economia é o deρ =1, caso em que se tem um
passeio aleatório.
Comece-se por analisar o caso do passeio aleatório sem deriva (drift):
y =y +ǫ .
t t−1 t
Resolvendo por substituição recursiva e representando com y o valor inicial do
0
processo tem-se
y =y +ǫ
t t−1 t
=y +ǫ +ǫ
t−2 t t−1
=...
=y + t ǫ y +TE
0 i=1 i ≡ 0 t
ondeTEt ≡ ti=1ǫirepresentaacha(cid:3)madatendênciaestocásticaqueoprocesso
contém, pretendendo com esta designação referir-se que o seu comportamento de
(cid:3)
longo prazo muda de forma lenta, suave, e não determinística, com a acumulação
dos choques aleatórios.
De facto, recorde-se que a previsão (univariada) óptima de y (a um passo)
t+1
é
y =E (y )=E (y +ǫ )=y .
t+1|t t t+1 t t t+1 t
Mas também a previsão óptima de y , s>0, formulada em t (a s passos), é
t+s
∀
y =E (y )=E (y +ǫ +...+ǫ )=y .
t+s|t t t+s t t t+1 t+s t
Istoé,pormaiorquesejaohorizontedeprevisão(s),estacontinuaaserdadapor
y . Todavia, se avançarmos s 1 períodos, isto é, se nos colocarmos em t+s 1,
t
− −
a previsão óptima de y passa a ser dada por
t+s
t+s−1
y =E (y )=E (y +ǫ )=y =y + ǫ .
t+s|t+s−1 t+s−1 t+s t+s−1 t+s−1 t+s t+s−1 t i
i=t+1
(cid:4)
3Todavia,se a ordem do processo autoregressivo fosse 4 ou superior,passaria a ter interesse
para séries observadas trimestralmente e a raiz 1 seria chamada de raiz unitária sazonal.
−