Quantum Computing verstehen: Grundlagen - Anwendungen - Perspektiven

310 Pages·2013·3.99 MB·German

by  Matthias Homeister (auth.)

Computational Intelligence
Herausgegeben von
Prof. Dr. Wolfgang Bibel, Scheidegg
Prof. Dr. Rudolf Kruse, Otto-von Guericke-Universität Magdeburg
Prof. Dr. Bernhard Nebel, Albert-Ludwigs-Universität Freiburg
Matthias Homeister
Quantum Computing
verstehen
Grundlagen - Anwendungen -
Perspektiven
3. Auflage
Matthias Homeister
FH Brandenburg
Brandenburg an der Havel, Deutschland
ISBN978-3-8348-1868-3 ISBN978-3-8348-2278-9(eBook)
DOI10.1007/978-3-8348-2278-9
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Inhaltsverzeichnis
Vorwort IX
1 Einleitung 1
1.1 Eine neue Art des Rechnens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 (cid:220)ber dieses Buch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Vom Bit zum Quantenregister 9
2.1 Was ist eine Berechnung? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.1 Die Turingmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.2 Schaltkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.3 Der Sprung in die Quantenwelt: Schr(cid:246)dingers Katze . 17
2.2 Das Quantenbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Rechenschritte auf einem Quantenbit . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Der erste Algorithmus: Ein Zufallsgenerator . . . . . . . . . 26
2.5 Quantenregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6 Der zweite Algorithmus: Das Problem von Deutsch . . . . . 33
2.7 Die Rolle des Tensorprodukts . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.8 Das Messen von Quantenregistern . . . . . . . . . . . . . . 44
2.9 Noch einmal das Problem von Deutsch . . . . . . . . . . . . 50
2.10 Bestandsaufnahme: Die drei Prinzipien des Quantum Com-
puting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.11 Verschr(cid:228)nkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.12 Die Hadamard-Transformation und mehrere Bits . . . . . . . 59
2.13 Der Algorithmus von Deutsch-Jozsa . . . . . . . . . . . . . 62
3 Vom Quantenregister zum Quantenschaltkreis 67
3.1 Laufzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2 Klassische Schaltkreise und Komplexit(cid:228)t . . . . . . . . . . . 75
3.3 Quantengatter und Quantenschaltkreise . . . . . . . . . . . 76
3.4 Quantenbits kopieren: Das No-Cloning-Theorem . . . . . . . 81
3.5 Umkehrbare Berechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.6 Unterscheidbare Zust(cid:228)nde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.7 Gest(cid:246)rte Berechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4 Hilfsmittel aus der Theoretischen Informatik 101
4.1 Komplexit(cid:228)tsklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2 Randomisierte Algorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.2.1 Mit dem Zufall rechnen . . . . . . . . . . . . . . . . 106
VI Inhaltsverzeichnis
4.2.2 Ein Primzahltest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.2.3 Probabilistische Komplexit(cid:228)tsklassen . . . . . . . . . 110
4.3 Unl(cid:246)sbare Probleme? NP-Vollst(cid:228)ndigkeit . . . . . . . . . . . 114
4.4 Quantenkomplexit(cid:228)tstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.5 Die Churchsche These . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5 Teleportation und dichte Kodierung 125
5.1 Quantenteleportation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.2 Dichte Kodierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.3 Verschr(cid:228)nkte Bits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6 Suchen 137
6.1 Die Nadel im Heuhaufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.2 Die Grover-Iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.3 Eine geometrische Veranschaulichung. . . . . . . . . . . . . 146
6.4 Varianten der Quantensuche . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.4.1 Suche nach einer von mehreren L(cid:246)sungen . . . . . . 153
6.4.2 Suche bei unbekannt vielen L(cid:246)sungen . . . . . . . . 155
6.4.3 Die Suche nach dem Minimum . . . . . . . . . . . . 156
6.4.4 Z(cid:228)hlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.5 Anwendungen von Grovers Algorithmus . . . . . . . . . . . 159
6.6 Grovers Algorithmus ist von optimaler Gr(cid:246)(cid:255)enordnung . . . . 161
6.7 Folgen f(cid:252)r die F(cid:228)higkeiten von Quantencomputern . . . . . . 166
7 Geheime Botschaften 169
7.1 Alice, Bob und Eve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
7.2 Quantenverschl(cid:252)sselung: das BB84-Protokoll . . . . . . . . . 175
7.3 Lauschstrategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.4 Quantenverschl(cid:252)sselung mit Verschr(cid:228)nkung . . . . . . . . . 188
8 Klassische Verschl(cid:252)sselungen knacken: Primfaktorzerlegung 193
8.1 Faktorisierung und Verschl(cid:252)sselung: RSA-Kryptographie . . . 194
8.2 Die Suche nach Perioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.3 Die schnelle Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . 207
8.4 Die Quanten-Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . 214
8.5 Simons Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
8.6 Shors Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
8.7 Jenseits von Shor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
9 Quantenhardware 237
9.1 Anforderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
9.2 Dekoh(cid:228)renz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
9.3 Photonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
9.3.1 Mach-Zehnder-Interferometer . . . . . . . . . . . . . 241
9.3.2 Kryptographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
9.4 Kernspinresonanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
9.5 Ionenfallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
9.6 Einwegberechnungen mit Clusterzust(cid:228)nden . . . . . . . . . . 251
Inhaltsverzeichnis VII
10 Zur Geschichte der Quantenmechanik 257
10.1 Max Planck: das Quantum der Wirkung . . . . . . . . . . . 257
10.2 Albert Einstein: Spukhafte Fernwirkung . . . . . . . . . . . 259
10.3 Niels Bohr: Kopenhagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
10.4 Werner Heisenberg: Ein gro(cid:255)es Quantenei . . . . . . . . . . 263
10.5 Erwin Schr(cid:246)dinger: Katzen und Wellen . . . . . . . . . . . . 265
10.6 Zur Geschichte des Quantencomputers . . . . . . . . . . . . 266
A Mathematische Grundlagen 269
A.1 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
A.2 Vektorr(cid:228)ume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
A.2.1 Was sind Vektorr(cid:228)ume? . . . . . . . . . . . . . . . . 271
A.2.2 Basen und Unterr(cid:228)ume . . . . . . . . . . . . . . . . 273
A.2.3 Winkel und Abst(cid:228)nde in einem Vektorraum . . . . . 274
A.2.4 Projektionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
A.3 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
A.4 Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . 279
A.5 Ganze Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
A.5.1 Teiler und Vielfache . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
A.5.2 Modulares Rechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
A.5.3 Zur Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
B L(cid:246)sungen ausgew(cid:228)hlter (cid:220)bungsaufgaben 285
Literatur 293
Symbole und Abk(cid:252)rzungen 299
Quantengatter 300
Namen- und Sachwortverzeichnis 301
Vorwort
Zwei wissenschaftliche Revolutionen pr(cid:228)gten die erste H(cid:228)lfte des 20. Jahr-
hunderts.ZumeinenlegtenPionierewieKonradZuse,AlanTuringundJohn
von Neumann die Grundlagen f(cid:252)r den Bau der ersten praktikablen Rechen-
maschinen.Zumanderenst(cid:252)rztedasklassischeWeltbildderPhysik,seitden
Tagen Newtons erweitert, aber kaum ver(cid:228)ndert, in sich zusammen. Um den
Aufbau der Materie zu verstehen, wurde eine radikal neue Theorie geschaf-
fen.DieQuantenmechanikver(cid:228)nderteunsereAu(cid:27)assungvonderRealit(cid:228)tso
sehr,dassauchvieleihrerSch(cid:246)pfervordenKonsequenzenzur(cid:252)ckschreckten.
DiesewissenschaftlichenRevolutionenzogensehrschnelltechnischenach
sich. Wie sehr der Computer unsere heutige Gesellschaft, unser Welt- und
Menschenbildpr(cid:228)gt,stehtjedemvorAugen.Wenigerbewusstistvielen,dass
die Quantenmechanik unseren Alltag ebenso beein(cid:29)usst. Erst die quanten-
mechanische Beschreibung des Atoms machte es m(cid:246)glich, Halbleiter und
den Laser zu entwickeln; das Transistorradio, der CD-Spieler und moderne
Computerhardware sind Folgen der Quantenmechanik.
In den letzten Jahrzehnten wurden diese beiden Wissenschaften zusam-
mengef(cid:252)hrt,esentstandeinneuerinterdisziplin(cid:228)rerZweignamens Quantum
Computing. Das Ziel ist, Quantencomputer zu bauen, Quantenalgorithmen
zu entwickeln und zu untersuchen, welche Konsequenzen die Quantenme-
chanik f(cid:252)r die Informations(cid:252)bertragung hat. Es gibt verschiedene Ausl(cid:246)ser
f(cid:252)r diese Entwicklung, am wichtigsten sind die beiden folgenden:
1. Die grundlegenden Bauteile unserer Rechner werden immer kleiner.
Wenn diese Entwicklung im aktuellen Tempo fortschreitet, wird es im
Jahr 2020 Bauteile von der Gr(cid:246)(cid:255)e eines einzelnen Atoms geben. F(cid:252)r
Hardwarekomponenten dieser Gr(cid:246)(cid:255)enordnung gelten die Gesetze der
klassischen Physik nicht mehr, und man muss sich auf die Quanten-
mechanik einlassen.
2. Computer, welche die Gesetze der Quantenmechanik f(cid:252)r sich aus-
nutzen, k(cid:246)nnen Aufgaben erledigen, die f(cid:252)r herk(cid:246)mmliche Rechner
unm(cid:246)glich sind. Dazu geh(cid:246)ren absolut abh(cid:246)rsichere Nachrichten(cid:252)ber-
tragung, die Teleportation von Information, das Erzeugen echter Zu-
fallszahlen und das Knacken von Verschl(cid:252)sselungsmethoden, die zur
Zeit als sicher gelten. Dabei geht es um Probleme, die herk(cid:246)mmliche
Rechnergrunds(cid:228)tzlichnichtl(cid:246)senk(cid:246)nnen,egalwiesichihreLeistungs-
f(cid:228)higkeit steigern wird.
Zur Zeit kann noch niemand absehen, welche Konsequenzen diese Ent-
wicklunghabenwird,daniemandwei(cid:255),wiediek(cid:252)nftigenQuantencomputer
X Vorwort
aussehen werden und wie aufw(cid:228)ndig ihre Herstellung und ihr Betrieb sein
wird. Einiges deutet jedoch darauf hin, dass wir gerade Zeugen einer neuen
wissenschaftlichen Revolution sind. Unter Laborbedingungen sind Quanten-
computer l(cid:228)ngst Realit(cid:228)t, und die Medien berichten regelm(cid:228)(cid:255)ig (cid:252)ber neue
ErfolgebeiderSuchenachpraktikablerQuantenhardware.Amweitestenist
manbeiderUmsetzungvonVerschl(cid:252)sselungsverfahren.VerschiedeneFirmen
bieten bereits Quantenkryptographieger(cid:228)te an, und Anfang 2004 wurde in
Wien mit gro(cid:255)em Medienecho die erste mit Quantenprinzipien verschl(cid:252)ssel-
te Bank(cid:252)berweisung verschickt. (cid:214)(cid:27)entliche und private Stellen investieren
j(cid:228)hrlich mehrstellige Millionenbetr(cid:228)ge in die neue Verschl(cid:252)sselungstechnik,
undkaumgeringersinddieAnstrengungen,dieindenBauderQuantencom-
puter selbst gesetzt werden. Bedeutende H(cid:252)rden sind (cid:252)berwunden worden,
und die bisherigen Fortschritte stimmen optimistisch, wobei noch viele Her-
ausforderungen zu meistern sind.
Der erste praktisch einsetzbare Quantencomputer wird noch etwas auf
sich warten lassen, aber unsere Au(cid:27)assung vom Rechnen selbst, von dem,
was ein Computer leisten kann, hat sich bereits ver(cid:228)ndert. Jeder Informa-
tikstudent lernt im ersten Semester die Churchsche These kennen. Ihre mo-
derne Fassung lautet: L(cid:228)sst sich ein Problem von irgendeiner physikalisch
realisierbarenRechenmaschinee(cid:30)zientberechnen,sol(cid:228)sstessichvoneiner
(randomisierten) Turingmaschine e(cid:30)zient berechnen. Das stimmt so nicht
mehr. Quantencomputer sind physikalisch realisierbar, wenn sie auch bisher
nur mit wenigen Bits und unter Laborbedingungen rechnen. Und sie k(cid:246)n-
nenProblemel(cid:246)sen,andenenherk(cid:246)mmlicheComputernachdemStandder
Wissenschaft scheitern.
Aber auch f(cid:252)r das Verst(cid:228)ndnis der physikalischen Realit(cid:228)t werden Infor-
mationsprozesseimmerwichtiger.DieForschungrundumdenQuantencom-
puter hat nicht nur das Potential, eine neue Technologie hervorzubringen,
sondern auch unser Weltbild zu ver(cid:228)ndern. Information k(cid:246)nnte ein grund-
legenderes Prinzip sein als die klassischen physikalischen Begri(cid:27)e Materie
oder Energie.
Wir sind also Zeugen der Entstehung einer neuen Wissenschaft, der eine
rasante Entwicklung bevorsteht. Kenntnisse in einigen ihrer Bereiche haben
dadurch eine geringe Halbwertszeit. Was ein Quantencomputer ist und was
er kann, wird in diesem Buch an Hand von Quantenalgorithmen erl(cid:228)utert,
alsoankonkretenRechenverfahren.DiesertheoretischeZugangbereitetden
Leserauchaufk(cid:252)nftigeEntwicklungenvor.Mandenkedaran,dassdieIdeen
Zuses,TuringsundvonNeumannsheutenichtsvonihrerG(cid:252)ltigkeitverloren
haben und aus der Antike stammende Algorithmen noch immer praktisch
eingesetzt werden.
Leider trauen sich viele Interessierte nicht zu, sich mit diesem neuen Ge-
biet n(cid:228)her auseinander zu setzen. Quantenmechanik ist ein voraussetzungs-
reichesGebiet,indasmansichnichtmalebensoeinarbeitet.Umjedochzu
verstehen, wie Quantencomputer rechnen, gen(cid:252)gen zun(cid:228)chst wenige quan-
tenmechanische Prinzipien. Es sind einfache Prinzipien, auch wenn sie na-
turgem(cid:228)(cid:255)unanschaulichsind.DiesesBuchstelltsiesoanwendungsorientiert
wiem(cid:246)glichdarundistf(cid:252)rLeserohnebesondereVorkenntnissegeschrieben.
Vorwort XI
Ein typischer Leser dieses Buches k(cid:246)nnte ein Informatikstudent nach den
Grundvorlesungen sein, aber genauso jede andere Person mit mathemati-
schen Grundkenntnissen. Der Leser wird so schnell wie m(cid:246)glich die Arbeits-
weise von Quantenrechnern verstehen k(cid:246)nnen und die wichtigen Algorith-
men kennen lernen. Die fortgeschrittenen Kapitel vermitteln vertieftes Wis-
sen und bereiten auf die Forschungsliteratur vor. Um dieses Buch f(cid:252)r Leser
ohne Informatikkenntnisse lesbar zu machen, werden wichtige Begri(cid:27)e, wie
Berechnung oder Algorithmus, umfassend eingef(cid:252)hrt. Lesern, deren Mathe-
matikkenntnisse aus Schule oder Studium verblasst sind, hilft ein Abschnitt
im Anhang, der Themen wie komplexe Zahlen, Vektorr(cid:228)ume und Matrizen
behandelt.
G(cid:246)ttingen und Hannover, 1. Juli 2005
Matthias Homeister
Zur zweiten Au(cid:29)age
DievielenpositivenReaktionenaufdieersteAu(cid:29)agediesesBuchesscheinen
dasKonzeptzubest(cid:228)tigen,dieGrundlagendesQuantumComputingaufwe-
nige,einfachePrinzipienzur(cid:252)ckzuf(cid:252)hren.O(cid:27)enbargibtesBedarfnacheinem
Buch,dasauchLeserohneVorkenntnisseschrittweiseindasinterdisziplin(cid:228)re
Thema einf(cid:252)hrt.
F(cid:252)r die zweite Au(cid:29)age wurde das Buch aktualisiert und gr(cid:252)ndlich durch-
gesehen: die Darstellungsweise wurde verbessert und einige Beweise verein-
facht.DieumfassendstenVer(cid:228)nderungenergebensichdabeiindenKapiteln
6-9.
EinigeLeserregtenan,dasKapitel(cid:252)berQuantenhardwarezueinergrund-
legenden Einf(cid:252)hrung in das Thema umzugestalten. Dies lie(cid:255)e sich mit dem
AnspruchdesBuchs,keinespeziellenVorkenntnissezuerfordern,leidernicht
vereinbaren, da jeder Ansatz zur physikalischen Realisierung f(cid:252)r sich sehr
voraussetzungsreich ist. Jenes Kapitel soll eine Idee davon vermitteln, wie
einQuantencomputerprinzipiellrealisiertwerdenkann,undeinen(cid:220)berblick
(cid:252)ber den derzeitigen Stand der Entwicklung geben.
Hamburg, 15. September 2007
Matthias Homeister
XII Vorwort
Zur dritten Au(cid:29)age
F(cid:252)r die dritte Au(cid:29)age wurde das gesamte Buch durchgesehen und ak-
tualisiert. Der Kern des Buches, also die Darstellung der Grundlagen des
QuantumComputingundderwichtigstenVerfahren,bedurftekeinergro(cid:255)en
Ver(cid:228)nderungen: die meisten ˜nderungen betre(cid:27)en die Realisierungen von
Quanten-KommunikationsverfahrenundexperimentellenQuantencomputern.
Brandenburg an der Havel, Januar 2013
Matthias Homeister
Danksagung
Viele Menschen halfen bei der Entstehung dieses Buches, ich m(cid:246)chte mich
an dieser Stelle f(cid:252)r alle Hinweise bedanken. Namentlich danke ich Dag-
mar Bru(cid:255), Carsten Damm, Christoph D(cid:252)rr, Maike Tech, Philip Walther,
Harald Weinfurter, Stephan Waack und insbesondere Hecke Schrobsdor(cid:27),
dessen unerm(cid:252)dliche Unterst(cid:252)tzung als Korrektor und Gespr(cid:228)chspartner f(cid:252)r
das Gelingen dieses Buches wesentlich war. Cornelia Caspary danke ich f(cid:252)r
die wunderbaren Illustrationen. F(cid:252)r viele Hinweise und eine sehr engagierte
Zusammenarbeit danke ich dem Herausgeber Prof. Dr. Wolfgang Bibel, Dr.
ReinaldKlockenbuschvomViewegVerlagundHerrnBerndHansemannvon
Springer-Vieweg.