Table Of ContentSpringer-Lehrbuch
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
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Physics and Astronomy
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Horst Rollnik
Quantentheorie 2
Quantisierung und Symmetrien
physikalischer Systeme
Relativistische Quantentheorie
Mit 77 Abbildungen
, Springer
Professor Dr. Dr. h.c. Horst Rollnik
Universität Bonn
Physikalisches Institut
Nußallee12
53115 Bonn, Deutschland
Die Deutsche Bibliothek -CIP-Einheitsaufnahme:
Rollnik, Horst: Quantentheorie I Horst Rollnik. -
Berlin ; HeideJberg ; New York ; Hongkong ; London ; Mailand ; Paris; Tokio: Springer
(Springer-Lehrbuch)
2. Quantisierung und Symmetrien physikalischer Systeme - Relativistische Quantentheorie. -2003
ISBN 978-3-540-43717-8 ISBN 978-3-642-55805-4 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-55805-4
ISBN 978-3-540-43717-8
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Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 2003
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Gedruckt auf säurefreiem Papier SPIN: 10879786 56/3141tba -5 4 3 2 1 0
Vorwort
Aueh dieser 2. Band der Quantentheorie beruht auf Vorlesungen, die ieh
ftir Generationen von jungen Physikern an der Universitat Bonn gehalten
habe. Dementspreehend ist er ebenso wenig wie der erste Band ein Kom
pendium der Quantenmeehanik. Sein Anliegen ist es nicht, in irgendeinem
Sinne "vollstandig" zu sein, was bei einem Gebiet wie der Quantenmeehanik
ohnehin unmaglieh ist. Vielmehr geht es mir darum, die innere Struktur und
Folgerichtigkeit der Quantenmeehanik so deutlieh wie maglieh herauszuar
beiten.
Daher beginnt das Bueh im ersten Kapitel mit einer straffen Zusam
menfassung der im ersten Band gelegten Grundlagen. Neben Begriffen wie
Zustand, Observable, Me13wert und Erwartungswert spielt der Begriff der
Symmetrie-Transformation eine fundament ale Rolle. Mit Rilfe von Symme
trietiberlegungen kann man die Existenz der wiehtigsten Observablen Ort,
Impuls und Energie und ihre Kommutatoreigensehaften begrtinden; sowohl
ftir die nichtrelativistisehe wie die relativistisehe Quantentheorie.
Wie man Sehltisse aus der so allgemein begrtindeten Quantenmeehanik
ziehen kann, stellen die beiden folgenden Kapitel dar. Kapitel 2 beginnt mit
dem seheinbar so einfaehen Beispiel des harmonisehen Oszillator. Jedoeh wird
man mit seiner Rilfe zu einem Verfahren fUr die Quantisierung gefUhrt, das
man in der gesamten Quantentheorie verwenden kann. Wir illustrieren dies
an den Molektilsehwingungen, der Quantentheorie der Photonen und an der
Theorie der sehwingenden Saite, die neuerdings in der Stringtheorie wieder
gro13e Aufmerksamkeit gefunden hat.
Das dritte Kapitel behandelt ein zweites Paradigma der Quantisierung,
namlieh die Quantentheorie des Drehimpulses. Diese Theorie beruht auf den
Eigensehaften der Drehgruppe, die zunaehst genauer dargestellt wird. Dabei
spielt die Niehtvertausehbarkeit der Drehungen eine wichtige Rolle, die zu den
in vielen Zusammenhangen wichtigen Drehimpuls-Kommutatoren ftihrt. Man
mu13 au13erdem das nichttriviale Verhalten bei Drehungen urn 3600 beaehten,
das der eigentliehe Grund fUr die Existenz des Spins ist.
Das vierte Kapitel verwendet die gewonnenen Einsichten ftir die Thea
rie der gebundenen Zustande eines Teilehens. Dabei werden insbesondere
verborgene Symmetrien erlautert, die in versehiedener Weise zu "haheren"
Symmetriegruppen fUhren. Das fUr konkrete Reehnungen wichtige Verfahren
VI Vorvvort
der Schrodingerschen Storungstheorie und deren Anvvendungen auf Wechsel
vvirkungen mit auBeren elektromagnetischen Feldern schlieBt dieses Kapitel
abo
Wegen der groBen Bedeutung des Spins ist ihm ein eigenes Kapitel 5 ge
vvidmet. Zunachst vverden die besonderen Eigenschaften des Spins! erlautert,
insbesondere vvird die Clifford-Algebra eingefuhrt. Wie man den Wert des
g-Faktors - g8 = 2 - auch in der nichtrelativistischen Theorie begrunden
und dabei die Idee der "minimalen elektromagnetischen Wechselvvirkung"
einfuhren kann, ist eine nichttriviale Anvvendung dieser Algebra. Die Kopp
lung von Spin und Bahndrehimpuls gibt den AnlaB, die Addition von Dreh
impulsen allgemein zu behandeln. Dabei vverden die vvichtigen Begriffe "Pro
duktraum" und "Ausreduktion" eingeubt. Ein technisch aufvvendiges, aber
oft notwendiges Hilfsmittel sind die spharischen Tensoren, denen ein eigenes
Unterkapitel gevvidmet ist.
SchlieBlich vvird in diesem Kapitel gezeigt, in vvelcher vollig anderen Wei
se sich der Drehimpuls bei den Zustanden im Kontinuum, bei den Streu
zustanden zeigt. Die Partialvvellen-Entvvicklung mit und ohne Spin ist das
Resultat, das fur die Analyse von Experimenten eine hervorragende Rolle
spielt.
Physikalisch nicht unterscheidbare Teilchen bringen in der Quantentheorie
neue Gesetze zur Wirksamkeit. Das Verhalten beim Vertauschen von zvvei
oder mehreren ununterscheidbaren Teilchen laBt zunachst viele Moglichkeiten
zu, die erst durch die Forderungen der speziellen Relativitatstheorie auf zvvei
Teilchenarten eingeschrankt vvird. Das knapp gefaBte 6.Kapitel begrundet
die Argumente dafUr und gibt die Grunde fUr die statistischen Verteilungen
von Fermionen und Bosonen. Fur detaillierte Anwendungen muB auf die
vveiterfUhrende Literatur verwiesen werden.
Das letzte ausfuhrliche Kapitel ist der relativistischen Quantentheorie
gevvidmet. Diese Theorie hatte in den 30-ger Jahren des vorigen Jahrhunderts
eine sehr abvvechslungsreiche Geschichte. Obwohl vvir heute das endgliltige
Ergebnis kennen, ist es aus padagogischen und vvissenschaftshistorischen
Grunden geboten, ihre Entvvicklung im Einzelnen darzustellen. Dabei
lernt der Leser die Motivation fUr die Grundbegriffe der relativistischen
Quantentheorie Schritt fUr Schritt kennen.
Auf die vielfaltige Unterstutzung, die dieses Buch moglich machte, habe
ich schon im ersten Band hingewiesen. Den damals ausgesprochenen Dank
kann ich nur wiederholen. Vor allem mochte ich den Herren Dr. Manfred
Kremer, John von Neumann Institut fUr Computing in Jlilich, und Dr. Walter
Pfeil, Physikalisches Institut der Universitat Bonn, fUr ihre kritische Durch
sicht des Manuskripts und fUr vielfaltige Anregungen sehr herzlich danken.
Das Lektorat des Springer-Verlages hat mich in sympathischer und effek
tiver Weise unterstutzt, und der Firma LeTeX, Leipzig, bin ich fur die tech
nische Bearbeitung, insbesondere von schwierigen Abbildungen verpfiichtet.
Vorwort VII
Vor aHem m6chte ich meiner Frau danken. Sie hat es lange Zeit
wieder einmal ertragen, mich nur "von hinten" zu sehen, wahrend ich mit
dem Buchprojekt verheiratet zu sein schien. Daher widme ich ihr dieses Buch.
Bonn im Herbst 2002 Horst RoHnik
Hinweis
Die zugrunde liegenden Vorlesungen wurden naturlich durch Ubungen
ergiinzt. Diese konnten in diesem Buch nicht aufgenommen werden. Daher
sei auf folgende Lehrbucher verwiesen, die mit reichlichen Vorschliigen fUr
Ubungsaufgaben ausgestattet sind.
• Franz Schwabl
Quantenmechanik
Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1993
und
Quantenmechanik fur Fortgeschrittene
Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1997
• Wolfgang Nolting
Grundkurs Theoretische Physik, Quantenmechanik 2 Teile
Zimmermann-Neufang Verlag, Ulmen 1993
• Walter Greiner
Quantenmechanik: Einfuhrung. Ein Lehr-und Ubungsbuch
Harry Deutsch Verlag, Thun 1992
und
Quantentheorie: Spezielle Kapitel. Ein Lehr- und Ubungsbuch
Harry Deutsch Verlag, Thun 1993
Ferner sei fur die Leser, die gern ihren PC verwenden, auf folgende Bucher
hingewiesen
• Siegmund Brandt und Hans Dieter Dahmen
Quantenmechanik auf dem Personalcomputer
Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1993
und
The Picture Book of Quantum Mechanics
Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001
• Marko Horbatsch
Quantum Mechanics using Maple
Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1995
• James S. Feagin
Methoden der Quantenmechanik mit Mathematica
Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1995
Inhaltsverzeichnis
1 Zusammenfassung der Grundlagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 ZusUinde, Observable und MeBwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Erwartungswerte, Wahrscheinlichkeitsamplituden
und statistische Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Symmetrietransformationen und unitare Operatoren . . . . . . . . 6
1.4 Zeitliche Translationsinvarianz
und die Bewegungsgleichungen der Quantenmechanik ..... . . 7
1.5 Raumliche Translationen, Galilei-Transformationen
und die speziellen Axiome
der nichtrelativistischen Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Das Korrespondenzprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12
2 Quantisierung des harmonischen Oszillators .............. 15
2.1 Die Leiteroperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16
2.1.1 Die einfachste Form der kanonischen Kommutatoren .. 16
2.1.2 Endgiiltige Form der Leiteroperatoren,
der Besetzungszahloperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17
2.1.3 Der innere Grund flir die Existenz
der Leiteroperatoren, die U(I) Invarianz. . . . . . . . . . . .. 19
2.2 Algebraische Lasung des Eigenwertproblems
flir den Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23
2.3 Mathematische Existenzfragen,
Zusammenhang mit der wellenmechanische Formulierung . . .. 29
2.3.1 Formaler Standpunkt ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29
2.3.2 Konstruktiver Standpunkt (Hermitesche Polynome). .. 30
2.3.3 Vergleich beider Standpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32
2.4 Ort und Impuls in der Besetzungszahldarstellung . . . . . . . . . .. 33
2.5 Zeitliches Verhalten des harmonischen Oszillators
im Heisenbergbild ...................................... 37
2.6 Exkurs: Die Entdeckung
der kanonischen Vertauschungsrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39
2.7 Geladener Oszillator im elektrischen Feld,
Anwendung auf Molekiilspektren ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46
2.8 Verallgemeinerung auf mehrere Freiheitsgrade . . . . . . . . . . . . .. 51
2.9 Quantentheorie des elektromagnetischen Feldes. . . . . . . . . . . .. 59
XII Inhaltsverzeichnis
2.9.1 Das Strahlungsfeld als Uberlagerung von Oszillatoren 59
2.9.2 Formale Quantisierung des elektromagnetischen Feldes 63
2.9.3 Die Photonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 67
2.10 Schwingende Saiten und Strings. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 70
2.10.1 Die verschiedenen Formen von Strings .............. 71
2.10.2 Klassische Dynamik der Strings. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 75
2.10.3 Losungen der Wellengleichung fur Strings. . . . . . . . . . .. 79
2.10.4 Quantentheorie der freien Strings. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 83
3 Quantentheorie des Drehimpulses I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 87
3.1 Elementare Definition des Drehimpulses
und Berechnung seiner Kommutatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 87
3.2 Eigenschaften der Drehungen ............................ 89
3.2.1 Orthogonale Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 90
3.2.2 Eine unerwartete Eigenschaft der Drehung urn 3600 93
• ••
3.2.3 Die Gruppe 8U(2) ............................... 94
3.2.4 Die Generatoren der Drehgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 99
3.3 Allgemeine Definition des Drehimpulsoperators ............. 107
3.3.1 Verhalten von Vektor-Observablen unter Drehungen .. 110
3.3.2 Verhalten von skalaren Observablen unter Drehungen . 112
3.4 Allgemeine Losung des Eigenwertproblems
fUr den Drehimpuls ..................................... 114
3.4.1 Formulierung des Eigenwertproblems. . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.4.2 Leiteroperatoren und die Eigenwerte ................ 115
3.4.3 Folgerungen und Beispiele ......................... 120
3.4.4 Die Unscha,rferelationen fUr den Drehimpuls ......... 122
3.5 Eigenfunktionen des Bahndrehimpulses .................... 126
3.5.1 Drehungen in der Ortsdarstellung .................. 126
3.5.2 Definition und Eigenschaften
der KugelfHichenfunktionen ........................ 130
3.5.3 Die Kugelflachenfunktionen
als harmonische Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.5.4 Orthogonalitat und Vollstandigkeit
der Kugelflachenfunktionen ........................ 143
4 Theorie der gebundenen Zustande ........................ 147
4.1 Die Energieeigenzustande
fUr zentralsymmetrische Einteilchensysteme . . . . . . . . . . . . . . .. 148
4.1.1 Erhaltung des Bahndrehimpulses,
die Richtungs-Entartung .......................... 148
4.1.2 Allgemeine Struktur des Energiespektrums .......... 155
4.1.3 Die verborgene Symmetrie des Coulombproblems ..... 163
4.1.4 Zufallige Entartung des 3-d isotropen Oszillators ..... 174
4.2 Schrodingersche Storungsrechnung ........................ 182
4.2.1 Die erste Naherung fur nicht entartete Eigenwerte .... 183
