Quadratische Formen und orthogonale Gruppen

218 Pages·1974·28.034 MB·German

by  Martin Eichler (auth.)

Die Grundlehren
der mathematischen Wissenschaften
in Einzeldarstellungen
mit besonderer Berucksichtigung
der Anwendungsgebiete
Band 63
Herausgegeben von J. L. Doob J. Douglas, jr. A. Grothendieck
E. Heinz F. Hirzebruch E. Hopf
W. Maak S. Mac Lane W. Magnus
J.
K. Moser M. M. Postnikov
F. K. Schmidt D. S. Scott K. Stein
Geschaftsfiihrende·
Herausgeber B. Eckmann und B. L. van der Waerden
Martin Eichler
Quadratische Formen und
orthogonale Gruppen
Zweite Auflage
Springer -Verlag
Berlin Heidelberg New York 1974
Martin Eichler
Universitat Basel
Geschiiflsfilhrende Herausgeber B. Eckmann
EidgenossisChe Technische Hochschule ZUrich
B. L. van der Waerden
Matbematisches Institut der Universitat Zurich
AMS Subject Classification (1970)
loC05. loD05.z0GI5. zoGzo. zoGz5. 20G30
ISBN-13: 978-3-642-80765-7 e-ISBN-13: 978-3-642-80764-0
DOl: 10.1007/978-3-642-80764-0
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Verlag zu verelnharen 1st. ® by Springer-Verlag. Berlin/Heidelberg 1974
Library of Congress Catalog Card Number: 73-80603
Softcover reprint of the hardcover 2nd edition 1974
Vorwort zur zweiten Auflage.
Zugegeben, das Buch ist zum groBten Tell fiberholt. Wenn trotzdem
noch eine gewisse Nachfrage besteht, so kann man diese wohl durch ein
Sammlerinteresse erklaren. Die Algebra der metrischen Raume mit qua
dratischer Metrik ist nur noch ein Tell der Algebra der klassischen Grup
pen, fiber welche das in Kapitel I, Anmerkung 3 erwahnte Buch von
Dieudonne berichtet. Die Klassifizierung der metrischen Raume fiber
"lokalen" und "globalen" Zahl- und Funktionenkorpem ist der Gegen
stand des weit umfangreicheren Buchs von O'Meara (Anmerkung I) in
KapitellI). Die Aufgabe ist so eng mit der Zahlentheorie dieser Korper
verknfipft, daB ihre LOsung von einem beschrankten Aufbau der Klassen
korpertheorie nicht zu trennen ist. O'Mearas Buch leistet aber nicht nur
dieses, sondem es liefert gleichzeitig die Klassifizierung der Gitter fiber
Ordnungen dieser Korper. Die analytische MaBtheorie, wie sie von
Minkowski und Siegelbegriindet wurde, ist ebenfalls weit tiber den
Bereich der quadratischen Formen hinausgewachsen. Hierzu ware beson
ders die in Kapitel V, Anmerkung 10 erwahnte Vorlesung von A. Weil
zu beachten.
Es bleibt von den in diesem Buch behandelten Themen noch das
IV. Kapitel zu erwahnen. Dieses, zusammen mit einigen Vorbereitungen
in den friiheren, entwickelt ein arithmetisches Analogon der Heckeschen
Operatorentheorie der Modulformen. Meines Erachtens darf man gerade
in diesem Zusammenhang, wenn tiberhaupt in der Zahlentheorie der
quadratischen Formen, noch manche Entdeckungen erwarten. Das
mathematische Publikum hat das bis heute nicht gesehen.
Der Text der 1. Auflage wurde kaum verandert. Eine Modemisierung
die nicht ein ganz neues Buch geschaffen hatte, wiirde sich nicht gelohnt
haben. Die Anmerkungen wurden um Hinweise auf die neuere Literatur
vermehrt. AuBerdem wurde verschiedentlich auf Vereinfachungen hin
gewiesen, die ich meist Herro M. Kneser verdanke.
Basel, den 23. Januar 1973.
M. Eichler.
Vorwort zur ersten Xuflage.
Aus der Arithmetik der binaren quadratischen Formen, die GauB
in abgeschlossener Form in seinen Disquisitiones Arithmeticae
entwickelte, erwuchsen zwei Disziplinen,' die Lehre von den quadra
tischen Formen beliebiger Variablenzahl auf der einen Seite und die
Arithmetik der algebraischen Zahlkorper und weiter die der hyper
komplexen Systeme auf der anderen. Noch im Jahre 1898, aIs P.
Bachmann seine groB angelegte "Arithmetik der quadratischen
Formen" (I. Abt. Leipzig 1898, II. Abt. Leipzig 1923) schrieb, hielten
sich beide im Umfang und in der Wertschatzung der Mathematiker
die Waage. In den nachfolgenden Jahren anderten sich die Verhalt
nisse grundlegend; die letztgenannte Disziplin nahm deutlich die Vor
rangstell1Ulg ein. Die Ursache hierfiir war die Tatsache, daB es gelang,
die gesamte Forschung auf dem Gebiet der Zahlkorper und Algebren
im Grunde einer einzigen zentralen Aufgabe zu unterstellen: dem Auf
bau dieser Gebilde aus el~mentaren Bausteinen. Es unterliegt keinem
Zweifel, daB eine so geartete Problemstellung der Frage nach dem Sinn
und Wesen des Zahlbegriffs naher kommt aIs die GeWinnung spezieller
Einzelresultate. Erst die Arbeiten von H. Hasse, E. Hecke und C. L.
Siegel in den letzten J ahrzehnten haben auch auf dem Gebiet der quadra;
tischen Formen einer ahnlichen Wendung zum Grundsatzlichen hin zum
Durchbruch verholfen, die sich hier nur langsam vorbereitet hatte. Die
Primzahlen erweisen sich heute hier wie bei den Zahlkorpen'l aIs der
Schltissel zum Verstandnis der ganzen Theorie. Es ist <ks Ziel des vor
liegenden Buches, einen weiteren Leserkreis mit diesen neuen Gedanken
vertraut zu machen. .
Die gestellte Aufgabe machte es erforderlich, die gesaiJ,lt.eTheorie
von den Anfangen an neu zri durchdenken. Dabei hat mich die folgende
These geleitet: Die Lehre von den quadratischen Formen ist' Geometrie
in einem mit einer der euklidischen vergleichbaren Metrik versehenen
Vektorraum tiber einem beliebigen Korper, speziell einem aIgebraischen
Zahlkorper; die Auswirkungen der jeweils besonderen Korpereigen
schaftcn auf die Geometrie sind zu studieren. Geometrische Vor
steUungen haben im Zusammenhang mit quadratisch¢n 'FormE'n von
jE'her eine Rolle gespielt, doch dienten sie vornehmlich der Veranschau. ..
lichung bereits errechneter Ergebnisse. Es ist das Verdienst von
E. Witt, ihre grundsatzliche Bedeutung ftir den Aufbau der Thoorie
erkannt zu haben. Die Geometrie entwickelt sich aus der W~sel-
Vorwort. VII
wirkung des Raumes mit seiner Bewegungsgruppe. Dementsprechend
ist der Weg, auf dem del' Leser hier gefiihrt wird, zweigleisig; es wechseln
Dbedegungen, welche den Raum bzw. die seine Metrik definierende
quadratische Form betreffen, mit Betrachtungen liber seine Bewegungs
gruppe, die orthogonale Gruppe im weitesten Sinne. Der Titel bringt
diese doppelte Aufgabe zum Ausdruck. Beachtet man, daB die Theorie
der hyperkomplexen Systeme in ihrer historischen Entwicklung und
ihrem heutigen Bestand weitgehend mit der Darstellung von Gruppen
durch Abbildungen eines affinen Raumes auf sich ubereinstimmt, so
ergibt sich damit die Stellung im heutigen GefUge der Mathematik,
welche die Arithmetik der quadratischen Formen beanspruchen muB.
Sie ist im gleichen Sinne neben del' hyperkomplexen Algebra und Arith
metik einzuordnen, wie die orthogonale Gruppe neben der affinen steht.
Ich hoffe, daB die Herausarbeitung der gruppentheoretischen Motive in
del' Theorie der quadratischen Formen den Erfolg hat, daB die beiden
aus den Disquisitiones Arithmeticae erwachsenen Zweige der Arithmetik
einander naher gebracht werden, und daB so die Einheit un serer Wissen
schaft gefordert wird.
Wenngleich das Buch vieles in diesel' Form Neue bringt, bin ieh mil'
bewuBt, daB mil' die Anregungen hierzu von vielen Seiten zugeflossen
sind, wovon die im Text vorkommenden Namen, die vielfach un serer
Generation angehoren, Zeugnis ablegen. Nicht immer ist es aber moglich,
den Urheber eines Gedankens exakt festzulegen; Wissenschaft ist
Gemeinschaftsar bei t.
Ein Vergleich mit dem etwa fiinfmal so umfangreichen Werk von
Bachmann konnte die Vermuturig entstehen lassen, als wiirde dem
Leser der groBte Teil del' Theorie vorenthalten. Ieh glaube, sie trifft
nicht zu. Die modernen Methoden machen den Zugang ungemein
leichter als er frfiher war. Doch muB ich gestehen, daB das \Verk kein
vollstandiges Handbuch ist. So fehIt z. B. die Reduktionstheorie ganz.
Immerhin ist versucht worden, den Leser auf die Lucken aufmerksam
zu machen und ihm weitere Literatur zu empfehlen.
Die Anordnung des Stoffes erfolgt in den drei ersten, die Grundlagen
enthaltenden Kapiteln methodisch nach den uber den Grundkorper
gemachten Voraussetzungen. Das I. Kapitel bringt neben anderem die
Theorie der orthogqnalen Gruppe in einem beliebigen Korper mit von
2 verschiedener Charakteristik und geht dabei uber die bloHe Bereit
stellung von Hilfsmitteln fUr die spateren Teile hinaus. Das IV. und
V. Kapitel fiihrt an aktuelle Probleme der Forschung heran. Der
heutige Stand der Mathematik erfordert es, die Voraussetzungen so
weit als moglich zu fassen. Es bedeutet aber auch kaum einen Mehr
aufwand an Muhe, die Theorie fUr endlich algebraische Zahl- und Funk
tionenkorper (mitendlichem Konstantenkorper und Charakteristik =1= 2)
an Stelle fUr den rationalen durchzufUhren. Eine Ausnahme macht
VIII
Vorwort.
lediglich der Satz von der Endlichkeit der Klassenzahl, fur weIchen
die Vereinfachung in dem rationalen Spezialfall· in mer Anmerkung
gebracht wird. Erst in den letzten Paragraphen wird dieser Standpunkt
verlassen, um ohnehin komplizierte 'Obei'legungen so kurz wie moglich
halt en zu konnen.
Dem Anfanger wird empfohlen, das Buch nieht durchlaufend zu
lesen, sondem sich zuerst einen wertendefl Vberblick uber den Sinn der
Definitionen und Satze zu verschaffen. Besonders die meist am Ende
eines Paragraphen stehenden langeren Beweise konnen gut bei einer
ersten oberflachlichen Lekture iiberschlagen werden. Praktisch istes,
zunachst die Paragraphe n in der Reihenfolge 1,4, (5), 9, 12, 11 (Nr.2),
13, 14 zu lesen und sodann 1, 2;6, 7, 8, 22, 23 oder auch umgekehrt.
Hieran anschlieBend kann wahlweise entweder das IV. oder das
V. Kapitel studiert werden. Die nicht erwahnten Paragraphen
dienen zur Vertiefung, man kann sie spater nachBedarf vomelpnen.
Als Leser habe ich mir Studierende der mittleren und hoheren
Semester vorgestellt, die sich anschieken, auf einem· Teilgebiet der
Mathematik vertiefte Kenntnisse zu erwerben. Vorausgesetzt wird"eine
gewisse Vertrautheit mit der moderoen Algebra sowie mit den Elementen
der Theorie der algebraischen Zahlen. NaturgemaB wird der Leser an
manchen Stellen, besonders gegen das Ende des Buches hin, beherzigen
mussen, was A.]. Chintschin in dem SchluBwort seines schonen
Buchleins "Drei Perlen der Zahlentheorie" (deutsche Ubersetzung Berlin
19(1) sagt: ,,Dieser durch seine elementaren Schlusse wunderschone
Beweis wird Ihnen zweifellos sehr kompliziert erscheinen. Aber Sie
brauchen an ihm nur 2 bis 3 Wochen mit Bleistift und Papier zu arbeiten,
urn ihn vollkommen zu verstehen und sich anzueignen. Gerade durch
Uberwindung von Schwierigkeiten dieser Art wachst und entwickelt
sich der Mathematiker."
Zum SchluB danke ich Herro Professor F. K. Schmidt und dem
Springer-Verlag in gleicher Weise, mir die systematische Bearbeitung
dieses reichhaltigen Problemkreises ermoglicht zu haben. Daneben
gebuhrt mein Dank Herro Dr. M. Kneser, der mir eine Reihe wert
voller Ratschlage gab, sowie den Herren Dr. H. J. Durbaum und
H. Brakhage, welche mich bei dem Lesen der Korrekturen tat6raftig
unterstiitzten.
Munster, den 29. Februar 1952.
M. Eichler.
Inhaltsverzeiehnis.
Seit.
Einleitung 1
Erstes Kapitel.
Algebra der metrlschen Riume.
§ 1. Der metrische Raum und seine Automorphismen 2
1. Defiuition eines metrischen Raumes S. 2 - 2. Halbein
fache Raume S. 4. - 3. Die Automorphismen eines metri
s.chen Raumes S. 5. - 4. Darstellung der Automorphismen
durch SpiE~gelungen S. 7. - 5. Die Irreduzibilitat der ortho-
. g~malen Gruppe S. 8. - 6. Die .Ahnlichkeitstransformatio
nen S.10.
§ 2. Die Typen der metrischen Raume 10
§ 3. Die Automorphismengruppe eines isotropen Raumes 12
1. -Die Erzeugung von .0 aus gewissen Untergruppen
S. 12. - 2. Eine Darstelhmg der Automorphismen durch
Matrizen 'So 14. - 3. Beweis fiir Satz 3.1 S. 16. - 4. Die
Struktur der Gruppe .0, S. 17. - 5. Beweis fur Satz 3.5
S.19. .
§ 4. Die Spinor-Darstellung der orthogonalen Gruppe. 22
1. Die Cliffordschen Algebren S. 22. - 2. Die Darstellung
der Automorphismengruppe von R in Cz S. 25. - 3. Die
Darstellung der .Ahnlichkeitstransformationen in C S. 27 .
2
. § 5. Raume der Dimensionen 2 bis 6 27
1. Zweidimensionale Raume S. 27. - 2. Dreidimensionale
Raume S. 29. - 3. Die Modulargruppe S. 29. - 4. Vier
dimensionale Raume S. 31. - 5. Funfdimensionale Raume
S. 33. - 6. Sechsdimensionale Raume S. 34.
Zweites Kapitel.
Metrische Riiume nber perfekten diskret bewerteten Korpern.
§ 6. Die Grundeigenschaften periekter diskret bewerte-
ter Korper und ihrer quadratischen Erweiterungen 36
1. Quadratische Erweiterungen S. 36. - 2. Quaternionen
Algebren S. 38.
§ 7. Invariante Kennzeichnung der Raume und Raum-
typen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1. Die Q-Raume S. 39. - 2. Aufzahlung der anisotropen
Raume S. 42. - 3. Die Invarianten der Raume und Raum
typen S. 44.
§ 8. Raume und Raumtypen iiber den Korpern der reel-
len und komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . 46
x
Inhaltsverzeicbnis.
§ 9. Die Gitter .. .. .. . .. .. .. .. ... . .. .. .. . .. .. .. . Sc4i7te
1. Definitionen S. 47. - 2. Kanonische Basen S. 48. -
3. Maximale Gitter S. 50. - 4. Beispiele S. 54.
§ 10. Die Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1. Definition und elementare Eigenschaften S. 5.6. - 2. Die
Einbeiten in isotropen Raumen S. 57. - 3. Assoziierte
Vektoren S. 59.
§ 11. Die Ideale .......•........... 63
1. Ganze .Ahnlichkeitstransformationen S. 63. - 2. Defi
nition und Grundeigenscbaften der Ideale S. 65. - 3. Die
Anzahl der ganzen Ideale, welche einen Vektor teilen
S. 67. - 4. Einzelausfiihrungen S. 69.
Drittes Kapitel.
Die elementare Aritbmetik der metriscben Rliume fiber algebra
i8chen Zahl- und Funktionenkiirpern.
§ 12. Die Gitter 74
1. Die .\.l-adischen Erweiterungen eines Gitters S. 74. -
2. Die Gitter als endliche Moduln S. 77. - 3. Die .Abnlich
keits- und Isomorphieklassen S. 78. - 4. Fortsetzung
S. 81. - 5. Der Linearformensatz von Minkowski S. 85.
§ 13. Die Ideale 86
1. Kennzeichnung von Gittern S. 86. - 2. Grundeigen
scbaften der Ideale S. 87. - 3. Klassen und Geschlechter
S. 88. - 4. Die Spinor-Geschlechter S. 90.
§ 14. Beziebungen zur Aritbmetik der Cliffordschen AI-
gebren ... . . . . . . . . . . . . . . . . . •. 94
1. Zweidimensionale Raume und quadratische Zahlk6rper
S. 94. - 2. Gitter i~ R und Ordnungen in Cz S. 96. -
3. Ideale in R und in Cz S. 98.
§ 15. Gitter in isotropen Raumen . . . . . 99
1. Spinor-verwandte Gitter S. 99. - 2. Maximale Gitter
S. 102.
§ 16. Die elementare Theorie der Einheiten . . . 103
1. Vorbemerkungen S. 103. - Die Ordnung der Einheiten
gruppen S. 103. - 3. Die relativen MaBe der Einheiten
gruppen S. 105. - 4. Die Einbeitengruppen von Teilrau
men S. 107.
Viertes Kapitel.
Vektoren und Ideale.
§ 17. Die An zahlmatri zen ...... . . . . . . . . . 109
1. Definition und elementare Eigenschaften S. 109. -
2. Verallgemeinerung der Anzahlmatrizen S. 112. - 3. Trans- .
formation der Anzahlmatrizenauf Normalgestalt S. 115.
Inbalt sverzeichilis. XI
Seite
§ 18. Eine Reduktion der Anzahlmatrizen ...... 117
1. Die relativen DarsteIlungsmaBe S. 117. - 2. Verkniipfung
mit den Anzahlmatrizen, ein Spezial£all S. 118. - 3. Der
allgemeine Fall S. 121. - 4. Multiplikative Eigenschaften
der Datstelhmgsma13e S. 124. - 5. Zusatzliche Bemerkun-
gen S. 126. - 6. Die Obertragung auf die verallgemeiner-
ten Anzahlmatrizen S. 127.
§ 19. Eine weitere Reduktion der Anzahlmatrizen 130
1. Durchfiihrung der Reduktion S. 130. - 2. Die relativen
DarstellungsmaBe bez. der Halbgeschlechter S. 131.
§ 20. Die Thetafunktionen .............. 133
1. Einfiihrung S. 133. - 2. Die Reziprozitiitsformel S. 135. -
3. GauBsche Summen S. 137. - 4. Die Modulgruppe
S. 139. - 5. Die Darstellung der Modulgruppe im Raum der
Thetafunktionen S. 140.
§ 21. Modulformen und Modulfunktionen ....... 142
1. Funktionentheoretische Grundlagen S. 142. - 2. Die
Heckeschen Operatoren So. 144. - 3. Anwendung auf die
Thetafunktionen S. 147. - 4. Weitere Ergebnisse S. 150. -
5. Formen der Stufe 1 S. 151. - 6. Quaternare Formen mit
quadratischer Diskriminante S. 152.
Fiinftes Kapitel.
Die hahere Arithmetlk der metri8ehen _R Aume, in8besondere
tiber dem K6rper der ratlonalen Zahlen.
§ 22. Die Q-Raume ......•............ 153
1. Die Hauptsatze S. 153. - 2. Beweise fiir den Spezial-
fall des rationalen Zahlktirpers S. 154. - 3. Ternare in
homo gene Gleichungen S. 158.
§ 23. Invariante Kennzeichnung der Raume und Raum-
typen ....................... 159
1. Anisotrope Raume S. 159. - 2. Die Normaldarstellung
der Raumtypen S. 161. - 3. Die Normen der Ahnlich
keitstransformationen S. 165.
§ 24. Die elementare Theorie der MaBe ...... 166
1. Einfiihrung S. 166. - 2. Das EinbettungsmaB S. 168. ,.-
3. Beziehungen zwischen dem EinbettungsmaB und dem
MaB von Geschlechtern in Teilraumen S. 169. - 4. Die
lJ-adischen MaBe und EinbettungsmaBe S. 173. - 5. Eine
Anwendung S. 174.
§ 25. Das absolute MaB derlJ-adischenEinheite·ngruppen 175
L Die EinteiIung, der automorphen Einheiten in Rest
klassen S. 175. - 2. Die Definition der absoluten MaBe
S. 180. - 3. Die Einheitengruppen von Teilraumen S. 182. -
4. Berechnung der absoluten MaBe S. 185.
§ 26. Die analytische MaLHormel fur definite Raume 187
1. Die Hauptsatze S. 187. - 2. Beweis fur Satz 26.1
S. 190. - 3. Weitere Ausfiihrungen S. 197.