Projektive Geometrie der Ebene: Unter Benutzung der Punktrechnung Dargestellt

424 Pages·1913·23.894 MB·German

by  Hermann Grassmann (auth.)

Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin
Fruher erschien:
Projektive Geometrie der Ebene
Unter Benutzung der Punktrechnung dargestellt von
Hermann GraUmann
Professor an der Unive18itiit Gie.13en.
In 2 Banden. 1. Band: Binares. Mit 126 Figuren.
[XII u. 360 S.] gr. 8. 1909. Geheftet,j(, 12. -, in Leinwand gebunden.lt 13.-
Das Werk weicht seinem Inhalte wie seiner Form nach ziemlich stark von
den sonstigen analytischen Bearbeitungen der projektiven Geometrie ab; seinem
Inhalte nach, insofern das Rechnen mit Abbildungen in den Yordergrund der Be
trachtung geriickt ist, seiner Form nach, indem als analytisches Hilfsmittel die
von A. F. Mobius und dem Yater deB Yerfasser~ begriindete Methode der Punkt
rechnung verwendet wurde, die fUr die Darstellung der projektiven Geometrie
manche Yorzuge hat. Da man nlimlich bei ihr nicht nur die geometrischen
Gebilde, den Punkt und die Gerade, die Strecke und das Feld, sondern auch die
wichtigsten Abbildungen, die Projektivitat und Involution, die Kollineation, die
Reziprozitat und das Polarsystem durch ein einziges Symbol ausdruckt und
direkt der Rechnung unterwirft, gelangt man nicht nur zu Formeln von bemerkens
werter Kiirze, sondern hat auch den Yorteil, daB jedem Schritte der Rechnung
eine entsprechende begriffliche Entwickelung parallel geht, wodurch zugleich eine
engere Fiihlung mit der synthetischen Behandlung der Geometrie gewonnen wird.
AuBerdem tritt das fUr die projektive Geometrie so wichtige Prinzip der Dualitat
noch scharfer hervor, als dies bei anderen rechnerischen Methoden der Fall ist, und
man erhalt ferner eine anschaulicbe und natiirlicbe Deutung der Dreieckskoor
dinaten, die es dann auch ermoglicht, in jeclem Stadium der Recbnung aufs
leichteste zu den gewohnlichen Koordinatengleicbungen iiberzugehen.
Der erste Band des Werkes umfaBt neben einem einleitenden Teile, in
welchem die .\1.ethode del' Punktrecbnung dargelegt wird, die Grundbegriffe der
projektiven Geometrie, die Erzeugung del' Kurven zweiter Ordnung und zweiter
Klasse durch projektive Strablbiiscbel und Punktreihen, Bodann aber eine be
sonders ausfiihrliche Behandlung der Projektivitaten in der Geraden und im
Strahlbiischel, bei der versucht wurde, an dies em eil,facbsten Beispiele das
moderne Yerf'ahren des Rechnens mit Abbildungen zu entwickeln und die wich
tigsten auf cliesem Gebiete in den letzten 25 Jahren von St8phanos, H. Wiener,
Segre, Peano, Aschieri, Study, Scheffers, Reye und Burali-Forti gewonnenen
Ergebnisse im Zusammenhange darzustellen. Der zweite Band enthalt die pro
jektiven Abbildungen in der Ebene, die Kollineation und die Reziprozitat und
im AnschluB daran eine eingehende Behandlung der Kegelschnitte und linearen
Systeme von Kegelschnitten.
PROJEKTIVE GEOMETRIE DER EBENE
UNTER BENUTZUNG DER PUNKTRECHNUNG DARGESTELLT
VON
HERMANN GRASSMANN
ZWEITER BAND: TERNARES
ERSTER TElL
MIT 167 FIGUREN 1M TEXT
SPRINGER FACHMEDIEN WIESBADEN GMBH
1913
ISBN 978-3-663-15276-7 ISBN 978-3-663-15842-4 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-15842-4
ALLE HECHTE, EINSCHLIESSLICH DBS ÜBEBSETZUNGSKECHTS, VORBEHALTEN.
Vorrede.
Der zweite Band der projektiven Geometrie der Ebene, der das ternare
Gebiet umfassen solI, ist von mir in _zwei Teile zerlegt worden. Der vor
liegende erste Teil enthiilt die linearen Abbildungen in der Ebene, die
Kollineation und Reziprozitat,· und in besonders ausfiihrlicher Darlegung
das Polarsystem. 1m AnschluB an dieses werden die schon im ersten Bande
auf Grund ihrer projektiven Erzeugung, das heiBt vom binaren Standpunkte
aus, behandelten Kurven zweiter Ordnung und zweiter Klasse mit Riicksicht
auf ihre ternaren Beziehungen von neuem untersucht und auch die Eigen
schaften der Kegelschnittbiischel und Kegelschnittscharen entwickelt.
Die Darstellung weicht ebenso wie im ersten Bande sehr stark von
dem sonst Ublichen ab, in so fern ich zur Ableitung der geometrischen
Satze die Punktrechnung verwendet habe, deren Formelentwickelung sich
dem Stoffe aufs Engste anschmiegt. Dabei konnte ich fiir die Behandlung
gewisser Abstufungen der projektiven Geometrie direkt diejenige Form der
Punktrechnung zu Grunde legen, die ihr von meinem Vater in seiner
Ausdehnungslehre verliehen ist, wahrend ich fUr andere Teilgebiete der
projektiven Geometrie den entsprechenden Kalkul erst zurechtzumachen
hatte. Das gilt zum Beispiel von dem kombinatorischen Produkte linearer
Abbildungen in der Ebene, zu dessen Begriff zwar gewisse Ansatze vor
lagen, dessen Ausgestaltung im Einzelnen aber noch zu vollziehen blieb.
Als Wegweiser diente mir hierzu wenigstens in einer Richtung meine
schon im ersten Bande bei der Behandlung des Binaren gegebene Er
klarung des kombinatorischen Produktes zweier Projektivitaten derselben
Geraden, wahrend die Fragestellung des Ternaren, entsprechend der groBeren
Mannigfaltigkeit seines Gebietes, nach anderen Seiten hin besondere Ziele
hervortreten lie13, die fiir den Ausbau des Begriffs jener kombinatorischen
Produkte weitere Anhaltspunkte boten.
Zu den neu eingefiihrten Bildungen der Punktrechnung ziihle ich ferner
gewisse in der Theorie der Polarsysteme auftretende planimetrische Pro
dukte, welche die Polare eines Punktes oder den Pol einer Geraden hin
sichtlich eines Polarsystems als Faktor enthalten. Sie bilden einen Ersatz
fiir die sonst benutzten geranderten Determinanten und zeichnen sich vor
diesen durch die Einfachheit ihrer rechnerischen Handhabung aus.
a*
IV Vorrede.
Es laBt sich erwarten, daB eine solche andere Art der Darstellung
manche Seiten der projektiven Geometrie in neuer Beleuchtung erscheinen
lassen wird. Einen Fortschritt erblicke ich unter anderem in meiner Ent
wickelung der Dreieckskoordinaten, die durch ihre Anschaulichkeit den
Zugang zur projektiven Geometrie wesentlich erleichtert. Fiir beachtens
wert halte ich femer die Folgerungen, die ich aus der Doppelpunkts
gleichung einer Kollineation gezogen habe, sowie die Ableitung der ver
schiedenen Arten der Kollineation; ebenso die geometrische Deutung der
Gleichungen 0ik = Ok; zwischen den Ableitzahlen eines Polarsystems. Neue
Gesichtspunkte findet man auch bei der Behandlung der entartenden Kolli
neationen und Polarsystome, bei den Kriterien iur die verschiedenen Arten
der Kegelschnittbiischel und Kegelschnittscharen, bei der Darstellung der
harmonischen Kurven zweiter Ordnung und zweiter Klasse und bei der
Einfiihrung der Polkegelschnitte und Polarkegelschnitte.
Nicht gering mochte ich endlich den EinfluB veranschlagen, den die
Verwendung der Punktrechnung auf die Gliederung des Stoffes der pro
jektiven Geometrie ausgeiibt hat. Fiihrt man namlich, wie es sich schon
aus didaktischen Griinden empfiehlt, ein neues rechnerisches Hiilfsmittel
der Punktrechnung, zum Beispiel eine neue GroBenart oder eine neue Ver
kniipfung, immer erst dann ein, wenn der Kreis der geometrischen Folge
rungen erschOpft ist, die man bereits mit den bis dahin entwickelten Be
griffe n allein ziehen kann, so ergibt sich ungezwungen neben den groBen
Abstufungen der projektiven Geometrie, deren gesonderte Behandlung
F. Klein in seinem Erlanger Programm aus gruppentheoretischen Gesichts
punkten gefordert hat, eine noch weiter gehende Einteilung in Sonder
gebiete und damit eine noch scharfere Abgrenzung der Fluchten und Stock
werke, aus denen sich der stolze Bau der projektiven Geometrie zu
sammensetzt.
Eine Folge der Anordnung des Stoffes nach den in der Punktrech
nung auftretenden GroI3enarten und Verkniipfungen war es, daB alles, was
mit dem Kreispunktpaar zusammenhangt, auf den zweiten Teil dieses
Bandes verwiesen werden muI3te. AuI3erdem wird er die Theorie der Apo
laritat und eine ausfiihrliche Behandlung der Kemkurven einer Reziprozitat
enthalten.
Auch diesmal habe ich wieder meinem Freunde H. Wiener und
meinem Bruder Max fiir die vielfachen sachlichen Anregungen und didak
tischen Ratschlage zu danken, durch die sie mich bei der Abfassung des
Buches gefordert haben.
Stettin, den 4. Oktober 1912.
Hermann GraSmann.
Inhal tsverzeichnis.
Vierter Ha u ptteil.
Das Dreieckskoordinatensystem nebst Anwendungen.
Abschnitt 25: Die Dreieckskoordinaten eines Plmktes und eines Stabes.
Saito
Das Fundamentaldreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Die }'eldeinheit und die unendlich ferne Gerade. . . . . . . . . . . . . . 5
Begritf der Dreieckskoordinaten eines Punktes in bezug auf 3 gegebene Punkte
als Grundpunkte und einen gegebenen Punkt als Einheitspunkt. Ihre mecha
nische Deutung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Geometrische Deutung del' Dreieckskoordinaten eines Punktes. . . . . . . . . 8
Zusammenhang der Dreieckskoordinaten eines Punktes mit seinen Zuriickleitungen
auf die Ecken des Fundamentaldreiecks unter Ausschlu/3 der Gegenseiten . 13
Begriff der Dreieckskoordinaten eines Stabes in bezug auf 3 gegebene Punkte als
Grundpunkte und einen gegebenen Punkt als Einheitspunkt. Ihre geometri
sche Bedeutung. Der Einheitsstab . . . . . . . . . . . . . . . . . • .
Die Gerade des Einheitsstabes als Harmonikale des Einheitspunktes in bezug auf
das Fundamentaldreieck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Weiterfiihrung der geometrischen Deutung der Dl'eieckskoordinaten eines Stabes 18
Zusammenhang der Dreieckskoordinaten eines Stabes mit seinen Zuriickleitungen
auf die Seiten des Fundamentaldreiecks unter AusschluB der Gegenecken.
Mechanische Deutung der Stabkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . 21
Die Dreieckskoordinaten des unendlich fernen Stabes J. . . . . . . . . . . . 24
Die Gleichung einer Geraden und die Gleichung eines Punktes in Dreiecks-
koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Die Lil.nge des Einheitsstabes und eines beliebigen Stabes, die Masse des Ein-
.. heitspunktes und eines beliebigen Punktes . . . . . . . . . . . . . 26
Ubergang zu den Cartesischen Koordinaten. Besondere Wahl der Ecken des
Fundamentaldreiecks uud des Einheitspunktes. . . . . . . . . . . . . . 28
Beziehnngen zwischen den so gewonneneu spezieUen Dreieckskoordinaten und den
Cartesischen Koordinaten eines Punktes ............... . 32
Beziehungen zwischen den zugehOrigen speziellen Dreieckskoordinaten eines Stabes
und den Hesseschen Linienkoordinaten seiner Geraden ........ .
Abschnitt 26: Harmonische Beziehungen am vollstiindigen Viereck und Vierseit.
Harmonische Punktwiirfe auf den 3 Nebenseiten eines voUstandigen Vierecks . 37
~armonische Punktwiirfe auf den 6 Hauptseiten eines vollstandigen Vierecks . 39
Uber ein einem vollstil.ndigen Viereck einge8chriebenes voUstandiges Vierseit . 40
Harmonische Strahlwiirfe in den 3 Nebenecken eines vollstandigen Vierseits 42
Harmonische Strahlwiirfe in den 6 Hauptecken eines voUstandigen Vierseits. 44
tJber ein einem vollstandigen Vierseit umschriebenes vollstandiges Viereck.. 45
Lineale Konstruktion des vierten harmonischen Punktes und Anwendung auf die
Konstruktion der Harmonikale eines Punktes in bezug auf ein Dreieck . . 46
VI Inhaltsverzeichnis.
Fiinfter Hauptteil.
Die Xollineation.
Abschnitt 27: Die allgemeinen Eigenschaften der Kollinealion. Seite
Der extensive Bruch fiir die Punkt-Punkt-Abbildung einer Kollineation.. . 49
Die Grundeigenschaften der Punkt-Punkt-Abbildung einer Kollineation. Der Fun
damentalsatz der Kollineation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Die zu der Punkt-Punkt-Abbildung f einer Kollineation adjungierte Stab-Stab-
Abbildung ~. . . . . . " . . . . . .. ........... 55
DaB kombinatorische Produkt [U] der Punkt-Punkt-Abbildungen zweier Kolli-
neationen . . . . . . . . . . . . . . . . " ........... 57
r
Die zu einer Punkt-Punkt-Kollineation adjungierte Kollineation ~ alB kombina-
torisches Quadrat von f. . . . . . . . . . . . . .. ........ 60
DaB kombinatorische Produkt [Um] der Punkt-Punkt-Abbildungen dreier Kolli-
neationen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . . . 61
Der Potenzwert der Punkt-Punkt-Abbildung einer Kollineation. . . . . . . . . 63.
DaB Verschwinden des Potenzwertes der Punkt-Punkt-Abbildung einer Kollineation.
Entartende Punkt-Punkt-Kollineationen. . . . . . . . . . . . . . . . . 64-
Das kombinatorische Produkt [~!!] der Stab-Stab-Abbildungen zweier Kolli-
neationen ............................. 70
Die zu einer Stab-Stab-Kollineation ~ adjungierte Kollineation f als kombinatori-
sches Quadrat von ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Die Grundeigenschaften der Stab-Stab-Abbildung einer Kollineation. . . . . . 73
Die kollinearen BHder einer Kurve zweiter Ordnung und zweiter Klasse. . . . 73
Die zur adjungierten Abbildung ~ einer Punkt-Punkt-Kollineation f adjungierte
Abbildung f . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . 74
Das kombinatorische Produkt [~!!!lJl] der Stab-Stab-Abbildungen dreier Kolli-
neationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Der Potenzwert der Stab-Stab-Abbildung einer Kollineation. . . . . . . . . . 76
Das Verschwinden des Potenzwertes der Stab-Stab-Abbildung einer Kollineation.
Entartende Stab-Stab-Kollineationen . . . . . 77
Die inverse Abbildung einer Kollineation ......... 79
Dualistisches zum Fundamentalsatz der Kollineation . . . . . 80
Die Beziehungen einer Kollineation zur unendlich fernen Geraden. Die AffinitiLt.
Die Fluchtlinie und Verschwindungslinie einer Kollineation . . . . . . . 82
Abschnitt 28: Die Doppelele-mente der KolZineation.
Die Doppelpunktsgleichung und die Hauptgleichung der Kollineation r. 8&
Erster Hauptfall: AHe drei Hauptzahlen der Kollineation f sind von einander
verschieden. Sie sind iiberdies reeH . . . . . . . . . . . . . . 86
Die Doppelliniengleichung und die Hauptgleichung der Kollineation ~. . . . . 88
Geometrische Deutung der Doppelpunktsgleichung. . . . . . . . . . . . . . 91
Die Abbildung innerhalb einer Doppellinie der Kollineation: ProjektivitiLt in der
Geraden. Der FaH zweier konjugiert komplexen Hauptzahlen: Positiv zir
kul1i.re Abbildung in der zugeMrigen Doppellinie. . . . . . . . . . • . 93
Zweiter Hauptfall: Die Kollineation f besitzt zwei gleiche Hauptzahlen. . . 94
Erster Unterfall: Die perspektive Kollineation. Ihre Charakteristik, ihre j<'luchtlinie 96
Die perspektive Kollineation mit der Charakteristik - 1: Spiegelung an einem
Punkt und einer Geraden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Das Kollineationszentrum der perspektiven Kollineation liegt im Unendlichen:
Perspektive Affinitllt. Ihre Charakteristik. . . . . . . . . . . . . . . . 101
Inbaltsverzeichnis. VII
Sette
Die perspektive Affinitat mit der Charakteristik - 1: Schiefe und senkrechte
Spiegelung an einer Geraden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Die Spurlinie der perspektiven Kollineation liegt im Unendlichen: Perspektive
Ahnlichkeit. Ihr VergroBerungsverhaltnis . . . . . . . . . . . . . . . 103
Die perspektive Ahnlichkeit mit der Charakteristik - 1: Spiegelung an einem
Punkte. . . . .. ........................ 104
Zweiter Unterfall: Zwei getrennte reelle Doppelpunkte und neben ihrer Ver
bindungslinie noch eine zweite, durch den einen von den beiden Doppel
punkten gehellde Doppellinie, auf der eine zentrische Schiebung in der
Geraden nach jenem Doppelpunkte als Zielpunkt stattfindet. . . . . 104
Dritter Haup'tfall: Die Kollineation f besitzt drei gleiche Hauptzahlen. 105
Erster Unterfall: Die Deckung und Identitat . . . .. ... . . 107
Zweiter Unterfall: Die zentrische Schiebung in der Ebene. Ihr Zielpunkt und
ihre Spurlinie. . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Die Spurlinie der zentrischen Schiebung liegt im Unendlichen: Gewohnliche
Schiebung in der Ebene. . . . . . . . . . . .. ......... 109
Dritter Unterfall: Ein Doppelpunkt und eine durch ihn gehende Doppellinie.
Verbindung einer zentrischen Schiebung in der Doppellinie nach dem
Doppelpunkte hin mit einer Strahlbiischelschiebung um den Doppelpunkt
nach der Doppellinie hin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Ab!1chnitt 29: Das Verschwinden des kombinatorischen Produktes dreier
Punkt-Punkt-Kollineationen.
Analytische Umformung der Gleichung [fIm] = O. ........... " 111
Anwendung auf die Gleichung [fll] = 0 .........•....... 113
Eine Kollineation f geniigt dann und nur dann der Gleichung [111] = 0, wenn
sie sich in eingeschriebener Dreieckslage befindet . . . . . . . . . . . . 114
Linienzugseigenschaft einer Kollineation in eingeschriebener Dreieckslage . .. 115
tTber ein vollstandiges Vierseit, das einem vollstandigen Viereck verkehrt ein-
geschrieben ist . ., ........ .......... 117
Viereckseigenschaft einer Kollineation in eingeschriebener Dreieckslage 120
Analytische Umformung der Gleichung [fll] = 0 . . . . . . . . . . 123
Geometrische Deutung einer Kollineation f, die der Gleichung [IU] = 0 Geniige
leistet. Ihre Dreiecks-. Linienzugs- und Vierecks-Eigenschaft. . . . . .. 124
Analytische Umformung der Gleichung [fl1J = 0 . . . . . . . . . . . . . . 127
Sechseckseigenschaft zweier Kollineationen fund I, die del' Gleichung [U 1] = 0
Geniige leisten . . . " ........... . . . . . . 128
Die Involutionskurve zweier Punkttripel und die Involutionsgerade zweier pro
jektiven Punktreihen mit verschiedenen Tragern. . . . . . . . . . . . 129
Dreieckseigenschaft zweier Kollineationen fund I, die der Gleichung [fll] = 0
Geniige leisten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Das Involutionsviereck zweier Punktquadrupel. . . .. .......... 135
Viereckseigenschaft zweier Kollineationen fund I, die del' Gleichung [fl1] = 0
Geniige leisten .......................... " 137
Geometrische Beziehungen zwischen drei Kollineationen f, I, m, die der Glei
chung [flm] = 0 unterliegen. Ihre Sechsecks-, Dreiecks- und Vierecks
Eigenschaft. . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
VIII Inhaltsverzeichnis.
Sechster Hauptteil.
Die Reziprozitii.t und das Polarsystem. Xurven zweiter Ordnung und
zweiter Klasse.
Abschnitt 30: Die allgemeinen Eigenschaften der Reziprozitiit. Seite
Der extensive Bruch fiir die Punkt-Stab-Abbildung einer Reziprozitat. . . 143
Die Grundeigenschaften der Punkt-Stab-Abbildung einer Reziprozitat. Der Fun
damentalsatz der Reziprozitat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Die zu der Punkt-Stab·Abbildung r einer Reziprozitat adjungierte Stab-Punkt-
Abbildung B ....... , .............. . 14,6
Das kombinatorische Produkt [rs] der Punkt.Stab-Abbildungen zweier Rezi-
prozitaten. . . . . . . . . . .. ................. 149
Die zu einer Punkt-Stab-Reziprozitat r adjungierte Reziprozitat R als kombi-
natorisches Quadrat von r. . . . . . . . . . . . . . . . 152
Das kombinatorische Produkt Erst] der Punkt-Stab-Abbildungen dreier Rezi-
prozitaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Der Potenzwert der Punkt-Stab-Abbildung einer Reziprozitat. . . 153
Das kombinatorische Produkt [BS] der Stab-Punkt-Abbildungen zweier Rezi-
prozitaten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
r
Die zu einer Stab-Punkt-Reziprozitat R adjungierte Reziprozitat als kombi-
natorisches Quadrat von B . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Die Grundeigenschaften der Stab-Punkt-Abbildung einer Reziprozitat . 157
Die zur adjungierten Abbildung Reiner Punkt-Stab-Reziprozitat r adjungierte
r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abbildung 158
Das kombinatorische Produkt [BS T] der Stab-Punkt-Abbildungen dreier Rezi-
prozitll.ten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Der Potenzwert der Stab.Punkt-Abbildung der Reziprozitat 160
Die Kollineation als Folge zweier Reziprozitaten . . . . . 161
Die inverse Abbildung einer Reziprozitat. . . . . . . . . 162
Der Fluchtpunkt und der Verschwindungspunkt einer Reziprozitat 168
Abschnitt 31: Das Polarsystem.
nbergang von der allgemeinen Reziprozitat zum Polarsystem: Erate Grund-
eigenschaft des Polarsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
.zweite Grundeigenschaft des Polarsystems: Seine erste Grundgleichung 175
Dritte Grundeigenschaft des Polarsystems: Satze von Chr. v. Staudt. 176
Der Abbildungsbruch eines Polarsystems p fiir den Fall, wo das Nennerdreieck
ein Polardreieck ist . . . . . .. ...... .......... 183
Die Polkurve eines Polarsystems: Das Polarsystem zweiter Ordnung . . . . . l84
Die Lage des Pols und seiner Polare gegen die Polkurve eines Polarsystems
zweiter Ordnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Die Involutionen, die ein Polarsystem zweiter Ordnung in einer Geraden und
in einem Punkte seiner Ebene hervorruft . . . . . . . . . . 191
Zweite Grundgleichung des Polarsyste11ls. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Die Polarkurve eines Polarsystems: Das Polarsystem zweiter Klasse . . . . . 195
Die Lage der Polare und ihres Pols gegen die Polarkurve eines Polarsystems
zweiter Klasse. . . . .. ..................... 198
Die Involutionen, die ein Polaraystem zweiter Klasse in einem Punkte und in
einer Geraden seiner Ebene hervorruft. . . . . . . . . . . . . . . 200
Der Zusammenhang zwischen der Pol- und Polarkurve eines Polarsystems. . . 203