Problems and solutions for calculus of variations (MA4311)

107 Pages·1996·0.492 MB·English

by  Neta B.

CALCULUS OF VARIATIONS
MA (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:3) SOLUTION MANUAL
B(cid:1) Neta
Department of Mathematics
Naval Postgraduate School
Code MA(cid:1)Nd
Monterey(cid:2) California (cid:3)(cid:4)(cid:3)(cid:5)(cid:4)
June (cid:6)(cid:6)(cid:2) (cid:7)(cid:8)(cid:8)(cid:6)
c (cid:1)(cid:2)(cid:2)(cid:3) (cid:4) Professor B(cid:5) Neta
(cid:1)
(cid:1)
Contents
(cid:1) Functions of n Variables (cid:1)
(cid:2) Examples(cid:3) Notation (cid:4)
(cid:5) First Results (cid:1)(cid:5)
(cid:6) Variable End(cid:7)Point Problems (cid:5)(cid:5)
(cid:8) Higher Dimensional Problems and Another Proof of the Second Euler
Equation (cid:8)(cid:6)
(cid:9) Integrals Involving More Than One Independent Variable (cid:10)(cid:6)
(cid:10) Examples of Numerical Techniques (cid:11)(cid:12)
(cid:11) The Rayleigh(cid:7)Ritz Method (cid:11)(cid:8)
(cid:4) Hamilton(cid:13)s Principle (cid:4)(cid:1)
(cid:1)(cid:12) Degrees of Freedom (cid:7) Generalized Coordinates (cid:1)(cid:12)(cid:1)
(cid:1)(cid:1) Integrals Involving Higher Derivatives (cid:1)(cid:12)(cid:5)
i
List of Figures
(cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:6)
(cid:7) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:3)(cid:8)
(cid:9) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:3)(cid:8)
(cid:8) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:10)(cid:1)
(cid:6) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:10)(cid:7)
(cid:3) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:10)(cid:9)
(cid:11) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:10)(cid:8)
(cid:10) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:10)(cid:11)
(cid:2) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:12)
(cid:1)
(cid:1)(cid:12) Plot of y (cid:13) (cid:2) and y (cid:13) tan(cid:14)(cid:2)(cid:15) sec(cid:14)(cid:2)(cid:15) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:6)
(cid:7) (cid:2)
ii
Credits
Thanks to Lt(cid:5) William K(cid:5) Cooke(cid:16) USN(cid:16) Lt(cid:5) Thomas A(cid:5) Hamrick(cid:16) USN(cid:16) Major Michael
R(cid:5) Huber(cid:16) USA(cid:16) Lt(cid:5) Gerald N(cid:5) Miranda(cid:16) USN(cid:16) Lt(cid:5) Coley R(cid:5) Myers(cid:16) USN(cid:16) Major Tim A(cid:5)
Pastva(cid:16) USMC(cid:16) Capt Michael L(cid:5) Shenk(cid:16) USA who worked out the solution to some of the
problems(cid:5)
iii
CHAPTER (cid:1)
(cid:1) Functions of n Variables
Problems
(cid:1)(cid:5) Use the method of Lagrange Multipliers to solve the problem
(cid:1) (cid:1) (cid:1)
minimize f (cid:13) x (cid:17)y (cid:17)z
subject to (cid:3) (cid:13) xy (cid:17)(cid:1) z (cid:13) (cid:12)
(cid:2)
(cid:7)(cid:5) Show that
(cid:4) (cid:4)(cid:2)
max (cid:13)
(cid:1) (cid:1)cosh(cid:4)(cid:1) cosh(cid:4)(cid:2)
(cid:1) (cid:1)
where (cid:4)(cid:2) is the positive root of (cid:1)(cid:1) (cid:1)(cid:1)
cosh(cid:4) (cid:4)sinh(cid:4) (cid:13) (cid:12)(cid:1)
(cid:2)
Sketch to show (cid:4)(cid:2)(cid:5)
(cid:9)(cid:5) Of all rectangular parallelepipeds which have sides parallel to the coordinate planes(cid:16) and
which are inscribed in the ellipsoid
(cid:1) (cid:1) (cid:1)
x y z
(cid:17) (cid:17) (cid:13) (cid:1)
(cid:1) (cid:1) (cid:1)
a b c
determine the dimensions of that one which has the largest volume(cid:5)
(cid:8)(cid:5) Of all parabolas which pass through the points (cid:14)(cid:12)(cid:16)(cid:12)(cid:15) and (cid:14)(cid:1)(cid:16)(cid:1)(cid:15)(cid:16) determine that one
which(cid:16) when rotated about the x(cid:4)axis(cid:16) generates a solid of revolution with least possible
volume between x (cid:13) (cid:12) and x (cid:13) (cid:1)(cid:1) (cid:18)Notice that the equation may be taken in the form
y (cid:13) x(cid:17)cx(cid:14)(cid:1) x(cid:15)(cid:16) when c is to be determined(cid:5)
(cid:2)
(cid:6)(cid:5) a(cid:5) If x (cid:13) (cid:14)x(cid:3)(cid:5)x(cid:1)(cid:5) (cid:5)xn(cid:15) is a real vector(cid:16) and A is a real symmetric matrix of order n(cid:16)
(cid:3)(cid:3)(cid:3)
show that the requirement that
T T
F x Ax (cid:4)x x
(cid:4) (cid:2)
be stationary(cid:16) for a prescibed A(cid:16) takes the form
Ax (cid:13) (cid:4)x(cid:1)
Deduce that the requirement that the quadratic form
T
(cid:6) x Ax
(cid:4)
(cid:1)
be stationary(cid:16) subject to the constraint
T
(cid:7) x x (cid:13) constant(cid:16)
(cid:4)
leads to the requirement
Ax (cid:13) (cid:4)x(cid:5)
where (cid:4) is a constant to be determined(cid:5) (cid:18)Notice that the same is true of the requirement
that (cid:7) is stationary(cid:16) subject to the constraint that (cid:6) (cid:13) constant(cid:16) with a suitable de(cid:19)nition
of (cid:4)(cid:5)(cid:20)
b(cid:5) Show that(cid:16) if we write
T
x Ax (cid:6)
(cid:4) (cid:13) (cid:5)
T
x x (cid:4) (cid:7)
the requirement that (cid:4) be stationary leads again to the matrix equation
Ax (cid:13) (cid:4)x(cid:1)
(cid:18)Notice that the requirement d(cid:4) (cid:13) (cid:12) can be written as
(cid:7)d(cid:6) (cid:6)d(cid:7)
(cid:2) (cid:13) (cid:12)
(cid:1)
(cid:7)
or
d(cid:6) (cid:4)d(cid:7)
(cid:2) (cid:13) (cid:12)(cid:20)
(cid:7)
Deduce that stationary values of the ratio
T
x Ax
T
x x
are characteristic numbers of the symmetric matrix A(cid:5)
(cid:7)
(cid:1) (cid:1) (cid:1)
(cid:1)(cid:5) f (cid:13) x (cid:17)y (cid:17)z
(cid:8) (cid:13) xy(cid:17)(cid:1) z (cid:13) (cid:12)
(cid:2)
(cid:1) (cid:1) (cid:1)
F (cid:13) f (cid:17)(cid:4)(cid:8) (cid:13) x (cid:17)y (cid:17)z (cid:17)(cid:4)(cid:14)xy (cid:17)(cid:1) z(cid:15)
(cid:2)
(cid:9)F
(cid:13) (cid:7)x(cid:17)(cid:4)y (cid:13) (cid:12) (cid:14)(cid:1)(cid:15)
(cid:9)x
(cid:9)F
(cid:13) (cid:7)y (cid:17)(cid:4)x (cid:13) (cid:12) (cid:14)(cid:7)(cid:15)
(cid:9)y
(cid:9)F
(cid:13) (cid:7)z (cid:4) (cid:13) (cid:12) (cid:14)(cid:9)(cid:15)
(cid:9)z (cid:2)
(cid:9)F
(cid:13) xy (cid:17)(cid:1) z (cid:13) (cid:12) (cid:14)(cid:8)(cid:15)
(cid:9)(cid:4) (cid:2)
(cid:14)(cid:9)(cid:15) (cid:4) (cid:13) (cid:7)z (cid:14)(cid:6)(cid:15)
(cid:5)
(cid:14)(cid:8)(cid:15) z (cid:13) xy(cid:17)(cid:1) (cid:14)(cid:3)(cid:15)
(cid:5)
(cid:14)(cid:6)(cid:15) and (cid:14)(cid:1)(cid:3)(cid:15) (cid:4) (cid:13) (cid:7)(cid:14)xy(cid:17)(cid:1)(cid:15) (cid:14)(cid:11)(cid:15)
(cid:5)
Substitute (cid:14)(cid:11)(cid:15) in (cid:14)(cid:1)(cid:15) (cid:4) (cid:14)(cid:7)(cid:15)
(cid:7)x (cid:17) (cid:7)(cid:14)xy (cid:17)(cid:1)(cid:15)y (cid:13) (cid:12) (cid:14)(cid:10)(cid:15)
(cid:5)
(cid:7)y (cid:17)(cid:7)(cid:14)xy (cid:17)(cid:1)(cid:15)x (cid:13) (cid:12) (cid:14)(cid:2)(cid:15)
(cid:1)
x(cid:17)xy (cid:17)y (cid:13) (cid:12)
(cid:2)
y (cid:17)x(cid:1)y(cid:17)x (cid:13) (cid:12) (cid:3)(cid:4) (cid:2)
(cid:3)(cid:5)
xy(cid:14)y x(cid:15) (cid:13) (cid:12) (cid:14)(cid:1)(cid:12)(cid:15)
(cid:2)
(cid:9)
x (cid:13) (cid:12) or y (cid:13) (cid:12) or x (cid:13) y
(cid:5)
x (cid:13) (cid:12) (cid:4) (cid:13) (cid:7) z (cid:13) (cid:1) (cid:5)y (cid:13) (cid:12) by(cid:14)(cid:1)(cid:15)
(cid:5) (cid:5)
(cid:14)(cid:11)(cid:15) (cid:14)(cid:6)(cid:15)
y (cid:13) (cid:12) (cid:4) (cid:13) (cid:7) z (cid:13) (cid:1) (cid:5)x (cid:13) (cid:12) by(cid:14)(cid:1)(cid:15)
(cid:5) (cid:5)
(cid:14)(cid:11)(cid:15) (cid:14)(cid:6)(cid:15)
x (cid:13) y (cid:4) (cid:13) (cid:7) z (cid:13) (cid:1) (cid:5) xy (cid:13) (cid:7)
(cid:5) (cid:5) (cid:2) (cid:5) (cid:2)
(cid:14)(cid:11)(cid:15) (cid:14)(cid:6)(cid:15) (cid:14)(cid:3)(cid:15)
(cid:1)
x (cid:13) (cid:7)
(cid:5) (cid:2)
Not possible
So the only possibility
x (cid:13) y (cid:13) (cid:12) z (cid:13) (cid:1) (cid:4) (cid:13) (cid:7)
f (cid:13) (cid:1)
(cid:5)
(cid:8)
(cid:4)
(cid:7)(cid:5) Find max
cosh(cid:4)
(cid:1) (cid:1)
(cid:1) (cid:1)
(cid:1) (cid:1)
Di(cid:21)erentiate (cid:1) (cid:1)
d (cid:4) cosh(cid:4) (cid:4)sinh(cid:4)
(cid:13) (cid:2) (cid:1) (cid:13) (cid:12)
d(cid:4) (cid:6)cosh(cid:4)(cid:7) cosh (cid:4)
Since cosh(cid:4) (cid:13) (cid:12)(cid:5)
(cid:6)
cosh(cid:4) (cid:4)sinh(cid:4) (cid:13) (cid:12)
(cid:2)
The positive root is (cid:4)(cid:2)
Thus the function at (cid:4)(cid:2) becomes
(cid:4)(cid:2)
cosh(cid:4)(cid:2)
No need for absolute value since (cid:4)(cid:2) (cid:10) (cid:12)
5
4
3
2
1
0
λ
0
−1
−2
−3
−4
−5
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
Figure (cid:1)(cid:22)
(cid:6)
(cid:1) (cid:1) (cid:1)
x y z
(cid:9)(cid:5) max xyz s(cid:1)t(cid:1) (cid:17) (cid:17) (cid:13) (cid:1)
(cid:1) (cid:1) (cid:1)
a b c
(cid:1) (cid:1) (cid:1)
x y z
Write F (cid:13) xyz (cid:17)(cid:4) (cid:14) (cid:17) (cid:17) (cid:1)(cid:15) (cid:16) then
(cid:1) (cid:1) (cid:1)
a b c (cid:2)
(cid:7)(cid:4)x
(cid:12) (cid:13) Fx (cid:13) yz (cid:17) (cid:14)(cid:1)(cid:15)
(cid:1)
a
(cid:7)(cid:4)y
(cid:12) (cid:13) Fy (cid:13) xz (cid:17) (cid:14)(cid:7)(cid:15)
(cid:1)
b
(cid:7)(cid:4)z
(cid:12) (cid:13) Fz (cid:13) xy(cid:17) (cid:14)(cid:9)(cid:15)
(cid:1)
c
(cid:1) (cid:1) (cid:1)
x y z
(cid:12) (cid:13) F(cid:1) (cid:13) (cid:17) (cid:17) (cid:1) (cid:14)(cid:8)(cid:15)
(cid:1) (cid:1) (cid:1)
a b c (cid:2)
If any of x(cid:5) y or z are zero then the volume is zero and not the max(cid:5) Therefore x (cid:13) (cid:12)(cid:5) y (cid:13)
(cid:6) (cid:6)
(cid:12)(cid:5) z (cid:13) (cid:12) so
(cid:6)
(cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1)
(cid:7)(cid:4)x (cid:7)(cid:4)y y x
(cid:12) (cid:13) xFx(cid:17)yFy (cid:13) (cid:2) (cid:17) (cid:13) (cid:14)(cid:6)(cid:15)
(cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1)
(cid:2) a b (cid:5) b a
Also
(cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1)
(cid:7)(cid:4)x (cid:7)(cid:4)y y z
(cid:12) (cid:13) zFz (cid:17)yFy (cid:13) (cid:2) (cid:17) (cid:13) (cid:14)(cid:3)(cid:15)
(cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1)
(cid:2) a b (cid:5) b c
(cid:1) (cid:1)
(cid:9)y (cid:1) b b
Then by (cid:14)(cid:8)(cid:15) (cid:13) (cid:1) y (cid:13) taking only the (cid:14)(cid:17)(cid:15) square root (cid:14)length(cid:15) y (cid:13)
(cid:1)
b (cid:5) (cid:9) p(cid:9)
a c
x (cid:13) (cid:5) z (cid:13) by (cid:14)(cid:6)(cid:15)(cid:16) (cid:14)(cid:3)(cid:15) respectfully(cid:5)
p(cid:9) p(cid:9)
(cid:1) (cid:1) (cid:1)
x y z
The largest volume parallelepiped inside the ellipsoid (cid:17) (cid:17) (cid:13) (cid:1) has dimension
(cid:1) (cid:1) (cid:1)
a b c
a b c
p(cid:9) (cid:7) p(cid:9) (cid:7) p(cid:9)
(cid:3)