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PROBLEME DER PLASr"rZITATSTHEORIE
LEHR- UND HANDBÜCHER
DER INGENIEURWISSENSCHAFTEN
BAND 17
PROBLEME
DER PLASTIZITÄTSTHEORIE
VON
WILLIAM PRAGER
PROFESSOR DER ANGE\VANDTEN MECHANIK
ßRO\\iN UNIVERSITYJ PROVIDENCE, R.T., 'L'SA.
MIT 52 TEXTABBILDUNGEX
Springer Basel AG 1955
ISBN 978-3-0348-6929-4 ISBN 978-3-0348-6928-7 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-6928-7
Kachdruck verboten. Alle Rechte vorbehalten,
illsbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen und der
Reproduktion auf photostatischem Wege oder durch :\Iikrofilm
Copyright 1955 by Springer Basel AG
Ursprünglich erschienen bei Birkhäuser Verlag Basel 1955.
Softcover reprint ofthe hardcover 1s t edition 1955
VORWORT
Einer Einladung des Schweizerischen Schulrates Folge leistend, gab der
Verfasser im November und Dezember 1954 eine Reihe von Gastvorlesungen
über ausgewählte Probleme der Plastizitätstheorie an der Eidgenössischen
Technischen Hochschule. Der vorliegende Band stellt im wesentlichen eine
Niederschrift dieser Vorlesungen dar. Die Auswahl der besprochenen Probleme
war teilweise durch das Forschungsinteresse des Vortragenden bestimmt und
teilweise durch seinen Wunsch, eine Überschneidung mit an der ETH. ver
tretenen Forschungsrichtungen zu vermeiden. Aus diesem Grunde wurde zum
Beispiel das wichtige Gebiet der Stabilität im plastischen Bereiche, zu dem
STÜSSI, KOLLBRUNNER und andere schweizerische Forscher wertvolle Beiträge
geliefert haben, in diesen Vorlesungen nicht behandelt.
Der Verfasser ergreift diese Gelegenheit, dem Schweizerischen Schulrat
seinen Dank auszusprechen für die Einladung, welche den Anlass zur Ent
stehung dieses Bandes gab. Ferner ist er seinem Kollegen Herrn Professor
HANS ZIEGLER für die kritische Durchsicht des Manuskriptes und seine Unter
stützung bei der Korrektur zu Dank verpflichtet sowie dem Verleger, Herrn
Dr. ALBERT BIRKHÄusER, für die vorbildliche Ausstattung des Buches. Schliess
lieh soll die ruhige und gastfreundliche Atmosphäre des Hotels «Rigihof» nicht
unerwähnt bleiben, welche es dem Verfasser ermöglichte, das Manuskript wäh
rend seines kurzen Aufenthalts in Zürich fertigzustellen.
W oodland Manor \VILLIAM PRAGER
Hoxsie, RI.
Mai 1955
INHALTSVERZEICHNI S
I. Mechanisches Verhalten plastischer Stoffe. 9
1. Einführung. . . . . . . . . . . . 9
2. Dynamische Modelle ideal-plastischer Stoffe 9
3. Kinematische Modelle . . . . . . . . . . 11
4. I-Träger unter Längskraft und Biegemoment 12
5. Besonderheiten des plastischen Verhaltens . 14
6. Dünnwandiges Rohr unter Zug und Torsion 16
7. Geschichtliches. . . . . . . . . . . . . 17
8. Kinematisches Modell und plastisches Potential. 18
9. Plastisches Potential . . . . . . . . . . 18
10. Verallgemeinertes plastisches Potential. . . . . 19
11. Beispiel: Fliessbedingung, Fliessgesetz und Dissipationsleistung
für den ebenen Spannungszustand (nach v. Mises und Tresca).. 20
II. Mechanisches Verhalten plastischer Tragwerke . .... 23
1. Geometrische Darstellung der Spannungszustände eines einfach
statisch unbestimmten Fachwerks unter einer einparametrigen
Schar von Belastungszuständen . . . . . . . . . . . . 23
2. Fliesspolygon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3. Mechanisches Verhalten unter Belastung und Entlastung. 25
4. Extremalprinzipe . . 27
5. Tragfähigkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6. Anpassungsvermögen . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7. Verallgemeinerung auf mehrfach unbestimmte Fachwerke und
Biegeträger. . 30
8. Geschichtliches. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
I I I. Traglastverfahren . . 34
1. Verallgemeinerte Spannungen und Verformungsgeschwindigkei
ten ; Fliessgebiet; Prinzip der maximalen spezifischen Dissipations-
leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34
2. Spannungs- und Geschwindigkeitsfelder ; Prinzip der virtuellen
Geschwindigkeiten . . . . . . . . . . . . 36
3. Fundamentaltheoreme des Traglastverfahrens . . . . . . . .. 37
8 Inhal tsverzeichnis
4. Verschiedene Definitionen der Traglast; Ven\'endung unstetiger
Felder. . . . . . . . . 39
5. Portalrahmen . . . . . . 41
6. Berücksichtigung der Längskräfte . 44
7. Kreisrahmen . . . . . . . . . . 47
8. Fliessbedingung und Fliessgesetz für Platten 49
9. Tragfähigkeit von Platten . . . . . . . . 53
10. Fliessbedingung und Fliessgesetz für Zylinderschalen 59
11. Tragfähigkeit von Zylinderschalen . . . . . . . . . 63
12. Veränderung der Traglast mit fortschreitender Deformation 67
13. Anwendungen ausserhalb der Plastizitätstheorie . . . . . . 69
I V. Endliche plastische Formänderungen 71
1. Einführung. . . . . . . . 71
2. Ebenes plastisches Fliessen . 71
3. Grundlegende Beziehungen. 72
4. Geometrische Verwandtschaft zwischen physikalischer Ebene und
Spannungsebene 75
5. Geschwindigkeitsplan . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 77
6. Konstruktion des Gleitlinienfeldes und Geschwindigkeitsplans aus
den Randbedingungen . . . . . . . . . 80
7. Entartete Abbildungen ....... . 81
S. Bedingung positiver Dissipationsleistung . 83
9. Ebener Auspressvorgang . . . . . . . . 85
10. Eindringen eines starren Keils in einen plastischen Halbraum :
Kombination von Einheitsdiagramm und Geschwindigkeitsplan . 90
11. Ebenes Fliessen eines gekerbten Zugstabs 93
12. Ziehen eines Rohres als Beispiel für Linearisierung 96
1.
MECHANISCHES VERHALTEN PLASTISCHER STOFFE
1. Feste Körper weisen eine grössere Vielfältigkeit des mechanischen Ver
haltens auf als Flüssigkeiten oder Gase. Es wäre zum Beispiel sehr schwierig,
ein Gleichungssystem zu ersinnen, das elastische Formänderung, Nachwirkung
und Hysterese, Kriechen und plastisches Fliessen unter zusammengesetzter Be
anspruchung gleichzeitig und einigermassen wirklichkeitsgetreu darstell t. Selbst
wenn ein solches Gleichungssystem angegeben werden könnte, wäre es sicher
lich viel zu kompliziert für die praktische Bestimmung von Spannungen und
Formänderungen in Maschinenteilen und Tragwerken. Der Ingenieur muss sich
darum nach einfacheren Gleichungssystemen umsehen, welche nur diejenigen
mechanischen Eigenschaften darstellen, die für sein jeweiliges Problem wesent
lich sind. Jedes solches Gleichungssystem definiert einen gewissen Idealstoff,
und es muss der Einsicht des Ingenieurs überlassen bleiben, welchen Idealstoff
er am besten der Lösung seiner Aufgabe zugrunde legt.
Der bestbekannte dieser Idealstoffe im Gebiete fester Körper ist der ideal
elastische Körper. Die Spannungs-Formä nderungs-Beziehungen dieses Körpers
sind als das Hookesche Gesetz bekannt. Obwohl dieses in fast allen Spannungs
und Formänderungsbestimmungen des Maschinenbaus und Bauingenieurwesens
benutzt wird, fällt es nicht schwer, Beispiele anzugeben, in welchen der Ge
brauch dieses Gesetzes sinnlos wäre. In der Ta t,
da das Hookesche Gesetz nur den elastischen
Bereich, das heisst das mechanische Verhalten p
für genügend kleine Spannungen und Form
änderungen beschreibt, ist sein Gebrauch nicht
gerechtfertigt, wenn es in der Natur der Auf- Abb.l
gabe liegt, dass der elastische Bereich über-
schritten wird. So sagt zum Beispiel die Elastizitätstheorie eine unendliche
Spannung am Grunde einer scharfen Kerbe voraus. Da eine unendliche Spannung
sicherlich jenseits der Elastizitätsgrenze eines beliebigen Realstoffes liegt, ist
die elastische Spannungsbestimmung in der Nähe einer scharfen Kerbe sinnlos.
2. Ein viel weniger bekannter Idealstoff ist der ideal-plastische Körper, dem
diese Vorlesungen gewidmet sein werden. Der erste Schritt in der Charakteri
sierung eines Idealstoffes ist die Beschreibung seines Verhaltens unter einfacher
Zug- oder Druckbeanspruchung. Es ist oft nützlich, dieses Verhalten durch ein
Modell darzustellen. So wird zum Beispiel ein ideal-elastischer Körper unter
einachsiger Beanspruchung durch eine Feder dargestellt. Ein Ende dieser Feder
(Abb. 1) ist festgehalten, während das andere einer axialen Kraft ausgesetzt ist.
10 Problemc der Plastizitätsthcoric
Diese Kraft und die Verschiebung ihres Angriffspunktes stellen die Spannung
und die Dehnung des elastischen Probestabes dar.
Die Abbildungen 2 und 3 zeigen die entsprechenden Modelle ideal-plasti
scher Stoffe. Der Quader in Abbildung 2a kann unter Überwindung einer kon
stanten Reibung auf seiner Unterlage gleiten. Die bewegende Kraft und die
Verschiebung ihres Angriffspunktes stellen wiederum Spannung und Dehnung
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eines Idealstoffes dar. Abbildung 2b zeigt das Spannungs-Dehnungs-Diagramm
dieses Stoffes. Solange der absolute Betrag der einachsigen Spannung a unter
halb eines kritischen Wertes ao liegt, bleibt der Stoff starr; wenn der absolute
Betrag der Spannung a den Wert ao erreicht, tritt plastisches Fliessen unter
konstanter Spannung ein. Der betrachtete Idealstoff wird darum starr-ideal-
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plastisch genannt. Abbildung 3 a zeigt das Modell eines elastisch-ideal-plasti
sehen Stoffes; sein Spannungs-Dehnungs-Diagramm unter einachsiger Bean
spruchung ist in Abbildung 3b wiedergegeben.
Die Strecken OA in den Abbildungen 2b und 3b entsprechen der erstmaligen
Belastung bis zur Zugfliessgrenze, die Strecken AB dem plastischen Fliessen
unter konstanter Zugspannung, die Strecken BC der völligen Entlastung mit
nachfolgender Druckbelastung bis zur Druckfliessgrenze und die Strecken CD
dem plastischen Fliessen unter konstanter Druckspannung.
