Problemas y ejercicios de análisis matemático - Demidovich

526 Pages·2014·49.04 MB·Spanish

PROBLEMAS DE EJERCICIOS
DE
ANALISIS MATAMATICO
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G. Baranenkov, B , Demidovich, V. Efimenko, S . Kogany
G. Luntst É. Porshneva, Z?. Siofeoya, 5. Frolov, ñ . Shostak
y A. Yanpolskí
PROBLEMAS Y EJERCICIOS
DE
ANALISIS MATEMATICO
.floyisac/o por pro/esor
D em idovich
Segunda edición
EDITORIAL MIR • M o s c ú
1 9 6 7
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PROLOGO
En el presente libro, los problemas y ejercicios de análisis
matemático se han escogido de acuerdo con el programa máximo
del curso general de matemáticas superiores que se estudia en los
centros de enseñanza técnica superior. Contiene más de 3000
problemas sistematizados en capítulos (I — X ) y abarca la totali­
dad de las partes que constituyen el curso de matemáticas superiores
de los mencionados centros de enseñanza (excepto la geometría
analítica). Se ha prestado especial atención a las partes que, por
ser más importantes, requieren una mayor práctica (determinación
de límites, técnica de diferenciación, construcción de las gráficas
de las funciones, técnica de integración, aplicación de las inte­
grales definidas, series y resolución de ecuaciones diferenciales).
Teniendo en cuenta que en algunos centros de ensoñanza
superior se explican capítulos suplementarios al curso de mate­
máticas, los autores han incluido problemas de teoría de los campos,
del método de Fourier y de cálculos aproximados. La práctica
pedagógica demuestra que el número de problemas que se ofrecen,
no sólo es más que suficiente para cubrir las necesidades de los
estudiantes para reforzar prácticamente el conocimiento de los
capítulos correspondientes, sino que también da al profesor la
posibilidad de hacer una selección variada de los problemas dentro
de los limites de cada capítulo y de elegir los necesarios para
las tareas de resumen y los trabajos de control.
Al principio de cada capítulo se da una breve introducción
teórica y las definiciones y fórmulas más importantes relativas
a la parte correspondiente del curso. Al mismo tiempo se ofrecen
ejemplos de resolución de los problemas típicos más interesantes.
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6 Prólogo
Con ello creemos haber facilitado a los estudiantes el empleo de
este manual de problemas al realizar sus trabajos individuales.
Se dan las soluciones de todos los problemas do cálculo. En
las soluciones de aquellos problemas que van marcados con un
asterisco (*), o con dos (**), se incluyen breves indicaciones para
su resolución o resoluciones. Parte de los problemas se ilustran
con figuras para hacerlos más comprensibles.
Este manual de problemas es el resultado de largos años de
enseñanza de la disciplina, por parte do los autores, en los centros
de enseñanza técnica de la Unión Soviética. En él, además de
problemas y ejorcicios originales, se han recogido numerosos
problemas cuyo conocimiento es genoral.
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Capítulo I
INTRODUCCION A L ANALISIS
§ 1, Concepto de función
Io. N ú m e r o s r e a l e s . Los números racionales e irracionales se
denominan números reales. Por valor absoluto de un número real a so entien­
do un número 110 negativo |a|, determinado por las condiciones: \a\~ay
si a ^ O y \a\=— a, si a < 0 . Para dos números reales cualesquiera a y b
so verifica la desigualdad
2o. D e f i n i c i ó n de la f u n c i ó n . Si a cada uno do ios valores *)
que puedo tomar una magnitud variable x, perteneciente a un determinado
conjunto Ey correspondo un valor único, finito y determinado do la mag­
nitud y, esta magnitud y recibe el nombre de /unción (uniformo) de x y
o de variable dependiente determinada on el conjunto E\ x se llama argumento
O variable independiente. El hecho do que y sea función de x so expresa
abreviadamente por medio de las notaciones: y = f(x) o y = F{x)y etc.
Si a cada uno de los valores que pueda lomar x y perteneciente a un
determinado conjunto E, corresponden uno o varios valores do la magnitud
variablo y y esta magnitud y so llama función multiforme de x y determiuada
en el conjunto E. fcn lo sucesivo, con la palabra «función» designaremos
únicamente las funciones u n i f o r m e s , siempre que de forma explícita no
se prevenga lo contrario.
3°. C a m p o de e x i s t e n c i a do la f u n c i ó n . El conjunto de
valores do x y que determinan la función dada, so llama campo de existencia
o campo de definición de la función.
En los casos más elementales, el campo de existencia de las funciones
representa: o un segmento [ay b), os decir, un conjunto de números reales x t
que satisfacen a las desigualdades o un intervalo (a, b)y es decir,
un conjunto de númoros reales x, que satisfacen a las desigualdades a <^x <^b.
Pero la estructura del campo de existencia de las funciones puode ser aún
más compleja (véase, por oj., el problema 21).
E j e m p l o 1. Determinar el campo de existencia de la función
1
u — ------------
.
S o l u c i ó n . La función estará definida si
*2- l > 0,
es decir, sí | ^ | > 1. Do esta forma, el campo de existencia de la función
representa un conjunto de dos intervalos: — oo O < — 1 y 1< * < -| -c o .
*) En adelanto, todos los valores de las inagnitudos que se examínen se
supondrán reales, siempre que de manera explícita no se indique lo contrario.
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8 Introducción al análisis
4o. F u n c i o n e s i n v e r s a s . Si la ecuación y = j (s) admite solución
única respecto a Ja variabio x y es decir, si existe una función x = g(y)
tal, que y = j[g{y)I, la función ar = £(y), o siguiendo las notaciones usuales
y — g(z)> se llama inversa con relación a y = f{x). Es evidente que g [f(x)j =
= x, es decir, que las funciones / (x) y g(x) son recíprocamente inversas.
En el caso general, la ecuación y = f(x) determinará una función mul­
tiforme inversa x==f-*{y) tal, que y = /(/“* (y)) para todas las y, que sean
valores de la función j (x).
E je m p lo 2. Determinar la inversa do la función
y = 1— 2~*. (1)
S o lu ció n . Resolviendo la ecuación (1) respecto a x, tendremos:
2”x= 1 — y
y
lg 2 • (2)
Es evidente que el campo de definición de la función (2) será:
—a > < y < l .
5o. F u n c io n e s c o m p u e s t a s o i m p l í c i t a s . La función y de
x, dada por una cadena de igualdades y = /(u), donde u = (p(x), etc,, se llama
compuesta o junción de junción.
La función dada por una ecuación que no está resuelta con respecto
a la variable dependiente, recibo el nombro de implícita. Por ejemplo,
la ecuación x3 + y:* = 1 determina a y como función implícita de x.
6o. R e p r e s e n t a c i ó n g r á f i c a de l a s f u n c i o n e s . El con­
junto de puntos (x, y) de un plano XOYf cuyas coordenadas estén rolacionadas
entre sí por la ecuación y = /{x), so denomina gráfica do dicha función.
i**. Demostrar, que si a y b son números reales
IM~-|fr||<|a— fcl < l « l + I H
2. Demostrar las siguientes igualdades:
a) | «6 ( = ¡a|-j & |; c) | ~| (b 0);
b) |a|2 = a2; d) y «*= | a | .
3. Resolver las inecuaciones:
c)
a) 1 íc — 1 j < 3; | 2 a ?+ l| < l;
b) | *+ 1 1> 2; d) \x— 1 1 < [a :-(-l |.
4. Hallar / ( — 1). /(O), /(1 ), /(2 ), /(3 ) y /(4 ), si f ( x ) = x s-
— 6a:2 + l i s — 6.
5. Hallar /(O), / ( . / ( - * ) , / ( ± ) . ^ , si /(* ) =
= / 14-x*.
*) lg x = log10x, como siempre, designa el logaritmo decimal del número x.
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Concepto de la junción 9
6. Sea / (x) = are eos (Ig z). Hallar / ( ¿ ) , /(1 ) Y / (10).
7. La función f (x) es lineal. Hallar dicha función, si
/ ( — 1) — 2 y / ( 2) = - B .
8. Hallar la función entera y racional de segundo grado } (x),
si / (0) = 1, / (1) = 0 y / (3) = 5.
9. Se sabe que, / ( 4 ) = — 2 y / ( 5 ) = 6 . Hallar el valor apro­
ximado de / (4, 3), considerando que la función / (£), en el seg­
mento 4 < £ < 5 , es lineal (interpolación lineal de funciones).
• 10. Escribir una sola fórmula que exprese la función
0, si £ < 0,
/<*) =
x, si x > 0 ,
empleando el signo de valor absoluto.
Determinar el campo de existencia de las siguientes funciones:
11. a) y = V x + 1; b) y = y rx + L
12.
J 4 —ar2
13. a) y - V z * — 2; b) y ^ = x Y ^ ~ 2-
14*.. y ^ Y 2-\-x — x'K
15. y — V — £ +
1/ 2-1-
16. y = Y x ~ £3,
17- V =
4o i — 3* + 2
19. y = are eos 73— .
1n~x
20. y = are sen ^lg .
21. y — Y sen2x.
22. Sea / (£) = 2a4 — 3£3 — 5 í2 -f 6x — 10. Hallar
<f(x) = - j [ f ( x ) + f ( - x ) ] y = T l / ( * ) “ /( - * ) ! ■
23. La función /(s ), determinada en el campo simétrico
— se denomina par, si / ( — z) = /(z)> e si
/ ( - * ) = — /(£ ).
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10 Introducción al análisis
Detorminar, cuáles de las siguientes funciones son pares y
cuáles impares:
a) / (*) - i - (a* + 0 ;
b) f{x) = Y í + x + x2— ]/rl — x + x*;
c) / (*) = ^ ( S + I ) 5+
d) / (*) = ig | í f ;
e) /(x) = lg (a:+ 1/1 + **).
24*. Demostrar que cualquier función / (a:), determinada en el
intervalo — l < C x < l , puede representarse como la suma de una
función par y otra impar.
25. Demostrar que el producto de dos funciones pares o de
dos impares es una función par, mientras que el producto de una
función par por otra impar es una función impar.
26. La función / (x) se llama periódica, si existe un número
positivo T (período de la ,función) tal, que f(x + T) = f(x)
para todos los valores de x pertenecientes al campo de existencia
de la función f(z).
Determinar cuáles de las funciones que so enumeran a conti­
nuación son periódicas y hallar el período mínimo T de las mis­
mas:
a) / (x) = 10 sen 3x;
b) / (x) = a sen Xz + b eos Xx;
y
c) f (x) = tgx;
d) /(s ) = sen*x;
e) f ( x ) ^ s e n { V x ) .
27. Expresar la longitud del segmento y = M N y el área S
de la figura A M N como función de x = AM (fig. 1). Construir
Jas gráficas de estas funciones.
28. Las densidades lineales (es decir, la masa de una unidad de
longitud) de una barra AB = l {fig. 2) en sus porciones AC — li9
CD = l2 y DB = l3(l{ + l2~\- k = l) son respectivamente iguales a qi9
?2 y <?3- Expresar la masa m do una porción variable A M = x de
esta misma barra, como función de x. Construir la gráfica de
esta función.
29. Hallar q>[i|)(:r)| y ip [q> (o:)], si y (z ) = z 2 y ^ (x) = 2x.
30. Hallar /{ /[ /( * ) ] } , si f(x) = T~ .
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Concepto de la función 11
31. Hallar / (a: 1), si / (x— l) = x2.
32. Sea f (re) la suma de n miembros de una progresión arit­
mética.
Demostrar que:
/(n + 3 ) - 3 / (i»+ 2 )'+ 3 /(n + l ) - / ( n ) « 0.
33. Demostrar quo, si
f(x ) = kx + b
y los números x,t x¡¡ y x 3 constituyen una progresión aritmética,
también formarán una progresión aritmética los números f fa),
/{*a) y /(ara).
34. Demostrar que, si f (x) es una función exponencial, es
decir, f {x) = ax ( a > 0), y los números x uy xs constituyen una
a M
l r-
■'/ü-
Fig. 1 Fig. 2
progresión aritmética, los números f (x4), f (x2) y f (x3) forman
una progresión geométrica.
35. Sea
Demostrar, que:
36. Sea q > (a )= -j (ax + a~x) y i|) (x) = y (ax — a~x). Demostrar
que:
«p ( * + » ) = q> (*) (0)+ ♦ (* > ♦ (if)
y
•ty{x + y) = tf(x)-ty (y) + cp (y) («)•
37. Hallar / ( - 1 ) , / (O) y /( l ) , si
are sen z, para — l < z < 0 ,
/ ( * ) = are tg x, para 0 < x < + c o .
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12 Introducción al análisis
38. Determinar las raíces (ceros) y los campos de valores
positivos y do valores negativos de la función y , si
a) r/ = l + x ; d) y = x3 — 3x;
b) y = 2 + x — * * ; o) y = i g J Z - .
c) y = 1 — x + x2;
39. Hallar la función inversa de la y, si:
a) y = 2x + S-, d ) y = I g y ;
b) y —x 1 — 1; e) = a retg3x.
c) y — ^T 1— x8;
¿En qué campos estarán definidas estas funciones inversas?
40. Hallar la función inversa de
í x, si x < 0,
^ ( x2, si x > 0.
41. Escribir las funciones que so dan a continuación en forma
de cadena de igualdades, de modo que cada uno de los eslabones
contenga una función elemontal simple (potencial, exponencial,
trigonométrica, etc.):
a) y = (2a; — 5)10; c) r/ = lg tg | -;
b) y — 2C0S*; d) y = are sen (3-*2).
42. Escribir en forma de una igualdad las siguientes funciones
compuestas, dadas mediante una cadena de igualdades:
a) y = u2y u = senz;
b) í/ = arctgi¿, u = y v, i> = lg£;
2u, si w < 0,
c) J/ =
0, si u > 0;
t¿ — x2 — 1.
43. Escribir en forma explícita las funciones y dadas por las
ecuaciones:
a) x2 —* are eos */ = ji ;
b) 10* + 10* = 10;
c) * + ltf|=2y.
Hallar los campos de definición de las funciones implícitas dadas.
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