Probabilités, statistiques et analyses multicritères

257 Pages·2016·12.2 MB·French

Probabilités,
statistiques et analyses
multicritères
Application
aux sciences expérimentales
Mathieu ROUAUD
Professeur Agrégé de Sciences Physiques
en classes préparatoires aux grandes écoles d'ingénieurs
Diplômé en Physique Théorique
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Date de parution : juillet 2013 Révision : janvier 2017
Avant-propos
Cet ouvrage se veut accessible et pédagogique. Il est le
fruit d'interrogations personnelles sur la nature probabiliste
des mesures en sciences. Dans un cursus classique ces
aspects ne sont pas, ou peu, abordés. Il est important que
les fondements expérimentaux et pratiques des sciences
soient complémentaires d'une science au tableau en cours
magistraux. Il existe une beauté scientifique qui naît de
l'interaction entre la théorie et l'expérience.
Tout en introduisant les principes fondamentaux de la
statistique, cet ouvrage explique comment déterminer les
incertitudes dans différentes situations expérimentales.
Beaucoup d'exemples sont issus de cours et travaux
pratiques réalisés en math sup.
Le dernier chapitre aborde les analyses multicritères
telles qu'elles ont été enseignées en deuxième année d'école
d'ingénieur (École Hubert Curien / Maîtrise de l'efficacité
énergétique).
Bonne lecture !
Remerciements :
Je remercie Éric NOIZET (professeur Agrégé de Chimie
en prépa) et Grégoire BONNET (ingénieur charpentier)
pour leurs multiples apports à la clarté pédagogique de
l'ouvrage. Un grand merci à Reine pour sa relecture précise
et consciencieuse. Pleins de mercis, à Aurélien SEMACH
(étudiant) et, aux enseignants de sciences-physiques
Françoise MARCADET (pour ses contributions en
métrologie) et Julien BONVALET.
Merci à la vie et à tous ceux qui m'ont précédé.

Table des matières
I. VARIABLE ALÉATOIRE....................................................1
A. Grandeurs et mesures.....................................................1
B. Centre d'une distribution................................................1
C. Dispersion d'une distribution..........................................3
D. Exemples de distributions..............................................4
E. Théorème central limite.................................................7
1) Population et échantillons..................................................7
2) Le théorème central limite..............................................10
3) Coefficient de Student et incertitude...............................12
4) Exemples.........................................................................15
F. Distribution de Gauss...................................................19
1) Définition d'une distribution continue.............................19
2) Courbe de Gauss.............................................................20
3) Loi normale standard......................................................23
G. Test d'hypothèse..........................................................24
H. Test du Khi-deux.........................................................30
I. Sources des incertitudes.................................................33
J. Exercices.......................................................................37
II. CORRÉLATIONS ET INDÉPENDANCES......................47
A. Coefficient de corrélation.............................................47
B. Formule de propagation des incertitudes.......................52
1) Formule de propagation des écart-types..........................52
2) Calcul d'incertitude.........................................................53
C. Régression linéaire.......................................................58
1) Principe et formules........................................................58
2) Détermination du zéro absolu.........................................62
3) Régression avec barres d'erreurs.....................................64
4) Linéarisation...................................................................67
5) Comparaison des méthodes.............................................68
D. Régression généralisée.................................................75
1) Principe...........................................................................75
2) Régression polynomiale..................................................77
3) Régression non linéaire...................................................80
E. Exercices......................................................................86
III. LOIS DE PROBABILITÉS.............................................101
A. Lois discrètes.............................................................102
1) Loi binomiale................................................................102
2) Loi géométrique............................................................103
3) Loi de Poisson...............................................................105
B. Lois continues............................................................107
1) Loi uniforme.................................................................107
2) Loi exponentielle...........................................................109
3) Loi normale...................................................................110
4) Loi de Student...............................................................110
5) Loi du Khi-Deux...........................................................111
C. Fonctions de variables à densité..................................113
D. Simulation numérique................................................116
E. Exercices....................................................................119
IV. ESTIMATEURS.............................................................124
A. Qualité d'un estimateur..............................................124
1) Biais..............................................................................124
2) Risque...........................................................................125
B. Construction d'estimateurs.........................................127
1) Méthode des moments..................................................127
2) Méthode du maximum de vraisemblance.....................131
C. Estimation par intervalle............................................135
D. Exercices...................................................................144
V. APPROCHES MULTICRITÈRES...................................150
A. Méthode par pondération...........................................151
B. Analyse en Composantes Principales..........................154
1) Principes.......................................................................154
2) Une deuxième illustration.............................................167
3) Résumé.........................................................................170
C. Exercices...................................................................171
VI. COMPLÉMENTS...........................................................174
A. Mesure avec une règle................................................174
B. Métrologie.................................................................186
C. Thermodynamique.....................................................194
D. Indépendance des variables........................................200
VII. DEVOIRS......................................................................202
A. Devoir Suricate..........................................................202
B. Devoir Narval............................................................209
VIII. TRAVAUX PRATIQUES.............................................217
A. Mesure d'un indice lumineux.....................................217
B. Le miroir sphérique....................................................221
C. Relation de conjugaison d'une lentille.........................224
D. Dioptres et lentilles minces sphériques.......................226
IX. OUTILS MATHÉMATIQUES.......................................228
X. CORRECTIONS..............................................................233
XI. Bibliographie / Sources / Logiciels / Illustrations..............236
XII. TABLES / Index............................................................241
A. Loi normale centrée réduite.......................................241
B. Coefficients de Student...............................................242
C. Valeurs critiques de Khi-deux....................................243

I. VARIABLE ALÉATOIRE
A. Grandeurs et mesures
Soit X une variable aléatoire et n réalisations {x} de
i
cette variable.
Nous pouvons simplement estimer une grandeur
classique : par exemple, combien y-a-t-il de jours dans une
semaine ? La réponse est sans ambiguïté. Par contre pour
une grandeur statistique l'approche est plus subtile.
Imaginons des étudiants qui font des expériences de
calorimétrie pour mesurer la capacité thermique de l'eau1.
Les différents groupes mesurent les valeurs suivantes :
{5100; 4230; 3750; 4560; 3980} J/K/kg. Que vaut alors la
capacité ? Nous donnerons dans ce chapitre une réponse à
cette question. Elle sera de nature probabiliste.
B. Centre d'une distribution
Nous cherchons une caractéristique du centre de la
distribution des observations {x}. Il en existe plusieurs, le
i
mode, par exemple, est facile à déterminer, il s'agit de la
valeur la plus représentée (illustrations page 4). Nous avons
1 PHYSIQUE : Quantité d'énergie à fournir à un kilogramme d'eau pour
que sa température s'élève de 1°C. L'eau emmagasine ainsi de
l'énergie et peut la restituer par la suite en diminuant sa
température. Tables : c = 4180 Joules par degré Celsius et par
eau
kilogrammes.
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