Princípios de Combinatória e Probabilidade (Versão Preliminar)

252 Pages·1.658 MB·Portuguese

by  Tertuliano Franco

PRINCÍPIOS DE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE
r
a
n
i
m
i
TERTULIANO FlRANCO (UFBA)
http://w3.iempa.br/~tertu
r
P
o
ã
s
r
e
V
Salvador - Bahia - Brasil
30 de Maio de 2017
r
a
n
i
m
i
l
e
r
P
o
ã
s
r
e
V
r
a
n
i
m
i
l
e
r
P
o
ã
“Na vida nunca se deveria cometer duas ve-
s
zes o mesmo erro. Há bastante por onde es-
r
colher.”
e
V
“A matemática, vista corretamente, possui
não apenas verdade, mas também suprema
beleza – uma beleza fria e austera, como a
da escultura.”
“Uma vida virtuosa é aquela inspirada pelo
amor e guiada pelo conhecimento.”
Bertrand Russell (1872-1970)
r
a
n
i
m
i
l
e
r
P
o
ã
s
r
e
V
Dedicatória
Para Amanda Amantes
r
a
n
i
m
i
l
e
r
P
o
ã
s
r
e
V
r
a
n
i
m
i
l
e
r
P
o
ã
s
r
e
V
CONTEÚDO
r
Prefácio 1
a
1 Ferramentas Básicas n 5
1.1 Princípio de Indução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
i
1.2 Regra da Soma e do Produto . . . . . .m . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Bijeções e Cardinalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
i
1.4 Relações de Equivalência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
l
1.5 Probabilidade (espaços equipreováveis) . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
r
2 Contagem via Relações dePEquivalência 15
2.1 Permutações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Permutações com Roepetição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Permutações Cirãculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Combinaçõess. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Combinaçõres com Repetição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6 ContagemeDupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.7 ClasseVs de Equivalência de Tamanhos Variados . . . . . . . . . . . 32
2.8 Lema de Burnside* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.9 Movimentos Rígidos* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3 Coisas Fáceis e Difíceis de Contar via Recorrência 49
3.1 Princípio de Inclusão-Exclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Lemas de Kaplansky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3 Recorrência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4 Métodos de Resolução de Recorrências . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Soma Telescópica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Equação Característica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Função Geradora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.5 Princípio da Reflexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.6 Partições* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
viii CONTEÚDO
4 Existência, Aplicações e Grafos 97
4.1 Princípio da Casa dos Pombos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.2 Triângulo de Pascal e Binômio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.3 Multinônio de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.4 Noções de Grafos I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.5 Noções de Grafos II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5 Noções de Probabilidade Moderna 131
5.1 Precisa-se de uma nova definição? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.2 Espaços de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.3 Probabilidade Condicional e Independência . . . . . . . . . . . . . . 137
5.4 Lema de Borel-Cantelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.5 Método Probabilístico* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.6 Variáveis Aleatórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.7 Esperança e Variância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
r
5.8 Desigualdades Clássicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
a
5.9 Cadeias de Markov e Ruína do Jogador . . . . . . . . . . . . . . . . 170
n
5.10 Lei Fraca dos Grandes Números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.11 Lei Forte dos Grandes Números . . . . . . . . . . .i. . . . . . . . . . 178
m
5.12 Fórmula de Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5.13 Teorema Central do Limite* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
i
5.14 Passeio do Bêbado* . . . . . . . . . . . . .l. . . . . . . . . . . . . . . 193
e
6 Soluções de Exercícios Selecionados r 199
Soluções do Capítulo 1 . . . . . . . . . .P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Soluções do Capítulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
o
Soluções do Capítulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
Soluções do Capítulo 4 . . . . .ã. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Soluções do Capítulo 5 . . . s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
r
Índice Remissivo e 237
V
Bibliografia 243
PREFÁCIO
Apalavraprincípiotemdiferentessentidos. Notítulodopresentelivrofoiusada
r
nosentidodeintrodução;emMatemáticausa-seprincípiocomosinônimodeaxi-
a
oma, postulado, como no Princípio de Indução, por exemplo. Usa-se tal palavra
n
também para denotar proposição ou resultado, como no Princípio da Reflexão. E
em alguns contextos, pode ser ambos, pois o queié axioma pode se tornar resul-
m
tado e vice-versa, a depender dos pressupostos adotados.
i
Capítulo 1
l
Ferramentas
e
Básicas
r
P
Capítulo 2
Contagem via
o
Relações de
ã Equivalência
s
rCapítulo 3
Capítulo 4 Capítulo 5
Coisas Fáceis
e Existência, Noções de
e Difíceis de
V Contar via Aplicações Probabilidade
e Grafos Moderna
Recorrência
Figura 1. Fluxograma de dependências entre capítu-
los.
Este livro é baseado em notas de um curso de graduação voltado para alunos
de licenciatura e de bacharelado em Matemática que ministrei algumas vezes
na Universidade Federal da Bahia. Escrever um livro enquanto se leciona torna
o curso prolixo, às vezes confuso. Por servirem (involuntariamente) de cobaias,
e pela paciência, agradeço a todos meus alunos. Com eles aprendi e continuo
aprendendo.
O interesse em escrever o presente texto surgiu ao não encontrar um livro-
texto que satisfizesse às necessidades deste curso que lecionei. As principais
eram:
2 Prefácio
5.1 Precisa-se
de uma nova
definição?
5.2 Espaços de
Probabilidade
5.3 Probabilidade
Condicional e
Independência
5.5 Método 5.4 Lema de
Probabilístico* Borel-Cantelli
5.6 Variáveis
Aleatórias
r
5.7 Esperança a
e Variância
n
5.9 Cadeias i
5.12 Fórmula 5.8 Desigualdades de Markov e m
de Stirling Clássicas
Ruína do Jogador
i
5.13 Teorema 5.10 Lei Fraca l
5.11 Lei Forte dos 5.14 Passeio
Central do dos Grandes e
Grandes Números do Bêbado*
Limite* Números
r
P
Figura2. FluxogramadedependênciasdoCapítulo5,
Noções de Probabilidade Moderna.
o
ã
• umlivrodeCombinatóriaeProbabilidadebásico,quecontivesseoconteúdo
s
de segundo grau, pois esta é a ementa básica do curso que deu origem ao
r
presente livro;
e
V
• um livro não muito longo; sem exercícios demasiadamente difíceis, mas
também sem centenas de exercícios fáceis e repetitivos;
• um livro que não contivesse apenas o conteúdo de segundo grau; e que, por
outro lado, não exigisse pré-requisitos além de um curso de cálculo, pré-
requisito este suficiente para mostrar diversas e interessantes conexões de
Combinatória e Probabilidade com outras áreas da Matemática;
• pensando no professor, um livro que tivesse uma exposição pragmática,
cujas seções não demandassem muito esforço para serem transformadas
em aulas;
• um livro que contivesse algum conteúdo de olimpíadas de Matemática, que
estão cada vez mais presentes no contexto de ensino.