Table Of ContentDIE GRUNDLEHREN DER
MATHEMATISCHEN
WISSENSCHAFTEN
IN EINZELDARSTELLUNGEN MIT BESONDERER
BERUCKSICHTIGUNG DERANWENDUNGSGEBIETE
HERAUSGEGEBEN VON
R. GRAMMEL· F. HIRZEBRUCH . E. HOPF
H. HOPF . W. MAAK . W. MAGNUS· F. K. SCHMIDT
K. STEIN· B. L. VAN DER WAERDEN
BAND 100
PRAXIS DER KONFORMEN ABBILDUNG
VON
W. VON KOPPENFELS l' UND F. STALLMANN
SPRINGER-VERLAG
BERLIN· GOTTINGEN . HEIDELBERG
1959
PRAXIS
DER KONFORMEN
ABBILDUNG
VON
DR. WERNER VON KOPPENFELSf
BIS 1945 O. PROFESSOR
AN DER DEUTSCHEN TECHNISCHEN HOCHSCHULE
IN BRUNN (MAHREN)
UND
DR. FRIEDEMANN STALLMANN
DOZENT AN DER UNIVERSITAT GIESSEN
MIT 251 ABBILDUNGEN
S PRI N G E R -VE RLAG
BERLIN· GOTTINGEN· HEIDELBERG
1959
Werner von Koppenfels
geb. 1904, gest. 1945 in russ. Gefangenschaft in Astrachan
ALLE RECHTE, INSBESONDERE DAS DER UBERSETZUNG
IN FREMDE SPRACHEN, VORBEHALTEN
OHNE AUSDRUCKLICHE GENEHMIGUNG DES VERLAGES 1ST ES AUCH NICHT
GESTATTET, DIESES BUCH ODER TEILE DARAUS AUF PHOTOMECHANISCHEM
WEGE (PHOTOKOPIE, MIKROKOPIE) ZU VERVIELFALTIGEN
© BY SPRINGER-VERLAG OHG.
BERLIN • GOTTINGEN • HEIDELBERG 1959
ISBN·13: 978·3·642-94750-6 e-ISBN-13: 978-3-642-94749-0
001: 1011007/978-3-642-94749-0
BRUHLSCHE UNIVERSITATSDRUCKEREI GIESSEN
MEINEM SOHN
GEORG VON KOPPENFELS
GEWIDMET
Vorwort
Die Entstehungsgeschichte dieses Buches reicht bis in den zweiten
Weltkrieg zurtick. Damals plante ein Kreis von Funktionentheoretikern,
dem u. a. v. KOPPENFELS, KRAMES, ULLRICH und WEGNER angehorten,
ein umfassendes Sammelwerk tiber die konforme Abbildung aufzustellen,
und als ein erstes Teilergebnis konnte v. KOPPENFELS gegen Kriegsende
ein Manuskript tiber die "Systematik der Polygonabbildungen" ab
schlieBen. Die Wirren der Nachkriegszeit und vor allem der allzufrtihe,
tragische Tod von v. KOPPENFELS unterbrachen die Arbeiten fUr lange
Zeit. 1m Jahre 1953 tibernahmen dann E. ULLRICH und ich durch Vertrag
mit dem Springer-Verlag die Aufgabe, das v. Koppenfelssche Manu
skript zusammen mit eigenen Beitragen zu einem Buch tiber die Praxis
der konformen Abbildung auszugestalten. Durch den Tod von E. ULLRICH
im Jahre 1957 ging diese Aufgabe an mich alleine tiber und das Ergebnis
ist das vorliegende Buch.
Nach dem ursprtinglichen Plan sollte ein reines Nachschlagewerk
geschaffen werden, etwa in der Art von Kamkes Buch tiber Differential
gleichungen. Demgegentiber hat schon das v. Koppenfelssche Manuskript
und spater auch der eigene Beitrag einen mehr lehrbuchartigen Charakter
angenommen. Dies liegt wohl hauptsachlich daran, daB das Gebiet der
konformen Abbildung (und insbesondere das der "Praxis" der konformen
Abbildung) stofflich viel enger begrenzt ist als das der Differential
gleichungen, so daB es hier vie! mehr auf die vertiefte Einsicht in
die Zusammenhange ankommt als auf die Kenntnis einer groBen
Zahl von Satzen und Methoden. Das Buch enthalt daher auch nur we
nige Literaturangaben. Mein Ziel war, den Leser vom Studium def
Spezialliteratur moglichst unabhangig zu machen, so daB nur solche
Arbeiten zitiert wurden, die tiber den Rahmen des Buches wesent
lich hinausgehen.
An mathematischen Vorkenntnissen wird beim Leser ungefahr das
vorausgesetzt, was als mathematische Grundvorlesung an Universitaten
und technischen Hochschulen ftir Physiker und 1ngenieure gebracht
wird. DemgemaB wurde die Darstellung der allgemeinen Theorie in
Teil A §§ 1,2,4,9 und 10 ziemlich knapp gehalten; es ist gedacht, daB
diese Ausftihrungen hauptsachlich zur Wiederauffrischung und Ver
tiefung des bereits Bekannten dienen sollen. In §§ 11-15 wird die
Polygonabbildung behandelt. Da es sich hier urn ein Hauptarbeitsgebiet
des Verfassers handelt, ist dieser Teil vielleicht allzu breit geraten. 1m
VIII Vorwort
Hinblick auf das v. Koppenfelssche Manuskript schien es mir jedoch
auch objektiv gerechtfertigt, diese Dinge in den Mittelpunkt zu rlicken.
Nicht fehlen durfte eine Darstellung der wichtigsten Naherungs
verfahren der konformen Abbildung. Leider fehlen dem Verfasser auf
diesem Gebiet ausreichende praktische Erfahrungen, so daB er sich eine
eigene kritische Stellungnahme versagen muBte. Aus dem gleichen
Grunde fehlen auch Zahlenbeispiele, die ja sinnvoll nur aus praktisch
vorkommenden Anwendungen hervorgehen kannen. Uberhaupt sind
spezielle Anwendungen der konformen Abbildung fast ganz beiseite
gelassen. Wer sich hier naher orientieren machte, mage zu dem aus
gezeichneten Buch von BETZ greifen.
Das zu Beginn erwahnte v. Koppenfelssche Manuskript ist in Teil B
§§ 1-5 abgedruckt. Umgearbeitet wurde nur das einleitende Kapitel,
das, wesentlich erweitert, in A §§ 13 und 14 erscheint. Der Abschnitt
B 6.1 entMlt ebenfalls v. Koppenfelssches Gedankengut. Die Aufnahme
dieses Abschnitts in sein Manuskript wurde nur durch die Zeitumstande
verhindert, ich konnte mich jedoch auf die Veroffentlichung in Crelles
Journal Bd. 181 stlitzen. Die folgenden Abschnitte von Teil B sind
eigene Zusatze. Was sachlich noch zu diesem Katalog zu sagen ist,
findet sich in der besonderen Einleitung zum Teil B, die in enger
Anlehnung an die ursprlingliche v. Koppenfelssche Einleitung abgefaBt
wurde.
Ich kann dieses Vorwort nicht abschlieBen, ohne meines verehrten
Lehrers, Professor Dr.
EGON ULLRICH
zu gedenken. Es ist tief bedauerlich, daB seine Absicht, aktivan diesem
Buch mitzuarbeiten, infolge Arbeitsliberlastung immer wieder auf
geschoben und durch seinen platzlichen Tod dann ganz zunichte
gemacht wurde. Auch so sind dem Buch noch zahlreiche seiner An
regungen zugute gekommen, ganz abgesehen davon, daB die Wieder
aufnahme der Arbeit an dem Buch wesentlich seiner Initiative zu ver
danken ist.
GroBen Dank schulde ich weiterhin Herrn Professor Dr. LUDWIG
BIEBERBACH fUr seine zahlreichen wertvollen Bemerkungen bei den
Korrekturen. Tatkraftig unterstlitzt bei der Herstellung der Abbildungen
und des Sachverzeichnisses und beim Lesen der Korrekturen hat mich
Herr Dr. GUNTER BACH. Die Bogenkorrekturen mitgelesen haben auBer
dem Fraulein FRIEDEL ULLRICH und die Herren Dr. KURT ENDL,
EUGEN GAUSS und Professor Dr. HANS WITTICH. Ihnen allen gilt mein
herzlicher Dank!
Vorwort IX
Als besondere Ehre empfinde ich es, daB Herr Professor Dr. F. K.
SCHMIDT das Buch in die gelbe Sammlung des Springer-Verlags auf
genommen hat, so daB es die vorbildliche Ausstattung der Bucher dieser
Reihe erhalten konnte. DaB es hierin noch die JubiHiumsnummer 100
bekam, ist eine unverdiente Belohnung meiner Siiumigkeit, die mich die
gesetzten Termine mehrfach uberschreiten lieB.
GieBen, im Marz 1959 F. STALLMANN
Inhaltsverzeichnis
A. Theorie der konformen Abbildung . . . . . . . . . . . .
Komplexe Zahlen und Funktionen in geometrischer Deutung
§ 1. Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . .
1.1. Komplexe Zahlen und ebene Geometrie .
1.2. Vektoren . . . . 3
1.3. Drehstreckungen . 4
§ 2. Komplexe Funktionen 7
2.1. Grundbegriffe . . 7
2.2. Vektorfelder. . . 11
2.3. Das Newtonsche Potential. 17
2.4. Abbildungen. . . . . . . 19
§ 3. Beispiele zur Lasung physikalisch-technischer Probleme mit Hilfe der
konformen Abbildung. . . . . . . . . 22
3.1. Elektrische Stramungsfelder. . . . 22
3.2. Hydrodynamische Stramungsfelder. 26
3.3. Der Hodograph . 29
3.4. Torsionsprobleme 33
§ 4. Konforme Abbildung gekriimmter FIachen 35
4.1. Allgemeine trberlegungen 35
4.2. Kugelabbildungen 38
4.3. Torusabbildungen . . . 42
Konforme Abbildung durch spezielle Funktionen 44
§ 5. Der Logarithmus 44
5.1. Die Riemannsche Flache 44
5.2. Spezielle Figuren 46
§ 6. Die allgemeine Potenz 48
6.1. Allgemeine trberlegungen 48
6.2. w = Z2 50
6.3. W = Z-l 53
6.4. W = Z-2 59
§ 7. Die linearen Funktionen 59
7.1. Ganz lineare Funktionen 59
7.2. Gebrochen lineare Funktionen . 61
7.3. Abbildung eines Kreises auf einen anderen 65
7.4. Kugeldrehungen . . . . . . . . . . . 70
7.5. Abbildung zweier Kreise auf zwei andere . 71
Inhaltsverzeichnis XI
§ 8. Die trigonometrischen Funktionen 77
8.1. w = cos z. +. ). 77
(t +
8.2. w = -} 79
8.3. w = tg z . . . 81
Einige grundlegende Satze aus der Potentialtheorie und Funktionentheorie 84
§ 9. Der Mittelwertsatz . . . 84
9.1. Der Mittelwertsatz . 84
9.2. Randwertaufgaben . 88
9.3. Reihenentwicklungen . 92
9.4. Analytische Fortsetzung 95
9.5. Das Schwarzsche Lemma 98
§ 10. Abbildungssatze . . . . . . 99
10.1. Der Riemannsche Abbildungssatz 99
10.2. Mehrfach zusammenhangende Gebiete 100
10.3. Randwertaufgaben bei zweifach zusammenhangenden Gebieten 104
Theorie und Praxis der Polygonabbildungen. 109
§ 11. Das Schwarzsche Spiegelungsprinzip 109
11.1. Automorphismen . . . . . . 109
11.2. Das Schwarzsche Spiegelungsprinzip 112
§ 12. Abbildung von Kreisbogenpolygonen . . 114
12.1. Die Schwarzsche Differentialgleichung 114
12.2. Die Integration der Differentialgleichung 121
12.3. Das Parameterproblem . . . . . . . . 126
12.4. Die asymptotische Integration. . . . . 129
12.5. Bemerkungen zur numerischen Integration 138
§ 13. Abbildung von Geradenpolygonen. . . . 141
13.1. Das Schwarz-Christoffelsche Integral 141
13.2. Das Parameterproblem . . . . . . 145
13.3. AuBengebiete . . . . . . . . . . 149
13.4. Polygone mit inneren Windungspunkten 151
13.5. Bemerkungen zur numerischen Behandlung des Schwarz-
Christoffelschen Integrals 154
14. Polygone in Isothermennetzen 162
14.1. Polygone in Kreisnetzen 162
14.2. Polygone in Kegelschnittnetzen 166
§ 15. Zweifach zusammenhangende Polygone 171
15.1. Die Schwarzsche Differentialgleichung bei zweifach zusammen-
hangenden Polygonen. . . . . . . . . . ......... 171
15.2. Das Schwarz-Christoffelsche Integral bei zweifach zusammen-
hangenden Polygonen. 175
15.3. Spezialialle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
XII Inhal tsverzeichnis
Naherungsverfahren der konformen Abbildung 180
§ 16. Die eigentlichen Naherungsverfahren 181
16.1. Das Schmiegungsverfahren 181
16.2. Extremalverfahren. . 184
16.3. Graphische Verfahren ... 187
~ 17. Die Integralgleichungsverfahren 188
17.1. Das Verfahren von THEODORSEN und GARRICK. 188
17.2. Die Integralgleichung von GERSCHGORIN und LICHTENSTEIN . 191
17.3. Das alternierende Verfahren von SCHWARZ . . . . . . .. 196
17.4. Das Verfahren von NEUMANN flir Durchschnitte Yon Gebieten 198
B. Katalog der konformen Abbildung . 202
§ 1 Zweiecke . . . . . . . . . . 203
1.1. Getrennte Ecken. Allgemeine Abbildung 203
1.2. Sonderfalle . . . . . . 205
1.3. Zusammenfallende Ecken 206
§ 2. Geraden-Dreiecke . . . . . 207
2.1. Einteilige Geraden-Dreiecke . 207
2.2. Zweiteilige Geraden-Dreiecke 213
§ 3. Kreisbogen-Dreiecke . . . . . . 216
3.1. Lasungen in geschlossener Form 217
3.2. Analytische Fortsetzung der hypergeometrischen Reihe 223
3.3. Darstellung der Abbildungsfunktion im allgemeinen Fall 228
3.4. Kreisbogendreieck mit zwei gestreckten Winkeln, das den unendlich
fernen Punkt enthalt. . 232
§ 4. Einteilige Geraden-Vierecke. . . . . . 234
4.1. Lasung des Parameterproblems. . . 234
4.2. Auswertung der Abbildungsfunktion in Einzelfallen: Elliptische
Integrale . . . . . . . . . . . . 241
4.3. Auswertung der Abbildungsfunktion in Einzelfallen: Elementare
Funktionen . . . . . . 253
§ 5. Zweiteilige Geraden-Vierecke 258
5.1. Lasung des Parameterproblems 258
5.2. Auswertung der Abbildungsfunktion in EinzelHillen: Elementare
Funktionen ...................... 266
5.3. Auswertung der Abbildungsfunktion in Einzelfallen: Elliptische
Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
5.4. Auswertung der Abbildungsfunktion in Einzelfallen: Polygone
mit Schlitzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
§ 6. Andere Polygone, deren Abbildungsfunktion vollstandig angegeben
werden kann . . . . . . . . . 299
6.1. Kreisbogenvierecke in Kreisnetzen . . . . . . 299
6.2. Sternpolygone. . . . . . . . . . . . . . . 311
§ 7. Polygone, die von Kegelschnittbagen berandet sind 315
7.1. A.uJ3eres und Inneres von Ellipse, Hyperbel und Parabel. 315
7.2. Kege\schnittschlitze . . . . . . . . . . . . . . . . 324
