Table Of ContentPraktische Baustatik
Teil 3
Von Professor Oipl.-Ing. Walter Wagner t
und Professor Oipl.-Ing. Gerhard Erlhof
Fachhochschule Rheinland-Pfalz, Mainz
unter Mitwirkung von
Or.-Ing. Hans Müggenburg, Ouisburg
7., neubearbeitete und erweiterte Auflage
Mit 582 Bildern und 32 Tafeln
B. G. Teubner Stuttgart 1984
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Wagner, Walter:
Praktische Baustatik / von Walter Wagner u.
Gerhard Erlhof. - Stuttgart : Teubner
Frühere Aufl. u.d.T.: Ramm, Hermann: Praktische
Baustatik
NE: Erlhof, Gerhard:
Teil 3. Unter Mitw. von Hans Müggenburg. - 7.,
neubearb. u ..e rw. Aufl. - 1984.
ISBN 978-3-519-25203-0 ISBN 978-3-663-01237-5 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-01237-5
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vereinbaren ist.
© B. G. Teubner, Stuttgart 1984
Satz: Schmitt u. Köhler, Würzburg
Umschlaggestaltung: W. Koch, Sindelfingen
Vorwort
Ziel dieses 3. Teiles der "Praktischen Baustatik" ist die Vertiefung der Kenntnisse für die
Behandlung statisch unbestimmter Systeme. Er wendet sich vornehmlich an die Studenten
des Bauingenieurwesens der oberen Semester von Fachhochschulen und Technischen
Universitäten sowie an die in der Praxis tätigen Bauingenieure.
Für die Berechnung statisch unbestimmter Systeme ist die genaue Kenntnis der Form
änderungsgesetze von grundlegender Bedeutung; sämtliche Formänderungen lassen sich mit
dem Prinzip der virtuellen Arbeit berechnen. Der gründlichen Behandlung dieses
wichtigen Hilfsmittels des Kraftgrößenverfahrens wird deshalb ein besonders breiter
Raum zuteil. In diesem Abschnitt findet der Leser auch die Ableitung der w-Werte und
W-Gewichte sowie die wichtigen Sätze von Betti und Maxwell. Betrachtungen über die
kinematische Unverschieblichkeit und über die statische Unbestimmtheit ebener und räum
licher Tragwerke schließen sich an. Mit Hilfe dieser Grundlagen wird das Kraftgrößenver
fahren zur Bestimmung der Schnittgrößen und EinflußIinien entwickelt; einfach und mehr
fach statisch unbestimmte Systeme werden für ruhende und bewegliche Lasten behandelt.
Die zweite Methode der Berechnung statisch unbestimmter Systeme ist das Weggrößen
verfahren. Dieses Verfahren wird oft mit Vorteil bei statischen Untersuchungen vielfach
statisch unbestimmter Systeme, besonders auch der Rahmen, benutzt; deshalb wird seine
Anwendung an solchen Tragwerken gezeigt. Dabei wird auch dargestellt, wie sich der
Einfluß von Wärmewirkungen mit diesem Verfahren erfassen läßt.
Mit Hilfe des Weggrößenverfahrens läßt sich wie die meisten Iterationsverfahren auch
das Momentenausgleichsverfahren von Kani erklären. Dies wird oft, und zwar
besonders bei Rahmen, dem im Teil 2 besprochenen Crossschen Verfahren vorgezogen. Der
eingehenden Behandlung das Kanischen Verfahrens mit Ableitung und zahlreichen
Beispielen unverschieblicher und verschieblicher Systeme, die auch Rahmen mit geneigten
Stielen enthalten, ist deshalb ein ganzer Abschnitt gewidmet.
In einem neuen Abschnitt wird eine kurze Einführung in die Methode der finiten
Elemente gegeben: Nach einem allgemeinen Überblick werden die Formeln für die
Berechnung ebener Fachwerke abgeleitet und auf drei Beispiele angewendet. Hierbei
wird deutlich, welchen Einfluß elektronische Taschen- und Tischrechner auf die Baustatik
gewonnen haben: Während in der vorigen Auflage dieses Teils noch 10 Seiten dazu
verwendet wurden, die Auflösung von Gleichungssystemen mit maximal 4 linearen
Gleichungen zu erläutern, wird in der vorliegenden Auflage beim 2. und 3. Beispiel für die
Anwendung der finiten Elemente vorausgesetzt, daß fürodie Auflösung eines Systems mit
12 linearen Gleichungen ein programmgesteuerter Rechner zur Verfügung steht.
In der neuen Auflage werden die in DIN 1080 festgelegten Benennungen verwendet:
Gegenüber der vorigen Auflage wurde Normalkraft durch Längskraft ersetzt, Eigen
gewich t durch Eigenlast, Auflagerkraft und Auflagerreaktion durch Lagerkraft
und Stützgröße, und aus einem Balken auf drei Stützen wurde ein Balken auf drei
Lagern. An einer Vielzahl von Stellen wurde außerdem durch kleine Änderungen versucht,
Verständlichkeit und Genauigkeit von Formulierungen und Ableitungen zu erhöhen.
IV Vorwort
Die erste Auflage dieses Teils der" Praktischen Baustatik" erschien 1964 als Teil 4; Verfasser
der ersten bis dritten Auflage waren Hermann Ramm und Walter Wagner. Im Jahre
1972 zog sich Hermann Ramm aus Altersgründen von der Bearbeitung der "Praktischen
Baustatik" zurück, nachdem er über 25 Jahre lang dieses Werk zunächst allein, ab 1957
zusammen mit Walter Wagner durch Neubearbeitungen und Überarbeitungen auf dem
neuesten Stand gehalten hatte. Walter Wagners Mitarbeit an der "Praktischen Baustatik"
wurde im Jahre 1982 durch seinen jähen Tod beendet. Die Bearbeitung der vorliegenden
Auflage erfolgte durch den Unterzeichnenden und Dr.-Ing. Hans Müggenburg, der
diesen Teil bereits von der ersten Auflage an mitgestaltet hat. Auch zu dieser Auflage hat
Dr. Müggenburg wertvolle Anregungen und Ergänzungen beigetragen; dafür wie für die
angenehme Zusammenarbeit sei ihm herzlich gedankt. Wir hoffen, daß wir diesen Teil im
Sinne von Hermann Ramm und Walter Wagner fortgeführt haben.
Wiederholt werden soll auch in dieser Auflage der Dank der an diesem Werk Beteiligten an
ihre verehrten Lehrer, die Professoren Dr.-Ing. E. h. Dr.-lng. Kurt Klöppel, Dr.-Ing.
habil. Dr.-Ing. E. h. Gün ter W orch und Dr.-Ing. habil. Kurt Hirschfeld, für das in
Kollegs, Übungen und Gesprächen vermittelte Wissen.
Dem Verlag B. G. Teubner danke ich für die vorzügliche Zusammenarbeit wie für die
sorgfältige Herstellung und gute Ausstattung des Buches, insbesondere für den Entschluß,
bei der neuen Auflage die vielfältigen gestalterischen Möglichkeiten des Fotosatzes zu
nutzen.
Vorschläge aus dem Leserkreis für Verbesserungen der "Praktischen Baustatik" sind stets
willkommen.
Mainz, im August 1984 G. Erlhof
Inhalt
1 Elastische Formänderung
1.1 Einleitung . . . . . . 1
1.2 Ebene Formänderungen von Stabelementen ................. . 2
1.2.1 Formänderung infolge mittiger Längskraft - 1.2.2 Formänderung in
folge gleichmäßiger Temperaturänderung - 1.2.3 Formänderung infolge
Biegemoments - 1.2.4 Formänderung infolge ungleichmäßiger Temperatur
änderung - 1.2.5 Formänderung in folge Querkraft -1.2.6 Formänderung
infolge Torsion
1.3 Virtuelle Arbeit am elastischen Tragwerk. . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 Begriff der Arbeit - 1.3.2 Begriff der virtuellen Arbeit - 1.3.3 Prin
zip der virtuellen Verrückungen am elastischen Tragwerk - 1.3.4 Prin-
zip der virtuellen Belastungen am elastischen Tragwerk - 1.3.5 Ersatz
der Formänderungen durch Schnittgrößen und Temperaturänderungen -
1.3.6 Praktische Anwendung
1.4 Formänderungen, Grundaufgaben und zugehörige Einheitsbelastungen .. 14
1.4.1 Erste Grundaufgabe: Verschiebung eines Punktes - 1.4.2 Zweite
Grundaufgabe : Verdrehung eines Querschnitts :.. 1.4.3 Dritte Grundaufgabe :
Gegenseitige Verschiebung zweier Punkte - 1.4.4 Vierte Grundaufgabe:
Gegenseitige Verdrehung zweier Querschnitte
1.5 Auswertung der Integrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23
J
1.5.1 Auswertesatz - 1.5.2 Integrationstafel M Mdx -1.5.3 Anwendung
J J
der MMdx-Tafel - 1.5.4 Deutung des Ausdrucks MMdx als Volumen
1.6 Formänderungen infolge gegebener Lagerverschiebungen und -verdrehungen 31
1.7 Veränderliches Flächenmoment I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34
1. 7.1 Abschnittsweise konstantes Flächenmomentl - 1.7.2 Stetig veränder
liches Flächenmoment I
1.8 Anwendungen...................... . . . . 36
2 Zustandslinien elastischer Formänderung
2.1 Punktweise Ermittlung der Biegelinie ................ . 41
2.1.1 Biegelinie des Stabwerks - 2.1.2 Biegelinie des Fachwerks
2.2 Bestimmung der Biegelinie mit Hilfe von w-Zahlen . . . . . . . . . 43
2.3 Ermittlung der Biegelinie mit Hilfe der W-Gewichte. . . . . . . . . 46
2.3.1 W-Gewichte beim Stabwerk mit konstantem Flächenmoment I -
2.3.2 W-Gewichte beim Stabwerk mit veränderlichem Flächenmoment I -
2.3.3 W-Gewichte beim Stabwerk aus der l/)'-Belastung - 2.3.4 W-Ge
wichte beim Fachwerk - 2.3.5 W-Gewicht im Gelenk
VI Inhalt
3 Die Sätze von der Gegenseitigkeit der elastischen Formänderungen
3.1 Satz von Betti ... 55
3.2 Satz von Maxwell. 56
4 Einflußlinien für Formänderungen. 58
5 Statisch unbestimmte Systeme
5.1 Betrachtungen zur Bestimmung der kinematischen Unverschieblichkeit eines
Tragwerks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.2 Gleichungen zur Bestimmung der statischen Unbestimmtheit. 68
6 Kraftgrößenverfahren, einfach statisch unbestimmte Systeme
6.1 Balken auf 3 Lagern ................... . 77
6.1.1 Mittlere Lagerkraft B als statisch unbestimmte Größe Xl - 6.1.2
Stützmoment MB als statisch unbestimmte Größe Xl
6.2 Lagerverschiebungen und Temperaturänderungen bei statisch unbestimmten
System. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 80
6.3 Zweigelenkrahmen ............................... , 83
6.3.1 Beispiel - 6.3.2 Zweigelenkrahmen mit Zugband -6.3.3 Zweigelenk
rahmen mit geknicktem Riegel
6.4 Hängewerk.......................... 105
6.5 Langerscher Balken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.6 Zwei durch einen Stab verbundene eingespannte Sützen. 113
6.7 Kehlbalkendach ........ . 114
6.8 Unterspannter Fachwerkträger. 119
6.9 Zweigelenkbogen . . . . . . . . 123
7 , Kraftgrößenverfahren, mehrfach statisch unbestimmte Systeme
7J Gleichungen für ein zweifach statisch unbestimmtes System. 130
7.2 Gleichungen für ein mehrfach statisch unbestimmtes System 133
7.2.1 n-gliedriges Gleichungssystem für n statisch Unbestimmte - 7.2.2
Dreigliedriges Gleichungssystem für n statisch Unbestimmte
7.3 Anwendungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7.3.1 Zweifach statisch unbestimmter Rahmen - 7.3.2 Eingespannter
Rahmen - 7.3.3 Geschlossener Rahmen - 7.3.4 Stockwerkrahmen - 7.3.5
Eingespannter Bogen
7.4 Einflußlinien bei statisch unbestimmten Systemen. . . . . . . . . . . . . . . 185
7.4.1 Allgemeines - 7.4.2 Anwendungen - 7.4.3 Ermittlung der Einfluß
linien mit Hilfe des (n-l)-fach statisch unbestimmten Systems\~Satz von Land)
7.5 Formänderung an statisch unbestimmten Systemen 209
7.5.1 Reduktionssatz - 7.5.2 Anwendungen
7.6 Statisch unbestimmte Grundsysteme ........ . 214
Inhalt VII
8 Weggrößenverfahren
8.1 Einführung ................. . 221
8.2 Grundlagen.................. 222
8.2.1 Begriffe und Bezeichnungen - 8.2.2 Vorzeichenregeln
8.3 Tragsysteme mit unverschieblichen Knoten. . . . . . . . . . . .... 224
8.3.1 Gleichungen für Stabendmomente - 8.3.2 Aufstellen der Knoten
gleichungen - 8.3.3 Anwendungen
8.4 Tragsysteme mit verschieblichen Knoten . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 248
8.4.1 Allgemeines - 8.4.2 Gleichungen für Stabendmomente - 8.4.3 Auf
stellen der Knotengleichungen - 8.4.4 Aufstellen der Verschiebungs
gleichungen - 8.4.5 Anwendungen - 8.4.6 Das Verfahren der Belastungs
umordnung
8.5 Einfluß von Temperaturänderungen . . ... 277
8.5.1 Gleichmäßige Temperaturänderung - 8.5.2 Ungleichmäßige Tem
peraturänderung - 8.5.3 Anwendungen
9 Momentenausgleichsverfahren nach Kani
9.1 Allgemeines.................................. 293
9.1.1 Weggrößenverfahren und Momentenausgleichsverfahren - 9.1.2 Be
griffe und Bezeichnungen
9.2 Tragsysteme mit unverschieblichen Knoten. . . . ..... 295
9.2.1 Ableitung des Verfahrens - 9.2.2 Anwendungen
9.3 Stockwerkrahmen mit horizontal verschieblichen Knoten. . . . . . . . 310
9.3.1 Ableitung des Verfahrens - 9.3.2 Gang des Verfahrens - 9.3.3 An
wendungen
9.4 Rahmen mit horizontal und vertikal verschieblichen Knoten ... 352
9.4.1 Allgemeines - 9.4.2 Anwendungen
10 Berechnung von Fachwerkträgern mit der Methode der finiten Elemente
10.1 Allgemeine Einführung in die Methode der finiten Elemente 370
10.2 Steifigkeitsmatrizen 371
10.3 Beispiele ..... . 376
Literatur . ... 393
Sachverzeichnis. 395
VIII Hinweise
Für dieses Buch einschlägige Normen sind entsprechend dem Entwicklungsstand ausge
wertet worden, den sie bei Abschluß des Manuskriptes erreicht hatten. Maßgebend sind die
jeweils neuesten Ausgaben der Normblätter des DIN Deutsches Institut für Normung e. V.,
die durch den Beuth-Verlag, Berlin und Köln, zu beziehen sind. - Sinngemäß gilt das gleiche
für alle sonstigen angezogenen amtlichen Richtlinien, Bestimmungen, Verordnungen usw.
1 Elastische Formänderung
1.1 Einleitung
Jedes belastete Tragwerk steht unter Spannungen. Diese rufen Fonnänderungen hervor:
Längenänderungen, Verschiebungen, Gleitungen, Durchbiegungen und Verdrehungen.
Bleiben die Spannungen unterhalb der Elastizitätsgrenze des Baustoffes, so sind die
Formänderungen elastisch und gehen bei Entlastung vollständig zurück.
Überschreiten die Spannungen die Elastizitätsgrenze des Baustoffs, so treten elastische
und plastische Fonnänderungen auf. Bei manchen Baustoffen entstehen plastische oder
bleibende Verfonnungen, nachdem die Lasten aufgebracht worden sind. DIN 4227 (12.79)
Tl; Abschn. 8.1 nennt das Kriechen als zeitabhängige Zunahme der Verfonnungen unter
andauernden Spannungen und die Relaxa tion als zeitabhängige Abnahme der Spannun
gen unter aufgezwungenen Verfonnungen konstanter Größe. Eine zwar von der Zeit, nicht
aber von der Last abhängige plastische Verfonnung ist das Schwinden des Betons.
Unter den elastischen Fonnänderungen ist die Durchbiegung bei Trägern aus Holz und
Stahl von unmittelbarer Bedeutung: Sie muß nachgewiesen werden und darfvorgeschriebe
ne Werte nicht überschreiten.
In den Berechnungen statisch unbe
stimmter Systeme spielen elastische
Formänderungen eine große Rolle: Beim
Kraftgrößenverfahren (KGV) treten sie
als Vorzahlen und Lastglieder in den
Verfonnungsbedingungen oder Elastizitäts
Spannungszustand :
gleichungen auf; beim Weggrößenver
fahren (WGV) sind die unbekannten Kno r-----:t---------'+
F/2
ten- und Stabdrehwinkel elastische Fonn FI2 +L... __+ '---_.J! a
änderungen.
Die plastischen Fonnänderungen treten
gegenüber den elastischen in ihrer Bedeu
tung zurück: Das Traglastverfahren des
Stahl ba us als ein Sonderfall der allgemei
nen Plastizitätstheorie legt der Bemessung
von vorwiegend ruhend belasteten Stahl
Verformungszustand :
bauten plastische Verformungen in ein
zelnen Punkten der Stabachsen, den Fließ
gelenken, zugrunde; ferner sind Schwin
den und Kriechen des Betons bei Spann
beton-, Stahlbeton- und Verbundkonstruk
tionen zu berücksichtigen. 1.1 Spannungs-und Verformungszustand
2 1.2 Ebene Formänderungen von Stabelementen
Wir unterscheiden in der Baustatik zwei Zustände: Der Spannungszustand gibt die
Beanspruchung eines Tragwerks durch Momente, Querkräfte und Längskräfte an; Lasten
und Stützgrößen sind unter Beachtung der wirklich vorhandenen oder angenommenen
Lagerung des Tragwerks im Gleichgewicht.
Der Verformungszustand ist durch die Biegelinie des Tragwerks beschrieben; die
wirklich vorhandenen oder angenommenen geometrischen Randbedingungen werden erfüllt
(Bild 1.1).
Bei der Berechnung statisch unbestimmter Systeme mit dem Kraftgrößenverfahren ist
jeder Spannungszustand des statisch bestimmten Hauptsystems im Gleichgewicht; der
zugehörige Verformungszustand braucht nicht mit den geometrischen Rand- oder
Kontinuitätsbedingungen des wirklichen Systems verträglich zu sein. Umgekehrt erfüllt bei
Berechnungen mit dem Weggrößenverfahrenjeder Verformungszustand des kinematisch
oder geometrisch bestimmten Hauptsystems die Verträglichkeitsbedingungen; die Lasten
und Stützgrößen des zugehörigen Spannungszustandes brauchen jedoch nicht im Gleichge
wicht zu sein.
Den Zusammenhang zwischen Spannungs- und Verformungszustand stellen Spannungs
Dehnungs-Gesetze, Formänderungsgesetze, Elastizitätsgesetze, Momenten-Krümmungs
Beziehungen und Schnittgrößen-Krümmungs-Beziehungen her. Im Teil 3 der Praktischen
Baustatik legen wir der Ermittlung von Formänderungen aus Schnittgrößen nur die
einfachste Beziehung zugrunde: das Hookesche Gesetz mit seinem linearen Zusammen
hang zwischen elastischer Dehnung und Spannung, anders ausgedrückt: mit seiner linearen
Elas tizi tät.
Das Hookesche Gesetz stimmt für Stahltragwerke unter Gebrauchslast gut mit der
Wirklichkeit überein, da die Proportionalitätsgrenze ßp des Stahls über den zulässigen
Spannungen zul liegt. Beim Beton gibt es dagegen auch unter niedrigen Spannungen keine
(I
Proportionalität zwischen Spannungen und Dehnungen; die Berechnung von anfänglichen
Formänderungen mit Hilfe der E-Moduln für Beton nach DIN 1045, Tabelle 11 und
DIN 4227, Tabelle 6 ergibt deswegen nur Näherungswerte.
Solange man die durch das Hookesche Gesetz beschriebene lineare Elastizi tät auf einen
Baustoff anwenden kann, gilt für Formänderungen aus verschiedenen Belastungszuständen
das Superpositionsgesetz; liegen andere Formänderungsgesetze zugrunde, sind Über
lagerungen nich t mehr möglich: Die Formänderung aus einer Summe von Belastungen ist
nicht mehr gleich der Summe der Formänderungen der einzelnen Belastungen.
1.2 Ebene Formänderungen von Stabelementen
An Formänderungen treten am Element die einheitenlosen Verzerrungen /; und l' auf
(DIN 1080n Abschn.7.4).
1.2.1 Formänderung infolge mittiger Längskraft
Das Hooke sche Gesetz lautet (s. Teil 2, Abschn.1.2.3)
M tls
(I
€=T=---;=Ji (2.1)
