Plastizitätstheorie und ihre Anwendung auf Festigkeitsprobleme

373 Pages·1967·8.18 MB·German

by  Karl-August Reckling (auth.)

Plastizit ä tstheorie
und ihre Anwendung auf Festigkeitsprobleme
Ingenieurwissenschaftliche Bibliothek
Herausgegeben von lstvän Szabö, Berlin
Plastizit ät stheorie
und ihre Anwendung
auf Festigkeitsprobleme
Karl-August Reckling
von
Dr.-Ing., o. Professor für Mechanik
an der Technischen Universität Berlin
Mit 173 Abbildungen
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg GmbH
1967
Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten
Ohne ausdrückliche Genehmigung des Verlages ist es auch nicht gestattet,
dieses Buch oder Teile daraus auf photomechanischem Wege
(Photokopie, Mikrokopie) oder auf andere Art zu vervielfältigen
© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1967
Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1967
Softcoverreprint ofthe bardeover Istedition 1967
Library of Congress Catalog Card Number 67-16 785
ISBN 978-3-662-12715-5 ISBN 978-3-662-12714-8 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-12714-8
Titelnummer 4249
Vorwort
In den beiden letzten Jahrzehnten ist in die Festigkeitsforschung
immer mehr das nichtelastische Werkstoffverhalten einbezogen wor
den. Die Ergebnisse dieser Forschung berücksichtigt der Ingenieur in
Deutschland allerdings zur Zeit noch selten bei seinen praktischen
Festigkeitsrechnungen. Über diese Erweiterung der Festigkeitslehre
fehlt im deutschsprachigen Raum eine zusammenfassende Darstellung.
Ich wollte mit diesem Buch dazu beitragen, diese Lücke zu schließen
und das Interesse für dieses Gebiet zu fördern.
Warum ist diese Erweiterung überhaupt für den Ingenieur von
Bedeutung, der durch Generationen hindurch Maschinen, Fahrzeuge
und Bauwerke meist nur auf Grund von Festigkeitsrechnungen ent
warf, bei denen er elastisches Werkstoffverhalten voraussetzte? Es
gibt hierauf drei Antworten: Erstens kann man in der klaRsischen
Festigkeitslehre nicht berücksichtigen, daß die im allgemeinen hoch
gradig statisch unbestimmten Konstruktionen weit über ihre elasti
sche Grenzlast hinaus belastet werden können, bevor sie zusammen
brechen, und daß diese Überlastbarkeit je nach dem Einzelfall sehr
verschieden ist. Die einzelnen Teile einer auf Grund von elastizitäts
theoretischen Rechnungen entworfenen Konstruktion haben also ganz
verschiedene Sicherheiten gegenüber dem Zusammenbruch. Der Ent
wurf nach der Plastizitätstheorie führt dagegen zu einer Konstruktion
mit gleicher Sicherheit ih1er Teile gegenüber dem Zusammenbruch,
das heißt zu einer besseren Ausnutzung des Materials. Zweitens sind
die Rechnungen nach der Elastizitätstheorie insofern schon unreali
stisch, als sie die Plastizierung des Werkstoffs an Stellen mit Span
nungskonzentrationen nicht berücksichtigen. Drittens sind sie auf
wendiger als plastizitätstheoretische Festigkeitsrechnungen.
Um eine möglichst geschlossene Darstellung geben zu können, habe
ich mich auf das von Zeit und Temperatur unabhängige plastische
Werkstoffverhalten beschränkt. Verwendet man für bestimmte Zeit
punkte bekannte Verzerrungs-Spannungs-Gesetze, so kann man viele
Ergebnisse sinngemäß auf zeitabhängiges Werkstoffverhalten (Krie
chen) übertragen.
VI Vorwort
Besonderen Wert habe ich auf eine möglichst anschauliche Dar
stellung des derzeitigen Standes der für den Ingenieur wichtigen phy
sikalischen und mathematischen Grundlagen der Plastizitätstheorie
gelegt. Insofern kann das Buch auch als Ausgang für die Behandlung
von Problemen mit großen Verzerrungen dienen, wie sie bei den Um
formvorgängen der Metallverarbeitung auftreten. In den Anwendun
gen habe ich mich dann auf Probleme der Festigkeitslehre beschränkt,
bei denen die Verzerrungen klein sind. Dabei steht die Frage nach Ver
formungen, Tragfähigkeit und Stabilität der Konstruktionen oder
ihrer Teile im Vordergrund.
Den derzeitigen Stand der Verfahren und die Grenzen der plasti
zitätstheoretischen Festigkeitsrechnung habe ich an Hand von über
sichtlichen Beispielen aus den verschiedensten Bereichen dargestellt,
um eine tragfähige Grundlage für die Durchführung von Entwurfs
rechnungen und für wissenschaftliche Weiterarbeit zu schaffen. Dabei
wird der Leser manches finden, das anders als bisher behandelt wurde
oder Bekanntes ergänzt, zum Beispiel in den Abschnitten über schiefe
Biegung, Energieprinzipien, Traglasttheorie zweiter Ordnung, zusam
mengesetzte Beanspruchung von Balken, über Turbinenscheiben und
die Beulung von Rechteckplatten.
Das Buch wendet sich vorwiegend an Dozenten und Studenten
des Bauingenieurwesens, Flugzeugbaus, Schiffbaus und der Techni
schen Mechanik an Technischen Hochschulen und Fachschulen sowie
an Ingenieure, die in Konstruktion und Entwicklung auf diesen GB
bieten tätig sind. Bei der Abfassung des Buches habe ich die in meinen
Vorlesungen über Plastizitätstheorie gewonnenen Erfahrungen berück
sichtigt. Das Buch hat aber nicht nur den Charakter eines Lehrbuches,
sondern es enthält auch viele Ergebnisse, die sich unmittelbar für die
praktische Festigkeitsrechnung verwenden lassen. Ich hoffe daher, daß
es in manchen Bereichen zur Einführung der plastizitätstheoretischen
Berechnungsverfahren in die Entwurfspraxis anregen wird.
Bei der großen Zahl von Arbeiten, die Jahr für Jahr über dieses
Gebiet veröffentlicht werden, werden es mir die Autoren von nicht
genannten Arbeiten nachsehen, daß ich nur verhältnismäßig wenige
Arbeiten zitiert habe. Eine vollständige Dokumentation aller in diesem
Zusammenhang interessierenden Literaturstellen wäre zu umfangreich
geworden.
Meinem verehrten Lehrer und jetzigen Kollegen, Herrn Professor
Dr.-Ing. I. SzAB6, möchte ich an dieser Stelle dafür danken, daß er
mich zur Arbeit auf dem Gebiet der Plastizitätstheorie angeregt und
zur Abfassung dieses Buches aufgefordert hat.
Meinen Mitarbeitern, insbesondere meinem Oberingenieur, Herrn
Dr.-Ing. K.-H. SeHRADER und den Herren Dr.-Ing. J. MYSZKOWSKI,
Vorwort VII
Dipl.-Ing. K. BuRTH, Dipl.-Ing. P. GUMMERT und Dipl.-Ing. CHR. HARS
habe ich dafür zu danken, daß sie mich durch viele zu Abänderungen,
Ergänzungen und Verbesserungen führende Diskussionen sowie bei
der Kontrolle der Rechnungen wirksam unterstützten. Dem Springer
Verlag danke ich für die gute Ausstattung des Buches und für die
Berücksichtigung meiner Wünsche.
Berlin, im Frühjahr 1967
Karl-August Reckling
Inhaltsverzeichnis
I. Allgemeine Grundlagen
Seite
§ 1. Einführung .... 1
1.1 Plastisches Werkstoffverhalten . 1
1.2 Voraussetzungen und Zielsetzung 3
1.3 Geschichtliche Entwicklung und Literatur 5
1.4 Differentielle oder finite Verzerrungs-Spannungs-Gesetze 7. 10
§ 2. Physikalische Grundlagen . . . . . • 12
2.1 Die Kristallstruktur der Materie . . . . . . . . 12
2.2 Versetzungen und Eigenspannungen . . . . . . 20
§ 3. Phänomenologie des plastischen Werkstoffverhaltens. 27
3.1 Die Struktur polykristalliner Werkstoffe 27
3.2 Fließlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 Volumendilatation und Querkontraktion . . . . 30
3.4 Verformung infolge allgemeiner Spannungszustände 31
3.5 Zug- und Druckversuche . . . . . . . . . . . . 32
3.6 Elastische Hysteresis und BAusomNGER-Effekt . . 39
§ 4. Die Energie-und Extremalprinzipien in der Plastizitätslehre 40
4.1 Prinzip der virtuellen Arbeiten . . . . . . 41
4.1.1 Prinzip der virtuellen Verschiebungen . . . . . . 41
4.1.2 Prinzip der virtuellen Kräfte . . . . . . . . . 43
4.2 Spezielle Sätze für monoton wachsende Zustandsfunktionen . 45
4.3 Erweiterte Energiesätze unter Berücksichtigung eines Restspan
nungszustandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4 Allgemeine Sätze für plastisches Werkstoffverhalten . . . . . . 50
4.5 Sätze zur Berechnung der Traglast statisch unbestimmter Trag-
werke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.6 Sätze für stabiles Werkstoffverhalten . . . . . . . 56
4. 7 Satz für das Einspielen (shake-down) von Tragwerken 61
II. Einachsige Spannungszustände
§ 5. Einfache Systeme und Fachwerke . . . . . . . . . 63
5.1 Modell für einfach statisch unbestimmte Systeme 63
5.1.1 Das Modell mit einsinniger Belastung . . . 64
5.1.2 Das Modell mit wechselnder Belastung . . 65
5.1.3 Normierte Darstellung nach PRAGER für das Verhalten des
Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.1.4 Anwendung der Extremalprinzipien auf das Modell . 69
5.2 Das Modell aus verfestigendem Werkstoff. . . . . . . . 71
Inhaltsverzeichnis IX
Seite
5.3 Einfach statisch unbestimmtes Tragwerk mit mehreren veränder
lichen Lasten . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.3.1 Proportionale Belastung . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.3.2 Variables Lastverhältnis ohne Entlastung . . . . . . . . 77
5.3.3 Variables Lastverhältnis mit Entlastung. Progressive Pla-
stizierung bzw. Einspielen . . . . . . . . . . . . 77
5.4 Traglast und optimale Ausnutzung von Gelenkfachwerken 83
5.4.1 Symmetrischer Gelenkrahmen . . . . 83
5.4.2 Gelenkfachwerk . . . . . . . . . . 84
§ 6. Biegung gerader Balken. Das Spannungsproblem 88
6.1 Voraussetzungen. . . . . . . . . . . . . 88
6.2 Grundgleichungen des Biegeproblems. . . . 90
6.3 Schiefe Biegung von Balken mit doppeltsymmetrischem Quer-
schnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.3.1 Rechteckquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . 93
6.3.2 Tragfähigkeit eines idealisierten Sandwich-Querschnitts . . 97
6.4 Momentenbelastung in einer Längssymmetrieebene des Quer-
schnitts . . . . . . . . . . . 100
6.4.1 Doppeltsymmetrischer Fall . . . . . 100
6.4.1.1 Rechteckquerschnitt . . . . . 101
6.4.1.2 Beliebige doppeltsymmetrische Querschnitte und
idealplastischer Werkstoff. . . . . . . . . . . . 102
6.4.2 Einfachsymmetrischer Fall. . . . . . . . . . . . . . . 107
6.4.2.1 Alleiniger Einfluß der Unsymmetrie des Querschnitts 108
6.4.2.2 Einfluß der Längskräfte 110
6.5 Restspannungen . . . 117
§ 7. Durchbiegung von Balken 119
7.1 Integration der Differentialgleichung der Biegelinie 119
7 .1.1 Balken mit gleichmäßiger Belastung 120
7.1.2 Balken mit Einzellast . . . . . . . . . . . 125
7.1.3 Einfach statisch unbestimmt gelagerter Balken. 126
7.2 Energieprinzipien in Anwendung auf die Balkenbiegung 132
7.2.1 Ergänzungsenergie und Prinzip der virtuellen Kräfte 132
7.2.2 Beidseitig eingespannter Balken mit Einzellast . . . 135
7.2.2.1 Rechteckquerschnitt und idealplastischer Werkstoff 136
7.2.2.2 I-Querschnitt und verfestigender Werkstoff .... 138
7. 2.3 Beidseitig eingespannter Balken mit gleichmäßiger Belastung 140
7.2.3.1 Rechteckquerschnitt und idealplastischer Werkstoff 140
7.2.3.2 I-Querschnitt und verfestigender Werkstoff 143
§ 8. Traglasttheorie für Balken- und Rahmentragwerke 144
8.1 Vorbetrachtungen . . . . . . . 144
8.1.1 Die Fließgelenk-Hypothese 144
8.1.2 Grundlegende Sätze .... 146
8.1.3 Zwei erläuternde Beispiele . 148
8.1.4 Ein Paradoxon der Traglasttheorie 150
8.2 Ausbau der Theorie . . . . . . . . . 153
8.2.1 Anzahl der Grundmechanismen und Fließgelenke . 153
8.2.2 Kombination von Grundmechanismen. . . . . . 155
X Inhaltsverzeichnis
Seite
8.2.3 Durchlaufträger . . . . . . . . . 156
8.2.4 Rechteckrahmen . . . . . . . . . 160
8.3 Veränderliche Belastungen und Einspielen 168
8.3.1 Die Einspielsätze für Biegungstragwerke. 168
8.3.2 Rechteckrahmen . . . . . . . . 171
8.4 Traglasttheorie zweiter Ordnung • . . . 176
8.4.1 Der Biegebalken mit Längskräften 176
8.4.2 Rahmentragwerke . . . . . . . 182
m. Mehrachsige Spannungszustände
§ 9. Grundlagen. 192
9.1 Allgemeiner Spannungszustand 192
9.2 Verzerrungszustand ... 197
9.3 Fließbedingungen . . . . . 202
9.3.1 Isotrope Werkstoffe. . 202
9.3.2 Anisotrope Werkstoffe 208
9.4 Verzerrungs-Spannungs-Gesetze. Verfestigungshypothesen. 210
9.4.1 Isotrope Werkstoffe. . , . • . . . . . . . . . . 210
9.4.1.1 Elastisoher Werkstoffbereich . . . . . . . 210
9.4.1.2 Fließ-bzw. Verfestigungsbereich des Werkstoffes 211
9.4.1.3 Finite Verzerrungs-Spannungs-Gesetze 220
9.4.2 Anisotrope Werkstoffe 221
§ 10. Der Biegebalken mit Querkräften •. 223
10.1 Balken mit Rechteckquerschnitt 224
10.2 Balken mit I-Querschnitt ... 234
§ 11. Torsion von Stäben . . . . . . . . 241
11.1 Erweiterung der Theorie von DE SAINT-VENANT 241
11.1.1 Allgemeingültige Beziehungen· . 241
11.1.2 Hohlquerschnitte . . . . . . . 243
11.1.3 Verschiedene Werkstoffgesetze , 244
11.2 Teilweise plastizierte Querschnitte . . 248
11.2.1 Das Problem und seine Analoga 248
11.2.2 Rechnerische Lösung. Verwölbung 251
11.3 Tragfähigkeit tordierter Stäbe . . . . 255
11.3.1 Einfaohberandete Querschnitte . 265
11.3.2 Hohlquerschnitte . . . 257
11.4 Einfluß von Längsspannungen . 260
11.4.1 Allgemeines ...•.. 260
11.4.2 Torsion und Längskräfte 262
11.4.3 Torsion und Biegung . . 262
11.5 Restspannungen . . . . . . . 267
§ 12. Rotationssymmetrische Spannungszustände. 270
12.1 Druckbehälter als Hohlkugel . . . 270
12.1.1 Spannungszustand .... 270
12.1.2 Aufweitung der Hohlkugel . 274
12.2 Zylindrische Hochdruckbehälter 278
12.2.1 Allgemeines . . . . . . . 278