Table Of ContentKnut Burth . Wolfgang Brocks
Plastizitiit
Knut Burth · Wolfgang Brocks
••
PLASTIZITAT
Gmodlageo uod Anwendungen
fUr Ingenieure
I I
vleweg
Dr.-Ing. Knut Burth
Professor an der Fachhochschule Hamburg,
apl. Professor an der Technischen Universitat Berlin
Dr.-Ing. Wolfgang Brocks
wissenschaftlicher Angestellter an der BundesanstaIt
fUr Materialforschung und -priifung (BAM),
apl. Professor an der Technischen Universitat Berlin
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Bnrth, Knnt:
Plastizitiit: Grundlagen und Anwendungen
flir Ingenieure / Knut Burth; Wolfgang Brocks. -
Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg, 1992
NE: Brocks, Wolfgang:
ISBN 978-3-322-91589-4 ISBN 978-3-322-91588-7 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-91588-7
AIle Rechte vorbehalten
© Springer Fachmedien Wiesbaden, 1992
Ursprilnglich erschienen bei Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden, 1992 .
Softcover reprint of the hardcover 1s t edition 1992
Das Werk einschlieBlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschtitzt. Jede
Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne
Zustimrnung des Verlags unzuliissig und strafbar. Das gilt insbesondere flir Ver
vieIfaItigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung
und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
Gedruckt auf saurefreiem Papier
v
Vorwort
Das vortiegende Buch ist aus dem Vorlesungs-Skripts einer zweisemestrigen Lehrveranstal
tung "Plastizitatstheorie" entstanden, die die Verfasser an der Technischen Universitat Bertin
regelmaBig seit 1981 fUr Harer aller ingenieurwissenschaftlichen Fakultaten halten. Die konti
nuierliche Nachfrage nach dieser Veranstaltung und dem Skript durch Studenten unter
schiedlicher Fachrichtungen, aber auch durch Assistenten und Ingenieure aus der Berufs
praxis mit sehr divergenten Interessen hat uns ermutigt, die vorwiegend wenig kommentierte
Formeln und Bilder enthaltenden 380 Seiten zu einem Lehrbuch umzuarbeiten, das auch
ohne die Erlauterungen eines Vortragenden verstandlich sein sollte. Dabei muBten zwangs
laufig viele Herleitungen und Aufgaben zugunsten von erklarendem Text entfallen.
Wie die Lehrveranstaltung, richtet sich auch dieses Buch an Studenten im Hauptstudium und
Absolventen verschiedener Fachrichtungen, Konstrukteure und Berechnungsingenieure des
Maschinenbaus und Bauingenieurwesens, aber auch Physik-Ingenieure und Werkstofftechni
ker, die sich fUr Festigkeitsprobleme interessieren. Es sollte sowohl als begleitendes Lehr
buch zur Vorlesung als auch zum Selbststudium geeignet sein. Die im Grundstudium Ob
licherweise erworbenen Kenntnisse der Mathematik und Technischen Mechanik reichen des
halb fUr ein Verstandnis insbesondere der ersten acht Kapitel aus. Die bei der Behandlung
mehrachsiger Spannungszustande in den beiden folgenden Kapiteln eingefUhrte Tensordar
stellung beschrankt sich bewuBt auf ein unentbehrliches Minimum; die verwendete Notation
ist im Anhang erlautert.
Der inhaltliche Aufbau des Buches orientiert sich konsequent an dem Prinzip, aile fUr plasti
sches Stoffverhalten besonderen, aus der Elastizitatstheorie nicht bekannten nichtlinearen
PMnomene, wie bleibende Verformungen, Spannungsumlagerungen, Restspannungen usw.
zunachst an den einfachen Fallen einachsiger Spannungszustande, Zug/Druck und Bie
gung, verstandlich zu machen. Zu diesem Zweck werden viele Anwendungsbeispiele gege
ben, zumal einachsige Spannungszustande noch eher analytischen Losungen zuganglich
sind. Erst im AnschluB hieran werden die Grundgedanken auf mehrachsige Spannungszu
stande erweitert und die klassische "inkrementelle" Theorie der Plastizitat von v. Mises,
PRANDTL und REUSS dargestellt. Geschlossene Lasungen von Randwertproblemen sind
nur unter Vereinfachungen, z. B. fOr ebene oder rotationssymmetrische Beanspruchungszu
stande, maglich. Die vorgestellten Anwendungsbeispiele schlieBen deshalb auch einige Er
gebnisse von Finite-Elemente-Rechnungen ein.
Das Buch versucht den Grenzbereich zwischen Materialtheorie und Berechnungspraxis aus
zufUlien. Es orientiert sich deshalb an den Anwendungen der Theorie plastischen Material
verhaltens und machte die hierzu erforderlichen Grundlagen vermitteln. Die Veriasser wollen
dem Leser die spezifischen PMnomene und die zu ihrer Beschreibung verwendeten Modelle
verstandlich mach en und ihn an die in aktuellen Normen und Richtlinien niedergelegten Be
rechnungsformeln heranfUhren. Auf der anderen Seite kann und will dieses Buch aber nicht
BerechnungshandbOcher ersetzen und endet deshalb stets dort, wo die prinzipielle Metho
dik in spezielle Berechnungsveriahren und -vorschriften der Praxis mOndet. Der Anschaulich
keit wegen haben wir auch viele Versuchsergebnisse aufgenommen und kommentiert.
VI Vorwort
Ausdruck dieser Konzeption 1st auch das recht umfangrelche Llteraturverzeichnis, das von
den historisch grundlegenden Aufsatzen der "Klassiker" bis zu aktuellen Beitragen ein mog
lichst breites Spektrum abzudecken versucht, ohne natOrlich angeslchts der FOlie der Litera
tur jemals Volistandigkeit beanspruchen zu konnen. Es enthalt Hinweise auf theoretisch
weiterfOhrende Zeitschriftenaufsatze ebenso wie auf typische experimentelle Ergebnisse.
Neben einer Uste von LehrbOchern und Monographien sind auch 1m Zusammenhang
stehende Normen und HandbOcher aufgefOhrt.
Ein vleltacher Dank gebOhrt all denen, die das Entstehen dieses Buches angeregt, begleltet
und techn/sch ermoglicht haben. An erster Stelle ist hier unser verehrter Lehrer Prof. Dr.-Ing.
K.-A. Reckling zu nennen, der mit seiner Vorlesung und seinem Buch ·Plast/zitatstheorie" die
Grundlage unserer e/genen Lehrveranstaltung gelegt hat. leider hat er ebenso w/e Herr Prof.
Dr.-Ing. K.-H. Schrader, der uns als erster zur Veroftentlichung unseres Manuskriptes ermun
tert hat, das Ersche/nen dieses Buches nicht mehr miterlebt. Neben der Lehrtatlgkeit hat ins
besondere die Arbeit an der Bundesanstalt fOr Materialforschung und -prOfung (BAM) und
die Diskussion mit den Kolleginnen und Kollegen immer wieder praktische Anregungen ge
geben; einige Anwendungsbe/spiele in den drei letzten Kapiteln sind hieraus hervorgegan
gen. Zu danken ist auch fOr die technlsche UnterstOtzung, die wir an der BAM erfahren
haben. DaB aus einem Manuskript ein gedrucktes Buch werden konnte, ist ganz wesentJich
Frau Jacqueline Seipold zu verdanken. die mit hoher Sorgfalt und Zuverlassigkeit die Texte
und Formeln geschrieben hat. Aile Zeichnungen und Skizzen. die nicht als Computerplots
hergestellt werden konnten, wurden von Frau Margit Heck vom 1. Institut fOr Mechanik der
TU Berlin sowie von Frau Susanne Nobbe und Frau Maren Kieler. Studentinnen an der FH
Hamburg. hergestellt; auch ihnen sei an dieser Stelle herzlich gedankt. SchlieBlich schulden
wir dem Vieweg-Verlag Dank fOr seine Gedu/d. mit der er mehrfache TerminOberschreitun
gen toleriert hat. Die Verfasser hoften am Ende, daB sich das BemOhen aller genannten und
ungenannten Personen um das Zustandekommen des Buches gelohnt hat. Dies mOssen
jetzt die Leser entscheiden.
Inhaltsverzeichnis VII
Inhaltsverzeichnis
Seite
1 EinfOhrende Betrachtungen 1
1.1 Allgemeine Aufgabenstellung und Begriffsbestimmungen
1.2 Sicherheit und Zuverlassigkeit 3
1.3 Konzepte fUr den Tragfahigkeitsnachweis von Bauteilen
und Tragwerken 6
2 Phanomenologie des Werkstoffverhaltens 11
2.1 Der einachsige Zugversuch 11
2.2 Reales Verhalten von Metallen 14
2.3 Elastisch-plastisches Stoffgesetz fUr den einachsigen
Spannungszustand 14
2.4 Approximation von Materialkennlinien aus Versuchen 19
2.4.1 Multilineare Approximation 20
2.4.2 Bilineare Approximation mit Verfestigung 21
2.4.3 Bilineare Approximation ohne yerfestigung 22
2.4.4 Trilineare Approximation mit LUDERS-Bereich 22
2.4.5 Die Potenz-Approximation von LUDWIK 23
2.4.6 Die Potenz-Approximation von RAMBERG-OSGOOD 24
2.4.7 Hyperbolische Approximation 24
2.4.8 Starr-plastische Werkstoffmodelle 25
2.5 Streuung der Werkstoffkennwerte Ober den Stabquerschnitt 26
2.6 Anwendung auf ein einfaches Tragwerksmodell 27
2.6.1 Losung fUr elastischen Werkstoff 28
2.6.2 Losung fUr idealplastischen Werkstoff 29
2.6.3 Losung fUr verfestigenden Werkstoff 31
2.6.4 Entlastung fUr idealplastischen Werkstoff 32
2.6.5 Auswirkung von Eigenspannungen 33
3 Biegung gerader Balken: Spannungszustand 34
3.1 Grundgleichungen 34
3.1.1 Voraussetzungen 34
3.1.2 EinfUhrendes Beispiel 34
3.1.3 Kinematische Beziehungen 37
3.1.4 Werkstoffgesetz fUr die elastischen Ouerschnittsteile 38
3.1.5 Aquivalenzgleichungen 38
3.1.6 Zur Auswertung der Grundgleichungen 40
3.2 Biegung ohne Langskraft 42
3.2.1 Biegung um eine Symmetrieachse des Ouerschnitts 42
3.2.2 Biegung um eine Hauptachse senkrecht zur Symmetrieachse
des Ouerschnitts 50
3.2.3 Schiefe Biegung bei einfach-symmetrischem Ouerschnitt 53
VIII Inhaltsverzeichnis
3.3 Biegung mit Langskraft 58
3.3.1 Spannungszustande 58
3.3.2 Oberlastungsfunktion 62
3.3.3 Grenzen zwischen elastischen und plastischen Bereichen 64
3.3.4 Darstellung in der Schnittlastenebene (Interaktionskurven) 67
3.4 Belastungsgeschichte 69
3.4.1 Formanderungsgesetz bei Entlastung 69
3.4.2 Be-und Entlastungsbedingungen fUr den Querschnitt 71
3.4.3 Restspannungszustand bei vollstandiger Entlastung 75
3.5 Der vollplastische Spannungszustand 80
3.5.1 Grundgleichungen 81
3.5.2 Einfache Biegung 83
3.5.3 Schiefe Biegung 88
4 Biegelinie gerader Balken 91
4.1 Die Differentialgleichung der Biegelinie 91
4.2 Integration fUr statisch bestimmte Systeme 92
4.3 Integration fUr statisch unbestimmte Systeme 100
5 Der gerade Stab: Biegung mit Langskraft nach Theorie 2. Ordnung 106
5.1 Der Stab aus elastischem Werkstoff 107
5.1.1 AuBermittiger Druck 108
5.1.2 Mittiger Druck 111
5.2 Der auBermittig gedrOckte Stab aus elastisch-plastischem Werkstoff 112
5.2.1 Berechnungsgrundlagen 112
5.2.2 Ergebnisse 113
5.3 Der mittig gedrOckte Stab aus verfestigendem Werkstoff 114
5.3.1 Die ENGESSER-KARMANsche Theorie 114
5.3.2 Die SHANLEYsche Theorie 116
5.4 Hinweise zu den Tragsicherheitsnachweisen fUr gedrOckte Stabe 118
5.4.1 A1lgemeines 118
5.4.2 Der planmaBig mittig gedrOckte Stab 119
6 Grundlagen der Tragwerksberechnung 124
6.1 Beschreibung finitisierter Systeme 124
6.2 Element-und Systemstabilitat: Die DRUCKERschen Postulate 126
6.3 Randschnittlasten-Randverschiebung-Beziehungen 129
6.4 Die FlieBgelenkhypothese 134
6.5 Tragwerksberechnung: Grenzlasten und Traglast 138
6.5.1 GrundzOge der Berechnung bei Anwendung der FlieBgelenkhypothese 138
6.5.2 Grenzzustande und Grenzbelastungen 139
6.5.3 Theorie 1. Ordnung 141
6.5.4 Theorie 2. Ordnung 145
In haltsverzeichnis IX
7 Das Grenzlastverfahren 151
7.1 Elnordnung und Bedeutung des Verfahrens 151
7.2 Die Grenzlastsatze 154
7.3 Anwendung auf Biegetragwerke 156
7.3.1 Gleichungen 1m Grenzzustand 157
7.3.2 Obere und untere Grenzen, Einschrankung 157
7.3.3 Verfahren der Kombination von Grundmechanismen 158
7.3.4 Beispiele 160
8 LokaIes Versagen und Einspielen von Tragwerken 165
8.1 Lokales Versagen 165
8.2 Lokales Versagen durch Veranderungen der Querschnittsform,
Rotationskapazitat 165
8.3 Versagen idealer Querschnitte 170
8.3.1 Versagen durch alternierende Plastizierung 170
8.3.2 Versagen durch progressive Plastizierung 171
8.4 Einspielen von Systemen 175
8.5 Anwendung auf Biegetragwerke 178
8.5.1 Untere Grenzen 179
8.5.2 Obere Grenzen 179
8.5.3 Beispiel 180
9 Mehrachsige Spannungs-und Verzerrungszustiinde 182
9.1 Die Kinematik der Formanderung 182
9.2 Der Spannungstensor 186
9.3 Gleichgewichtsbedingungen (CAUCHYsche Feldgleichungen) 189
9.4 Darstellung in Zylinder-und Kugelkoordinaten 190
9.4.1 Zylinderkoordinaten 191
9.4.2 Kugelkoordinaten 193
10 Die klassische Theorie des elastisch-plastischen MateriaJverhaltens 194
10.1 Grundlegendes Konzept eines Stoffgesetzes 194
10.1.1 Voraussetzungen 194
10.1.2 Das elastisch-plastische Werkstoffmodell 194
10.1.3 Stabiler Werkstoff: Normalitat und Konvexitat 197
10.2 FlieBbedingungen fOr isotropen Werkstoff 199
10.2.1 Allgemeine Eigenschaften der FlieBflache 199
10.2.2 Die FlieBbedingung von TRESCA 202
10.2.3 Die FlieBbedingung von v. MISES und HUBER 203
10.2.4 Vergleich der FlieBbedingungen 203
10.3 Verfestigungsgesetze 205
10.3.1 Isotrope Verfestigung 205
x
Inhaltsverzeichnls
10.3.2 Kinematische Verfestigung 206
10.3.3 Komblnierte Isotrope und klnematlsche Verfestlgung 207
10.4 Forrnanderungsgesetze 210
10.4.1 Elastisches Formanderungsgesetz 210
10.4.2 Assoziierte FlieBregel zur FlieBbedingung von TRESCA 211
10.4.3 Assoziierte FlieBregei zur FlieBbedingung von v. MISES 212
10.4.4 Das PRANDTL-REUSS-Gesetz 214
10.5 Die Deformationstheorle der Plastizitat (HENCKY) 215
10.6 Ebene Plastizitiitstheorle 216
10. . 6.1 Der ebene Spannungszustand (ESZ) 216
10.6.2 Der ebene Verzerrungszustand (EVZ) 219
10.7 Das Grenzlastverfahren 222
10.7.1 Der plastische Grenzzustand 222
10.7.2 Die Grenzlastsatze 223
10.7.3 Ein zweidimensionales Unstetigkeitsfeld der Spannungen 226
10.7.4 Ole Konstruktion kinematisch moglicher Verschiebungsfelder
nach der Gleitlinientheorie 229
10.8 Thermoplastisches Verhalten 233
11 Anwendungsbelspiele 237
11.1 Biegung mit Querkraft 237
11.2 Plastische Zustande an Spannungskonzentratoren 251
11.2.1 Spannungsverteilung an einer Kerbe 251
11.2.2 Plastische Grenzlast gekerbter Bauteile 254
11.3 Rotationssymmetrische Spannungszustande 260
11.3.1 Dickwandlge Hohlkugel unter Innendruck 260
11.3.2 Zylindrischer Druckbehalter 264
11.3.3 Spannungen In QuerpreBverbanden 270
11.4 Torsion prlsmatischer Stabe 276
11.4.1 Die SAINT-VENANTsche Theorie der wolbkraftfreien Torsion 276
11.4.2 Plastische Grenzlast tordierter Stabe 279
Anhang
A1 Grundlagen der Vektor-und Tensorrrechnung 284
A1.1 Bezeichnungsweisen und Rechenregeln der Vektor-und
Tensoralgebra 284
A1.2 Transformationseigenschaften bel Drehung der Basis 287
A1.3 Hauptachsentransformation. Invarianten des Tensors 289
A1.4 Kugeltensor und Deviator 290
A1.5 Einlge Rechenregeln der Vektor-und Tensoranalysis 291
A2 Rie8bedingungen von TRESCA und v. MISES in verschiedenen
Darstellungen 292
l..iteraturverz 293
Zeitschriftenaufsiitze. Berichte. Tagungsbeitrage 293
LehrbOcher und Monographlen 299
Normen und HandbOcher 302
1.1 Allgemeine Aufgabenstellung und Begriffsbestimmungen
1. Einfuhrende Betrachtungen
1.1 Allgemeine Aufgabenstellung und Begriffsbestimmungen
Metalle verhalten sich elastisch, solange die aufgebrachten Lasten bzw. die aufgepragten
Deformationen eine bestimmte GroBe nicht uberschreiten. Oberhalb dieser Belastung erfah
ren sie inelastische, bleibende, plastische Deformationen. Plastisches Verhalten im allge
meinsten Sinne ist von vielen Faktoren und Parametern abhangig, insbesondere naturlich
vom Material, aber auch von Temperatur, Zeit, Belastungsgeschwindigkeit, Vorverformung
usw.
Die hier dargestellte "klassische" Plastizitatstheone metallischer Werkstoffe beschaftigt sich
ausschlieBlich mit isothermen und nicht explizit zeit- oder geschwindigkeitsabhangigen pla
stischen Deformationen bei ublicherweise kleinen Verformungsgeschwindigkeiten, also bei
sogen. quasistatischen Belastungen. Damit sind insbesondere Kriech- und Relaxations
phanomene ausgeschlossen.
Die Plastizitatstheorie ist wie die Elastizitatstheorie ein Teilgebiet der Kontinuumsmechanik.
Da sie lediglich die Phanomenologie des Stoffverhaltens beschreibt, spricht man auch von
phanomenologischer oder technischer Plastomechanik. Phanomenologisch heiBt, daB die
makroskopisch beobachteten Zusammenhange zwischen Spannungen und Verformungen
durch ein mathematisches Modell beschrieben werden, das keinen direkten Bezug zu dem
mikrophysikalischen Ursachen des Materialverhaltens aufweist. Insbesondere wird in der
Kontinuumsmechanik die Kristall-und Atomstruktur der Materie auBer acht gelassen und ein
Korper stattdessen als zusammenhangende kompakte Menge materieller Punkte betrachtet.
Aufgaben der Plastizitatstheorie sind
- Herleiten von Bedingungen fOr das Auftreten plastischer Verformungen sowie Aufstellen
von Beziehungen zwischen Spannungen und Verzerrungen zur Beschreibung plastischer
Deformationen in Metallen,
- Entwickeln von Verfahren zur Anwendung dieser Beziehungen, etwa bei der Umformtech
nik (lSMAR & MAHRENHOLTZ [1979]*) und bei der Berechnung von Beanspruchungen
und Deformationen von Bauteilen und Tragwerken.
Plastische Verformbarkeit ist fOr den Ingenieur aus mehreren Grunden eine wichtige
Eigenschaft von Metallen:
- Urnfoonen: Metalle konnen durch Walzen, Schmied en, Ziehen, Pressen etc. in kaltem oder
warmem Zustand in beliebige Formen gebracht werden.
- Sicherheit gegen plotzliches Versagen: Bauteile aus zahem (d. h. plastisch verformbarem)
Material werden sich bei Oberlastung betrachtlich verformen und selbst in diesem ver
formten Zustand noch immer Belastungen standhalten. 1m Gegensatz dazu kann ein
Tragwerk aus sprooem Material bei Oberlastung schlagartig ohne "Vorwarnung" versagen.
