Physique des Écoulements Continus

325 Pages·2013·6.448 MB·French

by  Jean-Paul Caltagirone (auth.)

Mathématiques et Applications 74
Jean-Paul Caltagirone
Physique des
Écoulements
Continus
Mathématiques
et
Applications
Directeurs de la collection:
J. Garnier et V. Perrier
74
For furthervolumes:
http://www.springer.com/series/2966
MATHÉMATIQUES & APPLICATIONS
Comité de Lecture 2012–2015/Editorial Board 2012–2015
RémiABGRALL ClaudeLEBRIS
Inst.Math.,Inst.PolytechniquedeBordeaux,FR CERMICS,ENPC,MarnelaVallée,FR
[email protected] [email protected]
GrégoireALLAIRE SylvieMÉLÉARD
CMAP,ÉcolePolytechnique,Palaiseau,FR CMAP,ÉcolePolytechnique,Palaiseau,FR
[email protected] [email protected]
MichelBENAÏM FelixOTTO
Inst.Math.,Univ.deNeuchâtel,CH InstituteofAppliedMath.,Bonn,GE
[email protected] [email protected]
MaïtineBERGOUNIOUX ValériePERRIER
MAPMO,Universitéd’Orléans,FR Lab.Jean-Kunztmann,ENSIMAG,Grenoble,FR
[email protected] [email protected]
ThierryCOLIN PhilippeROBERT
Inst.Math.,UniversitéBordeaux1,FR INRIARocquencourt,LeChesnay,FR
[email protected] [email protected]
Marie-ChristineCOSTA PierreROUCHON
UMA,ENSTA,Paris,FR AutomatiqueetSystèmes,ÉcoleMines,Paris,FR
[email protected] [email protected]
ArnaudDEBUSSCHE BrunoSALVY
ENSCachan,Bruz,FR INRIA,LIP-ENSLyon,FR
[email protected] [email protected]
IsabelleGALLAGHER AnnickSARTENAER
Inst.Math.Jussieu,Univ.Paris7,FR Dépt.Mathématiques,Univ.Namur,Namur,BE
[email protected] [email protected]
JosselinGARNIER EricSONNENDRÜCKER
Lab.Proba.etMod.Aléatoires,Univ.Paris7,FR IRMA,Strasbourg,FR
[email protected] [email protected]
StéphaneGAUBERT AlainTROUVÉ
INRIA,Saclay,îles-de-France,Orsay,FR CMLA,ENSCachan,FR
[email protected] [email protected]
EmmanuelGOBET CédricVILLANI
CMAP,ÉcolePolytechnique,Palaiseau,FR IHP,Paris,FR
[email protected] [email protected]
RaphaeleHERBIN EnriqueZUAZUA
CMILATP,Universitéd’Aix-Marseille,FR BCAM,Bilbao,ES
[email protected] [email protected]
MarcHOFFMANN
CEREMADE,UniversitéParis-Dauphine,FR
[email protected]
Directeurs de la collection:
J. GARNIER et V. PERRIER
Jean-Paul Caltagirone
Physique des Écoulements
Continus
123
Jean-Paul Caltagirone
12M-TREFLE
Université de Bordeaux
PessacCedex
France
ISSN 1154-483X
ISBN 978-3-642-39509-3 ISBN 978-3-642-39510-9 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-39510-9
SpringerHeidelbergNewYorkDordrechtLondon
LibraryofCongressControlNumber:2013943941
MathematicsSubjectClassification(2010):76Axx,76Dxx,76Exx,76Fxx,76Gxx,76Rxx,76Sxx
(cid:2)Springer-VerlagBerlinHeidelberg2013
Tousdroitsdetraduction,dereproductionetd’adaptationréservéspourtouspays.
La loi du 11 mars 1957 interdit les copies ou les reproductions destinées à une utilisation
collective.Toutereprésentation,reproductionintégraleoupartiellefaiteparquelqueprocédéquecesoit,
sans leconsentement de l’auteur ou de ses ayants cause, est illicite et constitue une contrefaçon
sanctionnéeparlesarticles425etsuivantsduCodepénal.
Imprimésurpapiernonacide
SpringerestmembredugroupeSpringerScience+BusinessMedia(www.springer.com)
Avant-propos
La Nature est complexe ... par ne´cessite´. L’organisation et l’ordre sont issus
de contraintes applique´es a` tout syste`me physique dont la re´action correspond a`
unestructurationspatialeet/outemporelle”macroscopique”c’esta` direbienplus
grandequecellesdesprocessusdetransportdontellessontissues.LaMe´canique
desFluidespre´sentedenombreuxexemplesdecesstructurationscommelestour-
billons de Rayleigh-Be´nard cre´e´s sous l’influence d’un gradient de tempe´rature
vertical, l’instabilite´ de Kelvin-Helmoltz apparaissant dans des zones de fort ci-
saillementouencorelesrouleauxde´colle´sdeBe´nard-Karmanobservablesparex-
emple en rivie`re, derrie`re les piles de pont. Le fractionnement de ces structures
etleurinte´ractionsousl’influencedecontaintesenaugmentationconduisentpro-
gressivement vers des solutions instationnaires pe´riodiques et quasi-pe´riodiques
puis vers un e´tat chaotique et enfin vers une solution comple`tement ale´atoire :
la turbulence. La compre´hension des phe´nome`mes physiques lie´s a` la turbulence
resteraencorecesie`clecommel’undesenjeuxscientifiquesmajeurs.Lacomplexite´
augmente largement avec la pre´sence de plusieurs mate´riaux ou/et de plusieurs
phases. La formation d’un ”tube” sur les hauts fonds et le de´ferlement plongeant
avec une partie potentielle, la le`vre a` fort taux de rotationnel, le splash-up et le
courant de retour sans compter la ge´ne´ration de bulles et d’embruns sont des
phe´nome`nes de complexite´ physique e´leve´e. Afin de garder une vision objective
de son environnement il est essentiel de ne pas ignorer cette complexite´ au profit
d’une vision partielle et simpliste des phe´nome`nes physiques. L’objectivite´ re´side
justement dans la capacite´ de chacun d’e´valuer l’erreur engendre´e par la se´rie
d’approximations et d’hypothe`ses adopte´es pour construire un ”mode`le” simple
maistoutefoisrepre´sentatifdesphe´nome`nesquel’onsouhaiteappre´hender.
La mode´lisation physique constitue l’essentiel du travail du chercheur ou de
l’inge´nieurquisouhaitebaˆtirunmode`le(unsyste`med’e´quations,uneformuleou
encoreuneexpe´rienceensimilitude)repre´sentatifdelare´alite´.L’objectifestbien
entendudetenterdereproduirecettere´alite´avecunniveaudere´alismesuffisanten
comparaisondelacomplexite´meˆmedumode`le.De´meˆlerl’e´cheveaudelaconnais-
sanceestuntravailpatient,long,complexequidemandea` lafoisdel’humilite´face
a` laNatureetunede´terminationa` l’e´preuvedel’e´chec.
La Me´canique des Fluides et l’Analyse Nume´rique sont de´ja` deux disciplines
qui sont indissociables a` une e´laboration fiable, pre´cise, robuste d’une simula-
tionnume´riquerepre´sentative.C’estcequel’onnommelaMe´caniquedesFluides
Nume´rique.Cetteassociationdedisciplinesdiffe´rentess’amplifieraine´luctablement
parlane´cessite´ derepre´senterdese´coulementsmulti-physiquesetmultimate´riaux.
L’e´coulement autour d’un avion peut comporter a` la fois des zones a` nombres de
Mache´leve´salorsqued’autressontplutoˆt”incompressibles”.Lecouplagefluide-
structure ne´cessite aussi des me´thodes plus adapte´es que le simple couplage de
mode`lesfluideetsolidespe´cifiques.Laphysiquea` appre´henderinflueralargement
surlesme´thodologiesnume´riquesoriginalesa` de´velopper.
v
vi
PourautantlaMode´lisationresteessentielledanslade´marched’unme´canicien Table des matie`res
quidoitre´soudreunproble`mephysiquede´termine´.L’utilisationdemoyensdecalcul
importantsnecompensepaslabonnecompre´hensionphysiquedesphe´nome`nesmis
en jeu; la simple compilation d’e´quations suppose´es repre´senter les phe´nome`nes
n’estpassuffisant,celles-cidoiventeˆtreadapte´esauxcontraintesduproble`me.
Cetouvrageestcentre´ surlaMode´lisationPhysiqueenpre´vile´giantladescrip-
tion des hypothe`ses et approximations attache´es aux lois de conservation et aux
e´quations constitutives.L’approche retenuepour lapre´sentation delaMe´canique
desFluidesestentie`rementbase´esurcesloisete´quations.Al’e´chelledumilieucon-
tinutoutphe´nome`nephysiqueestmode´lise´pardestermesquis’e´quilibent,secom-
pensent,seconfrontentauxseind’e´quationsquifinalementrepre´sententfide`lement
lare´alite´,delastatiquedesfluidesauxphe´nome`neslespluscomplexescommela
turbulence. Cette pre´sentation essaie d’apporter un e´clairage sur la physique in-
clusedanscese´quations.
1 Ge´ne´ralite´s.................................................... 1
1.1 Lamode´lisationenMe´caniquedesFluides ..................... 1
Bordeaux
Septembre2013
2 Equationsdeconservation ..................................... 5
2.1 Notiondemilieucontinu .................................... 5
2.2 Cine´matiquedesfluides ..................................... 6
2.2.1 De´rive´eparticulaire .................................. 6
2.2.2 DescriptionLagrangienne ............................. 6
2.2.3 DescriptionEule´rienne ............................... 7
2.2.4 De´finitions.......................................... 8
2.2.5 Expressionsdesde´rive´esparticulaires ................... 9
2.3 Conservationdelamasse .................................... 13
2.3.1 Approcheclassique .................................. 13
2.3.2 Casd’unfluidepur .................................. 15
2.3.3 Ecoulementincompressible ........................... 16
2.3.4 Ecoulementincompressiblemaisdilatable .............. 17
2.4 Conservationdelaquantite´demouvement ..................... 18
2.4.1 Enonce´fondamentaldeladynamique ................... 18
2.4.2 Expressiondescontraintes ............................ 19
2.4.3 Equationlocaledumouvement......................... 22
2.4.4 Loisdecomportement ................................ 23
2.4.5 Tenseurdesvitessesdede´formation .................... 23
2.4.6 Tenseurdesde´formations ............................. 25
2.4.7 Syme´triedutenseurdescontraintes ..................... 25
2.4.8 FluideNewtonienisotrope............................. 28
2.4.9 Applicationdusecondprincipedelathermodynamique .... 34
2.4.10 Approchestandard ................................... 38
2.4.11 Hypothe`se de Stokes et pressions me´canique et
thermodynamique.................................... 39
2.4.12 EquationdeNavier-Stokes ............................ 40
2.5 Conservationdel’Energie................................... 42
vii
vi
PourautantlaMode´lisationresteessentielledanslade´marched’unme´canicien Table des matie`res
quidoitre´soudreunproble`mephysiquede´termine´.L’utilisationdemoyensdecalcul
importantsnecompensepaslabonnecompre´hensionphysiquedesphe´nome`nesmis
en jeu; la simple compilation d’e´quations suppose´es repre´senter les phe´nome`nes
n’estpassuffisant,celles-cidoiventeˆtreadapte´esauxcontraintesduproble`me.
Cetouvrageestcentre´ surlaMode´lisationPhysiqueenpre´vile´giantladescrip-
tion des hypothe`ses et approximations attache´es aux lois de conservation et aux
e´quations constitutives.L’approche retenuepour lapre´sentation delaMe´canique
desFluidesestentie`rementbase´esurcesloisete´quations.Al’e´chelledumilieucon-
tinutoutphe´nome`nephysiqueestmode´lise´pardestermesquis’e´quilibent,secom-
pensent,seconfrontentauxseind’e´quationsquifinalementrepre´sententfide`lement
lare´alite´,delastatiquedesfluidesauxphe´nome`neslespluscomplexescommela
turbulence. Cette pre´sentation essaie d’apporter un e´clairage sur la physique in-
clusedanscese´quations.
1 Ge´ne´ralite´s.................................................... 1
1.1 Lamode´lisationenMe´caniquedesFluides ..................... 1
Bordeaux
Septembre2013
2 Equationsdeconservation ..................................... 5
2.1 Notiondemilieucontinu .................................... 5
2.2 Cine´matiquedesfluides ..................................... 6
2.2.1 De´rive´eparticulaire .................................. 6
2.2.2 DescriptionLagrangienne ............................. 6
2.2.3 DescriptionEule´rienne ............................... 7
2.2.4 De´finitions.......................................... 8
2.2.5 Expressionsdesde´rive´esparticulaires ................... 9
2.3 Conservationdelamasse .................................... 13
2.3.1 Approcheclassique .................................. 13
2.3.2 Casd’unfluidepur .................................. 15
2.3.3 Ecoulementincompressible ........................... 16
2.3.4 Ecoulementincompressiblemaisdilatable .............. 17
2.4 Conservationdelaquantite´demouvement ..................... 18
2.4.1 Enonce´fondamentaldeladynamique ................... 18
2.4.2 Expressiondescontraintes ............................ 19
2.4.3 Equationlocaledumouvement......................... 22
2.4.4 Loisdecomportement ................................ 23
2.4.5 Tenseurdesvitessesdede´formation .................... 23
2.4.6 Tenseurdesde´formations ............................. 25
2.4.7 Syme´triedutenseurdescontraintes ..................... 25
2.4.8 FluideNewtonienisotrope............................. 28
2.4.9 Applicationdusecondprincipedelathermodynamique .... 34
2.4.10 Approchestandard ................................... 38
2.4.11 Hypothe`se de Stokes et pressions me´canique et
thermodynamique.................................... 39
2.4.12 EquationdeNavier-Stokes ............................ 40
2.5 Conservationdel’Energie................................... 42
vii
viii Tabledesmatie`res Tabledesmatie`res ix
2.6 Equationsd’e´tat............................................ 46 4.2.6 Ecoulement laminaire dans un conduit a` section
rectangulaire ....................................... 97
3 Proprie´te´sge´ne´ralesdese´quations ............................... 47 4.2.7 L’e´coulementdeCouettecylindrique ...................100
3.1 Syste`med’e´quationsge´ne´rales ............................... 47 4.2.8 Miseenrotationd’unfluidevisqueuxdansuncylindre ....102
3.2 Conditionsauxlimites ...................................... 48 4.2.9 EcoulementdeCouettepourunfluidedeBingham........104
3.2.1 Conditionsauxlimitesme´caniques:.................... 49
3.2.2 Conditionsauxlimitesthermiques ..................... 51 5 Dynamiquedesfluidesparfaits-Re ∞..........................107
→
3.2.3 Conditionsauxlimitespe´riodiques .................... 52 5.1 The´ore`medelaquantite´demouvement ........................107
3.2.4 Inte´grationdesconditionsauxlimitesdanslese´quations .. 54 5.2 The´ore`mesdeBernouilli ....................................108
3.2.5 Conditioninitiale: .................................. 56 5.2.1 Premierthe´ore`medeBernoulli ........................108
3.2.6 Grandeursdere´fe´rences: ............................ 56 5.2.2 Rotationettourbillon ................................108
3.3 Analyseadimensionnelle .................................... 58 5.3 Ecoulementsirrotationnelsdefluidesparfaits ...................110
3.3.1 Vitessedusondansungaz............................ 60 5.3.1 Inte´reˆtduconcept ...................................110
3.3.2 Corpssolidedansunfluideene´coulementstationnaire .... 61 5.3.2 Potentieldesvitesses,potentielcomplexe,fonctionde
3.3.3 Ecoulementenre´gimestationnairee´tablid’unfluide courant.............................................110
incompressiblevisqueuxdansunconduit ................ 62 5.3.3 Proprie´te´sdespotentielscomplexes ....................115
3.4 Similitude................................................. 63 5.3.4 Proble`meinverse:champse´le´mentairescorrespondant
3.4.1 Ecoulementsencharged’unfluidevisqueux auxsingularite´sdesfonctionsanalytiques ...............117
incompressibledanslechampdepesanteur .............. 64 5.3.5 Champse´le´mentaires ................................118
3.4.2 Ecoulementa`surfacelibre............................ 67
3.4.3 Ecoulementscompressibles ........................... 68 6 ApproximationdeStokes-Re 0 ...............................127
→
3.4.4 Utilisationpratiquedesconditionsdesimilitude ......... 71 6.1 EquationdeStokes .........................................127
3.5 ApproximationdeBoussinesq................................ 72 6.1.1 Leproble`medelapression ...........................127
3.5.1 Mode`les”basnombredeMach” ....................... 73 6.1.2 Lesdiffe´rentesformesdel’e´quationdeStokes ...........128
3.6 Couplagedese´quationsdeNavier-Stokes ...................... 74 6.2 Proprie´te´sdel’e´quationdeStokes.............................129
3.6.1 Ge´ne´ralite´s......................................... 74 6.2.1 Unicite´ ............................................129
3.6.2 Formulationenvariablesprimitivesp,V,T ............... 75 6.2.2 Re´versibilite´........................................129
3.6.3 FormulationenRotationnel,Potentiel-Vecteur ........... 78 6.2.3 Additivite´ .........................................131
3.6.4 Projectionvectorielle ................................ 79 6.2.4 Minimisationdeladissipation ........................131
3.7 De´ge´ne´rescencesdese´quationsdeNavier-Stokes................ 84 6.2.5 Effortsenre´gimedeStokes ...........................132
3.7.1 Choixdese´chelles................................... 85 6.3 Exemplesd’e´coulementsenre´gimedeStokes ..................132
3.7.2 Principalesde´ge´ne´rescences .......................... 86 6.3.1 Cylindrecirculaireenmilieuinfini-paradoxedeStokes ...132
3.7.3 Me´thodesdeperturbations ............................ 87 6.4 Ecoulementsenmilieuxporeux...............................133
6.4.1 Ge´ne´ralite´s.........................................133
4 Solutionsexactesdese´quationsdeNavier-Stokes .................. 89 6.4.2 De´finitions .........................................134
4.1 Solutionsexactes,solutionssemblables ........................ 89 6.4.3 LoideDarcy .......................................136
4.1.1 Premierproble`medeRayleigh ........................ 90 6.4.4 Loid’Ergun,e´quationdeDarcy-Forchheimer ............136
4.1.2 Tourbillonself-similaire ............................. 91 6.4.5 Equationdel’e´nergie ................................138
4.2 Autressolutionsexactes ..................................... 92
4.2.1 L’e´coulementdePoiseuilleplanetaxi-syme´trique ........ 93 7 Lacouchelimite-ε=δ/L 0 ..................................139
→
4.2.2 Ecoulementinstationnairedansuntube ................. 94 7.1 Conceptdecouchelimite....................................139
4.2.3 Ecoulementinstationnaireentredeuxplans ............. 95 7.2 Quelquese´coulementscisaille´setde´collements .................141
4.2.4 Ecoulemententredeuxplansa`viscosite´variable ......... 96 7.2.1 Couchelimitesurplaqueplane.........................141
4.2.5 Ecoulemententredeuxplansavecdissipationvisqueuse ... 96 7.2.2 Jetimpactantuneparoi ...............................142
7.2.3 Marchedescendante..................................142
viii Tabledesmatie`res Tabledesmatie`res ix
2.6 Equationsd’e´tat............................................ 46 4.2.6 Ecoulement laminaire dans un conduit a` section
rectangulaire ....................................... 97
3 Proprie´te´sge´ne´ralesdese´quations ............................... 47 4.2.7 L’e´coulementdeCouettecylindrique ...................100
3.1 Syste`med’e´quationsge´ne´rales ............................... 47 4.2.8 Miseenrotationd’unfluidevisqueuxdansuncylindre ....102
3.2 Conditionsauxlimites ...................................... 48 4.2.9 EcoulementdeCouettepourunfluidedeBingham........104
3.2.1 Conditionsauxlimitesme´caniques:.................... 49
3.2.2 Conditionsauxlimitesthermiques ..................... 51 5 Dynamiquedesfluidesparfaits-Re ∞..........................107
→
3.2.3 Conditionsauxlimitespe´riodiques .................... 52 5.1 The´ore`medelaquantite´demouvement ........................107
3.2.4 Inte´grationdesconditionsauxlimitesdanslese´quations .. 54 5.2 The´ore`mesdeBernouilli ....................................108
3.2.5 Conditioninitiale: .................................. 56 5.2.1 Premierthe´ore`medeBernoulli ........................108
3.2.6 Grandeursdere´fe´rences: ............................ 56 5.2.2 Rotationettourbillon ................................108
3.3 Analyseadimensionnelle .................................... 58 5.3 Ecoulementsirrotationnelsdefluidesparfaits ...................110
3.3.1 Vitessedusondansungaz............................ 60 5.3.1 Inte´reˆtduconcept ...................................110
3.3.2 Corpssolidedansunfluideene´coulementstationnaire .... 61 5.3.2 Potentieldesvitesses,potentielcomplexe,fonctionde
3.3.3 Ecoulementenre´gimestationnairee´tablid’unfluide courant ............................................110
incompressiblevisqueuxdansunconduit ................ 62 5.3.3 Proprie´te´sdespotentielscomplexes ....................115
3.4 Similitude................................................. 63 5.3.4 Proble`meinverse:champse´le´mentairescorrespondant
3.4.1 Ecoulementsencharged’unfluidevisqueux auxsingularite´sdesfonctionsanalytiques ...............117
incompressibledanslechampdepesanteur .............. 64 5.3.5 Champse´le´mentaires ................................118
3.4.2 Ecoulementa`surfacelibre............................ 67
3.4.3 Ecoulementscompressibles ........................... 68 6 ApproximationdeStokes-Re 0 ...............................127
→
3.4.4 Utilisationpratiquedesconditionsdesimilitude ......... 71 6.1 EquationdeStokes .........................................127
3.5 ApproximationdeBoussinesq................................ 72 6.1.1 Leproble`medelapression ...........................127
3.5.1 Mode`les”basnombredeMach” ....................... 73 6.1.2 Lesdiffe´rentesformesdel’e´quationdeStokes ...........128
3.6 Couplagedese´quationsdeNavier-Stokes ...................... 74 6.2 Proprie´te´sdel’e´quationdeStokes.............................129
3.6.1 Ge´ne´ralite´s......................................... 74 6.2.1 Unicite´ ............................................129
3.6.2 Formulationenvariablesprimitivesp,V,T ............... 75 6.2.2 Re´versibilite´........................................129
3.6.3 FormulationenRotationnel,Potentiel-Vecteur ........... 78 6.2.3 Additivite´ .........................................131
3.6.4 Projectionvectorielle ................................ 79 6.2.4 Minimisationdeladissipation ........................131
3.7 De´ge´ne´rescencesdese´quationsdeNavier-Stokes................ 84 6.2.5 Effortsenre´gimedeStokes ...........................132
3.7.1 Choixdese´chelles................................... 85 6.3 Exemplesd’e´coulementsenre´gimedeStokes ..................132
3.7.2 Principalesde´ge´ne´rescences .......................... 86 6.3.1 Cylindrecirculaireenmilieuinfini-paradoxedeStokes ...132
3.7.3 Me´thodesdeperturbations ............................ 87 6.4 Ecoulementsenmilieuxporeux...............................133
6.4.1 Ge´ne´ralite´s.........................................133
4 Solutionsexactesdese´quationsdeNavier-Stokes .................. 89 6.4.2 De´finitions .........................................134
4.1 Solutionsexactes,solutionssemblables ........................ 89 6.4.3 LoideDarcy .......................................136
4.1.1 Premierproble`medeRayleigh ........................ 90 6.4.4 Loid’Ergun,e´quationdeDarcy-Forchheimer ............136
4.1.2 Tourbillonself-similaire ............................. 91 6.4.5 Equationdel’e´nergie ................................138
4.2 Autressolutionsexactes ..................................... 92
4.2.1 L’e´coulementdePoiseuilleplanetaxi-syme´trique ........ 93 7 Lacouchelimite-ε=δ/L 0 ..................................139
→
4.2.2 Ecoulementinstationnairedansuntube ................. 94 7.1 Conceptdecouchelimite....................................139
4.2.3 Ecoulementinstationnaireentredeuxplans ............. 95 7.2 Quelquese´coulementscisaille´setde´collements .................141
4.2.4 Ecoulemententredeuxplansa`viscosite´variable ......... 96 7.2.1 Couchelimitesurplaqueplane.........................141
4.2.5 Ecoulemententredeuxplansavecdissipationvisqueuse ... 96 7.2.2 Jetimpactantuneparoi ...............................142
7.2.3 Marchedescendante..................................142