Physik 2: Elektrodynamik und Optik

208 Pages·2007·3.09 MB·German

by  Thomas Klinker

Physik 2
Elektrodynamik und Optik
Thomas Klinker
Hochschule fu¨r Angewandte Wissenschaften Hamburg
2007
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen der Elektrostatik 5
1.1 Das COULOMBsche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Das elektrische Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Das elektrische Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Potential und Feld eines elektrischen Dipols . . . . . . . . . . . 15
1.5 Das GAUSSsche Gesetz fu¨r das elektrische Feld . . . . . . . . . 19
2 Anwendungen der Gesetze der Elektrostatik 27
2.1 Das elektrische Feld einer ebenen Ladungsverteilung . . . . . . . 27
2.2 Das elektrische Feld einer linearen Ladungsverteilung . . . . . . 28
2.3 Das elektrische Feld einer homogen geladenen Kugel . . . . . . . 30
2.4 Elektrische Felder von Leitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5 Der FARADAYsche K¨afig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.6 Influenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.7 Kapazit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.8 Die Energie des elektrischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.9 Das elektrische Feld in Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3 Der elektrische Strom 51
3.1 Strom und die Bewegung von Ladungen . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Elektrische Leitf¨ahigkeit und das OHMsche Gesetz . . . . . . . 53
3.3 Mikroskopisches Modell fu¨r das OHMsche Gesetz . . . . . . . . 54
3.4 Die elektrische Leistung eines Stromes an einem Widerstand . . 56
3.5 Die KIRCHHOFFschen Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4 Das magnetische Feld 63
4.1 Kr¨afte auf bewegte Ladungen im Magnetfeld . . . . . . . . . . . 63
4.2 Das BIOT-SAVARTsche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3 Das GAUSSsche Gesetz fu¨r das Magnetfeld . . . . . . . . . . . . 69
4.4 Das AMPEREsche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1
2 INHALTSVERZEICHNIS
4.5 Drehmoment auf eine Leiterschleife im Magnetfeld . . . . . . . . 81
4.6 Der HALL-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.7 Bahnen freier Ladungen im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . 85
5 Induktion 89
5.1 Das FARADAYsche Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.2 Die LENZsche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.3 Beispiele zum Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.4 Gegeninduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.5 Selbstinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.6 Der RL-Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.7 Die Energie des magnetischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.8 Materie im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6 Elektromagnetische Wellen 113
6.1 Das AMPERE-MAXWELLsche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . 113
6.2 Die MAXWELLschen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.3 Grundlagen der Wellenausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.4 Wellengleichung fu¨r das elektrische und magnetische Feld . . . . 123
6.5 Energiedichte und Intensit¨at einer elektromagnetischen Welle . . 130
7 Geometrische Optik 133
7.1 Das HUYGENSsche Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.2 Pr¨amisse der geometrischen Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7.3 Reflexion und Brechung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.4 Brechung an sph¨arischen Grenzfl¨achen . . . . . . . . . . . . . . 143
7.5 Abbildung durch Linsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.6 Das menschliche Auge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.7 Optische Instrumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.7.1 Vergr¨oßerung durch optische Instrumente . . . . . . . . . 157
7.7.2 Lupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
7.7.3 Mikroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.7.4 Fernrohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
8 Beugung 163
8.1 FRAUNHOFERsche und FRESNELsche Beugung . . . . . . . . 163
8.2 Beugung am Spalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
8.3 Beugung an einer kreisf¨ormigen O¨ffnung . . . . . . . . . . . . . 170
8.4 Beugung am Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
A Aufgaben mit L¨osungen 177
INHALTSVERZEICHNIS 3
B Lineare Differentialgleichungen 199
C Literaturverzeichnis 203
D Physikalische Konstanten 205
E Das Griechische Alphabet 207
4 INHALTSVERZEICHNIS
Kapitel 1
Grundlagen der Elektrostatik
1.1 Das COULOMBsche Gesetz
Durch Reiben eines Plastikstabes an einem Fell oder eines Glasstabes an Seide
kann man K¨orper elektrisch aufladen. Dabei zeigt sich, dass sich die aufgela-
denen Gegenst¨ande entweder anziehen oder abstoßen. Die Erkl¨arung ist, dass
alle Materie zwei Arten von Ladung besitzt, positive und negative. Ungeladene
K¨orperhabengleichvielpositivewienegativeLadung.DurchReibenkannnun
Ladung von einem K¨orper auf einen anderen u¨bergehen. Ist dieser Aufladungs-
vorgang beendet, hat der eine K¨orper einen U¨berschuss an positiver Ladung,
der andere einen U¨berschuss an negativer Ladung. Weiter zeigt sich, dass sich
Objekte mit gleicher Ladung abstoßen, w¨ahrend sich Objekte mit ungleicher
Ladung anziehen. Reibt man einen Glasstab an Seide, so gibt er beispielsweise
Elektronen an die Seide ab. Tr¨ager der Ladung sind die Protonen und Elek-
tronen der Atome. Es zeigt sich weiter, dass die Ladung quantisiert ist, d.h.
Ladung tritt in der Natur nur als ganzzahliges Vielfaches einer Elementarla-
dung auf. Diese Elementarladung konnte zum ersten Mal 1909 von MILLIKAN
mit seinem beru¨hmten O¨ltr¨opfchenversuch bestimmt werden. Sie hat den Wert
e = 1,602 10−19 C . (1.1)
·
Das Coulomb (C) ist hierbei die Einheit der Ladung, auf die wir weiter unten
zu sprechen kommen. Ein weiteres fundamentales Gesetz ist das Gesetz der
Ladungserhaltung: In einem abgeschlossenen System bleibt die Gesamtladung
erhalten, egal welche Vorg¨ange in diesem System im Detail ablaufen.
Die Kraft zwischen ruhenden elektrischen Ladungen wurde von COULOMB
untersucht, und er fand ein Gesetz ¨ahnlich dem NEWTONschen Gravitations-
gesetzt. Es lautet:
5
6 1 Grundlagen der Elektrostatik
Eine Ladung q u¨bt auf eine Ladung q eine Kraft aus, die dem
1 0
Produkt aus beiden Ladungen proportional und dem Quadrat des
Abstandes beider Ladungen umgekehrt proportional ist. Die Kraft
wirkt in Richtung der Verbindungslinie zwischen beiden Ladungen,
in Zeichen
q q
~ 0 1 ˆ
F = k ~r . (1.2)
r2 01
01
Hierbei ist ~r der Vektor, der vom Ort der Ladung q zum Ort
01 1
ˆ
der Ladung q zeigt, ~r der zugeh¨orige Einheitsvektor und r der
0 01 01
Abstand beider Ladungen.
Der Wert der Proportionalit¨atskonstanten k h¨angt von dem verwendeten Ein-
heitensystem ab. Im SI-Einheitensystem setzt man die Proportionalit¨atskon-
stante k zu
1
k = , (1.3)
4πε
0
wobei die elektrische Feldkonstante ε den Wert
0
ε = 8,854 10−12 C2m−2N−1 (1.4)
0
·
erh¨alt. Damit hat k den Wert
1
k = = 8,9876 109 Nm2C−2 . (1.5)
4πε ·
0
Hierbei steht C fu¨r die Einheit der Ladung, das Coulomb. Der exakte Wert
von ε kann erst sp¨ater genau begru¨ndet werden. Er ergibt sich dadurch, das
0
die Einheit der Ladung nicht durch Gl. (1.2) festgelegt wird, sondern an die
Definition der Einheit der Stromst¨arke, das Ampere (A), geknu¨pft ist, siehe
Kap. 4.1. Mit der in Kap. 6.4 hergeleiteten Gleichung
1
c = ,
√ε µ
0 0
wobei µ die magnetische Feldkonstante und c die Lichtgeschwindigkeit im
0
Vakuum ist, ergibt sich obiger Wert fu¨r ε . Wir wollen dies hier nicht weiter
0
verfolgen, sondern verweisen auf die entsprechenden sp¨ateren Kapitel. Aus
Gl. (1.2) l¨aßt sich aber ablesen, das fu¨r die Ladungseinheit Coulomb gilt:
Ein Coulomb ist diejenige Ladung, die eine gleichgroße Ladung in
einem Abstand von 1 m mit einer Kraft von etwa 9 109 N abst¨oßt.
·
1.1 Das COULOMBsche Gesetz 7
Wirken auf eine Ladung q mehrere Ladungen q (i = 1,...,n), so zeigt
0 i
die experimentelle Beobachtung, dass sich die Gesamtkraft auf die Ladung
q einfach durch Addition der einzelnen Kr¨afte gem¨aß dem COULOMBschen
Gesetz (1.2) ergibt, in Zeichen
1 n q q
~ 0 i ˆ
F = ~r . (1.6)
4πε r2 0i
0 i=1 0i
X
Hierbei ist ~r der Vektor, der vom Ort der Ladung q zum Ort der Ladung q
0i i 0
ˆ
zeigt, ~r der zugeh¨orige Einheitsvektor und r der Abstand beider Ladungen.
0i 0i
Diese Gleichung kann auch in der folgenden Form geschrieben werden:
1 n q q ~r ~r
~ 0 i i
F = − . (1.7)
4πε ~r ~r 2 ~r ~r
0 Xi=1 | − i| | − i|
Hierbei bezeichnet ~r den Ort der Ladung q und ~r den Ort, an dem sich die
0 i
Ladung q befindet, siehe Abb. 1.1. ~r =~r ~r ist der Vektor, der vom Ort
i 0i i
− ˆ
~r der Ladung q zum Ort ~r der Ladung q zeigt. ~r = (~r ~r )/~r ~r ist der
i i 0 0i i i
− | − |
zugeh¨orige Einheitsvektor und ~r ~r der Abstand, den die Ladungenq und
i 0
| − |
q voneinander haben. Die in Gl. (1.7) beschriebene vektorielle Addition der
i
Einzelkr¨afte zur Gesamtkraft wird auch als Superpositionsprinzip bezeichnet.
Abbildung 1.1: Kraft auf eine Ladung q am Ort ~r verursacht von mehreren
0
Punktladung q an den Orten ~r (i = 1,...,n).
i i
8 1 Grundlagen der Elektrostatik
1.2 Das elektrische Feld
~
Das elektrische Feld E einer Ladungsverteilung an einem Ort ~r wird definiert
als die Kraft, die diese Ladungsverteilung auf eine Probeladung q am Orte ~r
0
bewirkt, dividiert durch den Wert dieser Probeladung, in Zeichen
~
F
~
E := . (1.8)
q
0
Damit l¨asst sich die Kraft auf die Probeladung q schreiben in der Form
0
~ ~
F = q E . (1.9)
0
Die im COULOMBschen Gesetz beschriebene Fernwirkung der elektrostati-
schen Kraft auf eine Ladung wird auf diese Weise gedeutet als lokale Wechsel-
wirkung dieser Ladung mit einem von den u¨brigen Ladungen erzeugten Feld.
Diese Idee geht auf FARADAY zuru¨ck. Aus der Definitionsgleichung des elek-
~
trischen Felds Gl. (1.8) und Gl. (1.7) folgt direkt fu¨r das elektrische Feld E
am Orte ~r, bewirkt von n Punktladungen q (i = 1,...,n), die sich an den
i
Raumpunkten ~r befindet:
i
1 n q ~r ~r
~ i i
E(~r) = − . (1.10)
4πε ~r ~r 2 ~r ~r
0 Xi=1 | − i| | − i|
Fu¨r das elektrische Feld einer einzigen Punktladung q, die sich im Koordina-
tenursprung befindet, ergibt sich insbesondere
1 q
~ ˆ
E(~r) = ~r . (1.11)
4πε r2
0
ˆ
Hierbei ist ~r der Einheitsvektor in Richtung von ~r. Gl. (1.11) werden wir im
folgenden noch sehr oft verwenden.
IstdieLadungsverteilungnichtpunktf¨ormig,sondernkontinuierlich,somuss
sie durch eine Dichtefunktion ̺(~r) beschrieben werden. Die Funktion ̺(~r) gibt
dabei die Ladungsdichte an der Stelle ~r an. Sie ist definiert durch
∆Q
̺(~r) = lim . (1.12)
∆V→0 ∆V
Hierbei ist ∆Q die Ladung eines Volumens ∆V, welches sich bei der Grenz-
wertbildung in Gl. (1.12) auf den Raumpunkt ~r zusammenzieht. Die Einheit
der Ladungsdichte ̺ ergibt sich zu C/m3. Um das elektrische Feld einer kon-
tinuierlichen Ladungsverteilung zu berechnen, teilt man das Gesamtvolumen
1.2 Das elektrische Feld 9
Abbildung 1.2: Zur Berechnung des elektrischen Feldes einer kontinuierlichen
Ladungsverteilung.
V, u¨ber das sich die Ladung erstreckt, in kleine Volumenelemente ∆V mit
i
i = 1,...,n. Sind die Volumenelemente ∆V hinreichend klein, so kann die La-
i
dungsdichte u¨ber jedem Volumenelement ∆V als konstant angesehen werden
i
mit dem Wert ̺(~r ), wobei ~r der Ortsvektor zu einem beliebigen Punkt des
i i
Volumenelementes ∆V ist. Das Volumenelementes ∆V tr¨agt damit die La-
i i
dung ∆Q = ̺(~r )∆V . Das elektrische Feld der gesamten Ladungsverteilung
i i i
ergibt sich dann mit Gl. (1.10) zu
1 n ̺(~r ) ~r ~r
~ i i
E(~r) = lim − ∆V . (1.13)
∆Vi→0 4πε0 Xi=1 |~r−~ri|2 |~r−~ri| i
Bei obiger Grenzwertbildung streben alle Volumenelemente ∆V gegen 0 und
i
ihre Gesamtzahl n damit gegen . Der Grenzwert in Gl. (1.13) wird als Vo-
∞
lumenintegral bezeichnet und geschrieben in der Form:
1 ̺(~r′) ~r ~r′
E~(~r) = − dV′ . (1.14)
4πε ~r ~r′ 2 ~r ~r′
0 VZ | − | | − |
dV′ ist hierbei das differentielle Volumenelement (siehe Abb. 1.2), welches bei
Verwendung kartesischerkoordinaten die Form hat dV′ = dx′dy′dz′. Mit den
Gln. (1.10) und (1.14) kann im Prinzip das elektrische Feld jeder Ladungsver-
teilung berechnet werden. Allerdings bringt die Auswertung des Volumenin-
tegrals in Gl. (1.14) manchmal erhebliche mathematische Probleme mit sich.
Wir verfolgen dies deshalb hier nicht weiter, weil wir sp¨ater auch noch andere
Methoden kennenlernen werden, elektrische Felder zu berechnen.