Optimisation appliquée

339 Pages·2004·2.59 MB·English

by  Yadolah Dodge

Optimisation appliquée
Springer
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Yadolah Dodge
Optimisation
appliquée
Avec la collaboration de
Sylvie Gonano-Weber et Jean-Pierre Renfer
Yadolah Dodge
Professeur Honoraire
Université de Neuchâtel
2002 Neuchâtel
[email protected]
www.unine.ch/members/dodgey
Sylvie Gonano-Weber et Jean-Pierre Renfer
Professeur de statistique Office Fédéral de Statistique
Haute École de Gestion Service de méthodes statistiques
2002 Neuchâtel 2002 Neuchâtel
ISBN : 2-287-21335-X
©Springer-Verlag France 2005
Imprimé en France
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existante.
SPIN:10994331
Maquette de couverture:Jean-François MONTMARCHÉ
Préface
Cet ouvrage présente les concepts fondamentaux d’optimisation clas-
sique et de programmation linéaire. Il est destiné aux étudiants d’éco-
nomie, de gestion, d’informatique de gestion et de mathématiques
appliquées. Il s’adresse aussi aux chercheurs de divers domaines des
sciences appliquées ainsi qu’aux professeurs qui disposent ainsi d’un
support pour leur enseignement. Il est conçu pour un cours couvrant
un semestre universitaire,à raison de deux heures de cours et de deux
heures de travaux pratiques par semaine. Il nécessite des connais-
sances en calcul différentiel et en calcul matriciel.
Ce manuscrit a été imprimé pour la première fois en 1987 avec le
titre « Introduction à la programmation linéaire » par les Éditions
EDES de Neuchâtel. Depuis, il a été complété et amélioré par des
années d’enseignement et d’expériences.
Outre un prologue et un épilogue, l’ouvrage comporte une partie de
théorie mathématique sur le calcul matriciel et les systèmes d’équa-
tions et d’inéquations linéaires. Ensuite il traite d’optimisation clas-
sique avec et sans contraintes, de programmation linéaire, de la
méthode du simplexe et du simplexe révisé. Les derniers chapitres
sont consacrés à la dualité, à la postoptimisation et analyse de sen-
sibilité ainsi qu’aux problèmes de transport. L’accent a été mis sur
l’explication des méthodes exposées et leur utilisation, en agrémen-
tant la théorie de nombreux exemples numériques tirés de diverses
situations de la vie économique et sociale. Chaque chapitre se termine
par une série d’exercices illustrant les différents concepts et méthodes
étudiés. Les solutions de tous les exercices sont présentées à la fin
de l’ouvrage. Certains sujets de programmation linéaire, comme par
exemple la théorie des graphes ou celle des réseaux, n’ont pas été
abordés dans cet ouvrage. Les personnes intéressées pourront déve-
lopper leur connaissance en consultant les ouvrages cités en référence.
vi Préface
Je tiens à remercier tout particulièrement Sylvie Gonano-Weber et
Jean-Pierre Renfer qui ont collaboré de manière étroite à la rédac-
tion de cet ouvrage. Mes remerciements vont aussi à toutes les per-
sonnes ayant participé à l’élaboration de la première édition. Il s’agit
de Thierry Gafner qui m’a aidé pour la partie des problèmes de trans-
port et d’Alain Weber pour la partie informatique. En ce qui concerne
la mise au point de cette version, je remercie Thierry Murier pour sa
relecture et Christophe Beuret pour l’intégration des programmes
Microsoft Solveur dans ce manuscript. Finalement, j’aimerais remer-
cier vivement Anna Serbinenko pour la vérification des corrigés de
l’ensemble des exercices ainsi que mon fils Arash auquel je dédie cet
ouvrage.
Neuchâtel, Mars 2004
Yadolah Dodge
Table des matières
1 Prologue 1
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Programmation mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Les programmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Préliminaires 7
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Logiciel Microsoft Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Les fonctions dans Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5 Opérations élémentaires sur les matrices . . . . . . . . . . . . 12
2.6 Les di(cid:30)érents types de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.7 Trace d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.8 Déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.9 Inverse d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.10 Calcul de l’inverse d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . 18
2.11 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.12 Transformations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.13 Systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.14 Utilisation de l’outil Solveur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.15 Dépendance linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.16 Bases et espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.17 Convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.18 Inéquations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.19 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
vii
viii Table de matières
3 Optimisation classique 51
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Optimisation classique sans contrainte . . . . . . . . . . . . . 52
3.3 Optimisation classique avec contraintes . . . . . . . . . . . . . 70
3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4 Programmation linéaire 89
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2 Problèmes de programmation mathématique . . . . . . . . . . 89
4.3 Problèmes de programmation linéaire . . . . . . . . . . . . . . 90
4.4 Les di(cid:30)érents types de solutions d’un problème de program-
mation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5 La méthode du simplexe 111
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2 Formulation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.3 Caractérisation des solutions du problème . . . . . . . . . . . 119
5.4 Recherche d’une solution optimale . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.5 Tableaux du simplexe et procédure de calcul . . . . . . . . . . 138
5.6 Recherche d’une solution réalisable de base initiale . . . . . . . 148
5.7 La méthode du big M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.8 La méthode des deux phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.9 Utilisation du Solveur Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6 Le simplexe révisé 183
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.2 Factorisation de l’inverse d’une matrice . . . . . . . . . . . . . 184
6.3 Première formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6.4 Deuxième formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
7 La dualité 205
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
7.2 Un exemple de programme linéaire dual . . . . . . . . . . . . 205
Table de matières ix
7.3 Relationsentreleprimaletleduald’unproblèmedeprogram-
mation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
7.4 Propriétés fondamentales des problèmes de dualité . . . . . . . 215
7.5 Interprétation économique des variables duales . . . . . . . . . 218
7.6 L’algorithme dual du simplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
7.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
8 Postoptimisation et analyse de sensibilité 225
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
8.2 Changements ponctuels parmi les paramètres a , b et c . . . 226
ij j j
8.2.1 Modification de c en c(cid:87) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
8.2.2 Modification du vecteur des contraintes b en b(cid:87) . . . . 231
8.2.3 Modification d’un vecteur hors-base a en a(cid:87) . . . . . . 233
j j
8.3 Changements continus parmi les paramètres a , b et c . . . . 234
ij j j
8.3.1 Changement continu de c en c(cid:87) . . . . . . . . . . . . . 235
8.3.2 Changement continu de b en b(cid:87) . . . . . . . . . . . . 238
8.4 Changements structurels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
8.4.1 Introduction ou suppression de variables . . . . . . . . 239
8.4.2 Introduction ou suppression d’une contrainte . . . . . . 240
8.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
9 Problème de transport 245
9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
9.2 Formulation du problème de transport . . . . . . . . . . . . . 245
9.3 Équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
9.4 Exemple illustratif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
9.5 Résolution du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
9.6 Boucles et dépendances linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
9.7 Recherche de la solution réalisable de base initiale . . . . . . . 251
9.8 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
9.9 Optimisation de la solution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
9.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
10 Épilogue 275
10.1 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
10.2 Algorithme de Khachian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
10.2.1 L’algorithme de la méthode de Khachian pour IL . . . 280
10.2.2 Interprétation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
x Table de matières
10.2.3 L’algorithmedeShor-Khachianenprogrammationlinéaire288
10.3 Algorithme de Karmarkar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
10.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
11 Solutions des exercices 299
11.1 Chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
11.2 Chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
11.3 Chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
11.4 Chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
11.5 Chapitre 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
11.6 Chapitre 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
11.7 Chapitre 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
11.8 Chapitre 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329