Optimierungsmethoden: Eine Einführung

287 Pages·2015·5.894 MB·German

by  Dieter Jungnickel (auth.)

Springer-Lehrbuch
Dieter Jungnickel
Optimierungsmethoden
Eine Einführung
3., neu bearbeitete Auflage
DieterJungnickel
LehrstuhlfürDiskreteMathematik
OptimierungundOperationsResearch
UniversitätAugsburg
Augsburg
Deutschland
MathematicsSubjectClassification(2010):49–01,90–01,52–01
ISBN978-3-642-54820-8 ISBN978-3-642-54821-5(eBook)
DOI10.1007/978-3-642-54821-5
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Vorwort zur dritten Auflage
DiedritteAuflagediesesBuchesistnochmalsgründlichüberarbeitetworden. Insbeson-
dereistdieReihenfolgedes(insgesamtweitgehendunverändertgebliebenen)Materialsso
umgestelltworden, daßmanbereitsimerstenSemestereinesOptimierungszyklusnicht
nurdiewichtigstentheoretischenGrundlagen–alsokonvexeMengenundPolyederso-
wienotwendigeOptimalitätsbedingungenfürProblememitUngleichungsrestriktionen–
behandelnkann,sondernauchnochzumSimplexverfahrenkommt.Allerdingswirdman
dieetwasweitergehendenFragestellungenzumSimplexverfahren–alsoStalling,dasdua-
leSimplexverfahrensowiePostoptimierungundparametrischeAnalyse–wahrscheinlich
erstimzweitenTeildesZyklusbewältigenkönnen. Ichhabeaberweiterhinanmeinem
Prinzipfestgehalten,dieGrundlagenderlinearenwiedernichtlinearenOptimierungso-
weitmöglichgemeinsamzubehandeln:ZuerstkommenalsoinKap.2konvexeMengen,
und erst danach werden im Kap. 3 spezielle Eigenschaften von Polyedern (sowie der
ZusammenhangzurlinearenOptimierung)untersucht.
DieebenbeschriebeneUmstellungdesMaterialsistinsbesonderedannhilfreich,wenn
mandasBuchfüreinelediglicheinsemestrigeEinführungindieOptimierungverwenden
willoderaberetlicheTeilnehmernurdenerstenTeileinesOptimierungszyklushören–was
inAugsburgbeispielsweiseaufvieleLehramtsstudentenzutrifft.Zudemvermeidetmanauf
dieseWeiseeine–zumindestvonmanchenStudierendensoempfundene–theoretische
ÜberfrachtungdeserstenTeilsdesZyklus.
Abgesehen vom neuen Aufbau des Buches ist der gesamte Text nochmals gründlich
durchgesehenworden.WiesichimVorlesungsbetriebherausgestellthat,enthieltdiezweite
AuflagedochdeutlichmehrDruckfehler(teilweiseleiderauchinFormeln)alsichgedacht
bzw.gehoffthatte.DementsprechendsindzahlreichekleinereKorrekturenvorgenommen
worden. Außerdem habe ich die Darstellung etlicher Beweise und Beispiele nochmals
überarbeitet und ganz generell den Text „poliert“; zudem sind viele Abbildungen neu
erstelltworden.
Auch diesmal möchte ich wieder meinen Studenten diverser Jahrgänge für ihre auf-
merksameMitarbeitsowiemeinenMitarbeiternundHilfskräftendanken,dieimlaufenden
ÜbungsbetriebeinenunverzichtbarenBeitragzurBewältigungdesVorlesungsstoffesge-
leistethaben,insbesonderedenHerrenDoktorenMatthiasTinklundMarkusGöhl.Dabei
V
VI VorwortzurdrittenAuflage
dankeichHerrnTinklganzspeziellauchfürdieErstellungdergeändertenAbbildungen.
DankgebührtschließlichnochmeinemKollegenHerrnProf.Dr.DirkHachenbergerfür
etlichehilfreicheKommentareundVerbesserungsvorschläge. Dieeventuellimmernoch
verbliebenenFehlergehennatürlichzumeinenLasten.
Augsburg,imFebruar2014 DieterJungnickel
Vorwort zur zweiten Auflage
Seit dem Erscheinen der ersten Auflage dieses Büchleins haben sich die deutschen
Universitäten stark verändert, insbesondere auch durch den Übergang von Diplom-
zu Bachelor/Master-Studiengängen. Die Augsburger Wirtschaftsmathematik hat diesen
Übergang ziemlich früh vollzogen, mit nicht unbeträchtlichen Auswirkungen auf den
AufbaudesStudiums.
Es gibt zwar nach wie vor einen viersemestrigen Zyklus, dessen Thema Optimie-
rungsmethodenundOperationsResearchsindunddereinesderbeidenKernstückedes
anwendungsorientierten Augsburger Studienganges in Wirtschaftsmathematik ist. Die-
ser zerfällt aber nun viel deutlicher als zuvor in zwei Teile: Die beiden Vorlesungen
Optimierung I und Optimierung II gehören zur Bachelor-Ausbildung, während die bei-
den daran anschließenden Vorlesungen Optimierung III und Optimierung IV Teil des
Master-Studiumsgewordensind.
Somit hören alle diejenigen Studierenden, die die Universität bereits nach dem
Bachelor-Abschlußverlassen, nurnochdieerstenbeidenVorlesungendesursprünglich
aufvierSemesterkonzipiertenZyklus. DashatunszuinhaltlichenÄnderungenimStu-
dienaufbauveranlasst,daessicherzustellengalt,daßalleAugsburgerAbsolventen–egal
obBacheloroderMaster–nebeneinergründlichenKenntnisderlinearenOptimierung
zumindestauchGrundkenntnisseüberdieTheoriedernichtlinearenOptimierungsowie
überkombinatorischeOptimierungbesitzen.
InAnbetrachtdieserSituationwerdeninZukunftinderzweitenHälftederVorlesung
Optimierung II die wichtigsten Grundbegriffe über algorithmische Graphentheorie und
Netzwerke zur Verfügung gestellt, also etwa kürzeste Wege, minimale aufspannende
Bäume, bipartites Matching und Flüsse auf Netzwerken einführend behandelt. Um die
notwendige Zeit dafür zu gewinnen, wird in der Bachelor-Ausbildung auf die Algorith-
mendernichtlinearenOptimierungverzichtet;diesewerdenspäterimMaster-Studiumim
RahmenderVorlesungenNumerischeVerfahrenderWirtschaftsmathematikIundIIbe-
handelt.IndenbeidenVorlesungenOptimierungIIIundOptimierungIVerfolgtdannein
vertieftesStudiumvonVerfahrenderkombinatorischenundganzzahligenOptimierung;
ergänzendkönnenauchThemenwieSpieltheorieoderMatroidebehandeltwerden.
VII
VIII VorwortzurzweitenAuflage
BeiderÜberarbeitungdesTextesdererstenAuflagehabeichdieebenbeschriebenen
VeränderungenimStudienablaufinAugsburgberücksichtigtundzweiKapitelsowieeinen
Anhanghinzugefügt.AbgesehenvondiesemzusätzlichenMaterial,dasgleichnochkurz
beschrieben werden soll, habe ich den schon vorliegenden Teil gründlich überarbeitet.
Insbesondere sind etliche Druckfehler und kleinere Ungenauigkeiten korrigiert worden;
daneben wurden aber auch einige Beweise völlig umgeschrieben und weitere Beispiele
sowie ein Exkurs über den Satz von Helly hinzugefügt. Am prinzipiellen Aufbau und
InhaltdererstenvierKapitelhatsichabergegenüberderBeschreibungimVorwortzur
erstenAuflagenichtsgeändert.
Im neuen Kap. 5 werden lineare Programme näher untersucht. Dazu gehen wir zu-
nächstaufdietheoretischenGrundlagenein,wobeiwirwegenihrerenormenWichtigkeit
die fundamentalen Ergebnisse über Dualität und Komplementarität nochmals direkt –
also ohne Verwendung der KKT-Theorie aus der nichtlinearen Optimierung – bewei-
sen. Danach folgen weitere wichtige theoretische Ergebnisse, insbesondere algebraische
CharakterisierungenvonEckenundfreienRichtungenfürdiejenigenPolytope,diezuli-
nearenProgrammeninStandardformgehören.DenHauptteildesKapitelsbildetdanndas
detaillierteStudiumderimmernochwichtigstenMethodezurLösunglinearerProgram-
me, nämlichdesSimplexverfahrens. Allerdingskanndieserpraktischeminentnützliche
AlgorithmusfürungünstigeProblemklassenexponentiellvieleIterationenbenötigen,wes-
wegenwirauchnocheinganzandersgeartetesVerfahrenvorstellenwerden, daslineare
Programme stets in polynomial vielen Schritten löst und in seiner Konzeption auf den
sogenanntenBarriereverfahrenausdernichtlinearenOptimierungberuht; manbenötigt
aberkeineResultateausdiesemGebiet,umdieKorrektheitdesVerfahrenszubeweisen.
SomitwerdendieAlgorithmendernichtlinearenOptimierungdochnochkurzange-
sprochen, wenn auch in der Anwendung auf lineare Programme. Wir werden aber so
bereitseinPhänomenkennenlernen, dasdurchaustypischfürnichtlineareAlgorithmen
ist:Meisterreichtmankeine(lokal)optimaleLösung,sondernkonstruiertbestenfallseine
FolgeapproximativerPunkte, fürdiejederHäufungspunkteinlokalesOptimumist. Im
SpezialfalllinearerProgrammekannmandiesesProblemnochgutindenGriffbekommen
undmithilfederGeometriederzugrundeliegendenPolyedereinendliches–undsogarpo-
lynomiales–Verfahrenerhalten. ImallgemeinenFallistdiesabernichtmöglich; damit
tretenzwangsläufigimmerwiederKonvergenzbeweiseauf, weswegenessichlohnt, eine
Konvergenztheoriefür„algorithmischeAbbildungen“zuentwickeln.MitdiesemThema
werdenwirunsimneuenKap.6alsAbschlußunsererEinführungindieGrundlagender
Optimierungbeschäftigen.
IneinigenVorlesungszyklenhatsichherausgestellt,daßmanheutzutageinderlinearen
AlgebrahäufigkeinerleiGeometriemehrbetreibt–mitdemtraurigenErgebnis,daßdie
StudierendennichtsüberBegriffewieaffineAbhängigkeitoderaffineUnterräumewissen,
die man nun einmal in der Optimierung benötigt. Zumindest gilt diese Erfahrung für
Augburg;ichvermuteaber,daßesauchanderswonichtvielbesseraussehenwird.Daher
stellenwirnochineinemAnhangdiewichtigstenGrundbegriffeausderaffinenGeome-
VorwortzurzweitenAuflage IX
triezusammen, soweitsieebenfürunsvonNutzensind. FürweiterführendeErgebnisse
müssenwirallerdingsaufeinschlägigeLehrbücherderGeometrieverweisen.
AuchdiesmalmöchteichwiedermeinenStudentendiverserJahrgängedanken,deren
Mitarbeit und kritische Fragen vielerlei Anregungen geliefert haben und die die kleinen
wieauchdiegelegentlichengrößerenProblemederjeweiligenVersionenmitmehroder
weniger Fassung ertragen haben. Dank gilt natürlich wieder ebenso meinen Assistenten
undHilfskräften,dieimlaufendenÜbungsbetriebeinenunverzichtbarenBeitragzurBe-
wältigung des Vorlesungsstoffes geleistet haben, sowie diesmal auch denjenigen Lesern
dererstenAuflage,diemichmitAnmerkungenundAnregungenkontaktierthaben;dabei
möchteichinsbesondereHerrnProf.Dr.HanfriedLenzfürseinedetailliertenKommen-
taredanken,dieanetlichenStellenzueinerVerbesserungderDarstellunggeführthaben.
Wie immer gehen die noch verbliebenen – kaum vermeidbaren, aber hoffentlich eher
unbedeutenden–FehlernatürlichzumeinenLasten.
Augsburg,imJuni2008 DieterJungnickel
Vorwort zur ersten Auflage
Die Vorlesungen Optimierungsmethoden I und II sowie Operations Research I und II
bilden einen viersemestrigen Zyklus, der eines der beiden Kernstücke des Augsburger
DiplomstudiengangesinWirtschaftsmathematikist.InvielenAnwendungeninderWirt-
schaft,TechnikundVerwaltungmußmanEntscheidungentreffen,dieineinemgewissen
Sinne optimal sind; Optimierung und Operations Research sollen diese Aufgabe mit
quantitativen,mathematischpräzisenMethodenunterstützen.
Wir können in unserem Vorlesungszyklus nicht näher darauf eingehen, wie man in
der Praxis auftretende Probleme mathematisch modelliert; vielmehr müssen wir uns
mit einigen einführenden (nicht sehr realistischen) Beispielen begnügen, die hoffent-
lich trotzdem zur Motivation beitragen. Die Modellbildung ist natürlich eine äußerst
wichtige (und keineswegs triviale) Aufgabe, die der Anwender bewältigen muß, bevor
einesdermathematischenLösungsverfahren,diewirkennenlernenwerden,zumEinsatz
kommen kann. Wir verweisen für dieses Thema auf einschlägige Monographien, etwa
Williams [32] oder Ciriani und Leachmann [10]; sehr interessant ist auch der von Ba-
chem,JüngerundSchraderherausgegebeneSammelbandmitpraktischenFallstudienzur
Anwendung mathematischer Methoden (nicht nur aus der Optimierung) in Industrie,
Wirtschaft,NaturwissenschaftenundMedizin[1].JenachAufgabenstellungwirdmanauf
verschiedenartige mathematische Probleme geführt; man unterscheidet in der Optimie-
rung insbesondere zwischen linearer, nichtlinearer, ganzzahliger und kombinatorischer
Optimierung.(EineAbgrenzungdieserBegriffewerdenwirimeinführendenKap.1vor-
nehmen.)Esseinocherwähnt,daßwirauchaufeinenzweiten,praktischunverzichtbaren
Problemkreisebenfallsnursehrwenigeingehenkönnen,nämlichaufFragendernumeri-
schenUmsetzungdervonunsbehandeltenAlgorithmen;hierzuempfehlenwirdieBücher
vonGill,MurrayundWright[14,15]oderSpellucci[29].
DieVorlesungenOptimierungsmethodenIundIIbehandelntraditionelldielineareund
dienichtlineareOptimierung,undzwarindieserReihenfolge.Dieskann–auchinAnbe-
trachtdernichtgeradeglücklichenNamensgebung–denEindruckerwecken,daßessich
hierumzweimehroderwenigerdisjunkteTeilgebietederOptimierunghandelt.Diesist
aberkeineswegsderFall,dennzumindestvomtheoretischenStandpunktheristdielineare
Optimierung nur der einfachste Spezialfall der sogenannten nichtlinearen Optimierung.
XI