Optimal Inventory Control in the Presence of Dynamic Pricing and Dynamic Advertising

202 Pages·2015·5.01 MB·English

Optimal Inventory Control in the Presence of Dynamic
Pricing and Dynamic Advertising
D I S S E R TAT I O N
zur Erlangung des akademischen Grades
doctor rerum politicarum
(Doktor der Wirtschaftswissenschaft)
eingereicht an der
Wirtschaftswissenschaftlichen Fakultät
Humboldt-Universität zu Berlin
von
Diplom-Volkswirt Martin Weber
Präsident der Humboldt-Universität zu Berlin:
Prof. Dr. Jan-Hendrik Olbertz
Dekan der Wirtschaftswissenschaftlichen Fakultät:
Prof. Dr. Ulrich Kamecke
Gutachter:
1. Prof. Dr. Kurt Helmes
2. Prof. Dr. Sigrid Müller
Tag des Kolloquiums: 12. Oktober 2015

Abstract
This dissertation analyzes the optimal coordination of dynamic pricing, dynamic
advertising, and inventory management. We consider different optimization prob-
lems for a monopolistic retailer who faces a time-dependent deterministic demand.
In Chapter 2, we generalize the model of Rajan et al. (1992). The retailer is al-
lowed to choose a dynamic price, a dynamic advertising rate, and the inventory
capacityforasalesperiodoffixedlengthsothatthepresentvalueofrevenueminus
inventory, purchasing and (nonlinear) advertising costs is maximized; in addition,
the inventory deteriorates at an exponential rate. We derive the optimal dynamic
price-advertising control and the optimal inventory capacity and also consider the
partiallystaticcaseswhenonlythepriceisdynamicandtheadvertisingrateisfixed
and vice versa. For the optimally controlled dynamic model we carry out a sensi-
tivity analysis with respect to the model parameters and we compare the results of
the dynamic model for the optimal profit with those of the partially static models.
In Chapter 3, we interpret the sales process as the controlled adoption process of a
newproductandtheinventorycapacityasuntappedmarketshare. Theinitialstate
is assumed to be exogenously given and the demand depends on the current state
of the system. We exclude, however, deterioration effects and any other costs but
the cost of advertising. We derive the optimal controls using a different technique
than Helmes et al. (2013) - we apply Pontryagin’s maximum principle. As an in-
teresting application we consider the controlled von Bertalanffy model. In Chapter
4, we extend the analysis of one-period models to multi-period models and long-
term average models. Assuming that the optimal controls derived in Chapter 2 and
Chapter3areappliedthroughoutacycle,wetreatthecyclelengthandthecapacity
asdecisionvariables. Wedistinguishbetweenthemaximizationofthepresentvalue
of N identical cycles and the maximization of the average profit per time unit. We
derive conditions that ensure the existence of an optimal pair of cycle length and
capacity. Various examples and illustrations are given, and structural properties of
the optimal pair are verified. For a special case we derive an extended formula of
the economic order quantity.
Keywords:
dynamic pricing and advertising, inventory management, new-product
adoption models, optimal control, Pontryagin’s maximum principle
iii

Zusammenfassung
Diese Dissertation analysiert das optimale Zusammenspiel dynamischer Preisset-
zung,dynamischerWerbungundBestandsmanagement.Wirbetrachtenverschiede-
ne Optimierungsprobleme für einen monopolistischen Händler bei gegebener zeit-
abhängiger deterministischer Nachfrage. In Kapitel 2 erweitern wir das Modell von
Rajan et al. (1992). Der Händler darf einen dynamischen Preis, eine dynamische
WerberateunddieLagergrößebeifesterVerkaufsdauerwählen,sodassderBarwert
von Umsatz minus Lager-, Einkaufs- und (nichtlinearen) Werbekosten maximiert
wird; zusätzlich zerfällt der Lagerbestand mit exponentieller Rate. Wir ermitteln
dieoptimalePreis-Werbe-SteuerungunddieoptimaleLagergrößeundbetrachtendie
semi-statischenSituationen,wennnurderPreisdynamischgewähltwerdendarfund
die Werberate fix ist und umgekehrt. Wir führen eine Sensitivitätsanalyse im Hin-
blick auf den Einfluss der Modellparameter auf die optimalen Ergebnisse durch und
vergleichen die Ergebnisse des dynamischen Modells mit denen der semi-statischen
Modelle im Hinblick auf den optimalen Gewinn. In Kapitel 3 interpretieren wir den
VerkaufsprozessalsgesteuertenDiffusionsprozesseinesneuenProduktesunddieLa-
gergröße als unerschlossenen Marktanteil. Der Anfangszustand ist exogen gegeben
unddieNachfragehängtzusätzlichvomgegenwärtigenZustanddesSystemsab.Ein
ZerfalldesLagerbestandesundalleKostenbisaufWerbekostensindausgenommen.
AndersalsinHelmesetal.(2013)leitenwirdieoptimaleSteuerungmithilfedesPon-
trjaginschen Maximumprinzips her. Als Anwendung betrachten wir das Modell von
von Bertalanffy. In Kapitel 4 erweitern wir die Analyse von einperiodigen Modellen
auf mehrperiodige und langfristige Modelle. Die Länge des Verkaufszyklus und die
Lagergröße sind Entscheidungsvariablen, wobei die optimalen Steuerungen aus Ka-
pitel 2 und Kapitel 3 während eines Zyklus angewandt werden. Wir unterscheiden
zwischen der Maximierung des Barwertes von N identischen Zyklen und der Ma-
ximierung des Durchschnittsgewinns pro Zeiteinheit. Existenzbedingungen für ein
optimalesPaarausZykluslängeundLagergrößewerdenhergeleitet.Wiranalysieren
verschiedene Anwendungs- und Illustrationsbeispiele und verifizieren Strukturaus-
sagen der optimalen Entscheidungsgrößen. Für einen Spezialfall leiten wir eine er-
weiterte Form der klassischen Losgrößenformel her.
Schlagwörter:
dynamische Preis- und Werbesetzung, Bestandsmanagement, Diffusions-
modelle, optimale Steuerung, Pontrjaginsches Maximumprinzip
v

Acknowledgements
This thesis is the result of my work at the Institute of Operations Research at the
Humboldt-Universität zu Berlin over the last years. In the course of writing this disser-
tation I had the benefit of comments, suggestions and support from many friends and
colleagues.
First of all, I would like to thank my supervisor Professor Kurt Helmes for his support
throughout my dissertation. His numerous suggestions and comments have had a great
impact on each chapter of this thesis. I would also like to thank Professor Sigrid Müller
who agreed to be my second supervisor.
This thesis greatly benefited from the friendly atmosphere at the Institute of Opera-
tions Research. Therefore, I like to thank all members of the Institute I had the chance
to get to know over the years. In particular, I would like to thank Andrea Häußler. Last
but not least, I would like to thank Professor Andreas Brandt, who died before his time,
for our fruitful discussions not only about my thesis.

Contents
1 Introduction 1
2 Optimal Dynamic Pricing and Advertising with Inventory Cost 9
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 The Dynamic Pricing and Advertising Model . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Combinations of Dynamic and Static Controls . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.1 Dynamic Pricing but Advertising Rates are Constant. . . . . . . . 32
2.3.2 Dynamic Advertising but Prices are Constant . . . . . . . . . . . . 39
2.4 Sensitivity Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4.1 Sensitivity Analysis of the Optimal Dynamic Model . . . . . . . . 49
2.4.2 Optimal Dynamic vs. Optimal (Partially) Static Models . . . . . . 62
3 Optimal Dynamic Pricing and Advertising in New-Product Adoption Models 71
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2 The Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.3 Controlled von Bertalanffy Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4 Maximizing Long-Term Profit 107
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.2 Optimal Pricing, Advertising and Inventory Control . . . . . . . . . . . . 115
4.2.1 Maximizing the Present Value of N Cycles . . . . . . . . . . . . . . 116
4.2.2 Maximizing the Average Profit per Time Unit . . . . . . . . . . . . 136
4.3 Optimal Order Decisions with Revenue Maximizing Pricing-Advertising
Policies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.3.1 Maximizing the Present Value of N Cycles . . . . . . . . . . . . . . 151
4.3.2 Maximizing the Average Profit per Time Unit . . . . . . . . . . . . 156
4.3.3 Illustrations and Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5 Summary and Conclusion 173
ix
Contents
Appendix: Marketing Models 177
1 The Nerlove-Arrow Advertising Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
2 The Vidale-Wolfe Advertising Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Bibliography 183
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