Operational Symmetries: Basic Operations in Physics

578 Pages·2017·5.138 MB·English

by  Heinrich Saller (auth.)

Heinrich Saller
Operational
Symmetries
Basic Operations in Physics
Operational Symmetries
Heinrich Saller
Operational Symmetries
Basic Operations in Physics
123
Heinrich Saller
Werner-Heisenberg Institute
MaxPlanckInstitute for Physics
Munich,Bayern
Germany
ISBN978-3-319-58663-2 ISBN978-3-319-58664-9 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-319-58664-9
LibraryofCongressControlNumber:2017940238
©SpringerInternationalPublishingAG2017
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ThisSpringerimprintispublishedbySpringerNature
TheregisteredcompanyisSpringerInternationalPublishingAG
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Contents
1 Introduction and Orientation.. .... .... .... .... .... ..... .... 1
2 Units and Orders of Magnitude.... .... .... .... .... ..... .... 13
2.1 External Interactions and Newton’s Unit. .... .... ..... .... 14
2.2 Speed of Light as Space-Time Hinge... .... .... ..... .... 17
2.3 Gravity and Maximal Speed of Action.. .... .... ..... .... 20
2.4 Quantum Structure and Planck’s Unit... .... .... ..... .... 22
2.5 Minimal Quantum of Action and Maximal Speed
of Action ... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 24
2.6 Intrinsic Units.... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 25
2.7 The ð(cid:1)h;c;GÞ-System — Universal Units?.... .... ..... .... 29
2.8 Electrodynamics and Sommerfeld’s Fine-Structure
Constant .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 34
2.9 Binding Energies and Couplings... .... .... .... ..... .... 38
2.10 Electroweak Interactions. .... .... .... .... .... ..... .... 41
2.11 Units and Symmetry Normalizations.... .... .... ..... .... 45
3 How Complex Is Nature?..... .... .... .... .... .... ..... .... 51
3.1 Numbers for Objects and Time.... .... .... .... ..... .... 53
3.2 Numbers as Operations — From the Naturals
to the Rationals... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 56
3.3 Discrete and Continuous — From the Rationals
to the Reals.. .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 60
3.4 Constancy in Change — From the Real to the Complex
Numbers.... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 64
3.5 Dynamics as Time Action.... .... .... .... .... ..... .... 68
3.6 Modalities... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 74
3.7 Non-commutative Numbers — Quaternions.. .... ..... .... 75
3.8 Non-commutative Complex Operations.. .... .... ..... .... 77
3.9 Causal Minkowski Spacetime. .... .... .... .... ..... .... 80
v
vi Contents
3.10 Hypercharge Group and Isospin Group.. .... .... ..... .... 82
3.11 Lorentz Group and Poincaré Group .... .... .... ..... .... 83
3.12 Internal Scalar Product and External Lorentz Metric..... .... 88
3.13 Operational Spacetime .. .... .... .... .... .... ..... .... 90
4 Plato’s Beautiful Symmetry ... .... .... .... .... .... ..... .... 93
4.1 Regular Polygons and Platonic Triangles .... .... ..... .... 94
4.2 Platonic Solids ... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 98
4.3 Plato’s Immaterial Basic Physics .. .... .... .... ..... .... 99
4.4 Dual Platonic Solids.... .... .... .... .... .... ..... .... 101
4.5 Soccer Molecules . ..... .... .... .... .... .... ..... .... 102
4.6 Coordinates for Platonic Solids.... .... .... .... ..... .... 104
4.7 Kepler’s Mysterium Cosmographicum .. .... .... ..... .... 106
4.8 Polytopes and Mosaics.. .... .... .... .... .... ..... .... 109
4.9 Orthogonal Symmetry Groups .... .... .... .... ..... .... 112
4.10 Erlangen Program of Geometry ... .... .... .... ..... .... 118
4.11 Erlangen Program of Flat Space-Time .. .... .... ..... .... 119
4.12 Simple Lie Operations .. .... .... .... .... .... ..... .... 121
4.13 Lie Symmetries and Metrical Structures. .... .... ..... .... 124
4.14 The Simplest Simple Symmetry ... .... .... .... ..... .... 126
4.15 Quantum Numbers and Weights of Simple Lie Algebras . .... 129
4.16 Weights, Roots, and Weyl Mirrors. .... .... .... ..... .... 130
4.17 Decomposition of Product Representations... .... ..... .... 131
4.18 Squares and the Physics of Atoms . .... .... .... ..... .... 132
4.19 Plato’s Polytopes and Cartan’s Weight Diagrams.. ..... .... 137
4.20 Quark Flavors.... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 142
4.21 Plato’s Triangles and Dynkin’s Diagrams.... .... ..... .... 144
4.22 Fundamental Representations . .... .... .... .... ..... .... 147
4.23 Quantum Theory and Symmetry... .... .... .... ..... .... 151
4.24 Basic Internal Symmetry Program.. .... .... .... ..... .... 153
4.25 Basic External Symmetry Program. .... .... .... ..... .... 155
5 Circles and Winding Numbers. .... .... .... .... .... ..... .... 159
5.1 Circles on the Earth and in the Sky .... .... .... ..... .... 160
5.2 Winding Numbers and Unit Roots . .... .... .... ..... .... 161
5.3 Electromagnetic Winding Numbers. .... .... .... ..... .... 164
5.4 Energies and Time-Winding Numbers .. .... .... ..... .... 165
5.5 Spin Winding Numbers . .... .... .... .... .... ..... .... 167
5.6 Windings of the Binary Alternative .... .... .... ..... .... 169
5.7 Charge Numbers of Leptons and Quarks .... .... ..... .... 171
5.8 Winding Number Matrices and Representation Weights.. .... 172
5.9 Fractionality of Unitary Group Representations ... ..... .... 175
5.10 Adjoint Winding Numbers and Adjutopes ... .... ..... .... 179
5.11 Additive Unification of Unitary Symmetries.. .... ..... .... 180
Contents vii
5.12 Fractionality Correlations for Unitary Groups. .... ..... .... 183
5.13 Broken Winding Numbers ... .... .... .... .... ..... .... 185
5.14 Broken Hypercharges and Nonabelian Internal Symmetry .... 187
5.15 Young Frames for SUðnÞ-Representations ... .... ..... .... 191
5.16 Young Tableaux for Young Frames .... .... .... ..... .... 193
5.17 Box-Matrix Algebras ... .... .... .... .... .... ..... .... 195
5.18 Algebras for Finite Groups... .... .... .... .... ..... .... 197
6 The Hall of Mirrors .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 201
6.1 Reflection Group and Orthogonality.... .... .... ..... .... 202
6.2 Reflections of Time and Position .. .... .... .... ..... .... 205
6.3 Reflection by Conjugation ... .... .... .... .... ..... .... 206
6.4 Dual Involutors and Conjugations.. .... .... .... ..... .... 207
6.5 Creation-Annihilation Conjugation . .... .... .... ..... .... 208
6.6 The Dual Reflection Klein Group.. .... .... .... ..... .... 210
6.7 (Iso)Spin Reflections.... .... .... .... .... .... ..... .... 211
6.8 Euclidean Conjugation and Anticonjugation.. .... ..... .... 213
6.9 Particle-Antiparticle Quartets . .... .... .... .... ..... .... 214
6.10 Spinless Particles with Isospin .... .... .... .... ..... .... 216
6.11 Quartets of Complex Representations... .... .... ..... .... 219
6.12 The Weyl Spinor Quartet .... .... .... .... .... ..... .... 222
6.13 Interlocking Field and Particle Quartets . .... .... ..... .... 224
6.14 Left-Right (Chiral) Reflection. .... .... .... .... ..... .... 229
6.15 Fields with Spin and Isospin.. .... .... .... .... ..... .... 230
6.16 Quark Fields Without Quark Particles... .... .... ..... .... 231
7 Telescopes for Symmetries .... .... .... .... .... .... ..... .... 233
7.1 Symmetry Telescopes... .... .... .... .... .... ..... .... 234
7.2 Subgroup Equivalences and Embedding Manifolds. ..... .... 235
7.3 Self-Operations... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 237
7.4 Normal and Ideal Transitions, Simple Symmetries. ..... .... 239
7.5 Relativities and Homogeneous Spaces .. .... .... ..... .... 241
7.6 Products and Factorizations of Groups .. .... .... ..... .... 243
7.7 Abel Telescopes .. ..... .... .... .... .... .... ..... .... 245
7.8 Power Telescopes. ..... .... .... .... .... .... ..... .... 248
7.9 The Heisenberg Lie Algebra and Group. .... .... ..... .... 249
7.10 Orbits and Fixgroups ... .... .... .... .... .... ..... .... 253
7.11 Orbits of Minkowski Spacetime ... .... .... .... ..... .... 256
7.12 Orbits of the Heisenberg Group ... .... .... .... ..... .... 259
7.13 Squares and Their Symmetries .... .... .... .... ..... .... 260
7.14 Stability Groups of Vector Space Decompositions . ..... .... 263
7.15 Polar Decompositions... .... .... .... .... .... ..... .... 264
7.16 Sylvester and Witt Transitions .... .... .... .... ..... .... 267
7.17 Bases of Minkowski Translations.. .... .... .... ..... .... 269
viii Contents
7.18 The Manifold of the Lorentz Tetrads ... .... .... ..... .... 272
7.19 External Transitions in the Electroweak Standard Model . .... 275
7.20 Fields with Group Actions ... .... .... .... .... ..... .... 277
7.21 Symmetry Transitions by Fields... .... .... .... ..... .... 279
7.22 Decomposition-Transmutators. .... .... .... .... ..... .... 281
7.23 Field-Particle Transmutators in the Standard Model ..... .... 282
7.24 The Four Symmetry Regimes of the Standard Model.... .... 284
7.25 Fiber Bundles and Spacetime Bundles .. .... .... ..... .... 287
7.26 Riemannian Manifolds .. .... .... .... .... .... ..... .... 290
7.27 Spheres and Hyperboloids.... .... .... .... .... ..... .... 295
7.28 Maximally Symmetric Manifolds .. .... .... .... ..... .... 299
7.29 Derivations and Gauge Fields. .... .... .... .... ..... .... 301
7.30 Curvatures and Field Strengths.... .... .... .... ..... .... 303
7.31 Electroweak and Strong Gauge Interactions .. .... ..... .... 307
7.32 Representation Currents and Gauge Vertices . .... ..... .... 311
7.33 Electroweak Ground State and Masses.. .... .... ..... .... 314
8 Classical and Quantum Logics. .... .... .... .... .... ..... .... 321
8.1 Predicates and Relations. .... .... .... .... .... ..... .... 323
8.2 Aristotelian Syllogisms.. .... .... .... .... .... ..... .... 325
8.2.1 Strong Syllogisms .. .... .... .... .... ..... .... 326
8.2.2 Weak Syllogisms... .... .... .... .... ..... .... 329
8.2.3 Traditional Syllogisms... .... .... .... ..... .... 329
8.3 Conjunction, Negation, and Adjunction . .... .... ..... .... 330
8.4 The System of the Junctors... .... .... .... .... ..... .... 332
8.5 Falsum and Verum..... .... .... .... .... .... ..... .... 333
8.6 Classes and Sets.. ..... .... .... .... .... .... ..... .... 334
8.6.1 Compression of Sets .... .... .... .... ..... .... 335
8.6.2 Subclasses and Junctor Classes .... .... ..... .... 336
8.6.3 Atom Classes and Power Classes .. .... ..... .... 338
8.7 The Natural Numbers... .... .... .... .... .... ..... .... 340
8.8 Axioms of Set Theory .. .... .... .... .... .... ..... .... 341
8.9 Implication (Order) and Equivalence.... .... .... ..... .... 342
8.9.1 Examples for Order and Implication .... ..... .... 344
8.10 Lattices and Logics..... .... .... .... .... .... ..... .... 346
8.11 Classical (Boole–Stone) Logics.... .... .... .... ..... .... 349
8.12 Quantum (Birkhoff–von Neumann) Logics... .... ..... .... 351
9 Classical and Quantum Probability. .... .... .... .... ..... .... 355
9.1 Truth Tables and Truth Valuations. .... .... .... ..... .... 357
9.2 Measures of Lattices and Logics... .... .... .... ..... .... 358
9.3 Probabilities of Boole-Stone Logics .... .... .... ..... .... 360
9.4 Probability Densities and Distributions.. .... .... ..... .... 362
9.5 Lebesgue Function Spaces ... .... .... .... .... ..... .... 364
Contents ix
9.6 Haar Measures of Operation Groups.... .... .... ..... .... 366
9.7 Operators and Matrices.. .... .... .... .... .... ..... .... 367
9.8 Probability Amplitudes and Uncertainties.... .... ..... .... 371
9.8.1 States of Operator Algebras... .... .... ..... .... 371
9.8.2 Cyclic Hilbert Spaces for Algebra States. ..... .... 373
9.9 Bose and Fermi Quantum Algebras .... .... .... ..... .... 375
9.10 Hilbert Spaces for Uð1Þ and Dð1Þ.. .... .... .... ..... .... 379
9.11 Group Algebras and Representation Spaces .. .... ..... .... 380
9.11.1 Bi-Regular and Induced Representations. ..... .... 383
9.11.2 Finite Groups and Convolution Algebras. ..... .... 384
9.11.3 Algebras and Vector Spaces for Locally Compact
Groups.. ..... .... .... .... .... .... ..... .... 385
9.12 Schur Product and Hilbert Spaces for Groups. .... ..... .... 388
9.12.1 Duality for Group Function Spaces. .... ..... .... 389
9.12.2 Hilbert Metrics of Cyclic Representation Spaces.... 389
9.13 Harmonic Analysis of Group Functions . .... .... ..... .... 393
9.14 Schur Orthogonality and Frobenius Reciprocity
for Compact Groups.... .... .... .... .... .... ..... .... 396
9.15 Translation Representations... .... .... .... .... ..... .... 401
9.15.1 Fourier Transformation .. .... .... .... ..... .... 401
9.15.2 Cyclic Translation Representations . .... ..... .... 402
9.16 Product Representations on Polynomials. .... .... ..... .... 404
9.17 Harmonic Polynomials for Orthogonal Groups.... ..... .... 406
9.18 Harmonic Analysis of Hyperboloids.... .... .... ..... .... 408
9.19 Irreducible Representations of the Lorentz Group.. ..... .... 410
9.20 Compact–Noncompact Pairing .... .... .... .... ..... .... 413
9.21 Special Functions in Basic Physics. .... .... .... ..... .... 416
10 Free States and Particles. ..... .... .... .... .... .... ..... .... 425
10.1 Irreducible Representations of Translations... .... ..... .... 427
10.2 Euclidean and Minkowskian Translations.... .... ..... .... 429
10.3 Time and Position Projections. .... .... .... .... ..... .... 431
10.4 Rotations and Translations ... .... .... .... .... ..... .... 432
10.5 Rotation and Translation Invariants. .... .... .... ..... .... 435
10.6 Hilbert Metric Inducing Functions . .... .... .... ..... .... 438
10.7 Hilbert Spaces for Translations.... .... .... .... ..... .... 440
10.8 Orbits and Decomposition-Transmutators.... .... ..... .... 445
10.8.1 Axial Rotations in Rotations .. .... .... ..... .... 446
10.8.2 Rotations in Lorentz Transformations ... ..... .... 448
10.9 Polarization and Spin Projectors... .... .... .... ..... .... 450
10.9.1 Polarized States for Nonrelativistic Scattering .. .... 450
10.9.2 Spinning Particles in Relativistic Fields.. ..... .... 451
10.10 Hilbert Spaces for Euclidean Position and Minkowski
Spacetime... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 453
x Contents
10.11 Harmonic Analysis for Euclidean Position and Minkowski
Spacetime... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 455
10.12 Unstable Particles. ..... .... .... .... .... .... ..... .... 457
10.12.1 Reflections of Translations.... .... .... ..... .... 458
10.12.2 Breit–Wigner Functions for Time .. .... ..... .... 458
10.12.3 Hilbert Spaces for Unstable Particles.... ..... .... 460
10.13 Collectives with Unstable Particles. .... .... .... ..... .... 462
10.13.1 Metrical Matrices for Collectives... .... ..... .... 462
10.13.2 The Neutral Kaon Collective.. .... .... ..... .... 465
10.14 Unstable Relativistic Particles. .... .... .... .... ..... .... 466
10.14.1 Breit–Wigner Functions for Position .... ..... .... 466
10.14.2 Breit–Wigner Densities of Energy-Momenta... .... 467
10.14.3 Time-Position Projections for Unstable Particles.... 468
11 Operational Position and the Atomic Spectrum ... .... ..... .... 469
11.1 Operational Positions ... .... .... .... .... .... ..... .... 470
11.2 Special Position Functions ... .... .... .... .... ..... .... 472
11.3 Schrödinger’s Position Representations.. .... .... ..... .... 475
11.4 Euclidean Position and Free Scattering.. .... .... ..... .... 476
11.5 Kepler Position and the Atomic Spectrum ... .... ..... .... 479
11.6 Dipoles for Hyperbolic 3-Position.. .... .... .... ..... .... 483
11.7 Maximally Symmetric Positions... .... .... .... ..... .... 487
11.7.1 Spherical and Hyperbolic Coefficients... ..... .... 487
11.7.2 Odd-Dimensional Hyperboloids and Spheres... .... 489
11.8 Normalized Position Representations ... .... .... ..... .... 492
11.9 Harmonic Oscillators ... .... .... .... .... .... ..... .... 494
11.9.1 Position Representation.. .... .... .... ..... .... 495
11.9.2 “Color” SUð3Þ for 3-Position.. .... .... ..... .... 498
11.10 Quantum Fields of Positions.. .... .... .... .... ..... .... 500
11.10.1 Quantum Fields of Euclidean Position... ..... .... 500
11.10.2 Quantum Fields of Hyperbolic Position.. ..... .... 501
12 Operational Spacetime and the Particle Spectrum . .... ..... .... 507
12.1 Operational Spacetimes.. .... .... .... .... .... ..... .... 509
12.2 Special Spacetime Distributions ... .... .... .... ..... .... 512
12.3 Maximally Symmetric Spacetimes . .... .... .... ..... .... 514
12.4 Minkowski Spacetime... .... .... .... .... .... ..... .... 516
12.5 Coulomb and Newton Interactions . .... .... .... ..... .... 522
12.6 General Feynman Propagators. .... .... .... .... ..... .... 527
12.7 SphericalandHyperbolicInvariantsforIndefiniteOrthogonal
Groups . .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 529