Table Of ContentBenolt Mandelbrot
OBJECTOS FRJ\CTF\15
CIÊNCIAABERIA
graâiva
CIÊNCIA ABERrA
1. O JOGO DOS POSSÍVEIS 30. PARA UMA NOVA CIÊNCIA
François Jacob Steve_n Rose/Lisa Appignanesi _
2. UM POUCO MAIS DE AZUL 31. A MAO ESQUERDA DA CRIAÇAO
H. Reeves Jonh D. Barrow./Toseph Silk
3. O NASCIMENTO DO HOMEM 32. O GENE EGOfS'TA
Robert Clarke Richard Dawkins
4. A PRODIGIOSA AVENTURA DAS PLANfAS 33. HISTÓRIA CONCISA DAS MATEMÁTICAS
Jean-Marie Pelli.Jean-Pierre Cuny Dirk T-S!ruik
34. CitN'CIA, ORDEM E CRIATIVIDADE
5. COSMOS
David Bohm/F. David Peat
Carl Sagán
6: A MEDUSA E O CARACOL 35. O QUE É UMA LEI FfSICA
Richard P. Feynman
Lewis Thomas
36. QUANDO AS GALINHAS
7. O MACACO, A ÁFRICA E O HOMEM
TIVEREM DENTES
Yves Coppens
StephenJay Gotlld
8. OS DRAGÕES DO ÉDEN
37. ·NEM SEMPRE A BRINCAR,
Carl Sagan
SR. FEYNMAN!•
9. UM MUNDO IMAGINADO Richard P. Feynman
June Goodfield 38. CAOS-A CONSTRUÇÃO
10. O CÓDIGO CÓSMICO DE UMA NOVA CIÊNCIA
Heinz R. Pagels James Gleick
11. CIÊNCIA: CURIOSIDADE E MALDIÇÃO 39. SIMETRIA PERFEITA
Jorge Dias de Deus Heinz R. Pagels
12. O POLEGAR DO PANDA 40. ENTRE O TEMPO E A ETERNIDADE
StephenJay Gould Ilya Prigogineflsabelle ~tengers
13. A HORA DO DESLUMBRAMENTO 41. OS SONHOS DA RAZAO
H. Reeves Heinz R. ~agels
14. A NOVA ALIANÇA 42. VIAGEM AS ESTRELAS
Ilya Prigogine/Isabelle Stengers RobertJastrow
15. PONTES PARA O INFINITO 43. MALICORNE
Michael Guillen H. Reeves
16. O FOGO DE PROMETEU 44. INFINITO EM TODAS AS DIRECÇÕES
Charles LumsdenjEdward O. Wilson Freeman T- Dyson
17. O CÉREBRO DE BROCA 45. O ÁTOM"O ASSOMBRADO
Carl Sagan P. C. W. Davies/T-R. Brown
18. ORIGENS 46. MATÉRIA PENSANTE
· · Jean-Pierre Changeux/Aiain Cannes
Robert Shapiro
47. A NATUREZA REENCONTRADA
19. A DUPLA HÉLICE
Jean-Marie Pelt
James Wa!Son
48. O CAMINHO QUE NENHUM
20. OS TRÉS PRIMEIROS MINUTOS HOMEM TRILHOU
Steven Weinberg Carl Sagan/Richard Turco
21. .. ESTÁ A BRINCAR, SR. FEYNMAN!" 49. O SORRISO DO FLAMINGO
Richard P. Feynman StephenJay Gould
22. NOS BASTIDORES DA CIÊNCIA 50. EM BUSCA DA UNIFICAÇÃO
Sebastião J. Formosinho Abdus Saiam/Paul DiracjWerner Heisenberg
23. VIDA 51. OBJECTOS FRACTAIS
Francis Crick Benoit Mandelbrot
24. SUPERFOR,ÇA 52. A QUARTA DIMENSÃO
Paul Davies Rudy Rucker
25. QED-A ESTRANHA TEORIA 53. DEUS JOGA AOS DADOS?
Ian Stewart
DA LUZ E DA MATÉRIA
Richard P. Feynman 54. OS PRÓXIMOS CEM ANOS
Jonathan Weiner _
26. A ESPUMA DA TERRA
55. IDEIAS E INFORMAÇAO
Claude Allegre
Arno Penzias
27. BREVE HISTÓRIA DO TEMPO 56. UMA NOVA CONCEPÇÃO DA TERRA
Stephen W. Hawking Seiya Uyeda
28. O JOGO 57. HOMENS E ROBOTS
Man[red Eigen/Ruthild ~inkler Hans Moravcc
29. EINSTEIN TINHA RAZAO? 58. A MATEMÁTICA E O IMPREVISTO
Cli!Tord M. Will Ivar Ekcland
BENOMANIDTE LBROT
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JOSLÉU ÍMSA, LAQULIIAMSA
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REVISPTEALA OU TOR
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Título do original francês: Les Objects Fractals
© 1975, 1984, 1989 by Benoit Mandelbrot
Tradução: Carlos Fiolhais e José Luís Malaquias Lima
Revisão de texto: Manuel Joaquim Vieira
Capa: Annando Lopes sobre a ilustração do conjunto de Mandelbrot
Fotocomposição, paginação e fotólitos: A/fanumérico, Lda.
Impressão e acabamento: Gráfica Manuel Barbosa & Filhos, Lda.
Direitos reservados para Portugal a:
Gradiva-Publicações, Lda.
Rua Almeida e Sousa, 21, r/c, esq. - Telefs.: 397 40 67 I 68
1350 Lisboa
2.• edição: Maio de 1998
Depósito legal: 123 383/98
ln Memoriam, B e C.
Para a Aliette
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PREFÁCIO DO TRADUTOR
Quando, em Junho de 1990, o matemático francês Benolt
Mandelbrot esteve em Lisboa para presidir à «Fractal 90», urna
reunião científica sobre os objectos que lhe devem a pater
nidade - os objectos fractais -, manifestou o desejo de ver
publicada em portugês a terceira edição, datada de 1989, do
seu livro francês Les Objects Fractals. A Gradiva acolheu logo
com grande entusiasmo a ideia de editar o livro que agora sai
do prelo.
Esta edição portuguesa inclui, tal como a do original francês
que lhe serviu de base, um Panorama Geral da Linguagem Fractal,
que é um texto de síntese e de comentário sobre o lugar e o
significado dos fraetais no quadro das ciências contemporâ
neas. Porém, e por especial deferência do autor, o presente
texto do Panorama aparece bastante modificado e acrescentado.
A bibliografia foi actualizada com a referência a alguns dos tra
balhos que, num fluxo crescente, têm vindo a ser publicados
nos últimos anos. A fim de ajudar leigos que eventualmente
queiram saber mais, incluem-se listas separadas de livros re
centes de divulgação, que de algum modo colocam a ênfase
nos fractais, assim corno de livros sobre computadores e gráfi
cos, que discutem o caos e os fractais, e, finalmente, livros para
os mais novos. O primeiro e hoje já histórico texto, Objectos
Fractais, foi expurgado (pelo menos assim se crê ... ) de
pequenas gralhas presentes no original. Os tradutores preten-
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dem agradecer ao autor o interesse com que acompanhou esta
edição e a amabilidade com que sempre respondeu às dúvidas
que um trabalho de tradução naturalmente suscita.
A palavra «fractal» é um neologismo introduzido por B.
Mandelbrot e que entretanto já entrou nas mais diversas lín
guas. Surge, com este livro e de forma oficial, na língua portu
guesa. Embora, na comunidade científica nacional, o número
de utentes da geometria fractal seja ainda escasso, o número de
pessoas, estudantes, cientistas ou simples leigos que a desco
brem e por ela se entusiasmam cresce dia a dia. O pintor Lima
de Freitas, por exemplo, encontra nessa geometria a inspiração
para algumas das suas últimas obras, julgando ver na arte ma
nuelina reminiscências da «fractalidade» (outro neologismo!).
Mandelbrot oferece-nos, com os fractais, uma maneira nova
não só de usar a matemática, como de ver e conhecer o mundo,
natural ou artificial. Mostra-nos como esse instrumento mo
derno que é o computador abre fronteiras que são exploradas
com esse velho aparelho que é o olho humano. Nos tempos
manuelinos, a abertura de novas fronteiras não se fez sem
«velhos do Restelo». Ainda hoje os há, nomeadamente entre os
(poucos) matemáticos que tinham de todo abdicado da visuali
zação como elemento de descoberta. Os físicos, químicos, bió
logos e geólogos, dispostos a aprender a forma das nuvens,
dos agregados coloidais, dos fetos arbóreos ou das falhas tectó
nicas, incluíram rapidamente a geometria fractal na sua caixa
de ferramentas. Os leigos, por sua vez, dificilmente deixarão
de ser percorridos por sentimentos estéticos quando contem
plam objectos artificiais que mais parecem naturais ou vice
-versa. Com os fractais, ganham, uns, intuições inéditas, outras,
descrições diferentes e, outros ainda, emoções particulares.
Com todos estes ganhos, é certamente bem-vinda a edi
ção portuguesa dos Objectos Fractais. Parafraseando Fernando
Pessoa:
O conjunto de Mandelbrot é tão belo corno a Vénus de Milo.
E há cada vez mais gente a dar por isso
Nova Orleães, Julho de 1991
CARLOS FlOLHAIS
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PREFÁCIO DA 3.a EDIÇÃO FRANCESA,
ACRESCIDA DE PANORAMA GERAL DA LINGUAGEM
FRACTAL
Foi a Roberto Pignoni que o editor Giulio Einaudi, de Turim,
confiou a tradução dos meus Objectos Fractais. O empenho
posto no seu trabalho por esse jovem matemático de Milão
mostra que até o provérbio italiano mais bem provado conhece
algumas excepções e que não é impossível que o tradutor seja
o melhor amigo do autor. A sua atenção às questões de estilo,
com efeito, ajudou em muito à preparação desta nova edição.
Apesar disso, a sequência mantém-se praticamente inalterada.
No momento em que escrevo estas linhas, um terna em foco
na comunidade dos «fractalistas» é o dos «rnultifractais».
O capítulo IX mostra que desde 1975 me apercebi da necessi
dade de discutir este assunto.
Foram precisos quase dez anos para que esse tópico tivesse
verdadeiramente «pernas para andar». Mas não há dúvida de
que agora tem boas pernas: aqui, corno, de resto, em todas as
áreas de estudo dos fractais, realizaram-se progressos extraor
dinários ao longo dos últimos treze anos.
Corno levar em conta estes progressos sem pôr em causa um
livro que tem vindo a dar provas desde 1975? Poder-se-ia ter
simplesmente acrescentado urna lista de sucessos e meios
sucessos, mas não seria possível mantê-la relativamente curta
sem a reduzir a urna tabela de assuntos bastante indigesta. Era,
por isso, mais recomendável descrever algumas das orien
tações principais do passado recente.
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Foi assim que o capítulo XVI foi aliviado dos seus pós-escri
tos prospectivas e que o prefácio da 2.• edição foi reduzido. Os
mesmos papéis são desempenhados, bastante mais em porme
nor, por uma espécie de «suplemento» intitulado Panorama
Geral da Linguagem Fractal. Este texto inédito pretende dar uma
ideia do estado actual da teoria e das suas aplicações. Delibe
radamente, não é numerado como capítulo.
As duas partes deste livro correspondem a necessidades
diferentes e não é forçoso que sejam lidas pela ordem apresen
tada. Por um lado, era conveniente manter um texto que tem
vindo a dar provas desde 1975. Mas, por outro lado, uma certa
actualização afigurava-se adequada.
Convém ainda assinalar dois pontos relativos à apresenta
ção. Para evitar uma possível interrupção da continuidade do
texto, as figuras são agrupadas no final de cada capítulo. A fim
de facilitar a sua localização, cada figura é designada pelo
número da página em que se encontra inserida. Um nome de
autor seguido por uma data, como Dupont 1979, remete para
a bibliografia que pode ser encontrada no final do livro.
Quando necessário, o ano é seguido de uma letra.
Primavera de 1989
BENOIT MANDELBROT
IBM, Yorktown Heights NY 10598 USA
Yale University, New Haven CT 06520 USA
PREFÁCIO DA 2.• EDIÇÃO FRANCESA (EXTRACTO)
Esta edição difere pouco da de 1975, pois, ao rever o
manuscrito com vista à sua reedição, verifiquei que não havia
muitas arestas a limar. Talvez isto queira dizer que o livro
depressa atravessou a idade ingrata em que se passa de moda,
para atingir uma idade em que a moda deixa de ser impor
tante. É cada vez menos um tratado, embora seja ainda uma
introdução ao tema, bem como um documento de interesse
histórico. Conserva ainda, como é evidente, as ambições loucas
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