Números: revista de didáctica de las matemáticas. - Sociedad

142 Pages·2009·6.33 MB·Spanish

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Revista de Didáctica de las Matemáticas
AAbbrriill ddee 22000099 VVoolluummeenn 7700
Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 70, abril de 2009, página 2

NNúúmmeerrooss es una revista de didáctica de las matemáticas, desde infantil hasta la universidad, aunque
preferentemente atiende la educación primaria y secundaria. Publica trabajos de interés para el profesorado de
esos niveles, tales como experiencias de aula, reflexiones sobre la enseñanza, aplicaciones de la investigación,
así como artículos sobre las Matemáticas y de divulgación matemática. En general, se debe atender a su utilidad
directa en el aula, o a la formación de los profesores. También se publicarán recensiones de libros e
informaciones relacionadas con la actividad docente. El principal criterio para determinar la aceptación de un
trabajo será su calidad; en este sentido, debe tratar un asunto de interés, estar bien escrito y ser claro.
Directores
Alicia Bruno (Universidad de La Laguna) y Antonio Martinón (Universidad de La Laguna)
Comité editorial
Hugo Afonso (“La Caixa”), Dolores de la Coba (Instituto Educación Secundaria Viera y Clavijo, La Laguna),
Miguel Domínguez (Instituto Educación Secundaria Garoé), Fátima García (Centro de Formación ARHAT),
Fernando León (Instituto Educación Secundaria San Hermenegildo), Antonio Ramón Martín Adrián (Colegio
Público Aguamansa), María Aurelia Noda (Universidad de La Laguna), Josefa Perdomo Díaz (Instituto
Educación Secundaria Adeje 2), Inés Plasencia (Universidad de La Laguna).
Consejo asesor
José Luis Aguiar (Instituto Educación Secundaria Agustín de Betancourt), Claudi Alsina (Universidad
Politécnica de Catalunya), Abraham Arcavi (Instituto Científico Weizmann), Luis Balbuena (Instituto Educación
Secundaria Viera y Clavijo), Carmen Batanero (Universidad de Granada), Lorenzo Blanco (Universidad de
Extremadura), Teresa Braicovich (Universidad Nacional del Comahue, Argentina), Juan Contreras (Inspección
Educativa de Canarias), Norma Cotic (Centro de Investigación Educativa, Buenos Aires, Argentina), Manuel
Fernández (Colegio Público Punta del Hidalgo), Joaquim Giménez (Universitat de Barcelona), Juan Antonio
García Cruz (Universidad de La Laguna), Jacinto Quevedo (Grupo 17-29), Tomás Recio (Universidad de
Cantabria), Victoria Sánchez (Universidad de Sevilla), Arnulfo Santos (Instituto Educación Secundaria Doctor
Antonio González y González)
Edita
Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas
Apartado 329. La Laguna. Tenerife
ISLAS CANARIAS
Email: [email protected]
Web: http://www.sinewton.org
Junta Directiva de la Sociedad Canaria "Isaac Newton" de Profesores de Matemáticas
Presidenta: Ana Alicia Pérez Hernández
Vicepresidente: Luis Francisco López García
Secretaria General: Mª Nila Pérez Francisco
Vicesecretaria: Carmen Mª Tavío Alemán
Secretario de actas: Jesús Manuel Méndez Méndez
Bibliotecaria: Zoraida de Armas Ravelo
Coordinadores insulares: Carmen Delia Clemente Rodríguez (Fuerteventura), Marcos Eloy Morales Santana
(Gran Canaria), Eustaquio Bonilla Ramírez (Lanzarote), Carmen San Gil López (La Palma), Dolores de la
Coba García (Tenerife).
NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas, es una publicación de la Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas. Se editan tres números ordinarios al año, los meses de abril, agosto y diciembre.

Foto portada: Luis Balbuena

Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 70, abril de 2009, páginas 3–4

Índice

Editorial

Una nueva etapa para Números
5
A. Bruno, A. Martinón

Apertura

El seudónimo de Dios
7-34
José Luis Fernández Pérez

Artículos

Otras deducciones o extensiones del teorema de Pitágoras a lo largo de la

historia como recurso didáctico. 35-51
J. C. Barreto García
El aprendizaje de las matemáticas a los tres años: Narración reflexiva sobre la

construcción de un mercado medieval 53-65
C. Castro Hernández, A. González Hueso, B. Escorial González
Derivadas y Antiderivadas
67-74
F. Martínez de la Rosa
Diofanto, Hilbert y Robinson: ¿Alguna relación entre ellos?
75-87
I. Hernández Fernández, C. Mateos Contreras, J. Núñez Valdés

Secciones

Experiencias de aula
Geometría intuitiva desde el cuarto de baño
89-104
C. Duque Gómez, E. Mª Quintero Núñez

Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Índice
(continuación)

Problemas
Problemas comentados (XXI)
105-113
J.A. Rupérez Padrón, M. García Déniz

En la red
INTERGEO: una guía para profesores
115-122
C. Ueno Jacue
La exportación a HTML con Geogebra
123-127
P. Espina Brito

Juegos
Graduación de la dificultad en los Juegos de Nim
129-133
J.A. Rupérez Padrón, M. García Déniz

Leer Matemáticas
El Hombre Anumérico. John Allen Paulos
135-136
Reseña: J. R. Franco Brañas

Informaciones 137-139

Normas para los autores 141

4 Vol. 70 abril de 2009 NNÚÚMMEERROOSS
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 70, abril de 2009, página 5

Una nueva etapa para Números
Alicia Bruno y Antonio Martinón, Directores
Con este volumen de Números se produce un cambio en su equipo editor. Hemos querido que
estén presentes la experiencia y la juventud. Pensamos que de este modo se garantiza la realización de
la revista y su continuidad en el futuro. Junto a los veteranos Dolores de la Coba, Antonio Martín
Adrián, Aurelia Noda e Inés Plasencia, con quienes compartimos tareas en la revista Unión,
colaboraremos ahora con Hugo Afonso, Miguel Domínguez, Fátima García, Fernando León y Josefa
Perdomo.
E
Números nació en abril de 1981, así que tiene ya 28 años. A su vez, es continuadora del Boletín

de la Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas, que se inició en noviembre de 1978. Somos,

por tanto, herederos de un trabajo intenso y exitoso de muchos otros colegas.
D

Es hora de reconocer los méritos de los que han hecho posible esta realidad de tantos años. De

los miembros de los equipos editoriales, de los consejos de asesores, de los evaluadores, de los autores I

y de los lectores. Pero, sobre todo, de la Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de

Matemáticas, que con una tenacidad poco común ha mantenido económicamente la revista y ha
T
apoyado la idea de publicar este poderoso vehículo de comunicación profesional y científica.

Contamos con un Consejo asesor, del que forman parte los antiguos directores de la revista: O

Luis Balbuena, Manuel Fernández, Arnulfo Santos, José Luis Aguiar, Juan Antonio García Cruz, Juan

Contreras y Jacinto Quevedo. De este modo reconocemos el trabajo de los anteriores equipos

editoriales. R

En el Consejo asesor también están otras personalidades del mundo de la Educación

I
Matemática: Claudi Alsina, Abraham Arcavi, Carmen Batanero, Lorenzo Blanco, Teresa Braicovich,

Norma Cotic, Joaquín Giménez, Tomás Recio y Victoria Sánchez. Les agradecemos a todos ellos su

generosa colaboración con la revista. A

Cerca de un centenar de profesoras y profesores realizarán las labores de evaluación de los

L
trabajos que se remitan a Números. Su papel será decisivo para garantizar la calidad de lo que

publiquemos.
Deseamos que Números continúe siendo un referente de la Didáctica de las Matemáticas en
todo el ámbito Iberoamericano. Tenemos la fortuna de compartir una lengua con más de trescientos
millones de personas y eso permite que nuestra revista pueda nutrirse de modo natural con los trabajos
de los profesores de ambas orillas del Atlántico y servir, junto a las demás revistas de Educación
Matemática que se editan en castellano, a la mejora de la enseñanza y el aprendizaje.
Confiamos en seguir contando con que los autores nos remitan sus trabajos y los lectores
continúen buceando en las páginas de Números.

Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas

http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 70, abril de 2009, páginas 7–34

El seudónimo de Dios1
José Luis Fernández Pérez2

A María José, con amor y… fortuna.
Excelentísimo y Magnífico Rector de la Universidad de La Laguna.
Excelentísimos e ilustrísimos señores.
Compañeros, alumnos, amigos.
Cuantos recibieron aquí honores semejantes a los que os dignáis tributarme en
esta solemnidad, habrán de fijo sentido menos turbación que yo, ante el deber de
disertar sobre un tema [...] digno de vosotros3 y de esta ilustre casa. Ordenan la A
cortesía y la costumbre que al ingresar en ésta, […] se hagan pruebas de aptitu-

des críticas y de sólidos conocimientos en las varias materias del Arte4.

P
Pero uno debe asumir humildemente las querencias y limitaciones, que los años no han hecho

sino acrecentar, asumir que es algo dado a la chacota5, al román paladino y a la charla de café, y que,

incluso en ocasión como ésta, de liturgia centenaria, no debe aspirar más que a mantener una distendi- E
da y amable conversación en la que compartir con ustedes, con modesta voluntad de desvelar somera-

mente, si acaso, la fascinación por el arte que cultiva: las Matemáticas.

R
Creo y espero que esa fascinación sin descuento por la estética argumental y la capacidad de co-

dificación de las Matemáticas pueda quedar cabalmente ilustrada con una charla sobre el azar, al gusto

matemático y aderezado con unas gotas de infinito. Ese azar que lleva confabulando6 y conspirando T

sin descanso desde tiempo inmemorial para que todos nosotros, ustedes y yo, y, créanlo, hasta nuestro

dilecto Rector, nos encontremos aquí y ahora en esta, para mí, abrumadoramente gozosa ocasión.
U

¿Cómo es que alguien decide, es un decir, dedicarse a las matemáticas? En septiembre de hace

unos cinco mil años, me acercaba entre ilusionado y amedrentado, como un K cualquiera, por los pasi-
R
llos del antiguo edificio central de la Universidad de La Laguna, que se me antojaba Castillo, hacia la

ventanilla pertinente cargado de certificados, de pólizas y timbres, de aquellos mágicos arcanos que

eran los Papeles de Pagos al Estado y de impresos de variada índole que con esmero casi había com- A
pletado; una solitaria y humilde casilla restaba por rellenar: la correspondiente a la carrera elegida. No,
no había decidido aún (o al menos así me esforzaba en convencerme en ingenua autosugestión) si me
matricularía en Derecho, para ser abogado, o en Matemáticas, para ser, ¡puf!, ¿qué?, ¿matemático? Por

1 Discurso de José Luis Fernández Pérez en el acto de investidura como doctor honoris causa por la Universidad
de La Laguna, celebrado el 11 de febrero de 2009. NÚMEROS agradece al autor que haya permitido de inmedia-
to la reproducción de su texto, así como al Servicio de Publicaciones de dicha universidad.
2 Departamento de Matemáticas. Universidad Autónoma de Madrid ([email protected]).
3 Ustedes.
4 Así da comienzo el discurso de ingreso de don Benito Pérez Galdós en la Real Academia Española.
5 Como gustaba confesar Guillermo Cabrera Infante: –¿Puedes hablar en serio?–No de cosas tan serias. I’m so-
rry. He nacido para el chiste y la chacota.
6 En su artículo La confabulación del azar, Juan Goytisolo se maravillaba ante la concatenación de eventos aza-
rosos de los que él y su Obra (sí, con mayúsculas) eran fruto, en particular, de aquella carta que milagrosamente
llegó húmeda y casi ilegible tras cruzar el Atlántico para concertar el matrimonio de su abuela cubana con su
abuelo peninsular, o viceversa.

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El seudónimo de Dios
J. L. Fernández Pérez

aquel entonces había desaparecido el llamado selectivo de ciencias, y no se había instaurado aún la
perversa selectividad7, de manera que, casi, se podía elegir la carrera que se deseara.
Desde luego uno sabía, más o menos, a qué se dedica un abogado y cuál es su función social, y
si le quedaban dudas podía consultar con Perry Mason. Pero, ¿un matemático? Ni idea. No les man-
tendré más tiempo sometidos a este angustioso suspense que sé que les está mortificando hasta la de-
sazón; sí, marqué “la cruz de las matemáticas”8, y no, ninguna zarza ardiente en aquellos pasillos des-
veló en aquel momento arrebatadora vocación alguna.
¿Qué inclina a uno a dedicarse a las matemáticas? El
profesor Bermejo, que en el Quisisana de los escolapios se
esmeraba en inculcarnos las requeridas destrezas en Álgebra,
Geometría y Cálculo, nos retaba continuamente con ejerci-
cios y problemas que puntuaba directamente sobre la pizarra
con ristras de más y menos; eficiente evaluación continua
donde las haya. Me preparaba concienzudamente, me entre-

A naba con denuedo, disfrutaba traduciendo a ecuaciones pro-
blemas de paseantes impenitentes, de trenes destinados a

cruzarse a horas intempestivas o de cuadrillas de albañiles

R menesterosos9, y contrastando cómo las soluciones obtenidas
encajaban perfectamente con lo exigido en el enunciado. Se

me daba bien, claro, aún cuando mi habilidad con la manipu-

U
lación numérica concreta rayase, y raye, con la discalculia.

Ese encaje perfecto, esa seguridad deductiva de axio-

T
mas innegables, resultaba, resulta, reconfortante. Ernesto

Sábato, justificaba su dedicación primera a las ciencias físi-

co-matemáticas en que …buscaba en el orden platónico el
R
orden que no encontraba en mi interior… O en el exterior,

añado. Un mundo ideal, paralelo, perfectamente seguro, irre-

futable, indiscutible, inopinable.10
E

P

A

7 Universalmente perversa. Comentario de pasada en un curioso libro: The battle for wine and love or How I
saved the World from Parkerization, de Alice Feiring: The idea of buying a wine –so sensitive a product– be-
cause it had 98 Parker points seemed silly, like going into a profession because the numbers on an aptitude test
say you should.
8 Vaya título para una serie de quinceañeros.
9 En su Compendio de Matemáticas puras y mixtas para instrucción de la juventud de 1794, Francisco Verdejo
propone: Se sabe que 8 hombres en 6 días hacen 200 varas de excavación, se pregunta ¿12 hombres en 5 días
cuánta excavación harán en los mismos términos? Por cierto, más adelante, tras explicar una regla de aritmética
comercial, confiesa: Esta regla tan famosa como inútil llaman regla del día fixo, franqueza derogatoria harto
curiosa pues ese concepto de día fixo no es otro que la llamada duración de Macaulay, que es pieza esencial hoy
en día en la gestión de las carteras con las que las compañías de seguros de vida invierten las primas para cubrir
los compromisos asumidos en las pólizas.
10 Tras un seminario técnico de Matemáticas, las preguntas no discuten lo apropiado del tema o su posible
interés, ni el enfoque ni las premisas del análisis, sino que suelen requerir alguna precisión sobre el argumento o
si es posible alguna determinada generalización o si se puede relajar alguna hipótesis. Imaginen pues el choque
cultural que supuso para uno descubrir la figura del “discussant” habitual en las presentaciones en Economía.

8 Vol. 70 abril de 2009 NNÚÚMMEERROOSS
El seudónimo de Dios
J. L. Fernández Pérez

Así que aún cuando hubo algún elemento de azar en
mi acercamiento a las Matemáticas, mi decisión estaba diri-
gida, en plan diseño inteligente, como dicen algunos, por la
conciencia de cierta habilidad, por la atracción de una selec-
ta apreciación estética, y por un ansia de reconfortante segu-
ridad. Y quizás por cierta predestinación; y si no vean con
qué se entretenía mi abuelo en sus ratos de asueto en las
hojas de lo que ahora llamaríamos control de calidad de la
fábrica de armas de Trubia.
De aquél espléndido y eficiente semestre11 lagunero12 recuerdo con nostalgia un momento de
confirmación gestionando infinitos. Nos habían explicado por qué cualesquiera bases de cualquier
espacio vectorial de dimensión finita tienen todas el mismo número de elementos. De pasada se men-
cionaba que lo mismo ocurría aunque la dimensión fuera infinita. Aquello había que averiguarlo y
entenderlo. Pregunté, me atendieron pacientemente, y arropado con el Course d’Analyse de Laurent
Schwarz y el Naive Set Theory de Paul Halmos disfruté con la elegancia de la argumentación y redacté
a mi gusto y con esmero unas notas, que aún conservo, detallando la demostración. A

P
INFINITO PRESTIDIGITADOR

La Matemática es ciencia extrema –no lo duden– pues trata de objetos abstractos virtuales que E
no existen en la vil, mundana y cenagosa realidad, sino que pertenecen al ámbito más elevado, puro e

inmaculado de las ideas. No les extrañe que casi dogmáticamente, y a estas alturas de la historia del

conocimiento, los matemáticos, en general, se consideren13, o se comporten como si se considerasen, R
epistemológicamente platónicos.

A mí no deja de maravillarme14 cómo es que compartimos nociones tan sumamente abstractas T
como la de esfera perfecta; y es noción aprendida, porque por mucha voluntad y perseverancia con la

que la Naturaleza se esfuerce en crearlas, ¡ay!, no logra más que burdas imitaciones.

U
Claro es que compartimos nociones abstractas varias, pero no son precisas, de límites nítidos

como los abstractos matemáticos y si no les parece que sea así, abramos un debate y arremanguémo-

R
nos dispuestos a discutir sobre la noción de nación.

Nada más abstracto que el infinito. Me refiero al infinito fetén, el infinito actual. ¡Cuán cómo-

dos estamos los matemáticos manejando a discreción el infinito y el proceso de inducción!16 Pero, A

¿quién lo ha visto, quién lo ve?, y lo que es más importante en lo que sigue, ¿quién ha completado la
tarea de numerar infinitos boliches uno tras otro? 17

11 Semestre tan sólo gracias a que el mesiánico ministro de Educación de Carrero Blanco (y antes rector de la
Universidad Autónoma de Madrid) Julio Rodríguez había alumbrado su efímero calendario académico.
12 En que disfruté de las enseñanzas de extraordinarios profesores, entusiastas y capaces de motivar e ilusionar,
como José Méndez, Antonio Martinón, José Montesinos. Pensaba al final del curso en continuar la carrera en la
península. Una casual conversación de pasillo con Martinón me inclinó por la Universidad de Zaragoza. ¡Ay!, el
azar.
13 Para muestra: The Emperor’s New Mind, de Roger Penrose.
14 ¡Cándido que es uno!
15 Incluso circular, querido Larry Zalcman†.
† Véase la nota a pie de página número 15.
17 Cierto, quizás hayamos sentido el aleteo del infinito, de la mano acaso de la angustia de la nada o del vértigo
del vacío, su antagónico compañero, pero ese es otro infinito.

Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas Vol. 70 abril de 2009 9
El seudónimo de Dios
J. L. Fernández Pérez

La cosa viene de largo. Dejemos a un lado al patético Aquiles, el de los pies ligeros, en su in-
fructuosa y eterna persecución de la tortuga en aquella carrera amañada por Zenón y lean cómo San
Agustín se anticipaba a Giuseppe Peano y con casi nada construye los números naturales camino del
infinito:
1. Porque el que dice: sé que estoy vivo, dice que sabe una única cosa.
2. Pero si ahora dice: sé que sé que estoy vivo, ahora ya sabe dos.
3. 4. 5… Pero saber estas dos ya es en sí una tercera cosa que sabe. Y una cuarta, y luego una quinta, y
así sucesivamente.
∞. Pero como no se puede comprender una adición innumerable de cosas, ni decir una cosa
innumerables veces, lo englobamos en un único concepto y decimos que se trata de un número
infinito.
O recuerden a David Hilbert, santo patrón de los técnicos de turismo, capaz de alojar en el aba-
rrotado hotel infinito que dirige a un número infinito de turistas que acaban de descender del pertinen-
te autobús infinito y se agolpan en el mostrador de la recepción. Sin arredrarse, con enérgica autori-
dad, pero suma corrección:

A
¡Atención!, señores clientes, apelo a su solidaridad y les ruego, por favor, que
abandonen la habitación que ahora ocupan, no olviden llevar consigo todas sus

pertenencias, y pasen a la habitación que ostenta el número doble de la que aho-

R ra ocupan: los de la 1 a la 2, los de la 2 a la 4, los de la 3 a la 6, etc.

acomodando así a todos los huéspedes originales (en las habitaciones pares), disponiendo al tiempo de

infinitas habitaciones libres (las impares) para los recién llegados.
U

El infinito matemático se presta a verdaderas exhibiciones de prestidigitación como ésta de la

que da cuenta Zenón, que fue fruto de una agotadora, interminable y recurrente conversación con su
T
amigo, el extenuado Sísifo18, y que debiera ser al menos tan conocida como la de la carrera.19

R En una bucólica tarde de estío, Aquiles –el de los pies ligeros– y la tortuga com-
partían a la sombra de un sicómoro una modesta colación de olivas de Kaláma-

ta, pan reseco y vino de retsina del Ática que Aquiles se había traído en un pelle-

jo. Como marcaba el canon de cortesía, la conversación revoloteó cual perdiz
E
mareada sobre asuntos sin importancia antes de abordar el negocio de la cita,

que no era sino un experimento mental, un reto que la tortuga le iba a proponer

a Aquiles. No se habían olvidado de traer cada uno, como habían acordado por
P
móvil20, sus zurrones eleáticos21. En el zurrón de Aquiles había infinitos boli-

ches numerados de 1 en adelante22, mientras que el zurrón de la tortuga estaba

A completamente vacío, y era, como cualquier zurrón eleático, capaz para infinitos
boliches. El ejercicio consistía en repetir el siguiente doble trasiego: Aquiles sa-
ca dos boliches de su zurrón y los pone en el zurrón de la tortuga y luego la tor-
tuga saca un boliche del suyo y lo pone en el de Aquiles. Cada repetición de este
trasiego incrementa en uno el número de boliches del zurrón de la tortuga. Aqui-
les, el de los pies ligeros, siempre tan competitivo e impaciente, dispuso que los
sucesivos trasiegos se ejecutaran a ritmo eleático23; la tortuga no objetó. Tras
un minuto de trasiegos a ese ritmo, ¡voilà!, el zurrón de la tortuga estaba, ¡ta-
chán!… vacío. Aquiles no daba crédito, y con gesto interrogativo miró a la tor-

18 A Zenón, ¿a quién no?, conversar con mitos le aliviaba el alma y le tranquilizaba las ansias del espíritu.
19 Y de la que tuve noticia a través de Math Chat, de Frank Morgan.
20 En la Grecia Clásica: esclavo mensajero.
21 Zurrones filosóficos fabricados en Elea.
22 ¡Ya entramos en modo matemático!
23 El primer trasiego dura medio minuto, el segundo un cuarto de minuto, el tercero un octavo, así que en un
minuto se completan infinitos trasiegos.

10 Vol. 70 abril de 2009 NNÚÚMMEERROOSS