Numerische Simulation in der Moleküldynamik: Numerik, Algorithmen, Parallelisierung, Anwendungen

492 Pages·2004·21.56 MB·German

by  Prof. Dr. Michael Griebel

Springer-Lehrbuch
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Michael Griebel Stephan Knapek
Gerhard Zumbusch Attila Caglar
Numerische Simulation
in der Moleküldynamik
Numerik, Algorithmen,
Parallelisierung, Anwendungen
i
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Prof. Dr. Michael Griebel Dr. Stephan Knapek
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Prof. Dr. Gerhard Zumbusch Dipl.-Math. Attila Caglar ~
Universität Jena
Institut für Angewandte Mathematik
Ernst-Abbe-Platz 2, 07743 Jena, Deutschland
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Vorwort
Durch die stürmische Entwicklung paralleler Rechensysteme ist es möglich
geworden, physikalische Vorgänge auf Rechnern nachzustellen und vorher
zusagen. So werden Experimente mittlerweile durch Simulationsrechnungen
ergänzt und schrittweise ersetzt. Darüber hinaus bietet die Simulation auch
die Möglichkeit, Prozesse zu studieren, die nicht im Experiment untersucht
werden können. Daneben wird die Entwicklung neuer Produkte durch das
Umgehen aufwendiger physikalischer Experimente beschleunigt. Auch kann
die Qualität der Produkte durch die Untersuchung bisher nicht zugänglicher
Phänomene verbessert werden. Die numerische Simulation spielt daher insbe
sondere bei der Entwicklung neuer Stoffe in den Materialwissenschaften sowie
in der Biotechnologie und der Nanotechnologie eine entscheidende Rolle.
Viele interessante Prozesse können nicht mehr nur auf kontinuierlicher
Ebene beschrieben und verstanden werden, sondern müssen letztendlich auf
molekularer und atomarer Ebene betrachtet werden. Die numerische Simu
lation auf dieser Größenskala geschieht durch Partikelverfahren und Mo
leküldynamik-Methoden. Die Einsatzmöglichkeiten und Anwendungsgebiete
dieser numerischen Techniken reichen von der Physik, Biologie und Chemie
bis hin zur modernen Materialwissenschaft.
Das grundlegende mathematische Modell ist dabei das zweite Newton
sche Gesetz, ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter
Ordnung. Es gibt die Abhängigkeit der Beschleunigung der Partikel von der
auf sie wirkenden Kraft an. Die Kraft auf ein Partikel resultiert dabei aus der
Interaktion mit den anderen Partikeln. Dieses System gilt es, numerisch effi
zient zu approximieren. Nach einer geeigneten Diskretisierung der Zeitablei
tung sind dazu in jedem Zeitschritt die Kräfte auf alle Partikel zu berechnen.
Abhängig von den verwendeten kurz- oder langreichweitigen Kraftfeldern
und Potentialen existieren dazu verschiedene schnelle und speichereffizien
te numerische Verfahren. Hier sind die Linked-Cell-Methode zu nennen, die
Partikel-Mesh-Methode, die p3M-Methode und deren Varianten, sowie diver
se Baumverfahren, wie der Barnes-Hut-Algorithmus oder die schnelle Mul
tipolmethode. Durch eine parallele Implementierung auf modernen Super
computern läßt sich eine substantielle Rechenzeitverkürzung erzielen. Dieses
Vorgehen ist insbesondere dann zwingend nötig, wenn aufgrund der jeweiligen
Problemstellung sehr große Teilchenzahlen und lange Simulationszeiten erfor-
VI Vorwort
derlich sind. Die erwähnten numerischen Methoden werden bereits in einer
Vielzahl von Implementierungen von Physikern, Chemikern und Material
wissenschaftlern mit großem Erfolg eingesetzt. Ohne tieferes Verständnis der
konkret verwendeten numerischen Verfahren lassen sich jedoch Änderungen
und Modifikationen sowie eine Parallelisierung der vorhandenen Programme
nur schwer bewerkstelligen.
Vor diesem Hintergrund veranstalten wir in der Abteilung Wissenschaft
liches Rechnen und Numerische Simulation am Institut für Angewandte Ma
thematik der Universität Bonn seit einiger Zeit das Praktikum "Partikel
methoden und Moleküldynamik" , in dem die Studierenden die wesentlichen
Schritte der numerischen Simulation in der Moleküldynamik für kurz- und
langreichweitige Kraftfelder kennenlernen. Dieses Praktikum wird jeweils im
Wintersemester in Bonn angeboten und bildet die Grundlage für das vorlie
gende Buch.
Ziel des Buches ist es, in kompakter Form die notwendigen numerischen
Techniken der Moleküldynamik darzustellen, den Leser in die Lage zu ver
setzen, selbst ein Moleküldynamik-Programm in der Programmiersprache C
zu schreiben, dieses auf parallelen Rechensystemen mit verteiltem Speicher
mit MPI zu implementieren und ihn durch die Präsentation diverser Simu
lationsergebnisse zu motivieren, eigene weitere Experimente durchzuführen.
Dazu geben wir in allen Kapiteln neben der Beschreibung der jeweiligen Al
gorithmen konkrete Hinweise zur Umsetzung auf modernen Rechnern. Einige
Programme und Informationen zum Buch sind auch im Internet bereitge
stellt. Näheres und aktuelle Informationen findet man auf der Webseite
http://www.ins.uni-bonn.de/info/md.
Nach einer kurzen Einführung in die numerische Simulation in Kapitell
wird in Kapitel 2 die klassische Moleküldynamik von Partikelsystemen aus der
Quantenmechanik hergeleitet. In Kapitel 3 werden die Grundbausteine von
Moleküldynamik-Verfahren für kurzreichweitige Potentiale und Kraftfelder
eingeführt (Linked-Cell-Implementierung, Verlet-Integrator) und ein erster
Satz von Anwendungsbeispielen präsentiert. Die Berücksichtigung der Tem
peratur geschieht dabei mittels statistischer Mechanik im NVT-Ensemble.
Zudem wird das Parrinello-Rahman-Verfahren für das NPT-Ensemble be
sprochen. Anschließend diskutieren wir in Kapitel 4 die parallele Implemen
tierung des Linked-Cell-Verfahrens im Detail und geben eine Reihe weiterer
Anwendungsbeispiele. In Kapitel 5 erweitern wir unser Verfahren auf mole
kulare Systeme und kompliziertere Potentiale. Zudem geben wir in Kapitel 6
einen Überblick über Zeitintegrationsverfahren.
Verschiedene numerische Methoden für die effiziente Berechnung lang
reichweitiger Kraftfelder werden in den folgenden Kapiteln 7 und 8 diskutiert.
Bei der p3M-Methode werden langreichweitige Potentiale auf einem Git
ter approximiert. Damit lassen sich weitere Anwendungsbeispiele studieren,
Vorwort VII
die insbesondere Coulomb-Kräfte oder, auf einer anderen Größenskala, auch
Gravitations-Kräfte enthalten. Es wird sowohl die sequentielle wie auch die
parallele Implementierung der SPME-Technik besprochen, einer Variante der
p:3M-Methode. Im daran anschließenden Kapitel 8 werden Baumverfahren
eingeführt und diskutiert. Hier liegt der Schwerpunkt auf dem Barnes-Hut
Verfahren, seiner Erweiterung auf höhere Ordnung und auf einem Verfahren
aus der Familie der schnellen Multipol-Methoden. Dabei werden sowohl eine
sequentielle wie auch eine parallele Implementierung mittels raumfüllender
Kurven vorgestellt. Weiterhin werden in Kapitel 9 Anwendungsbeispiele aus
der Biochemie gezeigt, die eine Kombination der bisher vorgestellten Verfah
ren erfordern.
Wir bedanken uns beim Sonderforschungsbereich 611 "Singuläre Phäno
mene und Skalierung in mathematischen Modellen" an der Universität Bonn
für die Unterstützung, bei Barbara Hellriegel und Sebastian Reich für wert
volle Hinweise, bei unseren Kollegen und Mitarbeitern Marcel Arndt, Tho
mas Gerstner, Jan Hamaekers, Lukas Jager, Marc Alexander Schweitzer und
Ralf Wildenhues für zahlreiche Diskussionen, ihre Unterstützung bei der Ent
wicklung des Praktikums und der Implementierung der damit verbundenen
Algorithmen sowie für die Programmierung und Berechnung verschiedener
Modellprobleme und Anwendungen. Insbesondere ohne die tatkräftige Hilfe
von Alex, Jan, Lukas, Marcel, Ralf und Thomas wäre dieses Buch nicht in
dieser Form zu Ende gebracht worden.
In tiefer Trauer gedenken wir unseres geschätzten Kollegen, Freundes und
Koautors Attila Caglar, der die Fertigstellung dieses Buches nicht mehr erle
ben konnte.
Bonn, Michael Griebel
Juni 2003 Stephan K napek
Gerhard Zumbusch

Inhaltsverzeichnis
1 Computersimulation - eine Schlüsseltechnologie . . . . . . . . . . 1
2 Von der Schrödingergleichung zur Moleküldynamik . . . . . .. 17
2.1 Die Schrödingergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18
2.2 Eine Herleitung der klassischen Moleküldynamik ........... 21
2.2.1 TDSCF-Ansatz und Ehrenfest-Moleküldynamik . . . . .. 21
2.2.2 Entwicklung in adiabatischer Basis ................. 25
2.2.3 Beschränkung auf den Grundzustand ............... 26
2.2.4 Approximation der Potentialenergie-Hyperfläche. . . . .. 27
2.3 Ein Ausblick auf ab initio Moleküldynamik-Verfahren. . . . . .. 31
3 Das Linked-Cell-Verfahren für kurzreichweitige Potentiale 39
3.1 Die Zeitdiskretisierung - das Störmer-Verlet-Verfahren. . . . .. 42
3.2 Implementierung des Basisalgorithmus .................... 49
3.3 Der Abschneideradius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 56
3.4 Das Linked-Cell-Verfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 59
3.5 Implementierung der Linked-Cell-Methode. . . . . . . . . . . . . . . .. 61
3.6 Erste Anwendungsbeispiele und Erweiterungen. . . . . . . . . . . .. 69
3.6.1 Zusammenstoß zweier Körper I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69
3.6.2 Zusammenstoß zweier Körper II . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 72
3.6.3 Dichteunterschied ................................ 76
3.6.4 Rayleigh-Taylor-Instabilität. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 77
3.6.5 Rayleigh-Benard-Strömung................ ........ 83
3.6.6 Oberflächenwellen in granularen Materialien. . . . . . . .. 87
3.7 Thermostate, Ensembles und Anwendungen. . . . . . . . . . . . . . .. 91
3.7.1 Thermostate und Equilibrierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 92
3.7.2 Statistische Mechanik und thermodynamische Größen. 98
3.7.3 Phasenübergang von Argon im NVT-Ensemble ....... 102
3.7.4 Das Parrinello-Rahman-Verfahren .................. 110
3.7.5 Phasenübergang von Argon im NPT-Ensemble ....... 114
4 Parallelisierung ..................................... .. ... . 119
4.1 Parallelrechner und Parallelisierungsstrategien ............. 119
4.2 Gebietszerlegung für die Linked-Cell-Methode .............. 128
4.3 Implementierung ........ ............................... 134