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INTERNATIONAL SERIES OF NUMERICAL MATHEMATICS
INTERNATIONALE SCHRIFTENREIHE ZUR NUMERISCHEN MATHEMATIK
SERIE INTERNATIONALE D'ANALYSE NUMERIQUE
Editors:
Ch. Blanc, Lausanne; A. Ghizzetti, Roma; P. Henrici, Zürich; A. Ostrowski, Montagnola;
J. Todd, Pasadena; A. van Wijngaarden, Amsterdam
VOL. 31
Numerische Behandlung
von
Differentialgleichungen
Band2
Tagung am Mathematischen Forschungsinstitut Oberwolfach
vom 17. bis 22. November 1975
über «Numerische Behandlung von Differentialgleichungen,
insbesondere mit der Methode der finiten Elemente»
Herausgegeben von: J. ALBRECHT, CLAUSTHAL, und L. COLLATZ, Harnburg
1976
SPRINGER BASEL AG
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutsehen Bibliothek
Numerische Behandlung von Dilferentialgleichungen.
Bd. 2. Tagung am Mathematischen Forschungsinstitut Oberwolfach vom 17. bis
22.November 1975 über <<Numerische Behandlung von Dilferentialgleichungen, insbesondere
mit der Methode der Finiten Elemente»/hrsg. von: J. Albrecht u. L. Collatz. - 1976.
(International series of numerical mathematics; Vol. 31)
ISBN 978-3-7643-0853-7 ISBN 978-3-0348-5328-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-5328-6
NE: Albrecht, Julius [Hrsg.]; Tagung über Numerische Behandlung von Dilferential
gleichungen, insbesondere mit der Methode der Finiten Elemente <1975, Oberwolfach>
Nachdruck verboten
Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen und der Reproduktion
auf photostatischem Wege oder durch Mikrofilm, vorbehalten.
© SpringerBaselAG 1976
Ursprünglich erschienen bei Birkbäuser Verlag Basel, 1976
ISBN 978-3-7643-0853-7
Vorwort
Vom 16. 11. bis 22.11. 1975 fand im Mathematischen Forschungsinstitut Ober
wolfach eine Tagung über «Numerische Behandlung von Differentialglei
chungen unter besonderer Berücksichtigung der Methode der Finiten Ele
mente» statt, die von ungefähr 50 Personen, darunter auch zahlreichen
Vertretern des Auslandes, besucht war. In den Vorträgen wurde versucht,
einen Überblick über den derzeitigen Stand der Forschung zu vermitteln;
einen beträchtlichen Anteil am Tagungsprogramm hatten dabei naturgemäß
Diskretisierungsverfahren flir Anfangs- und Randwertaufgaben mit gewöhn
lichen und partiellen Differentialgleichungen, und hierbei wiederum die in
neuerer Zeit entwickelte Methode der finiten Elemente, die wegen der vielen
Anwendungen, vor allem auf ingenieurwissenschaftliche Probleme, auch von
seiten der Mathematiker besondere Beachtung verdient. Hierzu wurden in
erster Linie Konvergenz- und Stabilitätsfragen und die Aufstellung nume
risch brauchbarer Fehlerschranken behandelt. Spezielles Interesse fanden
Vorträge über Themen aus den in der Praxis vorkommenden Anwendungen;
hierdurch wurde versucht, wiederum Beiträge zu stärkeren Kontakten zwi
schen Theorie und Anwendungen zu geben.
Unser besonderer Dank gebührt dem Direktor des Mathematischen For
schungsinstituts, Herrn Prof. Dr. M. Barner, seinen Mitarbeitern und dem
Birkhäuser Ve rlag.
L. COLLATZ, J. ALBRECHT
Inhaltsverzeichnis
W.-J.BEYN:
Das Parallelenverfahren für Operatorgleichungen und seine Anwen-
dung auf nichtlineare Randwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
H.v.DEIN:
Konvergenzbedingungen bei der numerischen Lösung nichtlinearer
Anfangswertaufgaben mittels Differenzenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
U. ECKHARDT:
Incorrectly posed problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
R.B. GUENTHER:
Some mathematical problems in agriculture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
W. HoFMANN und H. Voss:
Shooting V erfahren für nichtlineare Eigenwertprobleme . . . . . . . . . . . . . 79
G.JOUBERT:
Explicit difference methods for the solution of the equation of a vibrat-
ing rod....................................................... 91
H.KRETH:
Ein Zwischenschrittverfahren für halblineare Anfangswertaufgaben . . . 105
P. LANCASTER and D.S. WATKINS:
Interpolation in the plane and reetangular finite elements . . . . . . . . . . . . 125
R. MEYER-SPASCHE:
Numerical treatment ofDirichlet problems with several solutions . . . . . . 147
J. J. H. MILLER:
Construction of a fern for a singulary perturbed * problern in 2 dimen-
sions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
A.R. MITCHEL:
Finite element methods in conduction-convection problems . . . . . . . . . . 171
0.0STERBY:
Sor with non-property a matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
A. SACHS:
Numerische Simulation von Diffusionsprozessen.................... 191
H.-R. SCHWARZ:
Praktische Erfahrungen mit Varianten der Koordinatenüberrelaxation
zur Lösung von Eigenwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
H. M. van ScHIEVEEN:
A projection method for two-point boundary value problems . . . . . . . . . 223
K. TAUBERT:
Zusammenhänge zwischen Eindeutigkeitssätzen und Näherungsver
fahren für gewöhnliche Anfangswertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
P. VACHENAUER:
Über die Konsistenz bei abstrakten Mehrschrittverfahren 241
W. WETTERLING:
Einschließung von Singularitätsfaktoren bei Randwertaufgaben . . . . . . . 251
J. R. WHITEMAN:
Finite element methods for midly nonlinear elliptic equations and
Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
J. ALBRECHT:
Zur optimalen Wahl der Norm beim Iterationsverfahren für Rand
wertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
ISNM 31 Birkhäuser Verlag, Basel und Stuttgart, 1976 9
DAS PARALLELENVERFAHREN FUR OPERATORGLEICHUNGEN
UND SEINE ANWENDUNG AUF NICHTLINEARE RANDWERTAUFGABEN
Wolf-Jürgen Beyn
In this paper we consider the numerical solution of
operator equations of ~he form Ax = Fx, where XE:Z, Az i. s a
linear and F (in general) a nonlinear operator on
Using the contraction mapping theorem in a space Z with
a generalized distance we get convergence results and
~
error estimates for the parallel chord method.
Basically we assume a Lipschitz condition for F and
inverse isotonicity for A. Finally we apply the general
results to discrete analogues of nonlinear boundary
value problems and we give several numerical exampleso
Wir betrachten Operatorgleichungen der Form
( 1 ) Ax = Fx, x e. D( A) c. Z
o
Hierbei sei Z ein reeller Vektorraum, sei ein
F:z~z
(i.ao nichtlinearer) Operator auf Z, und es gelte AE.L0[~ o
[z]
Dabei sei L die Menge der linearen Operatoren S
0
mit linearem Definitionsbereich D(B) in Z und Wertebe
reich in z. Ferner sei
L(z) = {BE.L (z): D(B) = Z} •
0
Wir untersuchen, unter welchen Voraussetzungen an A und F
s:j..ch ein geeigneter Operator AE. L[z] finden läßt, so
daß das Parallelenverfahren
eine Folge{xn}liefert, die gegen eine Lösung von (1)
konvergiert.
BEYN
10
Wählt man den Operator J\ im PAV speziell, so erhält man
bekannte Iterationsverfahren:
./\. = 0 ergibt die direkte oder Picard-Iteration [1 ,4,8)
und./\..= F1(x0) das vereinfachte Newton-Verfahren [8,18].
In zahlreichen speziellen Situationen ist das PAV in
der Literatur behandelt worden,
für nichtlineare Randwertaufgaben u.a. in [1,21,22,2~
für endlichdimensionale Gleichungssysteme, insbesondere
Diskretisierungen von nichtlinearen Randwertaufgaben
in [11,12,13,18],
für Integral- oder allgemeiner Operatorgleichungen vom
Hammersteinsehen Typ in [4,10,14]
und übertragen auf Operatorgleichungen der Form
Tx = 0, xe.Z, T ein Operator auf Z, in [ 15, 18,25] •
In einigen Fällen, in denen der Kontraktionssatz auf das
PAV angewandt wird, beinhalten die Voraussetzungen neben
Lipschitzbedingungen an F Symmetrie- und Spektraleigen
schaften von A (siehe [10,11,14,18]) oder Inversmonotonie
bedingungen an A (siehe [11 ,12,22,23] ).
Wir geben in dieserArbeit einen allgemeinen Konvergenz
satz für das PAV an, wobei wir uns auf den Kontraktions
satz in Abstandsräumen stützen (vgl. [4]).
Dabei zeigt sich, daß die oben zitierten Konvergenzbedin
gungen für das PAV sich auf eine gemeinsame Wurzel zurück
führen lassen und daß sich überdies Gleichungen der Form
(1) mit einseitig lipschitzbeschränkten Operatoren F er
fassen lassen.
Im Abschnitt 2. erhalten wir außerdem lokale und globale
Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen für die Gleichung (1).
Wir geben eine Fehlerabschätzung für die Folge {xn} an
BEYN 11
und vergleichen die Konvergenzgeschwindigkeiten des PAV
für verschiedene Operatoren ./\. (siehe 2. Satz 3).
In 3. und 4. werden die Resultate von 2. in normierten und
halbgeordneten Vektorräumen diskutiert, auf denen jeweils
in kanonischer Weise ein Abstand gegeben ist.
In 5. wenden wir die Ergebnisse des 4. Abschnitts auf
nichtlineare gewöhnliche Randwertaufgaben an. Über die Re
sultate in [16,22,23] hinaus zeigt sich u.a., daß die I.ös
barkeit nichtlinearer Sturm-Liouvillescher Randwertaufga
ben mit einseitig lipschitzbeschränkten Nichtlinearitäten
allein aus der Kontraktion des Parallelenverfahrens folgt.
Der Abschnitt 6. ist der I.ösung nichtlinearer Gleichungs
systeme gewidmet, für die wir eine etwas speziellere Ge
stalt als (1) annehmen, wie sie bei der Anwendung von Dif
ferenzenverfahren auf nichtlineare Randwertaufgaben oft
auftritt. In den Ergebnissen sind u.a. Resultate aus
[11,12] enthalten, und es wird die Beziehung zu dem Fall
aufgezeigt, daß das PAV zwei die I.ösung von (1) monoton
einschließende Folgen liefert ([13,18]).
Einige numerische Beispiele zeigen die Anwendbarkeit des
PAV auf Diskretisierungen nichtlinearer Randwertaufgaben,
insbesondere solchen, bei denen Differenzenformeln höherer
Ordnung oder Mehrstellenformeln benutzt wurden.
Diese Arbeit enthält Teile meiner Dissertation [2] an der
an der Universität Münster.
Ich bin Herrn Prof. Dr. E. Bohl für zahlreiche Anregungen
und die stete Diskussion über den Gegenstand dieser Arbeit
zu Dank verpflichtet.
1. Das Kontraktionsprinzip in Abstandsräumen
Für die in diesem Abschnitt verwendeten Begriffsbildungen
sei auf [4] verwiesen.
(X,~) sei im folgenden ein halbgeordneter, archimedischer
