Numerische Behandlung mechanischer Probleme mit BASIC-Programmen

194 Pages·1985·2.722 MB·German

by  Dr. rer. nat. Hans Heinrich Gloistehn (auth.)

Teubner Studienbucher
Mechanik
Becker: Technische Striimungslehre. 5. Aufl. OM 22,80
Becker: Technische Thermodynamik. OM 28,80
Becker/Burger: Kontinuumsmechanik. OM 34,-(LAMM)
Becker/Piltz: Obungen zur Technischen Striimungslehre. 3. Aufl. OM 19,80
Bishop: Schwingungen in Natur und Technik. OM 23,80
B6hme: Striimungsmechanik nicht-newtonscher Fluide. OM 34,-(LAMM)
Hahn: Bruchmechanik. OM 34,- (LAMM)
Magnus: Schwingungen. 3. Aufl. OM 29,80 (LAMM)
Magnus/Muller: Grundlagen der Technischen Mechanik. 4. Aufl. OM 32,-(LAMM)
Muller/Magnus: Obungen zur Technischen Mechanik. 2. Aufl. OM 32,-(LAMM)
Wieghardt: Theoretische Striimungslehre. 2. Auf!. OM 28,80 (LAMM)
Mathematik
Ahlswede/Wegener: Suchprobleme. OM 29,80
Aigner: Graphentheorie. OM 29,80
Ansorge: Differenzenapproximationen partieller Anfangswertaufgaben. DM 29,80 (LAMM)
Behnen/Neuhaus: Grundkurs Stochastik. DM 36,-
Bohl: Finite Modelle gewiihnlicher Randwertaufgaben. DM 29,80 (LAMM)
Bohmer: Spline-Funktionen. DM 32,-
Brocker: Analysis in mehreren Variablen. DM 32,80
Bunse/Bunse-Gerstner: Numerische Lineare Algebra 314 Seiten. DM 34,
Clegg: Variationsrechnung. DM 18,80
v. Collani: Optimale Wareneingangskontrolle. DM 29,80
Collatz: Differentialgleichungen. 6. Aufl. DM 32,-(LAMM)
Collatz/Krabs: Approximationstheorie. DM 28,-
Constantinescu: Distributionen und ihre Anwendung in der Physik. DM 21,80
Dinges/Rost: Prinzipien der Stochastik. DM 34,-
Fischer/Sacher: Einflihrung in die Algebra. 3. Aufl. DM 22,80
Floret: MaB- und Integrationstheorie. DM 32,-
Grigorieff: Numerik gewiihnlicher Dilferentialgleichungen Band 2: DM 32,80
Hainzl: Mathematik fiir Naturwissenschaftler. 4. Auf!. DM 34,- (LAMM)
Hassig: Graphentheoretische Methoden des Operations Research. DM 26,80 (LAMM)
Hettich/Zenke: Numerische Methoden der Approximation und semi-infinitiven
Optimlerung. OM 24,80
Hilbert: Grundlagen der Gpo ,,,·r:r: ., '\u
Fortsetzung auf der 3. Umschlagsei.
Numerische Behandlung
mechanischer Probleme
mit BASIC-Programmen
Von Dr. rer. nat. Hans Heinrich Gloistehn
Professor an der Fachhochschule Hamburg
Mit 74 Abbildungen und 58 Beispielen
B. G. Teubner Stuttgart 1985
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Gloistehn, Hans Heinrich:
Numerische Behandlung mechanischer Probleme mit
BASIC-Programmen / von Hans Heinrich Gloistehn. -
Stuttgart: Teubner, 1985.
ISBN 978-3-519-02959-5 ISBN 978-3-322-92741-5 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-92741-5
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© B. G. Teubner, Stuttgart 1985
Gesamtherstellung: Beltz Offsetdruck, Hemsbach/BergstraBe
Umschlaggestaltung: W. Koch, Sindelfingen
VORWORT
In den Grundvorlesungen uber Technische Mechanik werden aus didaktischen
Grunden vorwiegend solche Probleme behandelt, die in die Denkweise die
ses Gebiets einfuhren und ohne allzu groBe mathematische und rechneri
sche Schwierigkeiten zu losen sind. Diese Vorgehensweise ist richtig,
denn der Student soll in den ersten Semestern nicht durch aufwendige und
komplizierte Berechnungsverfahren von den wesentlichen Prinzipien der
Mechanik abgelenkt werden. Nachdem die Grundbegriffe sicher erarbeitet
worden sind, kann man dazu ubergehen, auch numerisch schwierigere oder
zumindest aufwendigere Probleme der Mechanik zu behandeln. Dabei treten
seltener Schwierigkeiten im mechanischen Verstandnis auf, sondern viel
mehr in der mathematischen Formulierung der Probleme und deren Losung
bis zum numerischen Endergebnis. Ziel dieses Buches ist es, diese oft
mals vorhandene Lucke zwischen Grundwissen und numerischer Durchfuhrung
einer konkreten Aufgabe zu schlieBen.
Das vorliegende Buch soIl also in das umfangreiche Gebiet der numeri
schen Methoden einfuhren. Hier gibt es prinzipiell zwei Moglichkeiten
der Darstellung. Man kann numerische Methoden (wie z.B. Differenzenver
fahren, Newtonsches Verfahren usw.) beschreiben und diese dann auf spe
zielle mechanische Aufgaben anwenden. Die andere Art der Darstellung
geht von der mechanischen Problemstellung aus und entwickelt hierfur
eine numerische Methode. Der erste Weg wird im allgemeinen starker von
einem Mathematiker bevorzugt, wahrend der Ingenieur wohl lieber den
zweiten Weg wahlen wird. Ich habe mich in diesem Buch fur die zweite
Darstellungsart entschlossen. Diese mehr induktive Vorgehensweise kostet
zwar etwas mehr Zeit, erfaBt aber die Besonderheiten einer mechanischen
Aufgabe besser, d.h. die numerische Methode ist dem jeweiligen Problem
besser angepaBt.
In diesem Buch wurden solche Probleme ausgewahlt, die der Stud~nt in den
Anfangsvorlesungen fur Sonderfalle bereits kennengelernt hat. Die behan
delten Probleme werden mathematisch aufbereitet und nach einem ausgewahl
ten und beschriebenen Algorithmus gelost. DaB dabei vor einem program
mierbaren Rechner nicht mehr haltgemacht werden darf, durfte heute
selbstverstandlich sein. Jedes beschriebene numerische Verfahren mundet
daher in ein Programm, mit dem Aufgaben gelost werden konnen, ohne daB
von uns der oft erhebliche Rechenaufwand zu leisten ist. Selbstverstand
lich sollen die Programme so angelegt sein, daB jede nur erdenkliche Re
chenarbeit dem Computer ubertragen werden kann. So soll z.B. bei der An
wendung des Differenzenverfahrens nicht von uns das lineare Gleichungs-
4
system aufgestellt und dann durchEingabe der einzelnen Elemente der
Matrix nach einem mat~ematisch numerischen Verfahren gelost werden, son
dern der Rechner 5011 selbst diese Gleichungen aufstellen und danach 10-
sen. Wir werden dieses an vielen numerischen Beispielen demonstrieren.
AIle entwickelten BASIC-Programme werden vollstandig aufgelistet fOr den
programmierbaren Taschenrechner SHARP PC-1500 (in Verbindung mit einem
Drucker) angegeben. Die Entscheidung fOr diesen weitverbreiteten Rechner
wurde getroffen, um dem Studenten auch zu Hause die Moglichkeit zu geben,
mit dies en Programmen zu arbeiten. Es dOrfte aber keinem Leser schwer
fallen, die BASIC-Programme auf den Rechner umzuschreiben, mit dem er
arbeitet. Bis auf einige Besonderheiten ist der Befehlsvorrat in BASIC
fOr aIle Rechner gleich. Zudem werden fOr bestimmte Aufgabentypen Struk
togramme angegeben, nach denen der Leser sein eigenes Programm entwickeln
kann.
Die in diesem Buch entwickelten Programme sind zwar an vielen Beispielen
getestet worden, trotzdem konnen natOrlich in einem Programm noch Fehler
enthalten sein. FOr Hinweise auf fehlerhafte Programme werde ich dem
Leser dankbar sein.
Oem Verlag B. G. Teubner danke ich an dieser Stelle fOr die angenehme und
problemlose Zusammenarbeit bei der Herstellung dieses Buches.
Hamburg, im Juni 1985 H.H. Gloistehn
5
INHALT
1 EBENE FACHWERKE 7
1.1 Voraussetzungen und Geometrie des Fachwerks 7
1.2 Knotenpunktverfahren fur einfache Fachwerke 8
1.3 Stabaustauschverfahren nach Henneberg 19
1.4 Einfach statisch unbestimmt gelagertes Fachwerk 24
1.5 Einfach statisch unbestimmtes Fachwerk 30
1.6 Sonderfalle 35
2 BIEGUNG GERAOER BALKEN 39
2.1 EinfOhrung in das Reduktionsverfahren 40
2.2 Einfeldtrager 43
2.3 Statisch bestimmter Gerbertrager 57
2.4 Zweifeldtrager 65
2.4.1 Elastisch gestOtzter Zweifeldtrager 65
2.4.2 Zweifeldtrager mit StOtzensenkung 76
2.5 Ourchlauftrager 83
2.5.1 Ourchlauftrager auf starren Auflagern mit StOtzen-
senkungen 83
2.5.2 Ourchlauftrager auf elastischen StOtzen 86
2.5.3 Programm fOr den Ourchlauftrager 89
2.6 Elastisch gebetteter Trager 96
2.7 Trager mit veranderlichem Querschnitt 106
3 EINFACHE EBENE STABTRAGWERKE 115
3.1 Statisch bestimmt.s Hangewerk 115
3.2 Einfach statisch unbestimmtes Hangewerk 120
3.3 Mehrfach statisch unbestimmtes Stabwerk 126
3.4 Langerscher Balken 132
3.5 Einfacher offener Rahmen 139
4 STABILITATSPROBLEME 151
4.1 Der durch Einzelkrafte beanspruchte Einfeldstab mit feld-
weise konstanter Biegesteifigkeit 151
4.2 Knickstab mit veranderlichem Querschnitt 162
4.3 Knicken eines Ourchlauftragers 171
4.4 Biegekritische Drehzahlen einer Welle 178
LITERATURVERZEICHNIS 190
SACHVERZEICHNIS 192
6
Formelzeichen
A Fliicheninhalt
drehelastische Federkonstante
wegelastische Federkonstante
Durchmesser
Elastizitiitsmodul
Kraft
Liingskraft
Knickkraft
Querkraft
Verschiebungs eines Knotenpunktes am Fachwerk
Fliichentriigheitsmoment
Bezugszahlen fur Fliichentriigheitsmomente (Ii/Io)
Masse
M Moment, Biegemoment
kritische Drehzahl
Belastungsintensitiit, Streckenlast
u,v,w Verschiebungen, Verformungen
Obertragungsmatrizen
Widerstandsmoment
X,Y,z Koordinaten
z Zustandsvektor
ex j k Einflul3zahlen
vK Knicksicherheit
w Winkelgeschwindigkeit
cp Winkel, Neigungswinkel der Biegelinie
(J Normalspannung
T Integrationsvariable
p Dichte
ARB Anfangsrandbedingung
ERB Endrandbedingung
7
1 EBENE FACHWERKE
1.1 Voraussetzungen und Geometrie des Fachwerks
Ein Fachwerk besteht aus geraden Stlben, die in den Knotenpunkten gel en
kig miteinander verbunden sind. Wir setzen voraus, daB ein solches Fach
werk nur in den Knotenpunkten durch luBere Krlfte belastet wird (s.Abb.
1.1). Unter diesen idealen Voraussetzungen treten im Innern des Fach
werks nur Krlfte in Richtung der einzelnen Stlbe auf. Diese Stabkrlfte,
die Auflagerkrlfte und die Verschiebung eines beliebigen Knotens unter
dem EinfluB der luBeren Belastung solI en moglichst rationell berechnet
werden.
Die Knotenpunkte numerieren wir in spater noch genau festzulegender Rei
henfolge von 1=1 bis l=k (in der Abbildung durch Klammern eingeschlos
sen) und die Stabe von i=l bis i=s.
Die Geometrie des Fachwerks wird festgelegt durch die Koordinaten
xl' Yl (1=1,2, ... ,k) der Knotenpunkte und durch die Angabe der
Nummern goi und gli der Knoten, die durch den Stab mit der Nummer
i verbunden sind.
So gehoren z.B. zum Fachwerk der Abb.l.l zum Stab i=8 die Knotenpunkte
gD8=4 und g18=6. Die gesamte Geometrie des Fachwerks konnen wir auf
diese Weise durch die Matrix
( 1.1) (j=D,l; i=1,2, ... ,s)
beschreiben. FOr das Fachwerk der Abb.l.l lautet diese Matrix
50 kN
;t------~----~~------~----~~~------~~------~~
I
I~ 40 kN
130 I
I 1... . ____ 3 ----OI.j.. ..- --- 3 4m
L .
Abb.l.l: Einfaches ebenes Fachwerk
8 1 Ebene Fachwerke
G 1 2 2 3 3 4 4 5 5 :)
(1.1' ) ~=
3 3 4 4 5 5 6 6 7
lwei in einer Spalte stehende Elemente, also goi und gli' dOrfen ver-
tauscht werden. Hierdurch wird die Geometrie des Fachwerks nicht gean-
dert.
Die auBere Belastung in den Knotenpunkten geben wir durch
(1. 2) (1=1,2, ... ,k)
an, wobei fOr die Komponenten der Kraft ~ldie Vorzeichenfestsetzung zu
beachten ist.
1.2 Knotenpunktverfahren fOr einfache Fachwerke
Wir setzen voraus, daB das Fachwerk im Knoten k1 durch ein festes Ge
lenklager (A) und im Knoten k2 durch ein Rollenlager (B) gestOtzt wird
und innerlich statisch bestimmt ist. Dann gilt
(1. 3) s=2k-3 .
Das Rollenlager kann durch eine PendelstOtze ersetzt werden und umge-
kehrt:
~
"
"
.<.'\'t ___. ..
Hierbei ist allerdings zu beachten, daB wir zwar in beiden Fallen die
selben Stabkrafte erhalten, die Verschiebungen der Knotenpunkte aber
unterschiedlich werden, sofern die Dehnsteifigkeit EA der PendelstOtze
nicht "unendlich" wird. (Sehen Sie hierzu auch das Beispiel we iter
unten.)
Wir berechnen zunachst die Auflagerkrafte aus den Gleichgewichtsbedin
gungen am gesamten Fachwerk. Danach gehen wir von Knotenpunkt zu Kno
tenpunkt und berechnen aus der statischen Gleichgewichtsbedingung fOr
Krafte am Punkt zwei unbekannte Stabkrafte. 1st diese Vorgehensweise
fOr das gesamte Fachwerk m6g1ich, so spricht man von einem einfachen
Fachwerk. Das numerische Verfahren nennt man das Knotenpunktverfahren.
(DaB es auch nicht-einfache Fachwerke gibt und wie man solche FaIle be
handeln kann, wird in Abschn.1.3 gezeigt.)
Die Knotenpunkte numerieren wir in aufsteigender Reihenfolge von 1 bis
k derart, daB wir beim Durchlaufen in dieser Reihenfolge an jedem Kno
ten h6chstens zwei unbekannte Stabkrafte antreffen. Die Stabe werden
1.2 Knotenpunktverfahren fur einfache Fachwerke 9
so numeriert, da~ an jedem Knoten in aufsteigender Fo1ge die Stabe mit
unbekannten Stabkraften die nachsten Nummern erha1ten.
Nach diesen Vorbemerkungen entwicke1n wir die A1gorithmen zur Berech
nung der Auf1agerkrafte, der Stabkrafte und der Verschiebung eines Kno-
f
tenpunktes.
~12..~
Y1 : ___________
, Fx1 I
I
i~---
Abb.1.2: Berechnung der Auf1agerkrafte
Zur Berechnung der Auf1agerkraft FB im Ro11en1ager (B) bi1den wir das
Momenteng1eichgewicht in bezug auf dan Punkt (A) des festen Ge1enk1a
gers. Mit
k k k
(1. 4) M ;~1 (Fy1(xl-xk1)-Fxl(Yl-Yk1))' F = l: F l' F l: F
x 1=1 x Y 1=1 yl
folgt aus M(A)=O
und hieraus
(1. 5)
FAx und FAy bestimmen wir aus der Gleichgewichtsbedingung IFx=O und
IF =0 zu
Y
(1. 6)
k
F =- l: F -F = -F -F
Ay 1=1 yl By Y By.
Die Auflagerkrafte lassen wir uns spater vom Rechner ausgeben. Danach
addieren wir sie zu den au~eren Belastungen in den Knoten kl und k2'
d.h. wir setzen