Numerik und Anwendungen von Eigenwertaufgaben und Verzweigungsproblemen: Vortragsauszüge der Tagung über Numerik und Anwendungen von Eigenwertaufgaben und Verzweigungsproblemen vom 14. bis 20. November 1976 im Mathematischen Forschungsinstitut Oberwolfach

212 Pages·1977·8.07 MB·German

by  Lothar Collatz (auth.)

ISNM
INTERNATIONAL SERIES OF NUMERICAL MATHEMATICS
INTERNATIONALE SCHRIFTENREIHE ZUR NUMERISCHEN MATHEMATIK
SERlE INTERNATIONALE D'ANALYSE NUMERIQUE
Editors:
Ch. Blanc, Lausanne; A. Ghizzetti, Roma; P. Henrici, Zurich; A. Ostrowski, Montagnola;
J. Todd, Pasadena; A. van Wijngaarden, Amsterdam
VOL. 38
Numerik und Anwendungen
von Eigenwertaufgaben
und Verzweigungsproblemen
Vortragsauszuge
der Tagung uber Numerik und Anwendungen von
Eigenwertaufgaben und Verzweigungsprob1emen
vom 14. bis 20. November 1976
im Mathematischen Forschungsinstitut Oberwolfach (Schwarzwa1d)
Herausgegeben von
E. Bohl, Munster, L. Collatz, Hamburg, K.P. Hade1er, Tubingen
1977
Springer Basel AG
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Numerik und Anwendungen von Eigenwertaufgaben
und Verzweigungsproblemen: Vortragsausz. d.
Tagung über Numerik u. Anwendungen von Eigen-
wertaufgaben u. Verzweigungsproblemen vom 14.-
20. November 1976 im Mathemat. Forschungsinst.
Oberwolfach (Schwarzwald)/hrsg. von E. Bohl...
- 1. Aufl. - Stuttgart, Basel: Birkhäuser, 1977.
(International series of numerical mathema-
tics; Vol. 38)
ISBN 978-3-7643-0938-1
NE: Bohl, Erich [Hrsg.]; Tagung über Numerik
und Anwendungen von Eigenwertaufgaben und Ver-
zweigungsproblemen <1976, Oberwolfach>; Mathe-
matisches Forschungsinstitut <Oberwolfach>
Nachdruck verboten
Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen und der Reproduktion
auf photostatischem Wege oder durch Mikrofilm, vorbehalten.
© Springer Basel AG 1977
Ursprünglich erschienen bei Birkhäuser Verlag Basel 1977
ISBN 978-3-7643-0938-1 ISBN 978-3-0348-5579-2 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-5579-2
Vorwort
Aus dem weiten Gebiet, welches das Thema der Tagung beschreibt, wurden
folgende Schwerpunkte behande1t: Numerik von Eigenwertaufgaben bei
Matrizen, Differenzenapproximation und Methode der finiten Elemente,
Aufgaben mit einem nichtlinear auftretenden Parameter, inverse und singuHi
re Eigenwertaufgaben, Verzweigungsprobleme. Die Vortrage behandelten
sowohlGesichtspunkte der numerischen Berechnung als auch die theoretische
Durchdringung der Probleme. Die grosse Beteiligung aus dem In- und
Ausland - es waren 11 Lander vertreten - und die Anzahl der angemeldeten
Vortrage unterstrichen die Aktualitat des Themas, welches z.Z. Ziel einer
regen Forschungstatigkeit ist.
Trotz der Komplexitat vieler Fragestellungen wurden auf allen oben genann
ten Gebieten von interessanten Fortschritten berichtet. Dabei sind eine Reihe
von in der Praxis auftretenden Problemstellungen zusammengetragen wor
den, welche flir den jeweiligen allgemeinen Fragenkreis Modellcharakter
haben.
Die schon fast zur Gewohnheit werdende vorzUgliche Unterbringung und das
standige BemUhen der Institutsleitung urn das Wohl der Gaste trugen sehr
zum Erfolg der Veranstaltung bei. Wir mochten der Leitung des Oberwolf
acher Instituts, Herrn Prof. Dr. M. Barner, dem ganzen Personal des Institutes,
und ferner dem Birkhauser-Verlag flir die wie stets so auch diesmal sehr gute
Ausstattung dieses Bandes unseren herzlichen Dank aussprechen.
E. Bohl L. Collatz K. P. Hadeler
(MUnster) (Hamburg) (TUbingen)
Inhaltsverzeichnis
L. Collatz
Verzweigungsdiagramme und Hypergraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9
P. Lancaster
A Review of Numerical Methods for Eigenvalue Problems Nonlinear in
the Parameter ...... " . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43
W.Mackens
Ein Quotienteneinschluss bei Spline-Eigenwertaufgaben .............. 69
P. de Mottoni
Stability of the positive Equilibrium Solution for a Class of Quasilinear
Diffusion Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 85
W.R. Richert
Uber Intermediateprobleme erster Art ............................. 93
G.F.Roach
Variational Methods for Multiparametric Eigenvalue Problems I ....... 119
F. Stummel
Approximation Methods for Eigenvalue Problems in Elliptic Differential
Equations ..................................................... 133
A. Tesei
Asymptotic Stability Results for a System of Diffusion Equations ....... 167
HJ. Wacker
Bemerkungen zur Aufwandminimierung bei Stetigkeitsmethoden sowie
Altemativen bei der Behandlung der SinguHiren Situation ............. 175
H.J. Weinitschke
Verzweigungsprobleme bei kreisfOrmigen elastischen Platten ........... 195
W. Wetterling
Quotienteneinschliessung bei Eigenwertaufgaben mit partieller Differen-
tialgleichung ...................................................2 13
ISNM 38 Birkhauser Verlag, Basel und Stuttgart, 1977
Verzweigungsdiagramme und Hypergraphen
L. Collatz, Hamburg
Zusammenfassung: Verzweigungspunkte k5nnen auf verschiedene
Weise definiert werden. Hier werden Verzweigungsdiagramme
als Hypergraphen betrachtet. Dabei erscheinen die verschie
denen ~ste der Verzweigungsdiagramme als die Kanten und die
Verzweigungspunkte als die Ecken des Hypergraphen. Bei Zu
grundelegung eines Dimensionsbegriffes und eines Glattheits
begriffes, der z.B. bei Funktionen oft als Begriff der Ana
lytizit~t gew~hlt werden kann, erh~lt man eine etwas andere
Mannigfaltigkeit von Verzweigungsaufgaben als gewBhnlich be
trachtet. Einerseits ist der hier verwendete Begriff wegen
der Glattheitsforderung etwas enger als sonst in der Litera
tur Ublich (er erfaet aber wohl doch noch die meisten Anwen
dungen), andererseits aber gestattet er, da die betrachteten
Elemente nicht einmal einem linearen Raum angeh5ren milssen,
bisher meines Wissens nicht studierte Anwendungen wie z.B.
Eigenwertaufgaben bei geometrischen Figuren (vgl. Nr. 3).
Bei endlichen Hypergraphen filhren die Begriffe der Hypergra
phentheorie zu einer Klassifikation der Verzweigungsaufgaben.
Es werden zahlreiche Beispiele aus verschiedenen Gebieten,
z.B. aus Geometrie, Zahlentheorie, Analysis, Differential
und Integralgleichungen gegeben. Der Autor glaubt, da5 der
Begriff des Hypergraphen den Verzweigungsdiagrammen besser
angepa5t ist als der Begriff des Graphen.
1. EinfUhrung des Hypergraphen H
Es sei Meine Menge von Elementen u,v, ••• und A eine reelle
Zahl (Parameter) oder ein Vektor von endlich vielen reellen
Zahlen. Es braucht M nicht notwendig ein linearer Raum zu
sein (vgl. Beispiel Nr. 3). Wenn zwischen gewissen Elementen
u und gewissen A eine "Beziehung" erfUllt ist, die h~ufig
die Form einer Gleichung
(1.1 ) F(u,A) = 0
hat, so heiet (u, A) eine "L5sung". Es sei S die Menge aller
LBsungen, und N die Menge aller Paare (u, A).
Nun mBgen folgende Annahmen getroffen werden:
1.) Es gibt in N gewisse Teilmengen Q, welchen eine ganze
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nicht negative Zahl d = dim Q als Dimension zugeordnet wer
den kann und welche als "glatt" bezeichnet werden kCSnnen.
Der Begriff "glatt" wird jeweils der betreffenden Problem
klasse entsprechend
gew~hlt.
2.) FUr die Menge Saller LCSsungen gibt es eine Darstellung
(1.2)
wobei p auch 00 sein darf. Die Sj werden "Xste" genannt. Je
der Ast Sj solI glatt sein und eine positive Dimension
dj > 0 besitzen mit der Eigenschaft:
Der Durchschnitt zweier Xste solI eine kleinere Dimension
haben als jeder der Xste, d.h.
(1. 3)
Abb.1 zeigt als Beispiel eine zweidimen
sionale Fl~che Sj und einen eindimensio
nalen Kurvenbogen Sk' deren Schnittpunkt
P die Dimension Null hat.
Definition: Ein Punkt P hei~t "Bifurkations- Abb.1
punkt" ("Verzweigungspunkt"), kurz "B-Punkt", wenn er zwei
verschiedenen Xsten Sj' Sk angehCSrt.
Wiederholung: Hypergraphen. Hypergraphen sind schon seit
langer Zeit betrachtet worden (vgl. z.B. Levi [29], bevor
das Wort "Hypergraph" bekannt war. Cl.
Berge [73] , [74J entwickelt eine syste
matische Theorie der Hypergraphen. Hier
solI kurz die Definition wiederholt
werden:
Ein "Graph" besteht aus einer Menge von A lb
Punkten, die auch "Ecken" heiBen, bei bb.2.a..
welchen gewisse Paare von Ecken durch eine "Kante" mitein
ander verbunden werden, Abb. 2a • Ein "Hypergraph" besteht
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aus einer endlichen oder unendlichen Menge V von Ecken
Vj (j = 1 •••• n; n evtl. 00) und einer Familie Evon q nicht
leeren Teilmengen er von V(r = 1 •.•• k; k evtl. 00 ) mit
der Bedingung. daB V die Vereinigung aller er ist. Die er
heiBen "Kanten" des Hypergraphen. Abb. 2b. Sind in einem
Hypergraphen H die Ecken jeder Kante geordnet (nicht not
wendig total geordnet). so heiBt H ein Hyperdigraph. Bei
den Anwendungen hat man h~ufig eine naturliche Ordnung. in
dem ein Parameter A eine z.B. physikalische Bedeutung hat
und wo man sich fur das Verhalten des betreffenden physika
lischen Systems bei wachsendem A interessiert. wodurch eine
Ordnung im Hypergraphen induziert wird. 1st der Hypergraph
H endlich. d.h. sind Eckenanzahl n und Kantenanzahl ~­
liche positive ganze Zahlen. so wird ihm das Symbol ~
gegeben. welches in den Abbildungen benutzt ist.
2. Vergleich mit anderen Definitionen eines Verzweigungs
punktes.
Wir werden im folgenden stets. wenn die Elemente Funktionen
sind. den Begriff der Analytizit~t als Glattheitsbegriff
verwenden und 2 Teile S1' :31 einer analytischen Mannigfal
tigkeit. die analytische Fortsetzungen voneinander sind. als
zu einem Ast gehorig betrachten. Das hat unter anderem die
Konsequenzen (zur Veranschaulichung werden ~ste in einer
A-a-Ebene betrachtet):
a) In Co11atz [76aJ. wurde ein Verzweigungspunkt als ge
meinsamer Punkt von 3 ~sten definiert. also z.B. in Abb. 3a
= =
bei den Losungen: a O.A beliebig und A O. a > 0 wurden
=
die 3 von P (0.0) ausgehenden Halbstrahlen als ~ste ange
sehen. w~hrend jetzt ein Verzweigungspunkt als gemeinsamer
Punkt von 2 ~sten eingefuhrt wird. wobei im vorliegenden
Fall die ganze Gerade a = 0 als ein Ast gez~hlt wird.
b) Bei den Losungen a = O.A beliebig und A > O. a2 = A.
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a beliebig zahlen die beiden Teile A = a 2 , a a und A = a 2 ,
~
a ~ a nur als ein Ast, Abb. 3b. +a
c) Bei einem Verzweigungsdiagramm wie in
Abb. 3c mit den Losungen a + A = 2 und
a = IAI, A beliebig, hat man zwei Verzwei
gungspunkte Pi = (0,0) und P2 = (1,1), Abb. 3
Q.
wahrend man verschiedener Ansicht sein
*,,:,
kann, ab der Punkt Pi = (0,0) verzweigungS-I-a f tAl a A '.
punkt im Ublichen Sinne sein solI oder
nicht.
Die hier gegebene Definition von Verzwei-
gungspunkten hat Vorteile und Nachteile ge- 3b 3c.
genUber anderen Definitionen. Ein Nachteil
besteht in der EinfUhrung eines geeigneten Glattheitsbegrif-·
fes, der z.B. bei empirisch gegebenen Daten Sorgfalt er
fordert. Als Vorteile fUhre ich an:
n) Es konnen ganz andersartige Erscheinungen als sonst Ub
lich erfaBt werden, vergl. Nr. 3.
e) Es laBt sich fUr endliche Hypergraphen eine Klassifika
tion durchfUhren, worauf schon hingewiesen wurde. Man hat
in der Theorie der Graphen und Hypergraphen die Begriffe
"Kette" und "Zyklus" und kann damit wie in Collatz [76J auch
hier die Einteilung in Baume, Geflechte ("web", alle ltste
haben Dimension 1 und es tritt mindestens 1 Zyklus auf), Ge
spinste ("cocoon", ltste mit Dimension zwei)usw. durchfUhren.
3. Verzweigung bei einer geometrischen Eigenwertaufgabe
FUr Polygone P mit doppelpunktfreiem Rande wird eine Trans
formation T auf folgende Weise eingefUhrt: Bei Durchlaufen
des Randes werden die Ecken mit Pi' P2,···, Pn bezeichnet
=
und Pj Pn+j fUr alle j gesetzt. Es seien alle n Ecken von
einander verschieden. Die Transformation T ordnet dem Poly
gon P ein Polygon Q = TP mit den Ecken Q1' Q2, •.. ,Qn zu,
wobei Q der Umkreismittelpunkt des Dreiecks mit den Ecken
j