Numerik sehen und verstehen: Ein kombiniertes Lehr- und Arbeitsbuch mit Visualisierungssoftware

222 Pages·1992·5.74 MB·German

by  Kim Kose

Kim Kose
Rolf SchrOder
Kornel Wieliczek
Numerik
sehen und verstehen
Aus dem Programm
~-- Datenverarbeitung und Wissenschaft
Dynamische Systeme und Fraktale
Computergrafische Experimente mit Pascal
von K-H. Becker und M. Dörfler
Simulation neuronaler Netze
von N. Hoffmann
Simulation dynamischer Systeme
Grundwissen, Methoden, Programme
von H. Bossel
Modellbildung und Simulation
Konzepte, Verfahren und Modelle zum Verhalten
dynamischer Systeme
von H. Bossel
Numerik sehen und verstehen
Ein kombiniertes Lehr- und Arbeitsbuch mit
Visualisierungssoftware
von K Kose, R. Schröder und K Wieliczek
Mathematik für Ingenieure 1+2
Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium
von L. Papula
Mathemathematische Formelsammlung
für Ingenieure und Naturwissenschaftler
von L. Papula
Numerical Methods
von W. Boehm und H. Prautzsch
Turbo Pascal Tools
Einsatz von Turbo Pascal in der
naturwissenschaftlichen Praxis
von M. Weber
~-- Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH ---------
Kim Kose
Rolf Schröder
Kornel Wieliczek
Numerik
sehen und verstehen
Ein kombiniertes Lehr- und Arbeitsbuch
mit Visualisierungssoftware
11
Springer Fachmedien
Wiesbaden GmbH
Die Deutsche Bibliothek -CIP-Einheitsaufuahme
Kose, Kim:
Numerik sehen und verstehen : ein kombiniertes Lehr-und
Arbeitsbuch mit Visualisierungssoftware / Kim Kose; Rolf
Schrooer ; Komel Wieliczek. -Braunschweig ; Wiesbaden :
Vieweg, 1992
NE: Schrooer, Rolf:; Wieliczek, Komel
Das in diesem Buch enthaltene Programrn-Material ist mit keiner Verpf1ichtung oder Garantie
irgendeiner Art verbunden. Der Autor und der Verlag iibemehmen infolgedessen keine Verantwortung
und werden keine daraus folgende oder sonstige Haftung iibemehmen, die auf irgendeine Art aus der
Benutzung dieses Programrn-Materials oder Teilen davon entsteht.
Alle Rechte vorbehalten
10 Springer Fachmedien Wiesbaden, 1992
Urspriinglich erschienen bei Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft 1992
Softcover reprint of the hardcover 1s t edition 1992
Das Werk einschlieBlich aHer seiner Teile ist urheberrechtlich geschiitzt.
Jede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes
ist ohne Zustimrnungen des Verlags unzulăssig und strafbar. Das gilt
insbesondere rur Vervielfaltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen
und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
Gedruckt auf săurefreiem Papier
ISBN 978-3-322-87229-6 ISBN 978-3-322-87228-9 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-87228-9
Vorwort
Das vorliegende Buch "Numerik sehen und verstehen" bildet mitsamtdem beili
genden Programm MAY A * eine Einheit und wendet sich an Anfanger auf dem
Gebiet der numerischen Mathematik. In seinen Grundziigen ist es aus Ubun
gen zur Lehrveranstaltung "Numerische Mathematik fur Ingenieure I" sowie
der Lehrveranstaltung "Praktische Mathematik fUr Ingenieure" an der TU Berlin
hervorgegangen.
Innerhalb dieser Lehrveranstaltungen begegneten wir immer wieder dem
Phanomen, daB Studenten, die nicht Mathematik studieren, sondem nur als
Grundlagenfach horen, den Methoden der numerischen Mathematik fremd
gegeniiberstanden. Mit Hilfe von grafischen Darstellungen ist es allerdings
moglich, das Verstandnis erheblich zu erleichtem. Dies gilt insbesondere fUr
den Weg, der hier eingeschlagen wird.
Das Buch "Numerik sehen und verstehen" ist, wie der Titel schon sagt,
auf das visuelle Erfahren der numerischen Mathematik ausgerichtet. Die ma
thematischen Einfiihrungen sind dabei kurz gefaBt und verzichten weitgehend
auf Beweise, sind aber zum Rekapitulieren des jeweiligen Stoffes ausreichend.
Den Hauptteil des Buches nehmen die zahlreichen Aufgaben mitsamt ihren
Erlauterungen ein, wobei auf eine Mischung von Aufgaben aus Anwendungs
gebieten und Aufgaben, anhand derer bestimmte mathematische Besonderheiten
deutlich werden, geachtet wurde.
Die Verfahrensweise der einzelnen numerischen Methoden kann eigenstan
dig anhand von vielen Aufgaben erforscht werden. Dabei wird hier Wert auf
eine transparente Darstellung der Verfahrensweisen sowie die Moglichkeit, un-
* Der Name MAY A fUr das Programm ist einerseits eine Referenz an das Az
tekenvolk gleichen Namens, dem hervorragende Mathematikerund Astronomen
angehorten, andererseits die Abkiirzung fUr ein optimistisches "MAthematics?
YeAh!"
2 Numerik sehen und verstehen
terschiedliche Methoden zur selben Aufgabenstellung vergleichen zu kOnnen,
gelegt.
Die beiliegende Software MAY A ist somit also primar nicht lOsungsorientiert,
obwohl sie aufgrund ihrer einfachen Bedienung fUr einfache Probleme sicher
lich adaquat ist, sondem lemorientiert. Die Stoffauswahl umfaBt aIle wichtigen
Grundgebiete der numerischen Mathematik mit Ausnahme von linearen Glei
chungssystemen, deren LOsungsmethoden sich nur wenig zum Visualisieren
eignen, sowie Matrizeneigenwertaufgaben, die eng an lineare Gleichungssysteme
gekoppelt sind.
Wie aIle Bucher ist auch dieses nicht aus dem Nichts entstanden. Es hat in
dem Buch ''Numerik-Praktikum mit VISU" von Rolf Schroder (1990 im gleichen
Verlag) seinen direkten Vorlliufer und ist in den mathematischen Einfiihrungen
weitgehend identisch. Vollig neu geschrieben ist die Software. Der Aufgabenteil
wurde wesentlich erweitert und ist nun so gestaltet, daB nicht nur die Bedienung
und die Moglichkeiten der einzelnen Programmteile von vomherein deutlich
sind, sondem auch die wichtigsten Ergebnisse festgehalten werden.
Ein herzlicher Dank gebiihrt Herm Dr. A. Preusser, der das 3-D-Programm
zur Verfiigung stellte und Herm Dipl.-Ing. R. Maurer, der die Hohenlinienroutine
schrieb, sowie Herm Dipl.-Phys. A. Duda fUr das Korrekturlesen.
Den Lesem und Nutzem dieses Buches wiinschen wir viel SpaB an der nu
merischen Mathematik. Fiir Hinweiseund Zuschriften, die das Buch und etwaige
Verbesserungen betreffen, sind wir dankbar.
Dem Vieweg-Verlag danken wir fUr die stets gute Zusammenarbeit.
Berlin im Jull 1992,
die Autoren
In ha Itsverzeich ni s
Vorwort 1
Inhaltsverzeichnis 3
Einfiihrung 7
Systemkonfiguration 7
Installation 10
Bedienung 12
1 Funktionen 23
1.0 Einfiihrung: Normen 23
1.1 Kurven mehrerer Funktionen 25
1.2 Dreidimensionale Darstellung einer Funktion zweier Variabler 30
1.3 Hohenlinien einer Funktion zweier Variabler 34
1.4 Erlliuterungen und LOsungen zum ersten Kapitel 37
2 Interpolation 39
2.0 Einfiihrung: Polynom-, Spline-und Akima-Interpolation 40
2.1 Lagrangesche Darstellung des Interpolationspolynoms 55
2.2 Newtonsche Darstellung des Interpolationspolynoms 58
2.3 Stiitzstellenstrategien bei der Polynominterpolation 60
2.4 Fehlerfortpflanzung bei der Polynominterpolation 64
2.5 Vergleich verschiedener Interpolationsmethoden 65
2.6 Interpolation von Meawerten 70
2.7 Parameterdarstellung der Spline-und der Akima-Interpolation 73
2.8 Differentation von Interpolierenden 77
2.9 ErUiuterungen und Losungen zum 2. Kapitel 80
4 Numerik sehen und verstehen
3 Konstruktion von Kurven mit Bezier-Polynomen 87
3.0 Einfiihrung: Bemstein-Polynome und das Schema von de Casteljau 88
3.1 Schema von de Casteljau 94
3.2 Zusammengesetzte Bezier-Funktionen 96
3.3 Entwerfen mit Bezier-Kurven 101
3.4 ErUiuterungen und Losungen zum dritten Kapitel 102
4 Ausgleichsrechnung 107
4.0 Einfiihrung und Problemstellung 107
4.1 Polynomausgleich 109
4.2 Erlauterungen und LOsungen zum vierten Kapitel 112
5 Dif£erenzengleichungen und Chaos 113
5.0 Einfiihrung 113
5.1 Zweidimensionale Differenzengleichungen 116
5.2 Erlauterungen und Losungen zum fiinften Kapitel 121
6 Anfangswertau£gaben 123
6.0 Einfiihrung 123
6.1 LOsungsschar einer Differentialgleichung 129
6.2 Funktionsweiseverschiedener Verfahren 132
6.3 Stabilitat von Einschrittverfahren 138
6.4 Vergleich der Verfahren 141
6.5 Abhangigkeit der LOsung von den Anfangswerten 145
6.6 Zweidimensionale Anfangswertaufgaben 148
6.7 Einflu1S der Anfangswerte bei zweidimensionalen Differentialglei-
chungen 155
6.8 Erlauterungen und LOsungen zum sechsten Kapitel 158
7 Nullstellenau£gaben 165
7.0 Einfiihrung: Verfahren fur eindimensionale Funktionen 165
7.1 Funktionsweise verschiedener Verfahren 171
7.2 Fixpunktiteration und Steffensen-Verfahren 178
7.3 Erlliuterungen und LOsungen zum siebten Kapitel 187
8 Nichtlineare Gleichungssysteme 189
8.0 Einfiihrung: Losungsverfahren fur nichtlineare Gleichungssy-
sterne 190
Inhaltsverzeichnis 5
Ho
8.1 Modifiziertes Newton-Verfahren/ Gradientenverfahren im
henliniendiagramm 196
8.2 Iterationsfolge verschiedener Verfahren im Vergleich 200
8.3 Erliiuterungen und LOsungen zum achten Kapitel 205
Literaturverzeichnis 209
Symbolverzeichnis 213
Stichwortverzeichnis 215
Einfuhrung
Dieses Buch ist im Zusammenhang mit der Software sowohl fiir den Einsatz
in der Lehre als auch fiir das eigenstandige Arbeiten und zum LOsen einfache
rer numerischer Aufgaben geeignet. In einer Vorlesung bietet es sich an, mit
einer geeigneten Projektion zu arbeiten, um numerische Verfahren lebendig zu
erlautem. Vorlesungsbegleitend kann das Buch von Studenten genutzt werden,
um die Funktionsweise (und auch Tiicken) numerischer Verfahren durch Expe
rimentieren zu verstehen. Da es Lemenden in der Regel schwer fa lit, hierfiir
geeignete Aufgaben zu finden, besteht der Hauptteil des Buches aus kommen
tierten Aufgaben. Aber auch einfache numerische Aufgaben, wie die Berechnung
von Ausgleichspolynomen fiir MeiSwerte, konnen mit Hilfe des Programmes
erledigt werden, wobei nicht nur die Koeffizienten ausgegeben werden, son
dem auch immer die Ersteliung einer POS1SCRIPT-Datei der Grafik moglich ist,
die in andere Dokumente eingebunden werden kann.
System konfigu ration
Mit diesem Buch haben Sie gleichzeitig eine HD-Floppy (5! Zoll) mit der Software
MA YA erworben. Dieses Programm wird ihnen als ausfiihrbares File geliefert, es
kann somit direkt von der Floppy ohne irgendeine Installation gestartet werden.
Diesen Weg sollten Sie allerdings nur wahlen, wenn ihnen a) kein Festplattenplatz
oder iiberhaupt keine Festplatte zur Verfiigung steht oder b) Sie den minimalen
Zeitaufwand, den die Installation von MAY A erfordert, nicht eriibrigen konnen.
MAY A ist sowohl fiir Einzelplatzrechner als auch fiir den Netzwerkbetrieb,
wie er z.B. in den CIP-Pools fiir die Lehre anzutreffen ist, vorbereitet. Die mi
nimalen, empfohlenen und idealen Systemkonfigurationen fiir die Nutzung von
MAY A sind im folgenden zusammengefaiSt. Dabei wird nur auf den stand
alone-Betrieb eingegangen, da davon ausgegangen werden kann, daiS Netzwerke