Numerik interaktiv: Grundlagen verstehen, Modelle erforschen und Verfahren anwenden mit taramath (German Edition)

261 Pages·2016·6.18 MB·German

by  Daniel Scholz

Daniel Scholz
Numerik
interaktiv
Grundlagen verstehen, Modelle
erforschen und Verfahren anwenden
mit taramath
Numerik interaktiv
Daniel Scholz
Numerik interaktiv
Grundlagen verstehen, Modelle
erforschen und Verfahren anwenden
mit taramath
Daniel Scholz
Braunschweig, Deutschland
Webseiten zum Buch
www.taramath.de
www.taramath.com
ISBN 978-3-662-52939-3 ISBN 978-3-662-52940-9 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-52940-9
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detail-
lierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.
Springer Spektrum
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht
ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags.
Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die
Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt
auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen-
und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden
dürften.
Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem
Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren
oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige
Fehler oder Äußerungen.
Planung: Dr. Annika Denkert
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier
Springer Spektrum ist Teil von Springer Nature
Die eingetragene Gesellschaft ist Springer-Verlag GmbH Berlin Heidelberg
Vorwort
In unz¨ahligen Bereichen beispielsweise aus Naturwissenschaften, Ingenieurswissen-
schaften oder Wirtschaftswissenschaften gilt es, Probleme und Fragestellungen zu
lo¨sen,welcheh¨aufigalsmathematischesModellformuliertwerdenk¨onnen.Speziell
indernumerischenMathematikwerdenrechnerbasierteL¨osungsverfahrenbeschrie-
ben und analysiert, welche zur L¨osung derartiger Fragestellungen bzw. Modelle
herangezogen werden ko¨nnen.
Das vorliegende Buch verfolgt das Ziel, unterschiedliche Themen der numerischen
Mathematik so einfach wie mo¨glich und mit vielen erkla¨renden Abbildungen vor-
zustellen. Zahlreiche anwendungsorientierte Beispiele sollen nicht nur die Freude
und das Interesse am L¨osen numerischer Probleme wecken, sondern auch zeigen,
dassalleAlgorithmena¨ußerstrelevantsindundinvielenBereichentagt¨aglichzum
Einsatz kommen.
Zum Verst¨andnis der Inhalte werden grundlegende Kenntnisse aus den u¨blichen
Mathematikvorlesungen zur Differenzial- und Integralrechnung sowie der linearen
Algebra vorausgesetzt. Dennoch wiederholen wir in der Einleitung die wichtigsten
Definitionen und Ergebnisse, welche in den folgenden Kapiteln von großer Bedeu-
tungindernumerischenMathematiksind.Dieu¨brigenKapitelbeginnenwirmeist
mit einfachen Spezialf¨allen und zeigen, wie auch damit bereits interessante Ergeb-
nisseerzieltwerdenk¨onnen.ErstnachdemdiegrundlegendenVerfahrenverstanden
sind, werden Erweiterungen der Methoden diskutiert. Genaue Herleitungen sind
zwar sehr wichtig, werden in diesem Buch jedoch bewusst ausgelassen oder nur
skizziert.
Herleitung Beweise und Herleitungen, die einerseits fu¨r das Verst¨andnis der Zu-
sammenh¨ange wichtig oder hilfreich, andererseits aber zur reinen Anwendung der
numerischenVerfahrennichtzwingenderforderlichsind,werdenwieandieserStel-
le am Textrand mit einem Icon markiert. Es ist somit dem Leser u¨berlassen, diese
Abschnitteggf.ineinemerstenLesedurchgangzuu¨berspringen,sofernnurdieVer-
fahren ohne weiteres Hintergrundwissen angewandt werden sollen.
Die einzelnen Kapitel und Abschnitte mo¨gen sicherlich unterschiedlich schwer er-
scheinen. Abb. 1 zeigt daher als Orientierung eine Reihenfolge zur Durcharbeitung
derThemen.AlsweitereHilfestellungwerdenAufgabengestellt,welchezumFesti-
gen und Hinterfragen der Inhalte sowie zum weiteren Nachdenken anregen sollen.
vi Vorwort
Abb.1VorschlageinerReihenfolgezurDurcharbeitungdereinzelnenKapiteldiesesBuches.
Dabei ist die Reihenfolge an einigen Stellen zum Verst¨andnis zwingend erforderlich (bei-
spielsweise baut die Singul¨arwertzerlegung auf den Eigenwertproblemen auf), an anderen
StellendientdieReihenfolgelediglichalsVorschlag
Daru¨ber hinaus besteht ein besonderer Fokus darin, dass alle Inhalte nicht nur
theoretisch erlernt und nachgeschlagen werden ko¨nnen, sondern es wird auch eine
M¨oglichkeitgeboten,umpraktischeErfahrungenzusammeln.Genauerko¨nnenfast
alle Algorithmen und Verfahren online unter
www.taramath.de
erprobt werden. Dort steht auch eine JavaScript-Bibliothek zum Download bereit,
welchediversenumerischeVerfahrenbeinhaltetunddamitdenEinstiegzurL¨osung
numerischer Aufgabenstellungen erleichtert. Weiterhin werden viele der Beispie-
le aus diesem Buch samt Quellcode zur Verfu¨gung gestellt, sodass weitreichende
M¨oglichkeitenzumexperimentellenLernengegebenwerden.Onlineverfu¨gbareBei-
spielewerdenwieindiesemAbschnittmiteinemQR-Codeversehen,welcherinder
E-Book-Version gleichzeitig als Link fungiert.
Zur u¨bersichtlicheren Darstellung werden einige Abs¨atze als Container oder
Block zusammengefasst und durch einen grauen Hintergrund hervorgehoben.
InsgesamtklassifizierenwirdamitinsechsArtenvonContainernundmarkieren
diese durch ein Icon am Textrand. Eine U¨bersicht dieser Klassifizierung kann
Tab. 1 entnommen werden.
Zusammenfassend hebt sich die vorliegende Ausarbeitung durch folgende Punkte
von den u¨blichen Lehrbu¨chern zur numerischen Mathematik entscheidend ab:
Vorwort vii
Icon Einsatzbereich des Containers Besonderheit
Definitionen und Notationen grauer Hintergrund
Sa¨tze und Lemmata grauer Hintergrund
Aufgaben grauer Hintergrund
Zusammenfassungen grauer Hintergrund
Herleitungen, Beweise und Ausblicke kursive Schrift
Beispiele kursive Schrift
Tab. 1 U¨bersicht der Icons, welche zur schnelleren Orientierung sowie zur Klassifizierung
vonContainernamTextrandverwendetwerden
(1) Alle Verfahren und Algorithmen werden nicht nur theoretisch hergeleitet,
sondern anschauliche Beispiele sollen insbesondere den praktischen Nutzen
dernumerischenMathematikverdeutlichen.Daru¨berhinausko¨nnenalleVer-
fahren zum schnelleren Verst¨andnis sowie zum experimentellen Lernen ei-
gensta¨ndig online erprobt und getestet werden.
(2) Ganz bewusst werden keine schwierigen oder langwierigen Beweise vorge-
stellt. Weiterhin werden Aussagen und Sa¨tze teilweise nicht in ihrer allge-
meinsten Form pra¨sentiert, sondern jeweils auf eine u¨bersichtliche Art und
Weise, in welcher sie mo¨glichst leicht verst¨andlich sind. Damit soll der Blick
fu¨r die wesentlichen Ergebnisse und Verfahren gesch¨arft werden.
(3) In anderen Lehrbu¨chern fehlen bei der Beschreibung der Algorithmen h¨aufig
einige Teilschritte oder diese werden als bekannt vorausgesetzt. Wir leiten
alle Verfahren Schritt fu¨r Schritt und so einfach wie m¨oglich her. Dadurch
kommtesaneinigenStellenteilweisegewolltzuWiederholungen,einunno¨ti-
gesBla¨tternzwischenunterschiedlichenKapitelnwirdsomitabervermieden.
Schließlich bedanke ich mich bei allen Freunden und Bekannten, die durch ge-
meinsame Diskussionen oder das Korrekturlesen zur Verbesserung der Inhalte die-
sen Buches sowie der zugeho¨rigen Homepage beigetragen haben. Weiterhin freue
ich mich u¨ber Anregungen und Feedback jeder Art, beispielsweise per Mail an
[email protected] oder per Formular u¨ber www.taramath.de. Vielen Dank.
Daniel Scholz Mai 2016
Inhaltsverzeichnis
Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Symbole und Notationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii
1
Einleitung und Grundlagen
1.1 Numerische Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Lineare Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Vektornormen und Matrixnormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Konvexe Mengen und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Komplexit¨at eines Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Genauigkeit einer Approximation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2
Nichtlineare Gleichungssysteme
2.1 Fixpunktiteration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Banach’scher Fixpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Newton-Verfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3
Lineare Gleichungssysteme
3.1 Dreiecksmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Gauß-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 LU-Zerlegung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
x Inhaltsverzeichnis
3.4 QR-Zerlegung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.5 Cholesky-Zerlegung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.6 Tridiagonalmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.7 Iterative Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.7.1 Jacobi-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.7.2 Gauß-Seidel-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.7.3 Numerische Ergebnisse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.8 CG-Verfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.9 Zusammenfassung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4
Eigenwertprobleme
4.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2 Vektoriteration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3 QR-Verfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.4 Hessenberg-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.5 QR-Zerlegung von Hessenberg-Matrizen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.6 QR-Verfahren mit Hessenberg-Matrizen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.7 QR-Verfahren mit Shifts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.8 Anwendungsbeispiel Eigenfunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5
Singul¨arwertzerlegung
5.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.2 Bidiagonalisierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.3 Berechnung der Singul¨arwertzerlegung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.4 Anwendungsbeispiel Bildkompression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6
Numerische Integration
6.1 Polynominterpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.2 Polynomquadraturen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Inhaltsverzeichnis xi
6.3 Zusammengesetzte Quadraturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.4 Romberg-Verfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7
Anfangswertprobleme
7.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.2 Differenzialgleichungen ho¨herer Ordnungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.3 Lo¨sbarkeit von Anfangswertproblemen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.4 Exakte und diskrete Evolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.5 Euler-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.6 Explizite Runge-Kutta-Verfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
7.7 Adaptive Schrittweitensteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
7.8 Anwendungsbeispiele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
8
Randwertprobleme
8.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
8.2 Finite-Differenzen-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
8.2.1 Numerische Ableitungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8.2.2 Dirichlet-Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
8.2.3 Neumann-Randbedingungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
8.2.4 Robin-Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
8.3 Finite-Elemente-Verfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
8.3.1 Triangulation von Gebieten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
8.3.2 Herleitung der grundlegenden Gleichungen . . . . . . . . . . . . . 199
8.3.3 Dirichlet-Randbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.3.4 Neumann-Randbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.3.5 Robin-Randbedingung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
8.4 Delaunay-Triangulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216