Numerik für Ingenieure, Physiker und Informatiker

426 Pages·2020·16.484 MB·German

by  Günter Bärwolff

Günter Bärwolff
Numerik für
Ingenieure,
Physiker und
Informatiker
3. Auflage
Numerik für Ingenieure, Physiker und
Informatiker
Günter Bärwolff
Numerik für Ingenieure,
Physiker und Informatiker
3. Auflage
Günter Bärwolff
Institut für Mathematik
Technische Universität Berlin
Berlin, Deutschland
ISBN 978-3-662-61733-5 ISBN 978-3-662-61734-2 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-61734-2
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Planung/Lektorat: Andreas Rüdinger
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Vorwort zur 3. Auflage
In der vorliegenden dritten Auflage dieses Lehrbuchs ist mit der numerischen Lösung
stochastischer Differentialgleichungen ein neues Kapitel hinzu gefügt worden.
Diese Thematik ist heute in vielen Disziplinen von Interesse, da in den meisten
mathematischen Modellen mit Differentialgleichungen neben deterministischen Anteilen
auch zufällige Einflüsse berücksichtigt werden müssen. Zum Teil, weil bestimmte
Modellparameter mit zufälligen Störungen überlagert sind, oder weil bestimmte Prozesse
auch durch zufällige Einflüsse angetrieben werden.
Dabei mussten auch einige recht theoretische mathematische Grundlagen der Maß-
und Wahrscheinlichkeitstheorie bereit gestellt werden, was mit einem Anhang zu dieser
Thematik realisiert wurde. Allerdings habe ich versucht, das benötigte Instrumentarium
durch geeignete Beispiele fassbar zu machen.
Fehler der vorangegangenen Auflagen habe ich korrigiert und an einigen Stellen
Ergänzungen aufgrund von Hinweisen durch Leser vorgenommen. Die Thematik
der Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme durch einen Abschnitt zur Lösung von
Gleichungssystemen aus der nichtlinearen Optimierung, z. B. SQP-Methoden, ergänzt.
Für die sehr sorgfältige und hilfreiche Durchsicht des Manuskripts bin ich meinem
Kollegen Dr. Richard Pincus und meinen ehemaligen Studenten Dominique Walentiny
und Jan Zawallich dankbar. Herrn Dr. Andreas Rüdinger danke ich für die Anregung zu
einer dritten Auflage und die wiederum angenehme und produktive Zusammenarbeit.
Berlin Günter Bärwolff
März 2020
V
Vorwort zur 2. Auflage
Mit der zweiten Auflage dieses Numerik-Buches wurde vom Verlag die Möglichkeit
eingeräumt, den Umfang um ca. 30 Seiten zu erweitern. Ich habe mich entschlossen,
diesen Raum für Hinzunahme der Themen Numerik von Erhaltungsgleichungen
(hyperbolischen Differentialgleichungen erster Ordnung) und Singulärwertzerlegung
(singular value decomposition/SVD) zu nutzen.
Hyperbolische Differentialgleichungen deshalb, weil diese in vielen NumerikBüchern
gegenüber den elliptischen und parabolischen Gleichung zu kurz kommen. Die SVD ist
ein sehr mächtiges Werkzeug in vielen Bereichen der angewandten Mathematik und den
Natur- und Ingenieurwissenschaften. Deshalb wird sie in der vorliegenden zweiten Auf-
lage beschrieben.
Selbstverständlich habe ich mich bemüht, kleinere Fehler der ersten Auflage zu
beheben und an einigen Stellen erforderliche Ergänzungen vorzunehmen.
Herrn Dr. Andreas Rüdinger und Frau Barbara Lühker danke ich für die traditionell
gute Zusammenarbeit.
Berlin Günter Bärwolff
Juni 2015
VII
Vorwort
In den unterschiedlichsten natur- und ingenieurwissenschaftlichen Disziplinen sind
numerische Lösungsmethoden in der täglichen Arbeit unverzichtbar. Egal, ob es sich
z. B. um die Steuerung von Maschinen und Anlagen, die Optimierung von Prozessen,
das optimale Design von Karosserien und Flugkörpern handelt.
Es sind Aufgaben, wie die Berechnung von Integralen, die Lösung von linearen
und nichtlinearen algebraischen Gleichungen, die Lösung gewöhnlicher oder partieller
Differentialgleichungen, numerisch zu bewältigen. Gründe hierfür sind zum einen
fehlende analytische Lösungen. Auch im Fall des Vorhandenseins analytischer Lösungen,
die sehr aufwendig zu erhalten sind, ist oft der Weg der numerischen Lösung effizienter,
z. B. bei der Integralberechnung.
In der Strömungsmechanik, Elektrodynamik und der theoretischen Chemie haben
sich z. B. mit der „Computational Fluid Dynamics“ (CFD), der „Computational
Electrodynamics“ und der „Computational Chemistry“ Disziplinen entwickelt, die eine
sehr intensive Numerik erfordern. In der Mikroelektronik ist die numerische Simulation
unverzichtbar für die Entwicklung hochintegrierter Bauelemente. Anspruchsvolle und
teure Experimente im Windkanal, im Weltraum oder im Labor werden heute durch
numerische Experimente vorbereitet. Dabei werden die Ergebnisse von numerischen
Experimenten als wesentliche Entscheidungshilfe für den Aufbau und die Konzeption
von Labor-Experimenten benutzt.
Auch wenn bei praktischen Aufgabenstellungen mathematische Nachweise der
Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen oder Konvergenznachweise von numerischen
Verfahren noch nicht erbracht worden sind, kommen numerische Lösungsmethoden
zum Einsatz. Zur Validierung der numerischen Lösungsverfahren werden in diesen
Fällen Aufgaben gelöst, deren exakte Lösung bekannt ist, oder von denen Mess-
ergebnisse vorliegen. Der Vergleich der numerischen Lösung mit der analytischen oder
mit experimentellen Daten entscheidet dann über die Eignung der numerischen Lösungs-
methode für eine entsprechende Aufgabenklasse.
Auch wenn man in der Mathematik nach Verfahren sucht, um lokale oder globale
Extrema zu finden oder zu berechnen, ist es in der Praxis oft schon wünschenswert,
bei der Suche nach einem Minimum eines Funktionals prozentuale Verkleinerungen
IX
X Vorwort
von Funktionalwerten zu erzielen, ohne sicher zu sein, sich mit der Methode einem
Minimum zu nähern. Denkt man hier beim Funktional an einen Widerstandsbeiwert
eines Flugzeuges, dann kann die Verkleinerung des Wertes um wenige Prozent oder Pro-
mille gewaltige Treibstoffeinsparungen zur Folge haben.
Da die Computeralgebrasysteme (MATLAB*®, Octave*®, Mathematica*® etc.)
heute dem Ingenieur und Naturwissenschaftler als moderne leistungsfähige „Taschen-
rechner“ dienen, soll das vorliegende Buch einen Beitrag zur produktiven Nutzung
dieser Werkzeuge bei der Implementierung der behandelten Methoden leisten. Obwohl
es im Rahmen dieses Buches unmöglich ist, die zum Teil sehr ausgefeilten Methoden
der numerischen Mathematik erschöpfend zu beschreiben und zu begründen, sollen
nachfolgend einige grundlegenden numerischen Methoden aus unterschiedlichen
Bereichen erläutert werden. Für die behandelten numerischen Methoden werden
jeweils Programme bzw. Programmfragmente angegeben, so dass der Leser auch
angeregt bzw. in die Lage versetzt wird, numerische Algorithmen auf dem Computer zu
implementieren und zur Lösung konkreter Aufgabenstellungen zu verwenden.
Bei den dabei angegebenen Programmen ging es vorwiegend um Lesbarkeit, d. h.
um die Wiedererkennung der jeweiligen implementierten Methode. Die Funktions-
tüchtigkeit der Programme wurde überprüft, so dass sie vom Leser als Grundlage für die
weitere Nutzung verwendet werden können. Es ging nicht um jeden Preis um „optimale“
Programme, sondern hauptsächlich darum, die dargelegten Methoden in der Praxis
auf dem Rechner in Aktion besser zu verstehen, weil Numerik als Trockenübung ohne
numerische Experimente auf dem Rechner dem angewandt arbeitenden Physiker oder
Ingenieur nicht wirklich etwas nützt.
Im Buch sind sämtlich Octave-Programme angegeben, die sich nur marginal von
MATLAB-Programmen unterscheiden.
Die in den folgenden Kapiteln behandelten Schwerpunkte sind miteinander verzahnt,
d. h. z. B., dass man bei der numerischen Lösung partieller Differentialgleichungen
oder der Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme im Rahmen von Iterationen lineare
Gleichungssysteme zu lösen hat. Zur Lösung großer Matrixeigenwertprobleme, die
z. B. im Bauingenieurwesen, der Festkörperphysik oder der physikalischen Chemie
vorkommen, braucht man spezielle Matrixzerlegungen, die auch bei der Auswertung
von Experimenten und der Berechnung von Ausgleichskurven Anwendung finden.
Bei komplexen technischen Aufgabenstellungen wie z. B. dem Entwurf und der
Konstruktion eines Autos oder einer Werkzeugmaschine spielen alle behandelten
Problemstellungen eine Rolle. Für Festigkeitsuntersuchungen sind Randwertprobleme
partieller Differentialgleichungen und Eigenwertprobleme zu lösen, Schwingungsunter-
suchungen erfordern die Lösung großer Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen.
Die Berechnung integraler Beiwerte erfolgt mit der numerischen Integration. Erforder-
liche Frequenzanalysen sind mit der diskreten Fourier-Analyse durchzuführen. Die
behandelten Problemstellungen sind nicht nur für die klassischen Ingenieurdisziplinen
oder die Naturwissenschaften, sondern in beträchtlichem Maße auch für die Wirtschafts-
und Sozialwissenschaften einschließlich der Informatik von zunehmender Bedeutung.
Vorwort XI
Herrn Dr. Andreas Rüdinger als verantwortlichen Lektor möchte ich zum einen für
die Anregung zu diesem Lehrbuch und zum anderen für die problemlose Zusammen-
arbeit von der Vertragsentstehung bis zum fertigen Buch meinen Dank aussprechen. Ins-
besondere in der Endphase der Fertigstellung des Manuskripts war die unkomplizierte
Zusammenarbeit mit Frau Barbara Lühker hilfreich.
Zu guter Letzt möchte ich Frau Gabriele Graichen, die die vielen Grafiken auf dem
Computer erstellt hat, für die effiziente Zusammenarbeit herzlich danken, ohne die das
Buch nicht möglich gewesen wäre.
Berlin Günter Bärwolff
Juni 2006
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Zahldarstellung und Fehlertypen bei numerischen Rechnungen ....... 1
1.2 Fehlerverstärkung und -fortpflanzung bei Rechenoperationen ........ 8
1.3 Hilfsmittel der linearen Algebra zur Fehlerabschätzung ............. 13
1.4 Fehlerabschätzungen bei linearen Gleichungssystemen ............. 16
1.5 Fehlerverstärkung bei Funktionen mit mehreren Einflussgrößen ...... 18
1.6 Relative Kondition und Konditionszahl einer Matrix A .............. 20
1.7 Aufgaben ................................................. 21
2 Direkte Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme ............. 23
2.1 Vorbemerkungen ........................................... 23
2.2 Das Gauß’sche Eliminationsverfahren ........................... 24
2.3 Matrixzerlegungen .......................................... 29
2.4 Gleichungssysteme mit tridiagonalen Matrizen .................... 39
2.5 Programmpakete zur Lösung linearer Gleichungssysteme ........... 42
2.6 Aufgaben ................................................. 43
3 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme .......................... 45
3.1 Vorbemerkungen ........................................... 45
3.2 Die QR-Zerlegung .......................................... 47
3.3 Allgemeine lineare Ausgleichsprobleme ......................... 55
3.4 Singulärwertzerlegung ....................................... 64
3.5 Aufgaben ................................................. 76
4 Matrix-Eigenwertprobleme ....................................... 79
4.1 Problembeschreibung und algebraische Grundlagen ................ 79
4.2 Von-Mises-Vektoriteration .................................... 86
4.3 QR-Verfahren .............................................. 90
4.4 Transformation auf Hessenberg- bzw. Tridiagonal-Form ............ 93
4.5 Anwendung des QR-Verfahrens auf Hessenberg-Matrizen ........... 98
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