nümerik analiz

15 Pages·2017·1.77 MB·Turkish

Edited with the trial version of
Foxit Advance1d2 P.D0F2 E.2di0to1r8
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
Doğrusal Olmayan Eşitliklerin ve
Sistemlerin Çözümü
• f(x)=0 eşitliğinde köklerin bulunması
NÜMERİK ANALİZ
sayısal yöntemlerin en temel işlemidir.
y y y
f(x) f(x) f(x)
Bölüm-3
Doğrusal Olmayan Eşitliklerin ve x x x
kök kök kök kök
Sistemlerin Çözümü
• Şekillerden görüleceği üzere fonksiyonların
Yrd. Doç. Dr. Hatice Çıtakoğlu
hiçbir çözüme sahip olmadığı gibi bir veya
2016
birkaç çözüm değerine sahip olanlar vardır.
1 2
Doğrusal Olmayan Eşitliklerin ve Doğrusal Olmayan Eşitliklerin ve
Sistemlerin Çözümü Sistemlerin Çözümü
• Fonksiyonun kökünün olup olmadığını
belirlemek amacıyla başlangıç • f(x)=0 fonsiyonu için x ve x başlangıç
1 2
değerlerinden yararlanılmaktadır. değerleri olsun.
• Fonksiyona iki başlangıç değeri verilerek • x değeri için f(x ) elde edilir.
1 1
bu iki değer arasında işaret değişiminin • X değeri için f(x ) elde edilir.
2 2
olması durumunda reel bir kökün olduğu
söylenir. • f(x )* f(x ) <0 olması durumunda f(x)
1 2
fonksiyonunun bir kökü vardır!!!!
3 4
1
Edited with the trial version of
Foxit Advance1d2 P.D0F2 E.2di0to1r8
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
Doğrusal Olmayan Eşitliklerin ve Doğrusal Olmayan Eşitliklerin ve
Sistemlerin Çözümü Sistemlerin Çözümü
• Cevap: İşleme başlamadan önce hesap
• Örnek: f(x)=4.5x-2cos(x) fonksiyonunun
makinesinin ayrını RADYAN yapılmalıdır.
[0,1] aralığında kökü olup olmadığını
belirleyiniz. • x=0 için f(0)=4.5x0-2cos(0)= -2
• x=1 için f(1)=4.5x1-2cos(1)= 3.420
• f(0)*f(1)<0 şartının sağlanması • f(0)*f(1)=-2x3.420=-6.84
durumunda reel bir kökü vardır!!!!
• f(0)*f(1)<0 şartını sağladığı için [0,1]
aralığında reel bir kökü vardır.
5 6
Doğrusal Olmayan Eşitliklerin ve
İkiye Bölme Yöntemi
Sistemlerin Çözümü
• f(x) incelenen aralıkta tek bir çözüm
değerine sahip sürekli fonksiyondur.
• İkiye Bölme Yöntemi,
• Yöntemde f(x)=0 eşitliğinin çözümü
• Lineer iterasyon Yöntemi,
için başlangıç verilen [a,b] y
• Newton-Raphson Yöntemi,
aralığında araştırmaya f(x)
• Kiriş iteratif Yöntemi, f(a)
başlanır. f(a)*f(b)<0 şartı
olmak üzere dört yöntem mevcuttur. Kontrol edilir. a b x
gerçek
kök
f(b)
7 8
2
Edited with the trial version of
Foxit Advance1d2 P.D0F2 E.2di0to1r8
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
İkiye Bölme Yöntemi İkiye Bölme Yöntemi
y y
• Örnek: f(x)=4.5x-2cos(x) fonksiyonunun
f(x) f(x)
İitkeirnacsiy on [0,1] aralığında kökünü hesaplayınız.
Gerçek kök Gerçek kök
a a
b x b x • İşleme başlamadan önce hesap
İkinci Tahmin
y y makinesinin ayrı RADYAN yapılmalıdır.
İlk Üçüncü
iterasyon iterasyon
İlk Tahmin Gerçek kök
a a
b x b x
Üçüncü Tahmin
9 10
İkiye Bölme Yöntemi İkiye Bölme Yöntemi
• 1.iterasyon: [0,1] aralığında kökün • 2.iterasyon: Kökün bulunduğu aralık [0,0.5]
düşmüştür.
olduğunu bulmuştuk. [0,1] aralığını
ab 00.5
küçültmek amacıyla x   0.25
1
2 2
ab 01 f04.502cos02
x   0.5
1
2 2 f0.254.50.252cos0.250.813
• alınır.
f0 f0.2520.8131.6260
f04.502cos02
• İşaret pozitif olduğu için kökün bulunduğu
f0.54.50.52cos0.50.494 aralık [0.25,0.5] arasındadır.
f0 f0.520.4940.9880
11 12
3
Edited with the trial version of
Foxit Advance1d2 P.D0F2 E.2di0to1r8
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
İkiye Bölme Yöntemi İkiye Bölme Yöntemi
İterasyon İterasyon
sayısı a b xi f(a) f(xi) f(a)*f(xi) sayısı a b xi f(a) f(xi) f(a)*f(xi) ε
1 0 1 0.5 -2 0.494 - 1 0 1 0.5 -2 0.494 - 0.5
2 0 0.5 0.25 -2 -0.813 + 2 0 0.5 0.25 -2 -0.813 + 0.25
3 0.25 0.5 0.375 -0.813 -0.174 + 3 0.25 0.5 0.375 -0.813 -0.174 + 0.125
4 0.375 0.5 0.438 -0.174 0.157 - 4 0.375 0.5 0.438 -0.174 0.157 - 0.063
5 0.375 0.438 0.406 -0.174 -0.011 + 5 0.375 0.438 0.406 -0.174 -0.011 + 0.031
6 0.406 0.438 0.422 -0.011 0.074 - 6 0.406 0.438 0.422 -0.011 0.074 - 0.016
7 0.406 0.422 0.414 -0.011 0.032 - 7 0.406 0.422 0.414 -0.011 0.032 - 0.008
8 0.406 0.414 0.410 -0.011 0.011 - 8 0.406 0.414 0.410 -0.011 0.011 - 0.004
• İterasyonlarsonsuza dek devam  00.50.5
Reel Kök=0.41
edebileceğinden, yaklaşık bağıl hata veya  0.3750.4380.063
mutlak hata değerlerine bakılarak iterasyonlar
 0.4060.4100.004
durdurulur.
13 14
İkiye Bölme Yöntemi İkiye Bölme Yöntemi
• Örnek: f(x)=5.6x3-78.9x-1234 • f(x1)* f(x2) <0 olması durumunda f(x)
fonksiyonunun bir kökü vardır!!!!
fonksiyonunun [0,10] aralığında kökü olup
• O halde 0 ve 10 fonsiyondayerine konur
olmadığını belirleyiniz ve kökünü
f(0)5.60378.9012341234
hesaplayınız.
3
f(10)5.610 78.91012343577
• f(0)*f(10)=-1234x3577= -0.441E+07
• f(0)*f(10)<0 şartını sağladığı için [0,10]
aralığında kökü vardır.
15 16
4
Edited with the trial version of
Foxit Advance1d2 P.D0F2 E.2di0to1r8
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
İkiye Bölme Yöntemi
• Matlabta
İtesaraysısyıon a b xi f(a) f(xi) f(a)*f(xi) ε İkiye Bölme Yöntemi
1 0 10 5.000 -1234.00 -928.50 + 5.000
2 5 10 7.500 -928.50 536.75 - 2.500
3 5 7.5 6.250 -928.50 -359.94 + 1.250
4 6.25 7.5 6.875 -359.94 43.29 - 0.625
5 6.25 6.875 6.563 -359.94 -169.09 + 0.313 Yakınsama
Hızı
6 6.875 6.563 6.719 43.29 -65.66 - 0.156 Yavaştır
7 6.875 6.719 6.797 43.29 -11.88 - 0.078
8 6.7969 6.875 6.836 -11.86 15.54 - 0.039
9 6.7969 6.836 6.816 -11.86 1.78 - 0.019
10 6.7969 6.836 6.816 -11.86 1.78 - 0.019
11 6.8164 6.797 6.807 1.78 -5.05 - 0.010
12 6.8164 6.807 6.812 1.78 -1.64 - 0.005
13 6.8115 6.8164 6.814 -1.64 0.07 - 0.002 17 18
Lineer iterasyon Yöntemi Lineer İterasyon Yöntemi
• y=x ve y=g(x) eğrilerinin, sabit nokta olarak • Yakınsama durumu -1 < g‘(x) < 1
isimlendirilen kesişme noktası aranan çözümü • Iraksama durumu g‘(x) > 1
vermektedir. Belirli bir başlangıç değeri için
• Yakınsama durumunda reel kök bulunur,
ardışık işlemlerle sayısal çözüme ulaşılır.
ıraksamada kökten uzaklaşılır yani yoktur.
• g(x) fonksiyonu iterasyon fonksiyonu olarak
y=x
adlandırılır. Yöntemin iyi sonuç vermesi g(x) y
fonksiyonuna bağlıdır. y y=x g(x2)
y
xi1gxi Gerçek kök y=x f(x) Gköekr çek g(xg3()x 2) g(x1) g(x1) Gköekr çek
y=f(x) x1 x y=f(x) x1 x
x x 19 x3=g(x2x)2 =g(x1) x2=g(x1) x3=g(x2) 20
YAKINSAMA IRAKSAMA
5
Edited with the trial version of
Foxit Advance1d2 P.D0F2 E.2di0to1r8
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
Lineer iterasyon Yöntemi Lineer iterasyon Yöntemi
• İşlem adımları • Örnek: f(x)=4.5x-2cos(x) fonksiyonunu
lineer iterasyon yöntemiyle çözebilmek
1. g(x) fonksiyonu belirlenir.
için başlangıç şartının 0.1 olduğu
2. g(x) fonksiyonun türevi alınarak yakınsama
durumda fonksiyonun, kök değerini ve
veya ıraksama durumu kontrol edilir.
yaklaşık bağıl hata değerini, dört
3. Başlangıç değerinde g(x) fonksiyonu
iterasyonda hesaplayınız.
yakınsama durumunda ise x =g(x) formülü
i+1
kullanılarak kök tahmin edilir.
4. Hata değeri (ɛ=0.001) istenilen düzeye
kadar iterasyonlara devam edilir.
21 22
Lineer iterasyon Yöntemi Lineer iterasyon Yöntemi
• İşleme başlamadan önce hesap makinesinin • x=0.444cos(x) fonk. yakınsaklık şartı kontrol
ayrı RADYAN yapılmalıdır. edilir:
• g‘(x)=-0.444sin(x)
• x=0.1 →g‘(0.1)=-0.444sin(0.1)=-1<-0.0443<0 Yakınsak
• f(x)=4.5x-2cos(x)=0 → 4.5x=2cos(x)
→ x=cos-1(2.25x)
• g(x)=cos-1(2.25x) fonk. yakınsaklık şartı
→ x=0.444cos(x) kontrol edilir:
2.25
gx
• Eşitliklerin yakınsaklık durumu kontrol 12.25x2
2.25
edilir!... • x=0.1 → g0.1 -2.310<-1 Iraksak
12.250.12
23 24
6
Edited with the trial version of
Foxit Advance1d2 P.D0F2 E.2di0to1r8
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
Lineer iterasyon Yöntemi Lineer iterasyon Yöntemi
• 1. iterasyon • 3. iterasyon
• x =0.444cosx → x =0.444cos(0.1)=0.442 • x =0.444cosx →x =0.444cos(0.401)=0.409
1 0 1 3 2 3
0.4420.1 0.4010.409
  0.774   0.0196
1 3
0.442 0.409
• 2. iterasyon • 4. iterasyon
• x =0.444cosx →x =0.444cos(0.442)=0.401 • x =0.444cosx →x =0.444cos(0.409)=0.408
2 1 2 4 3 4
0.4010.442 0.4080.409
  0.102   0.0025
2 4
0.401 0.408
25 26
Lineer iterasyon Yöntemi Lineer İterasyon Yöntemi
• Örnek: f(x)=5.6x3-78.9x-1234
fonksiyonunun [5,10] aralığında kökünü
İterasyon
X X ɛ hesaplayınız.
Sayısı n n+1
1 0.100 0.442 0.774
• Çözüm:
2 0.442 0.401 0.102
• Bu yöntemde dikkat edilmesi gereken en
3 0.401 0.409 0.0196
önemli nokta YAKINSAMA şartını
4 0.409 0.408 0.0025
sağlayacak g(x) fonksiyonunun elde
edilmesidir.
Reel Kök=0.408
27 28
7
Edited with the trial version of
Foxit Advance1d2 P.D0F2 E.2di0to1r8
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
Lineer İterasyon Yöntemi Lineer İterasyon Yöntemi
• f(x)=5.6x3-78.9x-1234=0 • 5.6x3=78.9x+1234 eşitliğin her iki tarafı
5.6 bölünür:
• 78.9x=5.6x3-1234 eşitliğin her iki tarafı
78.9 bölünür: • x3=14.089x+220.36
• x=0.070976x3-15.64
• g‘(x)=0.213x2 • x=(14.089x+220.36)1/3
• x=5 için g‘(5)= 5.32>1 Iraksak
• x=10 için g‘(10)= 21.3>1 Iraksak • gx14.089114.089x220.362/3
3
29 30
Lineer İterasyon Yöntemi Lineer İterasyon Yöntemi
İterasyon
gx14.089114.089x220.362/3 Sayısı Xn Xn+1 ɛ
3
1 5 6.625225 1.63E+00
• x=5 için g‘(5)= 0.107<1 Yakınsak 2 6.625225 6.794739 1.70E-01
3 6.794739 6.811939 1.72E-02
4 6.811939 6.813679 1.74E-03
• x=10 için g‘(10)= 0.093<1 Yakınsak
5 6.813679 6.813855 1.76E-04
6 6.813855 6.813873 1.78E-05
 x x
n1 n
31 32
8
Edited with the trial version of
Foxit Advance1d2 P.D0F2 E.2di0to1r8
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
Newton-Raphson Yöntemi
• Matlabta • Yöntemde ilk olarak çözümün bir başlangıç tahmini
Lineer iterasyon x ile işleme başlanır.
1
• İkinci tahmin x ,f(x) fonksiyonuna (x, f(x))
yöntemi 2 1 1
noktasından çizilen teğetin x eksenini kesmesiyle
bulunur.
• Üçüncü tahmin x ,f(x) fonksiyonuna (x , f(x ))
3 2 2
noktasından çizilen teğetin x eksenini kesmesiyle
bulunur. y
fx 
x x  i f(x)
i1 i fx 
i
Gerçek kök
33 x1 x2 x3 x 34
Newton-Raphson Yöntemi Newton-Raphson Yöntemi
• Eğer fonksiyonun türevi alınamıyorsa veya
Yöntemde dikkat edilmesi gerekenler:
türevinin alınması karmaşık işlemler
• Yöntemin uygulana bilmesi için gerçek kökünün
gerektiriyorsa diğer yöntemler tercih
olması gerek.
edilebilir.
f(x )* f(x ) <0
1 2 • Farklı başlangıç değerleri ile ıraksama ile
• Çözüme ulaşmak için kullanılacak başlangıç karşılaşılabilir.
değerinin, kök değerinden fazla uzakta • Iraksama durumu önceden y
olmaması gerekir. f(x)
tespit edilemez.
• Fonksiyonun ve türevinin tanımlı olması
oldukça önemlidir.
x3 x1
x2 x
Gerçek kök
35 36

9
Edited with the trial version of
Foxit Advance1d2 P.D0F2 E.2di0to1r8
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
Newton-Raphson Yöntemi Newton-Raphson Yöntemi
• Newton-Raphson Yöntemiyle çözüm
• Örnek: f(x)=4.5x-2cos(x) fonksiyonunun
yapabilmemiz için f(x) fonksiyonunun x
kökünü x =0 için Newton-Raphson
0 göre bir kere türevi alınır:
Yöntemiyle hesaplayınız.
fx 4.52sinx
i
• 1. iterasyon
• x=0 → f(0)=-2, f’(0)=4.5
• Gerekli Formül: fx  2
x x  i 0 0.4444444
x x  fxi i1 i fxi 4.5
i1 i fx 
i 0.444440
  1.000
1
0.44444
37 38
Newton-Raphson Yöntemi Newton-Raphson Yöntemi
• 2. iterasyon
• Tabloda gösterimi:
• x=0.444 → f(0.444)=0.194, f’(0.444)=5.360
fx  0.194
xi1xi fxi0.4445.3600.408194 xi f(xi) f'(xi) xi+1 ɛ
i
0-2.000E+00 4.5000.444444 1
0.4081940.444
2  0.0888 0.444444 1.940E-01 5.360 0.408194 0.0888
0.408194
0.408194 1.195E-03 5.2940.407968 0.00055
• 3. iterasyon
• x=0.408 →f(0.408)=1.195E-03, f’(0.408)=5.294
1.195103
x 0.408194 0.407968
i1
5.294
0.4079680.408194
  0.00055
2
0.407968
39 40
10