NUEVOS METODOS DE ANALISIS MULTIVARIANTE

305 Pages·2016·2.68 MB·Spanish

NUEVOS M(cid:201)TODOS
DE
AN`LISIS MULTIVARIANTE
Carles M. Cuadras
21 de septiembre de 2014
2
Es propiedad del autor.
c C. M. Cuadras
(cid:13)
CMC Editions
Manacor 30
08023 Barcelona, Spain
˝ndice general
1. DATOS MULTIVARIANTES 13
1.1. Introducci(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2. Matrices de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3. Matriz de centrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4. Medias, covarianzas y correlaciones . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5. Variables compuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6. Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7. Teorema de la dimensi(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.8. Medidas globales de variabilidad y
dependencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.9. Distancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.10.Algunos aspectos del cÆlculo matricial . . . . . . . . . . . . . . 21
1.10.1. Descomposici(cid:243)n singular . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.10.2. Inversa generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.10.3. Aproximaci(cid:243)n matricial de rango inferior . . . . . . . . 22
1.10.4. Transformaci(cid:243)n procrustes . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.11.Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.12.Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2. NORMALIDAD MULTIVARIANTE 29
2.1. Introducci(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2. Distribuci(cid:243)n normal multivariante . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.1. De(cid:133)nici(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.3. Caso bivariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3. Distribuci(cid:243)n de Wishart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4. Distribuci(cid:243)n de Hotelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5. Distribuci(cid:243)n de Wilks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3
4 ˝NDICE GENERAL
2.6. Relaciones entre Wilks, Hotelling y F . . . . . . . . . . . . . . 37
2.7. Distribuci(cid:243)n multinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.8. Distribuciones con marginales dadas . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.9. Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3. INFERENCIA MULTIVARIANTE 43
3.1. Conceptos bÆsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2. Estimaci(cid:243)n de medias y covarianzas . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3. Contraste de hip(cid:243)tesis multivariantes . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.1. Test sobre la media: una poblaci(cid:243)n . . . . . . . . . . . 45
3.3.2. Test sobre la media: dos poblaciones . . . . . . . . . . 46
3.3.3. Comparaci(cid:243)n de varias medias . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4. Teorema de Cochran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.5. Construcci(cid:243)n de contrastes de hip(cid:243)tesis . . . . . . . . . . . . . 51
3.5.1. Raz(cid:243)n de verosimilitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5.2. Principio de uni(cid:243)n-intersecci(cid:243)n. . . . . . . . . . . . . . 53
3.6. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.7. AnÆlisis de per(cid:133)les . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.8. Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4. AN`LISIS DE CORRELACI(cid:211)N CAN(cid:211)NICA 63
4.1. Introducci(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2. Correlaci(cid:243)n mœltiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3. Correlaci(cid:243)n can(cid:243)nica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.4. Correlaci(cid:243)n can(cid:243)nica y descomposici(cid:243)n singular . . . . . . . . 68
4.5. Signi(cid:133)caci(cid:243)n de las correlaciones can(cid:243)nicas . . . . . . . . . . . 69
4.6. Contraste de hip(cid:243)tesis de independencia . . . . . . . . . . . . 69
4.6.1. Raz(cid:243)n de verosimilitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.6.2. Principio de uni(cid:243)n(cid:150)intersecci(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . 70
4.7. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.8. Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5. AN`LISIS DE COMPONENTES PRINCIPALES 77
5.1. Obtenci(cid:243)n de las componentes principales . . . . . . . . . . . 77
5.2. Variabilidad explicada por las componentes . . . . . . . . . . . 79
5.3. Representaci(cid:243)n de una matriz de datos . . . . . . . . . . . . . 80
5.4. Inferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.4.1. Estimaci(cid:243)n y distribuci(cid:243)n asint(cid:243)tica . . . . . . . . . . . 83
˝NDICE GENERAL 5
5.4.2. Contraste de hip(cid:243)tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.5. Nœmero de componentes principales . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.5.1. Criterio del porcentaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.5.2. Criterio de Kaiser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.5.3. Test de esfericidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.5.4. Criterio del bast(cid:243)n roto. . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.6. Biplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.7. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.8. Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6. AN`LISIS FACTORIAL 97
6.1. Introducci(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2. El modelo unifactorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.3. El modelo multifactorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.3.1. El modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.3.2. La matriz factorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.3.3. Las comunalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.3.4. Nœmero mÆximo de factores comunes . . . . . . . . . . 102
6.3.5. El caso de Heywood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.3.6. Un ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.4. Teoremas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.5. MØtodo del factor principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.6. MØtodo de la mÆxima verosimilitud . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.6.1. Estimaci(cid:243)n de la matriz factorial . . . . . . . . . . . . 109
6.6.2. Hip(cid:243)tesis sobre el nœmero de factores . . . . . . . . . . 110
6.7. Rotaciones de factores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.7.1. Rotaciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.7.2. Factores oblicuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.7.3. Rotaci(cid:243)n oblicua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.7.4. Factores de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.8. Medici(cid:243)n de factores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.9. AnÆlisis factorial con(cid:133)rmatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.10.Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7. AN`LISIS CAN(cid:211)NICO DE POBLACIONES 123
7.1. Introducci(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.2. Variables can(cid:243)nicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.3. Distancia de Mahalanobis y transformaci(cid:243)n can(cid:243)nica . . . . . 126
6 ˝NDICE GENERAL
7.4. Representaci(cid:243)n can(cid:243)nica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.5. Aspectos inferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.5.1. Comparaci(cid:243)n de medias . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.5.2. Comparaci(cid:243)n de covarianzas . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.5.3. Test de dimensionalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.5.4. Regiones con(cid:133)denciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.6. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.7. Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8. ESCALADO MULTIDIMENSIONAL (MDS) 137
8.1. Introducci(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.2. ¿CuÆndo una distancia es eucl(cid:237)dea? . . . . . . . . . . . . . . . 138
8.3. El anÆlisis de coordenadas principales . . . . . . . . . . . . . . 140
8.4. Similaridades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
8.5. Nociones de MDS no mØtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
8.6. Distancias estad(cid:237)sticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8.6.1. Variables cuantitativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8.6.2. Variables binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
8.6.3. Variables categ(cid:243)ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
8.6.4. Variables mixtas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
8.6.5. Otras distancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
8.7. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
8.8. Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
9. AN`LISIS DE CORRESPONDENCIAS 161
9.1. Introducci(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
9.2. Cuanti(cid:133)caci(cid:243)n de las variables categ(cid:243)ricas . . . . . . . . . . . 163
9.3. Representaci(cid:243)n de (cid:133)las y columnas . . . . . . . . . . . . . . . 164
9.4. Representaci(cid:243)n conjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
9.5. Soluciones simØtrica y asimØtrica . . . . . . . . . . . . . . . . 169
9.6. Variabilidad geomØtrica (inercia) . . . . . . . . . . . . . . . . 170
9.7. AnÆlisis de Correspondencias Mœltiples . . . . . . . . . . . . . 173
9.8. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
9.9. MDS ponderado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
9.10.Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
˝NDICE GENERAL 7
10. CLASIFICACI(cid:211)N 187
10.1.Introducci(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
10.2.Jerarqu(cid:237)a indexada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
10.3.Geometr(cid:237)a ultramØtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
10.4.Algoritmo fundamental de clasi(cid:133)caci(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . 194
10.5.Equivalencia entre jerarqu(cid:237)a indexada y ultramØtrica . . . . . 195
10.6.Algoritmos de clasi(cid:133)caci(cid:243)n jerÆrquica . . . . . . . . . . . . . . 196
10.6.1. MØtodo del m(cid:237)nimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
10.6.2. MØtodo del mÆximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
10.7.MÆs propiedades del mØtodo del m(cid:237)nimo . . . . . . . . . . . . 200
10.8.Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
10.9.Clasi(cid:133)caci(cid:243)n no jerÆrquica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
10.10.Nœmero de clusters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
10.11.Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
11. AN`LISIS DISCRIMINANTE 211
11.1.Introducci(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
11.2.Clasi(cid:133)caci(cid:243)n en dos poblaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
11.2.1. Discriminador lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
11.2.2. Regla de la mÆxima verosimilitud . . . . . . . . . . . . 212
11.2.3. Regla de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
11.3.Clasi(cid:133)caci(cid:243)n en poblaciones normales . . . . . . . . . . . . . . 214
11.3.1. Discriminador lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
11.3.2. Regla de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
11.3.3. Probabilidad de clasi(cid:133)caci(cid:243)n err(cid:243)nea . . . . . . . . . . 215
11.3.4. Discriminador cuadrÆtico . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
11.3.5. Clasi(cid:133)caci(cid:243)n cuando los parÆmetros son estimados . . . 215
11.4.Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
11.5.Discriminaci(cid:243)n en el caso de k poblaciones . . . . . . . . . . . 218
11.5.1. Discriminadores lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
11.5.2. Regla de la mÆxima verosimilitud . . . . . . . . . . . . 219
11.5.3. Regla de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
11.6.Un ejemplo clÆsico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
11.7.Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
12. DISCRIMINACI(cid:211)N LOG˝STICA Y OTRAS 223
12.1.AnÆlisis discriminante log(cid:237)stico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
12.1.1. Introducci(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
8 ˝NDICE GENERAL
12.1.2. Modelo de regresi(cid:243)n log(cid:237)stica . . . . . . . . . . . . . . . 224
12.1.3. Estimaci(cid:243)n de los parÆmetros . . . . . . . . . . . . . . 225
12.1.4. Distribuci(cid:243)n asint(cid:243)tica y test de Wald . . . . . . . . . 226
12.1.5. Ajuste del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
12.1.6. Curva ROC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
12.1.7. Comparaci(cid:243)n entre discriminador lineal y log(cid:237)stico . . . 232
12.2.AnÆlisis discriminante basado en distancias . . . . . . . . . . . 233
12.2.1. La funci(cid:243)n de proximidad . . . . . . . . . . . . . . . . 234
12.2.2. La regla discriminante DB . . . . . . . . . . . . . . . . 235
12.2.3. La regla DB comparada con otras . . . . . . . . . . . . 236
12.2.4. La regla DB en el caso de muestras . . . . . . . . . . . 236
12.3.Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
13. EL MODELO LINEAL 241
13.1.El modelo lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
13.2.Suposiciones bÆsicas del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
13.3.Estimaci(cid:243)n de parÆmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
13.3.1. ParÆmetros de regresi(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
13.3.2. Varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
13.4.Algunos modelos lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
13.4.1. Regresi(cid:243)n mœltiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
13.4.2. Diseæo de un factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
13.4.3. Diseæo de dos factores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
13.5.Hip(cid:243)tesis lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
13.6.Inferencia en regresi(cid:243)n mœltiple . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
13.7.Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
14. AN`LISIS DE LA VARIANZA (ANOVA) 253
14.1.Diseæo de un factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
14.2.Diseæo de dos factores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
14.3.Diseæo de dos factores con interacci(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . . 257
14.4.Diseæos multifactoriales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
14.5.Modelos log-lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
14.6.Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
15. AN`LISIS DE LA VARIANZA (MANOVA) 265
15.1.Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
15.2.Estimaci(cid:243)n de parÆmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
˝NDICE GENERAL 9
15.3.Contraste de hip(cid:243)tesis lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
15.4.Manova de un factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
15.5.Manova de dos factores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
15.6.Manova de dos factores con interacci(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . 273
15.7.Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
15.8.Otros criterios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
15.9.Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
16. FUNCIONES ESTIMABLES MULTIVARIANTES 279
16.1.Funciones estimables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
16.2.Teorema de Gauss-Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
16.3.Funciones estimables multivariantes . . . . . . . . . . . . . . . 281
16.4.AnÆlisis can(cid:243)nico de funciones estimables . . . . . . . . . . . . 282
16.4.1. Distancia de Mahalanobis . . . . . . . . . . . . . . . . 282
16.4.2. Coordenadas can(cid:243)nicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
16.4.3. Regiones con(cid:133)denciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
16.5.Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
16.6.Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
10 ˝NDICE GENERAL