Nuevos algoritmos cuánticos para tomografía de procesos y

173 Pages·2013·1.25 MB·Spanish

by  Bendersky, Ariel Martín

Tesis Doctoral
NNuueevvooss aallggoorriittmmooss ccuuáánnttiiccooss ppaarraa
ttoommooggrraaffííaa ddee pprroocceessooss yy eessttaaddooss
Bendersky, Ariel Martín
2011
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Bendersky, Ariel Martín. (2011). Nuevos algoritmos cuánticos para tomografía de procesos y
estados. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires.
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Bendersky, Ariel Martín. "Nuevos algoritmos cuánticos para tomografía de procesos y
estados". Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires. 2011.
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UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Departamento de F´ısica
Nuevos algoritmos cu´anticos para
tomograf´ıa de procesos y estados
Trabajo de Tesis para optar por el t´ıtulo de
´
Doctor de la Universidad de Buenos Aires en el Area Ciencias
F´ısicas
por Ariel Mart´ın Bendersky
Director de Tesis: Juan Pablo Paz
Lugar de Trabajo: Depto. de F´ısica, FCEyN, UBA
6/10/2011

Resumen
Caracterizar los estados y procesos es una tarea con la que los f´ısicos
se cruzan cotidianamente. En esta tesis estudiamos diferentes algoritmos
cua´nticos para la tomograf´ıa de procesos y estados. En una primera parte
presentamos dos algoritmos cua´nticos para tomograf´ıa de procesos selectiva
y eficiente y una comparaci´on entre ellos y otros m´etodos selectivos. En una
segunda parte estudiamos la tomograf´ıa de estados. All´ı vemos en primer
lugar un algoritmo de tomograf´ıa de estados selectiva y eficiente. Luego pre-
sentamos una teor´ıa general de la medicio´n cuando se dispone de dos copias
simulta´neas del estado cua´ntico. Ambas partes se encuentran ´ıntimamente
relacionadas por la dualidad entre estados y canales, lo que permite mante-
ner en la segunda parte una visi´on retrospectiva analizando los protocolos de
tomograf´ıa de estados en virtud de su capacidad de realizar tomograf´ıa de
procesos.
Palabras clave: informaci´on cu´antica, tomograf´ıa de procesos, to-
mograf´ıa de estados

New quantum algorithms for process and state
tomography
Abstract
Characterizing states and processes is a task that a physicist faces on a
daily basis. In this thesis we study several quantum algorithms for process
and state tomography. In a first part que introduce two quantum algorithms
for selective and efficient quantum process tomography, along with a com-
parision between those and other algorithms. In a second part, we study
state tomography. At first we introduce a quantum algorithm for selective
and efficient state tomography. Then we present a general theory of mea-
surement when two simultaneous copies of the quantum state are available.
Both parts are closely related through a duality between quantum states and
channels. This allows to keep a retrospective view analyzing quantum state
tomography protocols as a tool for quantum process tomography.
Key words: quantum information, process tomography, state to-
mography
6
´
Indice general
1. Introduccio´n 11
I Tomograf´ıa de procesos cu´anticos 15
2. Tomograf´ıa de procesos 17
2.1. Descripcio´n del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2. Tomograf´ıa de procesos cu´anticos esta´ndar . . . . . . . . . . . 19
2.3. Otros m´etodos para tomograf´ıa de procesos . . . . . . . . . . . 22
2.3.1. Tomograf´ıa de procesos asistida por ancilla . . . . . . . 22
2.3.2. Caracterizaci´on directa de la dina´mica cu´antica . . . . 23
2.3.3. Caracterizaci´on simetrizada de procesos cu´anticos rui-
dososycaracterizacio´ndeerrorenprocesamientocua´n-
tico de la informacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4. Conclusiones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3. Tomograf´ıa de procesos cu´anticos selectiva y eficiente 27
3.1. Fidelidad media y promedios sobre el espacio de Hilbert . . . 30
3.1.1. Fidelidad media de un canal . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.2. Integrales en la medida de Haar y 2–disen˜os . . . . . . 30
3.2. Medicio´n de coeficientes diagonales . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3. Medicio´n de coeficientes no diagonales . . . . . . . . . . . . . 34
3.4. Analisis del error para SEQPT . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.5. Extensiones del m´etodo SEQPT . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5.1. La importancia de los coeficientes diagonales . . . . . . 38
3.5.2. Medici´on simulta´nea de coeficientes diagonales usando
probabilidades de transici´on . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5.3. Detecci´on de coeficientes diagonales principales . . . . 41
7
3.5.4. Ana´lisis del error para la detecci´on simult´anea de coe-
ficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.6. Conclusiones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4. Tomograf´ıa de procesos cu´anticos selectiva y eficiente sin an-
cillas 47
4.1. Elementos no diagonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1.1. Preparaci´on de estados con ancilla . . . . . . . . . . . 49
4.2. Tomograf´ıa diagonal en otra base . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2.1. Preparaci´on de estados sin ancilla . . . . . . . . . . . . 51
4.3. Conclusiones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5. Implementaci´on foto´nica de SEQPT y SEQPT sin ancilla 55
5.1. Experimento foto´nico de SEQPT . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2. Experimento foto´nico de SEQPT sin ancillas . . . . . . . . . . 58
5.3. Conclusiones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6. Comparacio´n entre m´etodos de tomograf´ıa de procesos 63
6.1. Comparacio´n entre SEQPT y DCQD . . . . . . . . . . . . . . 64
6.1.1. Preparaci´on de estados mediante mediciones . . . . . . 64
6.1.2. Medici´on de la fidelidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.2. M´etodos basados en la operacio´n de twirl . . . . . . . . . . . . 66
6.2.1. Twirl de un canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.2.2. M´etodos que utilizan un twirl de todo el espacio . . . . 67
6.2.3. M´etodos con twirl de un solo qubit . . . . . . . . . . . 73
6.3. Conclusiones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
II Tomograf´ıa de estados cu´anticos 81
7. Tomograf´ıa de estados cu´anticos 83
7.1. Descripcio´n de los estados cua´nticos . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.1.1. Expansi´on en operadores de Pauli generalizados . . . . 84
7.1.2. Expansi´on en una base de . . . . . . . . . . . . . . . 85
H
7.1.3. Tomograf´ıa de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.2. Mediciones proyectivas y generalizadas . . . . . . . . . . . . . 86
7.2.1. Mediciones proyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.2.2. Mediciones generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8
7.3. Conclusiones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
8. Teor´ıa general de la medicio´n con dos copias simult´aneas del
estado 89
8.1. Medicio´n con dos copias simult´aneas del estado . . . . . . . . 90
8.1.1. Medici´on basada en mapas completamente copositivos 90
8.2. Poder tomogra´fico de dos copias . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.2.1. Poder tomogra´fico y CCPMVM . . . . . . . . . . . . . 96
8.2.2. Comparaci´on con los detectores universales . . . . . . . 97
8.2.3. Medici´on de pureza y concurrencia . . . . . . . . . . . 98
8.3. Aplicacio´n a la tomograf´ıa de procesos . . . . . . . . . . . . . 102
8.4. Conclusiones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9. Tomograf´ıa selectiva y eficiente de estados cu´anticos 107
9.1. Tomograf´ıa selectiva, eficiente y directa de estados cua´nticos . 108
9.2. Aplicacio´n a la tomograf´ıa de procesos . . . . . . . . . . . . . 110
9.3. Circuitos reducidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
9.4. Conclusiones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
10.Conclusiones generales 115
III Ap´endices 117
A. Generalidades sobre mec´anica cu´antica 119
A.1. Estados puros y mixtos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
A.1.1. Pureza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
A.2. Observables y mediciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
A.3. Sistemas multipartitos y entrelazamiento . . . . . . . . . . . . 122
A.3.1. Subsistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
A.3.2. Purificacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
A.3.3. Entrelazamiento y medidas . . . . . . . . . . . . . . . . 124
A.4. Evoluciones y canales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
A.4.1. Positividad y positividad completa . . . . . . . . . . . 126
A.5. Los qubits y la base computacional . . . . . . . . . . . . . . . 126
A.6. Los operadores de Pauli generalizados . . . . . . . . . . . . . . 127
A.7. Dualidad entre canales y operadores . . . . . . . . . . . . . . . 128
A.8. Representaciones de procesos cu´anticos . . . . . . . . . . . . . 129
9