Table Of ContentNOTAS DE VARIA´VEL COMPLEXA
JORGE MUJICA
IMECC-UNICAMP
SEGUNDO SEMESTRE DE 2008
SUMA´RIO
1. Fun¸co˜es holomorfas ..............................................................1
2. S´eries de potˆencias ...............................................................5
3. Integra¸ca˜o sobre curvas.......................................................13
4. Teorema de Cauchy em abertos convexos ...........................21
5. Teorema de Liouville e teorema de Morera ........................30
6. Zeros de fun¸co˜es holomorfas ...............................................33
7. Teorema da aplica¸ca˜o aberta ..............................................41
8. Teorema do mo´dulo ma´ximo...............................................47
9. Singularidades isoladas .......................................................52
10. Residuos .............................................................................58
11. As equa¸co˜es de Cauchy-Riemann .......................................67
12. Fun¸co˜es harmoˆnicas ............................................................71
13. O nu´cleo de Poisson e o problema de Dirichlet...................78
14. Espa¸cos topolo´gicos de fun¸co˜es cont´ınuas ..........................83
15. Espa¸cos topolo´gicos de fun¸co˜es holomorfas ........................89
16. O plano estendido ...............................................................91
17. Transforma¸co˜es de Mo¨bius .................................................95
18. Teorema de Runge ............................................................100
19. Teorema de Cauchy em abertos arbitra´rios ......................110
20. S´erie de Laurent................................................................116
21. Homotopia e homologia ....................................................124
22. Abertos simplesmente conexos .........................................128
23. Teorema da aplica¸ca˜o de Riemann ...................................132
Bibliografia .............................................................................137
1. Func¸˜oes holomorfas
A menos que digamos o contr´ario, U e V denotara˜o subconjuntos abertos
na˜o vazios de C. Dados a ∈ C e r > 0, denotaremos por D(a;r) o disco
aberto com centro a e raio r. Denotaremos por D(a;r) o disco fechado
correspondente. Ou seja
D(a;r) = {z ∈ C : |z −a| < r},
D(a;r) = {z ∈ C : |z −a| ≤ r}.
Denotaremos por D o disco aberto unita´rio, ou seja D = D(0;1).
1.1. Definic¸˜ao. Seja f : U → C, e seja a ∈ U. O limite
f(z)−f(a)
f(cid:48)(a) = lim ,
z→a z −a
se existir, ´e chamado de derivada de f em a. Diremos que f ´e holomorfa
ou anal´ıtica se existir a derivada f(cid:48)(a) para cada a ∈ U. Denotaremos por
H(U) o conjunto de todas as fun¸co˜es holomorfas f : U → C.
1.2. Proposic¸˜ao. Cada fun¸ca˜o holomorfa f : U → C ´e cont´ınua.
Demonstrac¸˜ao. Para cada a ∈ U tem-se que
(cid:20) (cid:21)
f(z)−f(a)
lim[f(z)−f(a)] = lim (z −a) = f(cid:48)(a)·0 = 0.
z→a z→a z −a
Se X ´e um espa¸co topol´ogico, denotaremos por C(X) o conjunto de todas
as fun¸c˜oes cont´ınuas f : X → C.
1.3. Proposic¸˜ao. Sejam f,g ∈ H(U), e seja c ∈ C. Enta˜o f +g, cf e
fg pertencem a H(U). Para cada z ∈ U tem-se que
(f +g)(cid:48)(z) = f(cid:48)(z)+g(cid:48)(z),
(cf)(cid:48)(z) = cf(cid:48)(z),
(fg)(cid:48)(z) = f(cid:48)(z)g(z)+f(z)g(cid:48)(z).
Em particular H(U) ´e uma a´lgebra, ou seja H(U) ´e um espa¸co vetorial e um
anel, e a multiplica¸ca˜o do anel ´e uma aplica¸ca˜o bilinear.
1
A demonstra¸ca˜o desta proposi¸ca˜o´e an´aloga ao caso de func¸˜oes de vari´avel
real, e ´e deixada como exerc´ıcio.
1.4. Teorema (regra da cadeia). Sejam f ∈ H(U) e g ∈ H(V), com
f(U) ⊂ V. Enta˜o g ◦f ∈ H(U) e
(g ◦f)(cid:48)(z) = g(cid:48)(f(z))f(cid:48)(z) para cada z ∈ U.
Primeira demonstrac¸˜ao. Fixado a ∈ U, temos que
(cid:20) (cid:21)
g(f(z))−g(f(a)) g(f(z))−g(f(a)) f(z)−f(a)
lim = lim ·
z→a z −a z→a f(z)−f(a) z −a
g(w)−g(f(a)) f(z)−f(a)
= lim · lim = g(cid:48)(f(a))f(cid:48)(a).
w→f(a) w−f(a) z→a z −a
Esta demonstrac¸˜ao ´e muito natural, mas infelizmente n˜ao ´e va´lida em geral.
Ela s´o vale se soubermos que f(z) (cid:54)= f(a) quando z (cid:54)= a. Em particular
esta demonstra¸c˜ao ´e v´alida se a fun¸c˜ao f for injetiva. Para demonstrar o
teorema em geral, ou seja sem qualquer restri¸c˜ao sobre f, precisamos ser
mais cuidadosos.
Segunda demonstrac¸˜ao. Fixado a ∈ U, seja φ : U → C definida por
f(z)−f(a)
φ(z) = −f(cid:48)(a) se z (cid:54)= a, φ(z) = 0 se z = a.
z −a
De maneira ana´loga, seja ψ : V → C definida por
g(w)−g(f(a))
ψ(w) = −g(cid:48)(f(a)) se w (cid:54)= f(a), ψ(w) = 0 se w = f(a).
w−f(a)
Por defini¸ca˜o de derivada,
limφ(z) = 0 = φ(a), lim ψ(w) = 0 = ψ(f(a)).
z→a w→f(a)
Segue que
g(f(z))−g(f(a)) = [g(cid:48)(f(a))+ψ(f(z))][f(z)−f(a)]
= [g(cid:48)(f(a))+ψ(f(z))][f(cid:48)(a)+φ(z)](z −a),
2
e portanto
g(f(z))−g(f(a))
lim = g(cid:48)(f(a))f(cid:48)(a).
z→a z −a
De maneira ana´loga podemos provar o teorema seguinte.
1.5. Teorema (regra da cadeia). Seja I um intervalo aberto em R, e
seja U aberto em C. Seja γ : I → C uma fun¸ca˜o deriva´vel, e seja f : U → C
uma fun¸ca˜o holomorfa tais que γ(I) ⊂ U. Enta˜o f ◦γ : I → C ´e deriva´vel e
(f ◦γ)(cid:48)(t) = f(cid:48)(γ(t))γ(cid:48)(t) para cada t ∈ I.
1.6. Teorema. Seja U aberto e conexo em C, e seja f ∈ H(U). Se
f(cid:48)(z) = 0 para todo z ∈ U, enta˜o f ´e constante.
Demonstrac¸˜ao. Fixemos a ∈ U, e seja
A = {z ∈ U : f(z) = f(a)}.
Basta provar que A ´e aberto e fechado em U.
Para provar que A ´e fechado em U, seja (b ) uma sequ¨ˆencia em A que
n
converge a um ponto b ∈ U. Segue que f(b) = limf(b ) = f(a), e portanto
n
b ∈ A.
Para provar que A´e aberto em U, seja b ∈ A, seja r > 0 tal que D(b;r) ⊂
U, e seja c ∈ D(b;r). Se definimos
γ(t) = b+t(c−b) se 0 ≤ t ≤ 1,
enta˜o segue do Teorema 1.5 que
(f ◦γ)(cid:48)(t) = f(cid:48)(γ(t))γ(cid:48)(t) = f(cid:48)(γ(t))(c−b) = 0 se 0 < t < 1.
Segue que f ◦γ ´e constante, e portanto f(c) = f(γ(1)) = f(γ(0)) = f(b) =
f(a). Logo c ∈ A, e portanto D(b;r) ⊂ A.
Exerc´ıcios
1.A. Prove a Proposi¸c˜ao 1.3.
3
1.B. Sejam f,g ∈ H(U), e seja V = {z ∈ U : g(z) (cid:54)= 0}. Prove que o
quociente f/g pertence a H(V) e que para cada z ∈ V tem-se que
(cid:18)f(cid:19)(cid:48) f(cid:48)(z)g(z)−f(z)g(cid:48)(z)
(z) = .
g [g(z)]2
1.C. Prove que a fun¸c˜ao f(z) = zn ´e holomorfa em C para cada n =
0,1,2,.... Prove que f(cid:48)(z) = 0 se n = 0, e f(cid:48)(z) = nzn−1 se n = 1,2,3,...
1.D. Prove que a func˜ao f(z) = 1/zn ´e holomorfa no aberto U = {z ∈
C : z (cid:54)= 0} e f(cid:48)(z) = −n/zn+1 para cada n = 1,2,3,...
1.E. Prove o Teorema 1.5.
1.F. Seja a ∈ D, seja U = {z ∈ C : z (cid:54)= 1/a}, e seja φ : U → C definida
a
por
z −a
φ (z) = .
a
1−az
(a) Prove que D ⊂ U, φ ∈ H(U), φ (0) = −a e φ (a) = 0.
a a a
(b) Prove que:
1
φ(cid:48)(0) = 1−|a|2, φ(cid:48)(a) = .
a a 1−|a|2
4
2. S´eries de potˆencias
2.1. Teorema de Abel. Para cada s´erie de potˆencias P∞ c (z −a)n
n=0 n
em C, existe R ∈ [0,∞] tal que:
(a) A s´erie P∞ c (z−a)n ´e absolutamente convergente se |z−a| < R.
n=0 n
A convergˆencia ´e uniforme em cada disco D(a;r), com 0 < r < R.
(b) A s´erie P∞ c (z −a)n ´e divergente se |z −a| > R.
n=0 n
Diremos que R ´e o raio de convergˆencia da s´erie.
Demonstrac¸˜ao. Seja R ∈ [0,∞] definido por
1 p
(1) = limsup n |c |.
n
R
n→∞
Provaremos que este R verifica (a) e (b). A fo´rmula (1) ´e conhecida como
fo´rmula de Cauchy-Hadamard.
(a) Seja 0 < r < R, e seja r < s < R. Enta˜o
1 1 p
> = lim sup n |c |.
n
s R m→∞n≥m
p
Como a sequ¨ˆencia (sup n |c |)∞ ´e decrescente, existe m ∈ N tal que
n≥m n m=0
p 1
sup n |c | < .
n
s
n≥m
Para z ∈ D(a;r) tem-se que
∞ ∞
X X(cid:16)r(cid:17)n
|c (z −a)n| < < ∞.
n
s
n=m n=m
Logo a s´erie P∞ c (z−a)n converge absolutamente e uniformemente para
n=0 n
z ∈ D(a;r).
(b) Seja z ∈/ D(a;R), e suponhamos que a s´erie P∞ c (z − a)n seja
n=0 n
convergente. Enta˜o a sequ¨ˆencia (c (z−a)n)∞ converge a zero, e ´e portanto
n n=0
limitada. Logo existe M > 0 tal que
|c (z −a)n| ≤ M para todo n ≥ 0.
n
5
Segue que
√
p n M
n |c | < para todo n ≥ 0,
n
|z −a|
e portanto
p 1 1
limsup n |c | ≤ < ,
n
|z −a| R
n→∞
contradi¸ca˜o.
2.2. Definic¸˜ao. Diremos que f : U → C ´e representa´vel por s´eries de
potˆencias se para cada a ∈ U existem um disco D(a;r) ⊂ U e uma s´erie de
potˆencias P∞ c (z −a)n tais que
n=0 n
∞
X
f(z) = c (z −a)n para cada z ∈ D(a;r).
n
n=0
2.3. Teorema. Se f : U → C ´e representa´vel por s´eries de potˆencias,
enta˜o f ´e holomorfa e f0 tamb´em ´e representa´vel por s´eries de potˆencias. Se
∞
X
(2) f(z) = c (z −a)n para cada z ∈ D(a;r),
n
n=0
enta˜o
∞
X
(3) f0(z) = nc (z −a)n−1 para cada z ∈ D(a;r).
n
n=1
As duas s´eries de potˆencias tem o mesmo raio de convergˆencia.
Demonstrac¸˜ao. Sejam R e R0 os raios de convergˆencia das s´eries em
(2) e (3), respectivamente. Para provar que R ≥ R0, seja |z −a| < R0. Pelo
Teorema de Abel
∞
X
|nc (z −a)n−1| < ∞,
n
n=1
e portanto
∞ ∞
X X
|c (z −a)n| ≤ |z −a| |nc (z −a)n−1| < ∞.
n n
n=1 n=1
6
Pelo Teorema de Abel R ≥ |z −a|, e portanto R ≥ R0.
Para provar que R0 ≥ R, seja |z −a| < R. Pelo Teorema de Abel
∞
X
|c (z −a)n| < ∞.
n
n=0
Se |z − a| = 0, enta˜o ´e claro que P∞ |nc (z − a)n−1| < ∞. Suponhamos
n=1 n
que 0 < |z −a| < R, e sejam |z −a| < r < s < R. Como
1 1 p
> = lim sup n |c |,
n
s R m→∞n≥m
existe m ∈ N tal que
p 1
n |c | < para todo n ≥ m.
n
s
√
Como lim n n = 1, sem perda de generalidade podemos supor que
n→∞
√ s
n n < para todo n ≥ m.
r
Segue que
X∞ 1 X∞ (cid:18)|z −a|(cid:19)n
|nc (z −a)n−1| ≤ < ∞.
n
|z −a| r
n=m n=m
Pelo Teorema de Abel R0 ≥ |z −a|, e portanto R0 ≥ R.
Falta provar que f0 ∈ H(U) e que a s´erie em (3) representa f0 em D(a;r).
Seja
∞
X
g(z) = nc (z −a)n−1 para cada z ∈ D(a;r).
n
n=1
Para completar a demonstra¸ca˜o provaremos que f0(b) = g(b) para cada b ∈
D(a;r). Sem perda de generalidade podemos supor que a = 0. Sejam z,b ∈
D(0;r), com z 6= b. Enta˜o
∞ ∞
X X
f(z)−f(b) = c (zn −bn), g(b) = nc bn−1.
n n
n=1 n=1
7
Logo
f(z)−f(b) X∞ (cid:18)zn −bn (cid:19)
−g(b) = c −nbn−1
n
z −b z −b
n=2
Notemos que
zn −bn
−nbn−1 = [zn−1+zn−2b+zn−3b2+...+z2bn−3+zbn−2+bn−1]−nbn−1
z −b
= (zn−1 −bn−1)+(zn−2 −bn−2)b+...+(z2 −b2)bn−3 +(z −b)bn−2
= (z −b)[zn−2 +zn−3b+...+zbn−3 +bn−2]
+(z −b)[zn−3 +zn−4b+...+zbn−4 +bn−3]b
+...+(z −b)(z +b)bn−3 +(z −b)bn−2
= (z −b)[zn−2 +2zn−3b+...+(n−2)zbn−3 +(n−1)bn−2]
Seja |b| < s < r. Para |z| < s temos que
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)zn −bn (cid:12)
(cid:12) −nbn−1(cid:12) ≤ |z −b|[sn−2 +2sn−2 +...+(n−1)sn−2]
(cid:12) z −b (cid:12)
(n−1)n
= |z −b| sn−2.
2
Segue que
(cid:12) (cid:12) ∞
(cid:12)f(z)−f(b) (cid:12) |z −b| X
(cid:12) −g(b)(cid:12) ≤ n(n−1)|c |sn−2.
n
(cid:12) z −b (cid:12) 2
n=2
Como s < r ≤ R, segue da primeira parte da demonstra¸ca˜o que
∞ ∞ ∞
X X X
|c sn| < ∞, |nc sn−1| < ∞ e |n(n−1)c sn−2| < ∞.
n n n
n=0 n=1 n=2
Segue que
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)f(z)−f(b) (cid:12)
lim(cid:12) −g(b)(cid:12) = 0,
z→b(cid:12) z −b (cid:12)
e portanto
f(z)−f(b)
f0(b) = lim = g(b).
z→b z −b
8
