Table Of ContentAnI ntroduction to Homological Algebra
A pair (II,x) consisting of group II (containing A as
an ormal subgroup) and ag roup-epimorphism x: II→G
with kernel A, will be called an extension ofA by G.
Northcott
ホモロジー代数入門
J
D.G.Northcott著
新 妻 弘 訳
共立出版
AN
INTRODUCTION TO
HOMOLOGICAL
ALGEBRA
BY
D. G. NORTHCOTT
◎ Cambridge University Press 1960
This publication is in copyright. Subject to statutory exception
and to the provisions of relevant collective licensing agreements,
no reproduction of any part may take place without the written
permission of Cambridge University press
First published 1960
Reprinted 1962
This digitally printed version 2008
本書は，共立出版株式会社が， CambridgeUniversity Press
との契約に基づき翻訳したものです．
序 文
過去 10年間かそれ以上の間に，現在ホモロジ一代数という名前をもつ新し
い数学の分野が出現した．はじめ，それはある特別な分野の数少ない熱心な
数学者の関心の的であったが，カルタン・アイレンベルグのいまでは有名な
本＊の出版以来，純粋数学の主要分野のいくつかに対してその重要性が広く認
識されてきた．
これから研究に着手しようとしている若い数学者は，ホモロジー的な考え
方と方法を学ぼうと切望しているだろう．本書の目的の 1つは彼らをスター
トさせる手助けをすることである．私は彼らの要望に応えようとして，本書の
読者としては，群や，環， 1本を知っているが， しかし，現代代数学に比較的知
識のないそのような人たちを想像している．彼らにとって，本書で与えた説明
は，以下で述べられる少数の例外を除いて自己完結的であり，彼らを落胆させ
ることはないと思う．
ホモロジ一代数入門は必然的にカルタン・アイレンベルグの本への序章とな
る． というのは，さらに進んで学びたいと希望する学生は彼らの著作を読む必
要がある．しかし，興味があり，かつ価値のある多くのことは，ほんの最近に
得られたものである．そして，これらの最近の成果は以下に続くページにしか
るべき場所を与えてある. §次 のリストは本書で扱われている主要な話題のか
なり詳細なイメージを与えていると思うが，さらに少量の追加の解説は理解の
助けになるかもしれない．
第1章から第 6章は余裕のあるやり方で確立されるべき結果を発展させ，
導来関手の理論を解説する．その後，導来関手Torと導来関手Extの説明が
*H. Cartan and S. Eilenberg, Homological Algebra (Princeton University Press, 1956).
ii 序文
続く．これらは本論から導き出される方法により得られる最も重要な関手であ
り，ある意味で，本書の残りの部分はそれらの応用に関係している．このよう
な応用の 1つは第7章の終わりに与えられる大域次元 (globaldimension)の
理論である．ここには，ネーター環についてのオスランダー (M.Auslannder)
のいくつかの重要な結果が含まれている．以前は，この結果については原著の
研究論文でしか利用することができなかったものである．
第9章は有限大域次元の可換ネータ一環の構造を扱っており，ホモロジ一
的手法の最も満足すべき成果の 1つを含んでいる．これもまた，教科書の中
に現れた最初のものである．ここで，この説明は完全に自己完結的であるとい
うわけではない，ということを認めねばならない．しかしながら，純粋にホモ
ロジー的な議論を補うために必要とされるイデアル論の結果を説明するために
かなりの配慮がなされている．ここは最も野心的な章であり，著者は可換代数
への興味を刺激するための助けになることを希望している．ここで扱った方法
は，なんら特別なイデアル論の知識をもたない聴衆が受講している講義におい
て，比較的成功した方法である．
第 10章はモノイドと群のホモロジーとコホモロジーヘの入門である．これ
はそれ自身かなりの文献があり，発展させられるべき我々のテーマの最も初期
の分野の 1つである．この章は，もし望むならば，第9章の前に読むことも
できるし，群論のなんら特別な知識を必要としない．この話題についてどの辺
まで述べるべきかを決めるために，類体論のようなある特別な分野への応用に
進む前に，少し一般的な背景の知識を得たいと望む学生を想定した．
以下に続くページにおいて網羅されたほとんどすべての話題は，シェフィー
ルド大学 (SheffieldUniversity)で行われた講義に含まれている．講義してい
るとき，ホモロジー理論の発展の一般的詳細図と，数学の他の分野との関係を
説明するためにある範囲で本筋から離れることもあった．完全な形では話す時
間はなくても，議論しているものに関係している重要な結果について言及した
くなるものである．これに関連した補足的な題材のいくつかは，私はこれがこ
の本論におもしろさと興味をつけ加えることを望んでいるが，第 10章に続く
覚え書きの中に見いだされるであろう．
私は J.テート (J.Tate)と最終章について議論する機会があり，彼の提案の
結果として第 10章は著しく改善された．シェフィールドで，本書を作成する
すべての段階で，私の同僚の F.K. Farahatに助けられた．特筆に値すること
として，細部にわたる点について進んで議論してくれたこと，また有用な批評
）予y_ m
をしてくれたことなどがある．本書は彼の継続した輿味に負うところ大なるも
のがある．さらに，ウィリアム・ホッジ卿に恩義を感じている．私が最初にホ
モロジー的方法の入門書を著そうと考えたとき，彼は私にそれを書くように勇
気づけてくれたからである．
本を書くということは多大な時間とエネルギーを消費する．そして，これは
J. J. Kielyの寛大な助力なしには完成しなかった．彼は講義ノートから最初の
草稿をタイプしてくれた．私はまた M.Ludbrock夫人にも多大な恩義を感じ
ている．彼女は細心の注意と忍耐をもって，数え切れないほどの精妙なステン
シルの刷り込み型を切り抜いてくれた．上記の 2人に対して私の感謝を表し
たい．彼らが非常に貢献してくれたこの作品は終わらないと思われたほどむず
かしい仕事であったが，彼らの精力的な努力により完成することができた．
D.G.NORTHCOTT
SHEFFIELD
July 1958
w
ギリシャ文字一覧
大文字 小文字 読み方 大文字 小文字 読み方
A a アルファ N Lノ ニュー
B /3 ベータ 三 ~ クシー，グザイ
I' r ガンマ ゜゜ オミクロン
△ 6 デルタ II 7f, w パイ
E E, c エプシロン，イプシロン p P, Q ロー
z
＜ ゼータ，ジータ ど CJ, <;" シグマ
H T/ イータ，エータ T T タウ
)€ 0, {} シータ，テータ y V ユプシロン
I イオタ cf> ￠, cp ファイ，フィー
し
K K, カッパ X X カイ
A 入 ラムダ iJ, 心 プサイ，プシー
M μ ‘ミユー [2 w オメガ
ドイツ文字一覧
大文字小文字 読み方 大文字小文字 読み方
，
別 a アー (a) ＂ n エヌ (n)
23 b ベー (b) ゜オー (o)
ct C ツェー (c) 氾 jJ ペー (p)
定 () デー (d) D q クー (q)
Q: e エー (e) 沢 t'. エール (r)
含 f エフ (f) 6 E エス (s)
(B g ゲー (g) '.I' t プ―- (t)
SJ ~ Jヽ— (h) ll u ウー (u)
J i イー (i) 交 tl ファウ (v)
J ヨット (j) 四 \t) ヴェー （い
Jt ￡ カー (k) 疋 r; イクス (x)
￡ エル (l) 匂 JI エプシロン(y)
叩 m エム (m) 3 3 ツェット (z)
目 次
序文
第 1章加群に関する一般論 1
1.1 左加群と右加群.• .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . 1
1.2 部分加群... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 剰余加群... . . . . . . . . . . . . . . • .. . . . . . . . . . . 3
1.4 A連同型写像..• .. . . • .. . • .. . . . . . . . . . . . • . 4
1.5 A尊同型写像の種類... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6 誘導された写像... . . . . . • .. . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.7 像と核... . . . . . . . . . . . . . . • .. . . . . . . . . . . . 8
1.8 部分集合により生成される加群... . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.9 直積と直和... • .. . . . . • .. . . • .. . • .. . . . . . . . 11
1.10簡約記号... . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • .. . . . . . 15
1.11 A準同型写像の系列．．．．． .. . . . . . . . . . . . . . . . . 17
第 2章テンソル積と準同型写像のつくる群 21
2.1 テンソル積の定義... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • .. 21
2.2 可換環上のテンソル積................... ",... 22
2.3 一般論の続き ........................... 24
2.4 準同型写像のテンソル積 ..................... 25
2.5 HomA(B, C)の主要な性質．．．． .. . . . . . . . . . . . 31
Vl 目次
第 3章圏と関手 39
3.1 抽象写像..• .. • .. • • .• .. . . . . . • • • • .. . • • • • 39
3.2 圏（カテゴリー） .• • .• • .. • .. . . . . • • .• .• .• • • • 41
3.3 加法圏と A—圏........................... 42
3.4 同等射............................... 42
3.5 左Aー加群のつくる圏ヽ〈と右 A—加群のつくる圏玖ぐ •.•••• 43
3.6 1変数の関手............................ 43
3.7 多変数の関手 ．．．．．．． ..... ...... .... 44
3.8 関手の自然変換．．．．．．．．．．．． ．． ．．．． .. . . 46
3.9 加群の関手．．．．． ........... .. .. . . . . 47
3.10完全関手.• .• • .. • .. • • .• • • • • • .• • .• • • • .. • 49
3.11左完全関手と右完全関手 • • .. • • • • • • .. • .• .• • .• • 52
3.12右完全関手の性質．．．．．．．．．．．．．．．．．． .. . . . . 53
3.13関手としての ARACとHomA(B,C) .. . . . . . . . . . . . . 58
第4章ホモロジー関手 61
4.1 環上の図式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． .. . . 61
4.2 図式の変換．．．．．．．．．．．．．．．．．． .. . . . . . . . . 62
4.3 関手としての像と核..• • .. . • .. . . • • .• • • .• • • • . 64
4.4 ホモロジー関手．．．．．．．．． ............... 69
4.5 連結準同型写像．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．． .. . . 72
4.6 複体．．．． ............ ...... 79
4.7 ホモトピー変換．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． .. . . 82
第5章射影加群と入射加群 85
5.1 射影加群．．．．．．．．．．．．．．．．． .. . . 85
5.2 入射加群．．．． ........... .. . . . 91
5.3 入射加群の存在定理.• .• .• • .• • • .. . • • • .• • .• • • 95
5.4 加群上の複体 ．．． .............. ..... 101
5.5 加群の分解の性質．．．．．．．．．．． .... 104
5.6 分解系列の性質．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ... 107
5.7 続分解系列の性質．．．． ............. 113
ログ UlL
第 6章導来関手 121
6.1 複体の関手．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ... 121
6.2 2つの複体の関手 ．．． ....... ... 126
6.3 右導来関手．．．． ................... 132
6.4 左尊来関手．．．． .. .................. 143
6.5 関手の連結系列 ．．．． ．． ... 149
第 7章 Tor関手と Ext関手 159
7.1 Tor関手．．． .... ................. 159
7.2 Tor関手の基本的な性質．．．． .......... .... 161
7.3 Ext関手．．． .. ............. 168
7.4 Ext関手の基本的性質．．．．．． ............ 170
7.5 加群のホモロジ一次元.......................175
7.6 環の大域次元 ..•..••.•..•.••••••....•... 179
7.7 ネータ一環．．．．．． ......... ... 188
7.8 可換ネーター環..........................192
7.9 ネータ一環の大域次元．．．．． ..... ... 194
第 8章役に立つ同型写像 201
8.1 複加群．．．．．．．．．．．．．．．． .. .... 201
8.2 一般原理．．．． ... .. ... 203
8.3 テンソル積の結合律........................207
8.4 可換環上のテンソル積．．． ．． ... ... 209
8.5 さまざまな同型 ．．．．． .... 213
8.6 商環と商加群 ．．．．． .... ..... 215
第 9章有隈大域次元の可換ネータ一環 223
9.1 特別な場合．．．．． ..... 223
9.2 一般的な問題の還元........................236
9.3 局所環上の加群．．．． ................ 241
9.4 補助的な結果 ．．．．．．．． ... 258
9.5 ホモロジ一余次元．．．． .... 261
9.6 有限ホモロジ一次元をもつ加群..................263
uni 目次
第 10章群とモノイドのホモロジーセオリーとコホモロジーセオリー 271
10.1モノイドと群に関する一般的な注意 •••••••..•....• 271
10.2モノイドと詳に関する加群．．．．．．．．．．．． .... 274
10.3モノイド環と群環．．．．．．． ..... 276
10.4関手AGとAc ..................... . ... 278
10.5モノイドのホモロジーセオリーに対する公理...........281
10.6モノイドのコホモロジーセオリーに対する公理 ．・.......285
10.7 Zの標準的分解 ．．．．．．． ....... 287
10.8 1次ホモロジ一群 ．．．． ................... 294
10.9 1次コホモロジ一群．．． ...... 296
10.10 2次コホモロジ一群 ．．．．． ....... 306
10.11特別な場合におけるホモロジーとコホモロジ一 ...... 314
10.12有限群 ．．．．．．．．．．．． ........ ... 321
10.13準同型写像のノルム ．．．．．．． ...... 323
10.14完全導来系列の性質 ．．．．．．． ..... 329
10.15 Zの完全自由分解 ...... 332
覚え書き 343
第 1章について •••••• 3•••4 •3•••• •
．． ． 4
第2章について ．． ．34
5
．． ．34
第3章について ．． ．346
第4章について •• •• ••• • •• •．•． ．348
． ．．．． ． ．． ．．．
第5章について ． ．．．． ． ． ．．．
第6章イ~-つし、て ••3 51
第7章~j~こ)つ＞じ、て ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．354
第8章について ••• ••• •••• ••3 55
． ．．．． ．．．．．．．．． ．． ．．．
第9章について ． ．．．． ．．． ．．．．． ．． ．．．355
． ．．．． ．．． ．．．．． ．． ．．．359
第 10章について
参考文献 363
記号表 367
訳者あとがき 371
索引 375
