Table Of ContentHochschultext
J. Bocker . I. Hartmann· Ch. Zwanzig
Nichtlineare
und adaptive
Regelungssysteme
Mit 194 Abbildungen
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York
London Paris Tokyo 1986
Dipl.-Ing. Joachim Bocker
1. Institut fUr Mechanik
Technische Universitiit Berlin
Prof. Dr.-Ing. Irmfried Hartmann
Dipl.-Ing. Christian Zwanzig
Institut fur MeB-und Regelungstechnik
Technische Universitiit Berlin
ISBN-13:978-3-540-16930-7 e-ISBN-13:978-3-642-82879-9
001: 10.1007/978-3-642-82879-9
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Bocker, Joachim:
Nichtlineare und adaptive Regelungssysteme 1
Joachim Bocker; Irmfried Hartmann; Christian Zwanzig.
Berlin; Heidelberg; New York; London; Paris; Tokyo: Springer, 1986.
ISBN-13:978-3-540-16930-7
NE: Hartmann, Irmfried; Zwanzig, Christian:
Das Werk ist urheberrechtlich geschi.itzt. Die dadurch begri.indeten Rechte , insbesondere die
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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1986.
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waren und daher von jedermann benutzt werden di.irften.
2068/3020 543210
Ziel des Buches ist es, eine grundliche Darstellung der Methoden zur
Behandlung nichtlinearer Systeme und eine Einfuhrung in die adaptiven
Regelkreise zu geben. Hierbei werden elementare Kenntnisse der Theorie
linearer Systeme vorausgesetzt. Das Buch wendet sich im besonderen an
fortgeschrittene Student en technischer Studiengange und an lngenieure,
die in der Forschung und Entwicklung tatig sind.
Bei der Behandlung des Stoffes wurde gro~er Wert darauf gelegt, auch
komplizierte Sachverhalte auf einfache Weise verbal zu erlautern und an
schaulich zu deuten. Die Autoren hoffen, da~ das Buch auf diese Weise zu
einem tiefen Verstandnis der Materie beitragt und ein gro~er Leserkreis
angesprochen wird.
Verschiedene mathematische Grundlagen, auf die sich das Buch stutzt,
sind in acht Anhangen zusammengefa~t, urn den Leseflu~ in den Hauptkapi
teln nicht zu hemmen.
lm 1. Kapitel des Buches werden zunachst einige Beispiele nichtlinearer
Systeme vorgestellt und anschlie~end einfache Methoden zur Behandlung
nichtlinearer Systeme eingefuhrt. lm besonderen wird hierbei auf die
Linearisierung, die Untersuchung der Trajektorien von Schaltelemente
enthaltenden Systemen 2. Ordnung in der Zustandsebene und auf eine Me
thode zur Verbesserung der Dynamik stellgro~enbeschrankter Regelkreise
eingegangen.
Das 2. Kapitel behandelt Methoden zur Untersuchung der Existenz und
Stabilitat von periodischen Losungen (Grenzschwingungen) nichtlinearer
zeitkontinuierlicher Systems sowie Verfahren zum Entwurf von Korrektur
gliedern (Reglern), die Grenzschwingungen erzeugen, unterdrucken bzw.
deren Amplitude vermindern oder vergro~ern. Zur Untersuchung periodi
scher Losungen werden zunachst Verfahren vorgestellt, die speziell auf
nichtlineare Systeme 2. Ordnung zugeschnitten sind. Anschlie~end wird
die Methode der Harmonischen Balance vorgestellt und in einer Reihe von
Beispielen angewendet.
VI Vorwort
1m 3. Kapitel werden Regelkreise, die in einer speziellen Standardform
vorliegen, mit funktionalanalytischen Methoden auf Stabilitat untersucht,
wobei zeitkontinuierliche und zeitdiskrete Regelkreise gemeinsam behan
delt werden. Hierbei werden die Begriffe der LZ- und der L~-Stabilitat
eingeftihrt. Die Lz-Stabilitat ftihrt unter anderem auf das Kreiskriterium
und das Popov-Kriterium, wahrend mit der L~-Stabilitat betragsma~ige
Abschatzungen der Systemgro~en gewonnen werden konnen, was ftir prakti
sche Anwendungen besonders zweckdienlich ist. Die aufgeftihrten Satze
gestatten tiber die Stabilitat hinaus auch Aussagen tiber den Stabilitats
grad von Regelkreisen. Das Kreiskriterium wird auch ftir Mehrgro~enregel
kreise entwickelt.
Die Untersuchung von zeitkontinuierlichen und zeitdiskreten Systemen mit
Methoden im Zustandsraum findet der Leser im 4. Kapitel. Ausftihrlich wird
die direkte Methode von Ljapunov behandelt, wobei ein wesentlicher Ge
sichtspunkt die Bestimmung des Einzugsbereichs einer asymptotisch stabi
len Ruhelage ist. Die nichtlinearen Zustands- und Parameterschatzverfah
ren werden nur in dem Rahmen behandelt, wie diese beim Entwurf von Regel
kreisen oder in technischen Diagnosesystemen gegenwartig Verwendung fin
den. Die Regelkreisentwurfsverfahren in den letzten Abschnitten beruhen
fast ausschlie~lich auf der erweiterten Ljapunov-Methode, da andere auf
diesem Gebiet in der Literatur vorgeschlagene Verfahren zu keinen besse
ren Ergebnissen ftihren und in der Durchftihrung des Entwurfs komplizier
ter sind.
Das 5. Kapitel dieses Buches verfolgt das Ziel, den Leser in Methoden zur
Behandlung adaptiver Eingro~enregelkreise und Systeme einzuftihren. Hier
bei werden einerseits Regelkreise untersucht, die nach dem Self-Tuning
Verfahren arbeiten, andererseits adaptive Systeme, denen ein Modell
Referenz-Verfahren zugrunde liegt. Bei der Darstellung des Stoffes wurde
aus Grtinden der Anschaulichkeit auf gro~tmogliche Allgemeinheit verzich
tet. Die teilweise exemplarische Darbietung des Stoffes versetzt den Le
ser in die Lage, die Methoden auch auf andere Systemstrukturen zu tiber
tragen.
Die Kapitel 1 und Z sowie der Anhang 1 dieses Buches wurden von Herrn
Bocker und Herrn Zwanzig gemeinsam ausgearbeitet, wobei als Grundlage
ein Vorlesungsskript von Herrn Hartmann diente. Die weiteren Kapitel und
Anhange wurden von den Autoren separat erstellt. Herr Bocker verfa~te
das 3. Kapitel und die Anhange Z und 3, Herr Hartmann das 4. Kapitel und
Herr Zwanzig das 5. Kapitel und die Anhange 4, 5, 6, 7 und 8.
Vorwort VII
Urn dem Leser ein schnelles und bequemes Nachschlagen innerhalb des
Buches zu ermoglichen, sind Satze, Definitionen und Anmerkungen gemein
sam mit den Gleichungen innerhalb jedes Kapitels fortlaufend numeriert.
Der Abschlu~ von Satzen, Beweisen, Anmerkungen, Definitionen und son
stigen Aussagen, die mit einer Nummer versehen sind, wird durch das
Symbol .. angezeigt. Anstelle des allgemein ublichen mathematischen
Symbols € zur Kennzeichnung einer Mengenzugehorigkeit wird hier der
griechische Buchstabe E verwendet. Die Transposition einer Matrix AT
wird im 4. Kapitel abweichend mit ~' bezeichnet.
Die umfangreiche Arbeit der Reinschrift des Manuskriptes wurde von Frau
R. Hade ubernommen, der wir fur ihre Sorgfalt und gro~e Geduld besonders
danken. Gro~er Dank gebuhrt auch Frau M. Thieke fur die vorzugliche An
fertigung der zahlreichen Zeichnungen.
Weiterhin sind wir Herrn Dr.-Ing. R. Poltmann und Herrn Dipl.-Ing.
A. Hambrecht fur die kritische Durchsicht gro~er Teile des Buches und
fur wertvolle Anregungen zu besonderem Dank verpflichtet. Au~erdem dan
ken wir Herrn Prof. Dr.-Ing. G. Brunk, Herrn Dr.-Ing. M. Dlabka, Herrn
Dipl.-Ing. N. Schmidt, Herrn cand.-Ing. E. Schwarz, Herrn Dipl.-Ing.
G. Weber und Herrn Dipl.-Ing. A. Wied fur die Korrektur einzelner Ab
schnitte.
Berlin, im Juni 1986 Joachim Bocker
Irmfried Hartmann
Christian Zwanzig
Inhaltsverzeichnis
Einfuhrende Betrachtungen und nichtlineare Modelle
1.1 Einleitung
1.2 Beispiele nichtlinearer Systeme .......................... 5
1.3 Ruhelagen, Arbeitspunkte und deren Stabilitat ........... 11
1.4 Das exakte nichtlineare Modell der Anderungen
urn einen Arbeitspunkt 17
1.5 Linearisierung eines nichtlinearen Systems .............. 20
1.6 Systeme 2. Ordnung in der Zustandsebene ................. 26
1.7 Verbesserung der Dynamik von Regelkreisen mit
Stellgrii13enbeschrankung durch "anti-reset-windup" (ARW) 34
2 Periodisches Verhalten von nichtlinearen Systemen 40
2.1 Geschlossene Trajektorien und deren Stabilitat .......... 41
2.2 Nichtlineare Systeme 2. Ordnung ......................... 43
2.2.1 Untersuchungen von Dauerschwingungen
und Grenzzyklen ................................... 44
2.2.2 Beispiele ......................................... 49
2.2.3 Zusammenhange zwischen der Existenz von Ruhelagen
und Dauerschwingungen ............................ . 62
2.3 Die Methode der Harmonischen Balance 68
2.3.1 Vorbemerkungen 68
2.3.2 Annahmen und Voraussetzungen fUr die Methode
der Harmonischen Balance 71
2.3.3 Die Gleichung der Harmonischen Balance 77
2.3.4 Berechnung von Beschreibungsfunktionen ........... . 79
2.3.5 Auswertung der Gleichung der Harmonischen Balance .. 86
2.3.6 Untersuchung des Stabilitatsverhaltens
von Grenzschwingungen 99
2.4 Korrekturglieder zur Erzeugung, UnterdrUckung bzw.
Verminderung der Amplitude von Grenzschwingungen 107
2.4.1 Anwendung von Lj apunov-Funktionen . .. . . . . . . . . . . . . . 108
2.4.2 Anwendung der Methode der Harmonischen Balance 109
Inhaltsverzeichnis IX
3 Funktionalanalytische Methoden zur
Stabilitatsuntersuchung nichtlinearer Systeme .............. 118
3.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.1.1 Der nichtlineare Standardregelkreis
und die Stabilitatsbegriffe ...................... 119
3.1.2 Allgemeine Stabilitatssatze 122
3.1.3 Exponentielle Stabilitat 134
3.1.4 Berlicksichtigung von Anfangszustanden ............ 136
3.2 Kreiskriterium (L2-Stabilitat) ......................... 137
3.2.1 Ortskurvendarstellung des Kreiskriteriums ........ 143
3.2.2 Darstellung des Kreiskriteriums in der
Wurzelortsebene 163
3.2.3 Algebraische Auswertung des Kreiskriteriums 167
3.3 Kreiskriterium flir Mehrgro~ensysteme (L~-Stabilitat) 173
3.3.1 Algebraische Auswertung des Mehrgro~en-
kreiskriteriums 176
3.3.2 Ortskurvendarstellung des Mehrgro~en-
kreiskriteriums 184
3.4 Modifikationen des Kreiskriteriums 195
3.5 L -Stabilitat 201
~
4 Analyse und Synthese von Regelkreisen im Zustandsraum 216
4.1 Einflihrende Betrachtungen zu nichtlinearen
Zustandsmodellen ...................................... . 216
4.2 Einfache Stabilitatskriterien 223
4.2.1 Stabilitat in der ersten Naherung 223
4.2.2 Stabilitatsverhalten periodischer Losungen von
zeitdiskreten Systemen ........................... 227
4.3 Die direkte Methode von Ljapunov ....................... 237
4.3.1 Stabilitatssatze von Ljapunov flir zeitkontinuier-
liche Systeme (direkte Methode) .................. 240
4.3.2 Auffinden von Ljapunovfunktionen
- zeitkontinuierlich - 248
4.3.3 Zubov-Methode bei kontinuierlichen Systemen 261
4.3.4 Stabilitatskriterien flir zeitdiskrete
Zustandsmodelle .................................. 265
4.4 Nichtlineare Parameter- und Zustandsschatzung .......... 279
4.4.1 Dynamische Beobachtung des Zustandes ............. 279
4.4.2 Parameterschatzung 291
x Inhaltsverzeichnis
4.5 Pulsbreitenmodulierte Regelungssysteme 292
4.6 Entwurf nichtlinearer Regelkreise 298
4.6.1 Einfuhrende Betrachtungen 298
4.6.2 Entwurf mit der erweiterten Ljapunov-Methode 305
5 Adaptive Systeme 317
5. 1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 317
5.2 Allgemeine Beziehungen zur Berechnung der Reglerparameter
bei bekannter Regelstrecke und vorgegebenem Regelkreis-
verhalten 330
5.2.1 Vorgabe des Fuhrungsverhaltens (Pol- und
Nullstellenvorgabe) ............................... 331
5.2.2 Vorgabe eines Storverhaltens (Minimum-Varianz-Regler) 342
5.3 Self-Tuning-Regler ...................................... 351
5.3.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 351
5.3.2 Obergang von einem expliziten zu einem impliziten
Self-Tuning-Regler bei Vorgabe des Fuhrungs-
verhaltens 354
5.3.3 Ein Self-Tuning-Algorithmus fur den Minimum-
Varianz-Regler .................................... 356
5.3.4 Ein selbsteinstellender zeitdiskreter PID-Regler
nach dem Verfahren von Ziegler-Nichols 359
5.4 Konvergenzbetrachtungen bei Self-Tuning-Regelkreisen 362
5.4.1 Vorbemerkungen .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. 362
5.4.2 Self-Tuning-Regler bei Vorgabe eines Referenz-
modells ... . .. .. ... .. ....... ....... .. . ........... .. 365
5.4.3 Self-Tuning-Regler bei Vorgabe der Polstellen des
geschlossenen Regelkreises ........................ 375
5.5 Zei tkontinuierliche MRAS-Strukturen ..................... 379
5.5.1 Einleitende Bemerkungen ........................... 379
5.5.2 Das Fehlermodell fur den Zustandsfehler ........... 382
5.5.3 Anwendung der direkten Methode von Ljapunov
zur Herleitung von Adaptionsgleichungen 384
5.5.4 Anwendung der Hyperstabilitatstheorie zur
Herlei tung von Adaptionsgleichungen ............... 388
5.5.5 Adaptiver Zustandsregler .......................... 397
5.5.6 Anwendung von Hilfsfiltern zur Vermeidung zeit-
licher Ableitungen in den Adaptionsgesetzen 403
Inhaltsverzeichnis XI
5.6 Zeitdiskrete MRAS-Strukturen 413
5.6.1 Vorbemerkungen 413
5.6.2 Das Fehlermodell 413
5.6.3 Anwendung der Hyperstabilitatstheorie zur
Herleitung vo~ Adaptionsgleichungen .............. 415
5.7 Schatzung der Drehzahl einer konstant erregten Gleich
strommaschine mit einer MRAS-Struktur bei Messung von
Ankerstrom und Ankerspannung ...........•............... 420
5.7.1 Drehzahlschatzung bei bekanntem konstantem
Ankerwiderstand .................................. 420
5.7.2 Drehzahl- und Lastmomentschatzung bei
bekanntem konstantem Ankerwiderstand 425
5.7.3 Drehzahlschatzung bei gleichzeitiger Schatzung
des Ankerwiderstandes durch Adaption 426
5.8 AbschlieBende Bemerkungen 428
Anhang
A1 Mathematische Grundlagen gewohnlicher Differentialgleichungen 432
A1 .1 Bezeichnungen ..... . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. 432
A1.2 Problemstellung und Definitionen ..................... 433
A1 .3 Existenz und Eindeutigkei t von Lasungen .............. 434
A1.4 Gronwall-Ungleichung ................................. 441
Al.5 Stetigkeit und Differenzierbarkeit einer Lasung beztig-
lich der Anfangswerte und eventueller Parameter 442
A2 Funktionaltransformationen 445
A2.1 Fourier- und Laplace-Transformation 445
A2.2 Diskrete Fourier-Transformation, Fourier-Reihen und
Z-Transformation 453
A2.3 Zusammenhange zwischen zeitkontinuierlichen und
zeitdiskreten Funktionen 459
A2.3.1 Zeitkontinuierliche und abgetastete Funktionen
im Fourier-Bereich 459
A2.3.2 Zusammenhange zwischen Fourier- und diskreter
Fouriertransformation sowie zwischen Laplace-
und Z-Transformation .......................... 463
