Численный расчет тонкостенных стержней открытого профиля в MSC Patran-Nastran

12 Pages·1.608 MB·Russian

by  Жилкин В.А.

УДК 539.3 + 004.42
Численный расЧет тонкостенных стержней открытого профиля
В MSC Patran-naStran
В. а. жилкин
Около 2000 г. в России появилась новая отрасль строительной индустрии, ориентированная на из-
готовление несущих и ограждающих конструкций малоэтажных зданий различного назначения из легких
стальных тонкостенных конструкций (ЛСТК) из гнутых профилей, изготавливаемых из оцинкованной ста-
ли. Это потребовало разработки методов проектирования и исследования таких конструкций. Конечно-эле-
ментный (КЭ) расчет ЛСТК стандартными программными продуктами затруднен в связи с тем, что при
использовании стержневой аппроксимации они зачастую не учитывают стесненное кручение конструктив-
ных элементов, что не позволяет точно определить напряженно-деформированное состояние конструкции.
Использование КЭ оболочки приводит к возрастанию числа узлов и элементов по сравнению со стержне-
вой аппроксимацией в несколько раз, что нежелательно при расчете сложных конструкций. Это явилось
причиной разработки новых аналитических и численных методов расчета тонкостенных стержневых си-
стем, создания специальных конечных элементов, имеющих не шесть, а семь степеней свободы (седьмая
степень свободы учитывает депланацию) сечения. MSC Patran-Nastran имеет конечный элемент CBEAM,
обладающий семью степенями свободы, однако процедура его использования в научной литературе не опи-
сана. В данной работе приводится методика использования элемента CBEAM и результаты сопоставления
численного анализа напряженно-деформированного состояния тонкостенного стержня открытого профиля
в условиях несимметричного нагружения при стержневой, оболочечной и трехмерной аппроксимациях.
MSC Patran-Nastran, при применении элементов CBEAM, позволяет, используя стержневую аппроксимацию
балок, выполнять расчеты балок открытого тонкостенного профиля на прочность и жесткость. Напряжения
и перемещения в точках поперечных сечений балки при стержневой аппроксимации не противоречат анало-
гичным величинам, найденным при оболочечной и трехмерной аппроксимациях.
Ключевые слова: тонкостенный стержень, депланация поперечных сечений балки, свободное и стес-
ненное кручение, бимомент, секториальная площадь, секториальный момент кручения, MSC Patran-Nastran,
элемент CBEAM.
Историческая справка [12] стесненного кручения, когда некоторые сечения
Для тонкостенных стержней открытого стержня закреплены, такой произвол отсутству-
профиля гипотеза плоских сечений применима ет – ось кручения становится вполне опреде-
только в том случае, если равнодействующая ленной. Стесненное кручение приводит к воз-
внешней нагрузки проходит через центр изгиба, никновению нормальных напряжений, которые
точку сечения, относительно которой момент по величине могут превосходить напряжения,
касательных сил, действующих в сечении при вызванные изгибом балки.
поперечном изгибе, равен нулю. В этом случае Отклонение от закона плоских сечен ий при
стержень испытывает только изгиб (без круче- действии на балку поперечной нагрузки, не про-
ния). В противном случае при изгибе возникает ходящей через центр изгиба, впервые обнаружил
кручение. Если продольные перемещения точек экспериментальным путем в 1909 г. Бах [13].
поперечных сечений балки не стеснены, то воз- Современная теория тонкостенных стерж-
никает чистое кручение, при котором в качестве ней возникла как частный случай из более об-
оси поворота сечения (оси кручения) может щей теории В. З. Власова [14] и основана на
рассматриваться любая ось, параллельная оси рассмотрении тонкостенного стержня как про-
стержня. Расчетные соотношения (значения странственной системы типа цилиндрической
напряжений, жесткость на кручение и др.) не или призматической оболочки с жестким про-
зависят от выбора центра поворота сечений; филем. Им были введены новые геометриче-
перемещения определяются с точностью до ские характеристики сечения, испытывающе-
движения стержня как твердого тела. В задачах го депланацию, и новое внутреннее усилие –
84
изгибно-крутящий бимомент. В отличие от сил в центре поворота, ограниченного радиус-век-
и моментов, рассматриваемых в статике твердо- торами, определяющими положения начальной
го тела, бимомент не может быть определен из точки отсчета дуг и текущим значением дуго-
уравнений равновесия тела, так как он опреде- вой координаты s;
ляется самоуравновешенной системой сил. p(ξ) – длина перпендикуляра, опущенного
из центра поворота на направление касательной
Техническая теория изгиба с кручением к средней линии контура сечения в точке ξ;
тонкостенных стержней [15] u – осевое смещение в точке начала отсче-
0
Все законы и формулы, приводимые в стан- та дуг.
дартных курсах «Сопротивление материалов», Из (1) следует пропорциональность деплана-
связанные с расчетами брусьев на прочность ции сечения (u – u) секториальной площади ω(s).
0
и жесткость, справедливы лишь при принятии Третья гипотеза позволяет, воспользовав-
гипотезы плоских сечений. Плоские сечения
шись законом Гука для линейного напряженно-
имеют шесть степеней свободы: три линейных
го состояния, определить нормальные напряже-
перемещения u, v, w в направлении координат-
ния σ, вызванные стесненным кручением
ных осей x, y, z и три угловых перемещения φ,
φy, φz относительно координатных осей x, y, zx. σ =Eε =E∂u =−d2θEω(s)+∂u0 E , (2)
При нарушении плоскостности поперечного се- x x ∂x dx2 ∂x
чения – депланации сечения – возникает седьмая
где E – модуль упругости материала бруса.
степень свободы, приводящая к дополнитель-
Выбирая центр поворота сечения в центре
ным напряжениям и деформациям и к новым
кручения (центре изгиба) и начало отсчета дуг
внутренним силовым факторам.
в точке, для которой выполняется условие
В дальнейшем будем считать, что ось x на-
правлена вдоль оси стержня, а оси y и z лежат
∫Eω(s)dF =0, (3)
в плоскости поперечного сечения стержня.
При стесненном кручении тонкостенных F
где F – площадь поперечного сечения, из (2) по-
стержней принимают три основные гипотезы:
лучают выражение для нормального напряже-
1) сечение стержня не искажается в своей
ния стесненного кручения:
плоскости;
2) в срединной поверхности стержня от- d2θ
σ =− Eω(s), (4)
сутствуют деформации сдвига; x dx2
3) «поперечные» нормальные напряже-
из которого следует, что нормальные напряже-
ния отсутствуют (волокна бруса не давят друг
ния стесненного кручения пропорциональны
на друга).
секториальной площади и не могут быть опре-
В соответствии с первой гипотезой по-
делены ранее, чем будет определена функция
перечное сечение стержня поворачивается на
углов поворота θ(x).
угол θ(x) как жесткое целое, что позволяет
определить составляющую u перемещения Для стержня постоянного сечения с посто-
s
θ(x)r точки контура вдоль касательной к конту- янными характеристиками жесткости по длине
ру (r – расстояние точки от центра поворота). дифференциальное уравнение стесненного кру-
Используя соотношения Коши чения имеет вид
∂u ∂u d4θ d2θ m (x)
γ= s + −β2 = k , (5)
∂x ∂s dx4 dx2 EJ
ω
и вторую гипотезу γ = 0, находят частную про- где
изводную перемещения u от дуговой координа-
GJ
ты ∂u ∂s. Интегрируя выражение для частной β2 = k , (6)
производной, определяют осевое смещение то- EJω
чек срединной линии сечения m(x) – распределенный крутящий момент;
k
u=−dθω(s)+u , (1) Jω =∫ω2dF – секториальный момент инерции;
0
dx F
EJ – секториальная жесткость сечения;
s ω
где ω(s)=∫p(ξ)dξ – секториальная площадь, L
1
J = ∫δ3(s)ds – момент инерции при кручении;
равная удво0енной площади сектора с вершиной k 3
0
85
В е с т н и к ЧГАА. 2013. Том 65
δ(s) – толщина поперечного сечения; Решение тестовой задачи методами
s – дуговая координата. сопротивления материалов
Решение однородного дифференциального Исследуем напряженное и деформиро-
уравнения (5) в матричной форме имеет вид ванное состояния стальной консольной балки
длиной L = 600 мм, левый торец которой жест-
 
θ(x)=Φ⋅θ(0), (7) ко защемлен, а правый загружен сосредоточен-
ной силой Р = 1000 Н, приложенной в центре
где тяжести поперечного сечения. Упругие харак-
теристики материала балки: E = 2·105 Н/мм2;
Φ Φ Φ Φ 
 1 2 3 4 G = 8·104 Н/мм2. Поперечное сечение балки –
Φ′ Φ′ Φ′ Φ′
Φ= 1 2 3 4, швеллер № 14.
Φ′′ Φ′′ Φ′′ Φ′′
Ось x координатной системы направим
 1 2 3 4
Φ′′′ Φ′′′ Φ′′′ Φ′′′ вдоль оси недеформированной балки, направ-
1 2 3 4
ление осей y и z определяются правилом век-
Ф (i = 1, 2, 3, 4) – нормальные фундаменталь- торного произведения векторов.
i
ные функции; Учитывая, что в дальнейшем при созда-
нии КЭ модели поперечного сечения швеллера
Ф (x) = 1; Ф (x) = x; Ф (x) = ch(βx) – 1; будем использовать конечные элементы в виде
1 2 3
Ф (x) = sh(βx) – βx. прямоугольников и параллелепипедов, моди-
4
фицируем вид поперечного сечения швеллера,
Частное решение: приняв ширину полки b = 60 мм, толщину стен-
ки δ = 5 мм, толщину полок δ = 8 мм. Так как
x
1 1
Φ∗(x)= ∫Φ (x−ξ)m(ξ)dξ. (8) швеллер относят к тонкостенным брусьям, то
4
EJ
ω 0 его геометрические характеристики зачастую
При отсутствии распределенной нагрузки вычисляют, приняв за основу среднюю линию
Φ∗(x)≡0. сечения. Примем h = 132 мм, b = 57,5 мм.
При изгибе и кручении тонкостенного Для вычисления геометрических характе-
стержня с постоянными параметрами упруго- ристик модифицированного сечения восполь-
сти нормальные напряжения определяются по зуемся возможностями приложения Properties
формуле MSC Patran. Результаты вычислений геометри-
ческих характеристик швеллера в MathCAD по
N M M d2θ 
σ=E +z y − y z − ω формулам сопротивления материалов и в MSC
 F J J dx2 
 y z  Patran приведены в таблице 1.
или, вводя понятие бимомента Так как величины геометрических характе-
ристик, вычисленные в MathCAD и MSC Patran,
M =∫σωdF , близки, то в дальнейшем используются резуль-
ω
таты расчета в MSC Patran.
F
При поперечном плоском изгибе в плоско-
N M M M
σ= +z y − y z +ω ω . (9) сти наибольшей жесткости (xoz) при приложе-
F J J J
y z ω нии нагрузки в центре изгиба максимальные
Здесь оси x и y являются главными осями нормальные напряжения σ и максимальный
max
инерции. прогиб z свободного торца балки равны:
max
Таблица 1
Сопротивление
Геометрическая характеристика MSC Patran
материалов, MathCAD
Площадь, мм2 F = 1,58·103 A = 1580
Осевой момент инерции, мм4 J = 4,971·106 J = 4981307
x x
Геометрическая жесткость на кручение, мм4 J = 2,513·104 J = 25126,67
k k
Центр тяжести поперечного сечения, мм x = 19,241 x = 19,20886
ЦТ ЦТ
Расстояние от стенки швеллера до центра жесткости, мм x = 20,702 x = 20,701754
C C
Расстояние между центром жесткости и центром тяжести, мм x + x = 39,911 39,91061
ЦТ C
86
Так как на правом торце балки при x = L
M PL h
σ = max_изг = =8,432 Н/мм2 (МПа), напряжения σ отсутствуют, то
max
W J 2
y y
d2θ
∫σωdF =− EJ =0 и, следовательно,
PL3 d2x ω
z = =0,072 мм. F
max
3EJ
y d2θ
При изгибе в плоскости наибольшей жест- (L)≡0. (13)
d2x
кости (xoz), но при приложении нагрузки в цен-
тре тяжести поперечного сечения швеллера Крутящий момент на правом торце балки
балка не только изгибается, но и скручивается. равен M = Pe, и, принимая во внимание уравне-
k
Жесткое защемление одного из торцов балки ние (5), получим
препятствует свободному перемещению точек
dθ d3θ
сечений, примыкающих к заделке, в резуль- GJ (L)−EJ (L)=Pe. (14)
k dx ω dx3
тате чего сечения депланируют. Каждая точка
срединной линии тонкостенного сечения ха- Откуда при учете (13), (11) (14), (11) и (12)
рактеризуется теперь не двумя, а тремя коор- после преобразований найдем
динатами: y, z, ω. Если при вычислении секто-
B Pe
риальных характеристик поперечного сечения A=− th(βL); B=− . (15)
β EJ
выбраны главная нулевая секториальная точка ω
(для нее секториальная координата равна нулю) По (10) и (15) угол поворота поперечных
и центр поворота в центре изгиба, то сектори- сечений определяется выражением
альный момент инерции
θ= Pe {th(βL)ch(βx)−1−sh(βx)+βx}, (16)
J = ∫ ω2dF =1,74⋅109 мм6 β3EJω
ω
(F) а нормальные напряжения, вызванные стеснен-
остается единственной геометрической величи- ным кручением, по формуле
ной, характеризующей сопротивляемость тон- Peωshβ(L−x)
костенного стержня искривлениям поперечных σ (x)= . (17)
ω βJ ch(βL)
сечений. ω
Определим угол поворота свободного тор- Построим эпюру нормальных напряже-
ца балки. ний стесненного кручения σ (0) в опасном се-
ω
В рассматриваемом нами случае при x = 0 чении профиля в MathCAD (рис. 1). Точки с1
и с2 – крайние точки полок швеллера (с1 – ниж-
dθ
θ(0)≡0, (0)≡0 няя точка, с2 – верхняя точка); точки с1 и с2 –
dx 1 2
угловые точки швеллера, нижняя и верхняя.
решение (7) дифференциального уравнения (5) Эпюра суммарных нормальных напряжений
примет вид в опасном сечении приведена на рисунке 2. Как
следует из приведенного рисунка, максимальные
A B
θ= (ch(βx)−1)+ (sh(βx)−βx), (10) суммарные нормальные напряжения значитель-
β2 β3
но превышают нормальные напряжения, вызван-
где для сокращения записей введены обозна- ные изгибом (21,006 МПа против 8,432 МПа).
чения: При деформации изгиба сечение стержня
получает поступательное смещение вдоль осей
d2θ d3θ
A= (0); B= (0). y и z. Деформация кручения приводит к поворо-
dx2 dx3
ту на угол θ вокруг оси, проходящей через цен-
Найдем производные от выражения (10) тры жесткости сечения. Связь упругих переме-
щений (V, W) центров тяжести сечений стержня
dθ A B
= sh(βx)+ (ch(βx)−1); и центров жесткости (V , W ) выражается следу-
dx β β2 1 1
ющими соотношениями:
d2θ B
= Ach(βx)+ sh(βx); (11) V =V +e θ; W =W +e θ,
dx2 β 1 z 1 y
где e, e – координаты центра жесткости,
d3θ y z
= Aαsh(βx)+Bch(βx). (12) eθ = const и eθ = const.
dx3 z y
87
В е с т н и к ЧГАА. 2013. Том 65
Рис. 1
Рис. 2
Таким образом, прогиб свободного торца Properties…, указывается, что с опцией General
балки равен Section Beam будет использоваться элемент BAR
(рис. 3), элемент общего назначения, который
PL3
W = +θe=0,072+4,523⋅10−3⋅39,91=0,253 мм. применяется при расчетах на растяжение-сжа-
3EJ
y тие, кручение и поперечный изгиб в двух пер-
пендикулярных плоскостях. В этом элементе
Анализ напряженного и деформированного реализуется гипотеза плоских сечений и пото-
состояний консольной балки му он не может учесть депланацию сечения
в MSC Patran. Стержневая модель тонкостенных профилей.
При создании конечно-элементной модели После задания граничных условий на экра-
балки будем использовать стандартные проце- не монитора появится изображение сечения
дуры, описанные в [11]. с приложенной к оси бруса силой, проходящей
Если в приложении Element Properties через центр тяжести сечения (рис. 4).
с опциями Object : 1D, Type : Beam будем исполь- Результаты расчета балки в приложении
зовать General Section, Standart Formulation, то Analysis, в точности совпадающей с величи-
на всплывающей панели Input Properties, по- ной максимальных изгибных напряжений σ ,
max
являющейся после нажатия на клавишу Input найденных по формулам сопротивления
88
материалов, в то время как погрешность в опре- изгиба и центром тяжести (e = –39,910614 мм).
делении перемещения y (MSC Patran вывел Эта операция выполняется при задании свойств
max
величину 0,0852 мм), составила конечных элементов (рис. 7).
В этом случае КЭ расчет балки приводит
0,0852−0,072
δw = 100%=18,3%. к тем же самым величинам максимальных из-
max
0,072
гибных напряжений σ . Стрелка прогиба
max
Если в приложении Element Properties w = 0,266 мм. Ошибка в определении стрелки
max
используется General Section (CBEAM), то на прогиба, по сравнению с решением сопротивле-
всплывающей панели Input Properties указыва- ния материалов, составила
ется элемент CBEAM (рис. 5). В поле Warping
0,266−0,253
Option (опция коробления) следует задать ус- δw = 100%=5,1%.
max
0,253
ловия коробления на торцах элемента.
В этом случае по умолчанию сила прикла- Нормальные напряжения в точках попереч-
дывается к центру изгиба открытого профиля, ного сечения балки, вызванные депланацией
а ось балки совмещается с осью кручения про- сечений, при стержневой аппроксимации балки
филя (рис. 6). КЭ расчет балки в этом случае не могут быть определены в принципе. Поэтому
приводит к тем же самым величинам макси- MSC Patran выдает только величины бимомен-
мальных изгибных напряжений σ и стрелке тов M (x) (Warping Torque), график которых для
max ω
прогиба y , что и для элемента BAR. рассматриваемой задачи приведен на рисунке 8.
max
Для приложения силы в центре тяжести тор- График бимоментов построенный по фор-
цевого сечения ось балки необходимо передви- мулам сопротивления материалов приведен на
нуть на величину расстояния между центрами рисунке 9.
Рис. 3
Рис. 4
89
В е с т н и к ЧГАА. 2013. Том 65
Рис. 5
Рис. 6
Рис. 7
Рис. 8
90
Рис. 9
Рис. 10
Если наложить друг на друга рисунки 8 и 9, К верхней полке правого торца балки мы
то мы увидим, что распределения бимоментов должны приложить силу Р = 1000 Н, линия дей-
вдоль балки, определенных обеими методами, ствия которой проходит через центр тяжести се-
практически совпадают (рис. 10), что влечет за чения. Однако при заданной нами сетке КЭ мы
собой совпадение величин нормальных напря- сделать этого не можем. Силу мы можем прило-
жений σ, вычисляемых по формуле (9). жить либо к узлу, либо к элементу. Так как раз-
Итак, при стержневой аппроксимации тон- мер конечного элемента вдоль полки 57,5/12 =
костенной балки конечными элементами CBEM = 4,792 мм, то расстояние от стенки швеллера до
удается определить как нормальные напряже- центра тяжести равно 16.741 4.792=3.4943.5
ния точек поперечного сечения, так и переме- КЭ. Поэтому при узловом приложении нагрузки
щения центров тяжестей поперечных сечений, линия действия силы не будет проходить через
величины которых не противоречат величи- центр тяжести и граничные условия, принятые
нам, найденным по формулам стержневой ап- нами при использовании формул сопротивле-
проксимации. ния материалов, будут отличаться от принятых
в МКЭ. Если же нагрузку приложить к центру
Анализ напряженного и деформированного тяжести четвертого от стенки элемента, то длина
состояний консольной балки балки уменьшится на 5 мм, так как размер эле-
в MSC Patran. Оболочечная модель мента в направлении длины балки равен 10 мм.
При создании оболочечной конечно-эле- Приложим нагрузку к третьему от стенки швел-
ментной модели балки будем использовать стан- лера узлу. Деформированный вид балки, изополя
дартные процедуры, описанные в [11]. Размеры нормальных напряжений σ и их величины, вели-
x
поперечного сечения швеллера зададим для его чина максимальных перемещений w (в направле-
средней линии. Вдоль длины балки создадим нии оси z) приведены на рисунке 11. Эта модель
60 элементов, по высоте швеллера – 26 элемен- швеллера в большей степени по сравнению с од-
тов и по ширине полки – 12 элементов. Таким номерной моделью отображает реальное поведе-
образом, для оболочечной модели общее число ние тонкостенной балки, загруженной сосредото-
элементов равно 3000, в то время как для стерж- ченной силой, не проходящей через центр изгиба,
невой модели для решения поставленной задачи однако требует больших вычислительных затрат
нам потребовалось всего 20 элементов. и больших ресурсов ЭВМ.
91
В е с т н и к ЧГАА. 2013. Том 65
Рис. 11
Рис. 12
Рис. 13
Ранее в MathCAD для средней линии се- MSC Patran выводит напряжения не средней
чения в полке мы получили линейную эпю- линии, а на верхней поверхности оболочечного
ру напряжений с крайними ординатами σ = элемента.
x
= –11,342 МПа и σ = 21,006 МПа (рис. 2). Та- Эпюры нормальных напряжений σ в опас-
x x
ким образом, решения, полученные в MathCAD ном сечении приведены на рисунке 12 (пол-
и MSC Patran, близки, учитывая тот факт, что ка швеллера) и рисунке 13 (стенка швеллера).
92
а б
Рис. 14
Напряжения выведены в узлах элементов (левый Hex при создании 3D-элементов, необходимо
рисунок) и в центре тяжести элементов (правый создать изопараметрические тела в приложении
рисунок). Как следует из этих рисунков, линей- Geometry с опциями Object : Solid и Method : XYZ.
ность эпюр σ нарушается в месте стыковки эле- Для того чтобы узлы элементов полки и стен-
x
ментов полки и стенки; величины напряжений ки совпали, разбиваем ширину полки на 12 эле-
в центре тяжести элементов ближе к результа- ментов по ширине и на 2 элемента по толщине.
там, полученным по формулам сопротивления Вдоль высоты стенки выбираем 124/4 = 31 эле-
материалов. мент. По длине швеллера выбираем 120 элемен-
Перемещение точки стенки, лежащей на оси тов (600/5). Левый торец швеллера жестко заще-
симметрии швеллера, в направлении оси z, опре- мим (рис. 14 а), а к правому торцу приложим со-
деленное MSC Patran, равно 0,19 мм, по форму- средоточенную силу Р = 1000 Н (рис. 14 б).
лам сопротивления материалов – Деформированный вид балки, изополя
нормальных напряжений σ и их величины, ве-
x
личина максимальных перемещений w (в на-
правлении оси z) приведены на рисунке 15.
Перемещение в направлении оси z точки
. стенки, лежащей на оси симметрии швеллера
и наиболее удаленной от центра тяжести, опре-
Относительная ошибка определения w со- деленное MSC Patran, равно 0,17954 мм, по фор-
ставила 5 %. мулам сопротивления материалов – 0,181 мм.
По углу поворота торцевого сечения отно- Относительная ошибка в определении w со-
сительная ошибка, по сравнению с решением ставила порядка ~1 %. Относительная ошибка
сопротивления материалов, составила ~1 %: в направлении угла поворота не превышает 5 %:
. .
Эпюры нормальных напряжений σ в опас-
x
Анализ напряженного и деформированного ном сечении балки в трех горизонтальных се-
состояний консольной балки чениях верхней полки: для узлов, лежащих на
в MSC Patran. 3D-модель внешней стороне полки, на средней линии и на
Для того чтобы в дальнейшем воспользо- внутренней стороне полки, приведены на ри-
ваться генератором сеток IsoMesh с элементами сунке 16. Значения напряжений, вычисленные
93