Momenten-Einflußzahlen für Durchlaufträger mit beliebigen Stützweiten

96 Pages·1951·4.21 MB·German

by  Dr.-Ing. H. Graudenz (auth.)

Momenten -EinfluBzahlen
fur Durchlauftrager n1it beliebigen
Stiitz,veiten
Yon
Dr.-lng. H.GraudellZ
~lit 80 Zahlelltafelll
und 1-1 Ahhildullgell
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH 1951
ISBN 978-3-662-12538-0 ISBN 978-3-662-12537-3 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-12537-3
Alle Rechte, insbesondere das der Vbersetzung
in fremde Sprachen, vorbehalten.
® by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1951
Ursprtlng1ich erschienen bei Springer-Verlag OHG., BerlinjGiittingenjHeidelberg 1951
Vorwort.
Zu den Hilfsmitteln, die die LOsung haufig vorkommender _-\ufgaben der
Praxis erleichtem sollen, gehoren seit langem Tabellen zur .... ereinfachten
Berechnung von Dllrchlauftragem. Der Anwendungsbereich der bekanntell
Tabellenbucher ist verhaltnismaBig eng begrenzt: aus der unendlichen Zahl
moglicher Stutzweitenverhaltnisse wurden bestimmte Tragerfalle ausgewahlt
und die Stiitzen- und Feldmomente fur .... erschiedene Belastungen berechnet.
Die Zusammenfassullg der )Iom('ntenbeitrage der einzelnen Felder zu je cillem
Tabcllenwert fUr jedes )Ioment macht die Anwendung solcher Tafeln zwar
~ehr bequem, bedingt aber schon bei geringer Abweichung des gcgebenen
Stiitzweiten verhaltnisses vom Tafeh'erhaltniserhebliche U llgena uigkciten und
,;chlieBt die Beriicksichtigung feldweise wcchselnder Tragheitsmomcnte aus.
Dem Bed iirfnis der Praxis nach einem Tabellenbuch, da~ in jed em Fall, also
<luch bei ganz unregelmaBigen Feldteilungen, schnell zu Ergebnissen von aus
reichender Genauigkeit fuhrt, tragen die vorliegenden Tafeln Hechnung.
Die Tafeln enthaltenEinfluBzahlen fUr die Stutzcnmomentedurchlaufemler
Tr;igcr iiber 2,3 und 4 Felder mit 496 \'erschiedenen reduziertcn Stlitzweiten
\"crhaltnissen. Die Berechnung der Tafelwcrte wllrde mit Hilfc des Cross
\ -crfahrens d urchgefiihrt. F eldmomen te sind nicht in die Ta feIn a ufgenommell,
urn die allgemeine Verwendbarkeit und Genauigkcit nicht einzuschranken,
cIa die genaue Berechnung der Feldmomente erst m(jglich ist, wenn neben dem
reduzicrten auch das tatsachlichc Stiitzweiten- und das BelastungsyerhaItni:;
iestliegt.
Zum schnellen Heraussuchen des nachstliegenden Tafeh'erhaltnisses fiir
cinen gegebenen Trager dient die systematische Ubersicht auf Seite <.I bis 10,
Jedes enthaltene Stutzweitellverhaltnis ist nur einmal aufgefiihrt, die frei
gebliebenen Stellen der Ubersicht entsprechen solchen Tragcrfallen, die riick
warts gelesen schon an anderer Stelle stehen. Formeln zur Berechnung der
Belastungswerte sind im Abschnitt 3 wiedergegeben, fur gleichmaBig verteilte
Belastllng sind bereits die Stiitzenmomente in den Tafeln enthalten,
H. Graudenz
S P r i 11 g e, im Dezember 1950.
Inhaltsverzeichnis.
1. Einleitnng....................................................... 1
2. Zahlenbeispiele................................................... 3
3. Einspannmomente............................................... 7
4. Obersicht iiber die Tafeln .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5. Tafel fur Zweifeldtrager (Tafel 1) ................................. 11
6. Tafeln fiir Dreifeldtrager (Tafel 2-16).... ... . ..................... 12
7. Tafeln fUr Vierfeldtrager (Tafel 17-80). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1. Einleitung.
Fiir die Berechnung von Durchlauftragern und Rahmen hat in letzter
Zeit das CRo88sche Verfahren hnmer mehr Anwendung gefunden. Der Ge
danke, die VOTziige dieses Verfahrens auszunutzen, dabei jedoch die DUTCh
fiihrung des Momentenausgleichs zu ersparen, ist der Aufstellung der vorlie
genden Zahlentafeln zugrunde gelegt.
ErfahrungsgemaB hat bei der Berechnung statisch unbestimmter Trag
werke eine Anderung der Steifigkeitszahlen nur verhaltnismaBig geringen
EinfluB auf die Ergebnisse. Bei Abweichungen der vorausgesetzten Steifig
keitsverhaltnisse von den vorhandenen bis etwa 20% konnen die Auswir
kungen noch als unbedeutend angesehen werden. Unter dieser Annahme sind
die vorliegenden Zahlentafeln ftir durchlaufende Trager tiber 2, 3 und 4 Felder
aufgestellt. Die Tafeln enthalten ffir die betreffende Felderzahl samtliche
moglichen Verhliltnisse der reduzierten Stutzweiten l' = I IelI von 1: 1 bis
1: 2 in den Abstufungen 1: 1,2, 1: 1,4 ... sowie ftir Zwei- und Dreifeldtrager
die Verhliltnisse von 1: 2 bis 1: 3 in den Abstufungen 1: 2,25, 1: 2,5 usw. Bei
den praktisch vorkommenden Trligern wird in den meisten Fallen der groBte
Gnterschied der reduzierten Stiitzweiten nicht iiber das Verhaltnis 1: 2 hin
ausgehen, da man bei groBeren Feldunterschieden auch die Tragheits
momente entsprechend abstufen wird. Die Tafeln erfassen also in den an
gegebenen Grenzen die Gesamtheit der Durchlauftrager und errnoglichen die
schnelle und genaue Momentenermittlung bei beliebigen Feldweiten und feld
weise beliebig wechselnden Trligheitsmomenten.
Jeder in den Tafeln enthaltene TragerfaU wird gekennzeichnet durch
das Verhliltnis der reduzierten Stutzweiten, z. B. l~: I;: l~: l~ = 1,4: 1: 1,8: 1,2.
1m Falle gleichen Trligheitsmoments in allen Feldern ist dieses das Verhaltnis
der Feldweiten. Wie beirn CRossschen Verfahren miissen zunachst die Be
lastungswerte, d. h. die Einspannmomente in den einzelnen Feldern unter der
gegebenen Belastung ermittelt werden. Die Multiplikation dieser Belastungs
werte mit den EinfiuBzahlen der Tafeln liefert sofort die Stiitzenmomente des
Tragers. Um die Rechenarbeit fiir den am haufigsten vorkommenden Fall der
gleichmaBig verteilten Belastung noch weiter zu verringern, sind ferner die
Jlomentenbeitrage aus Gleichstreckenlast der einzelnen Felder angegeben, so
daB in diesem Fall die Ermittlung der Belastungswerte entfallt.
Damit ergibt sich die Anwendung der Tafeln wie folgt: Es sei z. B. ein
Vierfeldtrager zu berechnen mit
11= 5,3m 12= 12,5m 13= 9,7m 1,= 7,5m
Il/Ie = 1,6 ItlIe = 2,4 13/1. = 2,1 1,IIe = 1,7.
Die reduzierten Stiitzweiten I IelI sind
l~ = 3,3 I~ = 5,2 I; = 4,6 l~ = 4,4.
abc d e
Wird der kleinste Wert gleich 1 gesetzt, so ist 15 f IS 3 IS J IS'fC,
l~ : I; : l~ : l~ = 1 : 1,58 : 1,39 : 1,33. Abb. 1.
Graudenz, Momenten·Einllu6zahJeo
2 Einleitung.
An Hand der 1)bersicht sucht man nun den Fall heraus, der dem vorhan
denen Verhiiltnis der reduzierlen Stiitzweiten am na.chsten kommt, hier
1 : 1,6: 1,4: 1,4.
Man bestimmt die B~lastungswerte
M~ bel = Einspannmoment des bei a freiaufliegenden, bei b starr eingespannten
Tragers a ... bunter der gegebenen Belastung,
Mbo = Einspannmoment des beiderseitig eingespannten Tragers b ... (; bei b,
-,lfeb = Einspannmoment des beiderseitig eingespannten Tragers b ... (; bei c,
usw.
Fiir die wichtigsten Beiastungsfalle sind auf S. 7 die Formeln fiir die Ein
spannmomente wiedergegeben. Die Formeln sind dem Buch von J OHANNSON
"Das Cross-Verfahren" entnommen, das noch weitere Belastungsfiille ent
hiiltl. Bei der Ermittlung von Einfluplinien werden als Belastungswerte die
EinfiuBordinaten fiir die Einspannmomente benotigt. Diese sind, entnommen
aus ANGER, "Zehnteilige EinfiuBlinien fiir durchlaufende Trager", auf S. 8
wiedergegeben. Erwahnt sei noch die bei jedem Belastungsfall geltende Be
ziehung zwischen dem Einspannmoment M bel des bei a freiaufliegenden
Tragers und den Einspannmomenten M:W und Mbel des beiderseitig ein
gespannten Tragers a ... b:
+ ~ M~b·
Jlba = Mba
:\-Ian bildet nun an jeder Stiitze die Differenz der beiden Einspannmomente
und erhaIt durch ::\Iultiplikation mit den Tafelwerten und Addition die
Stiitzenmomente. 1m Fall 1 : 1,6: 1,4: 1,4 ist z. B. nach Tafel 32
Jl,,=J11"a
- 0,579 (M " .. - M be)
+0,146 (Mel/-M"d)
- 0,042 (Mde - Md.)
AIle :\Iomente sind mit ihren Vorzeichen einzusetzen, wobei die iibliche
Regel gilt: positive Momente erzeugen Zug an der Unterseite, negative Mo
mente Zug an der Oberseite des Balkens.
Bei gleichmiiBig verteilter Belastung ist im
vorliegenden Fall
Ml/=-O,0526 ql~
-O,0605q,.V,
+0,0157 qav,
q,Z:
-0,0053
Das groBte Feldmoment ergibt sich bei gleich
maBig verleilter Belastung in bekannter Weise zu
1)1
1 MIl - M 1
MF=M1 + ( q"2+ 1 ·2q·
Abb.2.
1 S. auch BEYER: Die Statik im Stahlbetonbau. 2. Aufl., Berichtigter Neu
druck. Berlin, Springer 1948, und ScHLEICHER: Taschenbuch fUr Baninge
nieure. Berichtigter Neudruck. Berlin/Gottingen/Heidelberg, Springer 1949.
Zahlenbeispiele. 3
1st der durchlaufende Trager am Ende eingespannt, so muG bei Ermitt
lung des StutzweitenverhiUtnisses die Stiitzweite des Endfeldes nur mit %
ihrer GroBe eingesetzt werden, also 1~ = 0,75 11 I.II l' Das Einspannmoment
Mba ist in diesem Fall fiir beiderseitige Einspan-
nung des Tragers a ... b zu bestimmen, und das
c
endgiiltige Einspannmoment bei a erhalt man aus
=M,,M+""- --M-"
M"
" " 2 2'
Bei einem Durchlauftrager mit Kragarm
am Ende ist a1s Belastungswert M",,= -M,./2
einzusetzen. DaM" negativ ist, ergibt sich in Abb.3.
diesem Fall ein positives Einspannmoment M b4'
Die Benutzung der Tafelwerte fiihrt auch bei Durchlauftragern iiber mehr
als 4 Felder mit geringem Rechenaufwand zu genauen Ergebnissen. Es wer
den dabei zweckmii6ig die ersten 4 Felder a1s Durchlauftrager mit starrer
Einspannung an der letzten Stiitze behandelt und dann ein zweiter Vierfeld
trager berechnet, der die weiteren Felder einschlieGt. Die bereits bei dem
ersten Trager berucksichtigten Belastungen entfallen bei dem zweiten Trager,
aber das Einspannmoment des ersten Tragers ist als Belastungswert an der
betreffenden Stutze des zweiten Tragers einzusetzen. Durch Addition der ent
sprechenden Momente beider Trager erhiilt man die endgiiltigen Stiitzen
momente.
In entsprechender Weise kann man stets die Momente eines Triigers,
dessen StiitzweitenverhiUtnis die Tafem nicht enthalten, aus den Momenten
solcher Trager zusammensetzen, die sich mit Hi1fe der Tafeln berechnen
lassen. Dnter den nachfolgenden Beispielen ist die Berechnung eines Vierfeld
tragers mit dem Stutzweitenverhiiltnis 1: 1,6: 1,8: 2,75 in dieser \"eise durch
gefiihrt.
2. Zahlenbeispiele.
1. Der in der Einleitung als Beispiel gewahlte Vierfeldtrager mit den
Stiitzweiten 1=5,3 m, 1=12,5 m, 1=9,7 m, 1,=7,5 m und dem Steifigkeits
1 2 3
verhaltnis 1;:1~:1;:1~=1:1,6:1,4:1,4 erhiilt die gleichmaBig verteilte Be
lastung g + p = 2,0 + 3,0 = 5,0 tim. Die GroGtwerte der Stiitzen- und Feld
momente sind zu bestimmen.
Tafelwerte nach Tafel 32
M" g = 2,0 q = 5,0
1. -0,0526· 5,321 - 2,96 - 7,40
::s! 2. -0,0605· 12,52! -18,90 -47,25
i + +
~ 3. +0,0157· 9,72 2,96 7,40
4. -0,0053· 7,52 - 0,60 - 1,49
! 3 1, I, 4
+ 2,96 -56,14 = -53,2
2,4 1,3
BelastungsfiUle -19,50 ° ]9,5
0': -
1,3 2, ,
° -48,74 = -48,7
1*
4 Zahlenbeispiele.
Me g= 2,0 q= 5,0
1. +0,0149· 5,32 + 0,84 + 2,09
;g 2. -0,0537 ·12,5- -16,78 -41,95
~ 3. -0,0508 . 9,7· - 9,56 -23,90
4. +0,0170· 7,52 + 1,91 + 4,'78
1,& 1,3
+ 2,75 -65,85 = -63,1
BelastungsfaIle I, , 1,3
-14,87 -21,81 = -36,7
1,3 I, &
- 8,72 -37,17 = -45,9
1vIa g = 2,0 q= 5,0
I
1. -0,0038' 5,321 -0,21 - 0,54
~ 2. +0,0135 . 12,521I +4,22 +10,54
~ 3. -0,0498· 9,72: -9,37 -23,42
4.-0,0668· 7,521 -7,52 -18,78
2 1,3, ,
+4,22 -42,74= -38,5
BelastungsfaIle 2,4 1.3
-3,30 -23,96 = -27,3
1,3 2. ,
-9,58 - 8,24 = -17,8
1 138 min Mb = - 53,2 tm
a 1lJ6 2 c d e min M" = - 63,Hm
Abb.4. min Ma = - 38,5 tm
minMc Mb = - 19,5, Me = - 36,7, 1~fa = - 27,3 tm
C
5,3 19,5)2 1
Abb.5. maxM1= ( 5,0'2- 5,3 . 2.5,0=+ 9,2 tm
A i 1
9,7 -27,3+36.7)2 1
is maxM =-36,7+ ( 5,0'"2+ 9,7 '2.5,0
Ii 3
Abb.6. = - 36,7 + 63,7 = + 27,0 tm
GaG,!
maxM1,a Mb = - 48,7, M" = - 45,9, Md = - 17,8 tm
a 0 c d e
12,5 -45,9 + 48,7)1I 1
(
Abb.7. maxM.=-48,7+ 5,0'2+ 12,5 '2,5,0
m
G = - 48,7 + 99,2 = + 50,5 tm
maxM2,4 !
oed maxM,= ( 5,0· 72,5 - 177,,85)'1 I , 2.51 ,0 = + 26,8 tm
Abb.8.
Zahlenbeispiele. 5
2. Gegeben ist ein Vierfeldtrager mit dem StiitzweitenverhaItnis 11: Is: 13: I,
= 1: 1,6: 1,6: 1,333. Das Triigheitsmoment ist in allen Feldern gleich. Am End
auflager ist der Trager starr eingespannt. Die EinfluBlinie fUr das Stiitzen
moment M b ist zu berechnen.
Wegen der starren Einspannung ist
I: = 43" ' 1,333 = 1 zu setzen, also cis J d e
l~ :1; :1; :1~=1:1,6:1,6:1. Abb.9.
Tafelwerle nach Tafel 3S, Einspannmomente nach S. S
I x
Ff'ld T
0,2 - 0,0960 (1-0,580) = - 0,0403
0,4 - 0,1680 (1-0,5S0) = - 0,0705
1 i 0,6 - 0,1920 (1-0,580) = - O,OS06
I 0,8 - 0,1440 (1-0,580) = - O,()6()4.
I
0,2 - (0,1280· O,5S0 + 0,0320·0,154) ·1,6 = - 0,1268
0,4 - (0,1440·0,580 + 0,0960·0,154) ·1,6 = - 0,1574
2 0,6 - (0,0960· O,5S0 + 0,1440·0,154) ·1,6 = - 0,1246
+
0,8 - (0,0320· O,5S0 O,12S0· 0,154) ·1,6 = - 0,0612
+ + +
0.2 (0,1280·0,154 0,0320·0,035) • 1,6 = 0,0333
0,4 1- (0,1440 • 0,154 + O,Oa60 • 0,035) • 1,6 = +- O,04OS
3 0,6 + (0,0960·0,154 + 0,1440·0,035) ·1,6 = + 0,0317
0,8 + (0,0320·0,154 + O,12S0· 0,035) ·1,6 = + 0,0150
0,2 - O,12S0 • 0,035 . 1,333 = - 0,0060
0,4 - 0,1440 ·0,035· 1,333 = - 0,0067
4
0,6 - 0,0960· 0,035 • 1,333 = - 0,0045
O,S - 0,0320·0,035·1,333 = - 0,0015
Ioc ~
=- I e
~
c d
Abb.l0.
3. Die Stiitzenmomente des unten abgebildeten Vierfeldtragers sind zu be
stimmen.
Dieser Trager ist in dem Buch von JOHANNSON "Das Cross-Verfahren"
berechnet, die Belastungswerte werden von dort u bernommen: M.A.B = - 10, OS,
=
,\lBA -6,72, MBC= -13,02, MCB = -14,76, MCD= -3,20, MDC = -3,20,
l\1DE = -7,38 tm.
Da das Stiitzweitenverhaltnis 1: 1,6: 1,8: 2,75 nicht in den Tafeln enthal
ten ist, wird der Trager durch Zusammensetzen der Momente zweier Drei
feldtrager berechnet (s. Abb.) :
Trager I. Die reduzierten Stutzweiten sind:
I1' =43" ' 53,,0600 = 1,04, 1,2 6= ,30,600 = 1,67, I'3 =43" ' 24,,0080 = 1,44.
6 Zablenbeispiele.
DerkleinsteWertgleich 1 gesetzt: 1:1,61:1,38.
Nachstliegendes TafelverhaItnis: 1: 1,6: 1,4.
Dnrch Multiplikation mit den Einflullzahlen (Tafel 5) erhalt maIl die Werte
in der nachstehenden Tabelle und durch spaltenweise Addition dieser Werte
die Momente des Triigers I.
Triiger II. Reduzierte Stiitzweiten:
3 6,00 4,00 6,00
"4. 3,60 = 1,25, 2,08 = 1,92, 2,08 = 2,88.
Der kleinste Wert gleich 1 gesetzt: 1: 1,54:2,32.
Na.chstliegendes TafelverhaItnis: 1: 1,6: 2,25.
Da das Einspannmoment M d des Tragers I zufaIlig verschwindet, tritt
als Belastungswert bei Trager II nur noch M DE=-7, 38 tm ~uf. Mit Hilfe der
Einflullzahlen (Tafel 5) erhiilt man auch die Momente des Tragers II.
Nun mull noch die \Vir
~ lit IIISItIIIr nII II ~¥t/m mt 2t kung des Einspannmoments
~A I~ I 2 C' 3-D II £ M,.=-O,71 tm des Triigers II
auf den Trager I beriicksich
&,00.;00 too ~ ¥,OO 2,00 ~50 tigt werden. Diese Rechnung
l = S-OO BJJO f!fiO 6,00 wird unter Ia dnrchgefUhrt.
J/.l,~t :UO 3,60 2.08 2,08 Es ergibt sich dann nur noch
l = ~IO,, . t-67 f,92 2~8 ein geringes Einspannmo
: ~6 : ~8 : 2,75, ment M d = +0,04 tm, dessen
~, a IIIIIIlm ~I Einflull vernachlassigt wer
~~ c d den kann.
~~ t C~Qi""f~ ~6 ~r:~7 ~#'~( 'n Die Addition der ent
I sprechenden Momente der
~d I : lJ 1.6 :l:.f.J,o 2.25 d Trager I, II und I a ergibt die
endgiiltigen Werte, die von
~ d~'I' Id
~ il. lJ" c dem nach CLAl'EYBON berech
neten genauen Ergebnis nur
Abb. 11. geringfiigig abweichen.
A B c D
II
I 1:],6:1,4 M .. II Mb Me Md
-10,08 - 6,72 -14,76 I -3,20
I
I I Mba-lIIbc = + 6,30 - 3,36 - 3,66 - 0,70 -1,60
Meb-Med= -11,56 + 6,09 - 1,80 + 5,87 +4,80
--
I - 7,35 -12,18 - 9,59 I 0
I
I 1:1,6:2,25 M,. Mb Me
II I I
I MOb-Med = +7,38 I -0,71 I +1,42 -4:,61
I I
I
I;a Mba-Mbc = +0,71 +0,21 -0,41 -0,08 +0,04
,
Endgiiltige Momente MA= MB= 1110= MD=
(tm) I -7,14 I -12,59 I -8,25 -4,61
Genaue Werte I -7,14 I -12,59 I -8,26 I -4,70