Momenten-Einflußzahlen für Durchlaufträger mit beliebigen Stützweiten

96 Pages·1971·3.458 MB·German

by  Dr.-Ing. H. Graudenz (auth.)

Momenten-EinHu.6zahlen
fUr Durchlauftrager mit beliebigen
Stiitzweiten
Von
Dr.-Ing. H. Graudenz
Sechste Auflage
Mit 80 Zahlentafeln und 15 Abbildungen
Springer-Verlag Berlin· Heidelberg. New York 1971
lSBN-13: 978-3-540-05398-9 e-1SBN-13: 978-3-642-65186-1
001: 10.1007/978-3-642-65186-1
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berechtigt auch ohJle besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daB solche Namen im Sinne
der Warenzeichen· und Markenschutz.Gesetzgebung als frei zu betrachten waren und daher von jeder·
mann ben utzt wt'rden dtirften.
Vorwort
Zu den Hilfsmitteln, die die Lasung haufig vorkommender Aufgaben der
Praxis erleichtern sollen, geharen seit langem Tabellen zur vereinfachten
Berechnung von Durchlauftragern. Der Anwendungsbereich der bekannten
Tabellenbiicher ist verhaltnismaBig eng begrenzt: aus der unendlichen Zahl
moglicher Stiitzweitenverhaltnisse wurden bestimmte Tragerfalle ausgewahlt
und die Stiitzen-und Feldmomente fiir verschiedene Belastungen berechnet.
Die Zusammenfassung der Momentenbeitrage der einzelnen Felder zu je einem
Tabellenwert fiir jedes Moment macht die Anwendung solcher Tafeln zwar
sehr bequem, bedingt aber schon bei geringer Abweichung des gegebenen
Stiitzweitenverhaltnisses vom Tafelverha1tnis erhebliche Ungenauigkeiten
und schlieBt die Beriicksichtigung feldweise wechselnder Tragheitsmomente
aus. Dem Bediirfnis der Praxis nach einem Tabellenbuch, das in jedem Fall,
also auch bei ganz unregelmaBigen Feldteilungen, schnell zu Ergebnissen von
ausreichender Genauigkeit fiihrt, tragen die vorliegenden Tafeln Rechnung.
Die Tafeln enthalten EinfluBzahlen fiir die Swtzmomente durchlaufender
Trager iiber 2, 3 und 4 Felder mit 496 verschiedenen reduzierten SWtzweiten
verhaltnissen. Die Berechnung der Tafelwerte wurde mit Hilfe des CROSS
Verfahrens durchgefiihrt. Feldmomente sind nicht in die Tafeln aufgenom
men, urn die allgemeine Verwendbarkeit und Genauigkeit nicht einzuschran
ken, da die genaue Berechnung der Feldmomente erst moglich ist, wenn
neben dem reduzierten auch das tatsachliche Stiitzweiten- und das Be
lastungsverhaltnis festliegt.
Zum schnellen Heraussuchen des nachstliegenden Tafelverhaltnisses fiir
einen gegebenen Trager dient die systematische Ubersicht auf Seite 11 bis 12.
J edes enthaltene StiitzweitenverhiiJtnis ist nur einmal aufgefUhrt, die frei
gebliebenen Stell en der Ubersicht entsprechen solchen Tragerfallen, die riick
warts gelesen schon an anderer Stelle stehen. Formeln zur Berechnung der
Belastungswerte sind im Abschnitt 3 wiedergegeben, fiir gleichmaBig ver
teilte Belastung sind bereits die Stiitzenmomente in den Tafeln enthalten.
Duisburg, im Oktober 1956 H. Graudenz
In der 5. Auflage wurde das bisherige Zahlenbeispiel3 (Vierfeldtrager,
durch Zusammensetzen zweier Dreifeldtrager berechnet) durch 2 neue Bei
spiele ersetzt:
3. Dreifeldtrager mit Wechsel-Einzellasten,
4. Fiinffeldtrager, durch Zusammensetzen zWyier Vierfeldtrager be-
rechnet.
Ferner wurde die Einleitung erganzt darch Erlauterung des Rechnungs
ganges bei am Ende eingespannten Tragern mit gleichmaBig verteilter Be
lastung.
Duisburg, im Dezember 1965 H. Graudeuz
In der ll. Auflage wurde Tafel 1 (Zweifeldtrager) durch die fUnf Tragerfalle
1: 1,1, 1: 1.3. 1: 1,5. 1: 1,7, und 1: 1,9 erganzt.
I )amit enthalten die Tafeln insgesamt 501 Tragerfalle.
D u is bu r g, im Februar 1971 H. Graudenz
Inhaltsverzeichnis
t. Einleitung 1
2. Zahlenbeispiele ............................................... 4:
3. Einspannmomente .......................................•.... 9
4. Ubersicht uber die Tafeln ...................................... 11
5. Tafel fur Zweifeldtrager (Tafel 1) ............................... 13
6. Tafeln fur Dreifeldtrager (Tafel 2-16) ........................... 14
7. Tafeln fur Vierfeldtrager (Tafel 17-80) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29
1. Einleitung
Fiir die Berechnung von Durchlauftragern und Rahmen hat in neuerer
Zeit das CRosssche Verfahren immer mehr Anwendung gefunden. Der Ge
danke, die Vorziige dieses Verfahrens auszunutzen, dabei jedoch die Durch
fiihrung des Momentenausgleichs zu ersparen, ist der Aufstellung der vor
liegenden Zahlentafeln zugrunde gelegt.
ErfahrungsgemaJ3 hat bei der Berechnung statisch unbestimmter 1'rag
werke eine Anderung der Steifigkeitszahlen nur verhaltnisma13ig geringen
Einflu13 auf die Ergebnisse. Bei Abweichungen der vorausgesetzten Steifig
keitsverhaltnisse von den vorhandenen bis etwa 20% kbnnen die Auswir
kungen noch als unbedeutend angesehen werden. Unter dieser Annahme sind
die vorliegenden Zahlentafeln fiir durchlaufende Trager iiber 2,3 und 4 Felder
aufgestellt. Die Tafeln enthalten hir die betreffende Felderzahl samtliche
mbglichen Verhaltnisse cler reduzierten Stiitzweiten I' - Ilell von 1: 1 bis
1 : 2 in den Abstufungen 1: 1,2, 1: 1,4 ... (Zweifeldtrager in den A bstufungen
1: 1,1, 1: 1,2, 1: 1,3 ... ) sowie fUr Zwei- und Dreifeldtrager die Verhaltnisse
von 1: 2 bis 1: 3 in den Abstufungen 1: 2,25. 1: 2,5 usw. Bei den praktisch vor
kommenden Tragern wird in den meisten Fallen der grbJ3te Unterschied der
reduzierten Stiitzweiten nicht iiber clas Verhaltnis 1:2 hinausgehen, da man
bei grbJ3eren Feldunterschieden auch die Tragheitsmomente entsprechend
abstufen win!. Die Tafeln erfassen also in den angegebenen Grenzen die Ge
samtheit der Durchlauftrager und ermbglichen die schnelle und genaue
Momentenermittlung bei beliebigen Felclweiten und feldweise beliebig
wechselnden Tragheitsmomenten.
Jeder in den Tafeln enthaltene Tragerfall wird gekennzeicnnet durch
nas Verhaltnis der reduzierten Stiitzweiten, z. B. I~: I~: I~: I~ = 1,4:1: 1,8: 1,2.
1m FaIle gleichen Tragheitsmoments in allen Feldem ist dieses das Verhii.1tnis
der Feldweiten. Wie beim CRossschen' Verfahren miissen zunachst die Be
lastungswerte, d.h. die Einspannmomente in den einzelnen Feldern unter der
gegebenen Belastung ermittelt werden. Die Multiplikation dieser Belastungs
werte mit den EinfluBzahlen der Tafeln liefert sofort die Stiitzenmomente des
Tragers. Urn die Rechenarbeit fiir den am haufigsten vorkommenden Fall der
gleichmal3ig verteilten Belastung noch weiter zu verringem, sind femer die
Momentenbeitrage aus Gleichstreckenlast der einzelnen Felder angegeben, so
daB in diesem Fall die Ermittlung der Belastungswerte entfallt.
Damit ergibt sich die Anwendung cler Tafeln wie folgt: Es sei z. B. ein
Vierfeldtrager zu beJ:echnen mit
It=5,3m la=12,5m 13=9,7m 1,=7,5m
It/Ie = 1,6 Ialle = 2,4 Ialle = 2,1 I,IIe = 1,7.
Die reduzierten Stiitzweiten 1 I,ll sind
l~ = 3,3 I; = 5,2 I; = 4,6 l~ = 4,4.
abc d e
Wird der kleinste Wert gleich 1 gesetzt, so ist 6 f lS 3 lSJlS'fC,
l~ : z~ : z; : l~ = 1 : 1,58 : 1,39 : 1,33 . Abb. 1
2 Einleitung
An Hand der Obersicht sucht man nun den Fall heraus, der dem vorhan
denen Verhaltnis der reduzierten Stiitzweiten am nachsten kommt, hier
1: 1,6 : 1,4: 1,4.
Man bestimmt die Belastungswerte
Mba = Einspannmoment des bei a freiaufliegenden, bei b starr eingespannten
Tragers a ... bunter der gegebenen Belastung,
Mbo = Einspannmoment des beiderseitig eingespannten Tragers b ... c bei b,
Mob = Einspannmoment des beiderseitig eingespannten Tragers b ... c bei c,
usw.
Fiir die wichtigsten Belastungsfalle auf S. 9 die Formeln flir die Ein
spannmomente wiedergegeben. Die Formeln sind dem Buch von J OHANNSON
"Das CRoss-Verfahren" entnommen, das noch weitere Belastungsfalle ent
haItI. Bei der Ermittlung von Einfluf3Zinien werden als Belastungswerte die
EinfluBordinaten flir die Einspannmomente benotigt. Diese sind, entnommen
aus ANGER, "Zehnteilige EinfiuBlinien flir durchlaufende Trager", auf S. 10
wiedergegeben. Erwahnt sei noch die bei jedem Belastungsfall geltende Be
ziehung zwischen dem Einspannmoment Mba des bei a freiaufliegenden
Tragers und den Einspannmomenten M'a& und M'ba des beiderseitig ein
gespannten Tragers a ... b:
, 1.
Mba = Mba + "2 "11Ia b •
Man bildet nun an jeder Stiitze die Differenz der beiden Einspannmomente
und erhalt durch Multiplikation mit den Tafelwerten und Addition die
Stiitzenmomente. 1m Fall 1: 1,6: 1.4: 1,4 ist z. B. nach Tafel 32
Mb = Mba
- 0,579 (Mba - Mbo)
+ 0,146 (Mob - Med)
- 0,042 (Mde - Md.)
Alle Momente sind mit ihren Vorzeichen einzusetzen, wobei die iibliche
Regel gilt: positive Momente erzeugen Zug an der Unterseite, negative Mo
mente Zug an der Oberseite des Balkens.
Bei gleichmaBig verteilter Belastung ist im
vorliegenden Fall
Mb = - 0,0526 q1li
- 0,0605 q, l~
+ 0,0157 qa1i
- 0,0053 q.Z:
Das groBte Feldmoment ergibt sich bei gleich
maBig verteilter Belastungin bekannter Weise zu
Z Mll-MI)2 1
MF=Ml+ ( q-+ '-.
Abb.2 2 1 2q
1 S. auch BEYER: Die Statik im Stahlbetonbau. 2. Auf!. Berichtigter Neu
druck. Berlin, Springer 1948. und SCHLEICHER: Taschenbuch fUr Bauinge
nieure. Berichtigter Neudruck. Berlin/GOttingen/Heidelberg: Springer 1949.
Zahlen beispiele 3
1st der durchlaufende Trager am Ende eingespannt, so muB bei Ermitt
lung des Stiitzweitenverhaltnisses die Stiitzweite des Endfeldes nur mit a/
t
ihrer GroBe eingesetzt werden, also l~ = 0,7511 1.1/1' Das Einspannmoment
M .. ist in diesem Fall flir beiderseitige Einspannung des Tragers a ... b zu
bestimmen, und das endgiiltige Einspannmoment bei a erhalt man aus
Werden die Tafelwerte flir gleichmiifJig verteilte Belastung auf Trager mit
Endeinspannung angewendet, so miissen die Momentenbeitrage aus dem
eingespannten Feld mit 2/3 multipliziert werden. Zum Beispiel:
Vierfeldtrager mit 11 = 5,0 m, 12 = 4,3 m, la = 6,0 m, I, = 6,4 m, am
Endauflager e eingespannt, l~ = 0,75 ·6,4 = 4,8 m, Tragheitsmomente in
allen Feldern gleich,
1'1 :l~:l;:l~ = 1,16: 1:1,40: 1,12,
nachstes Tafelverhaltnis 1,2: 1: 1,4: 1,2, Tafel 61.
M. = -0,0717 ql1~ M. = + 0,0162 q1/i M. = -0,0045 q11i
- 0,0465 q21~ -0,0459 q21~ + 0,0125 q2/~
+ 0,0139 q31~ - 0,0610 qal; - 0,0508 q3 I;
-0,0044q,I: . ~ +O,0193q,1:. ~ - 0 , 0630 q, 124 , ~3
M Mil' Mil
M,= "+2-2'
Vgl. hierzu auch das Zahlenbeispiel 4, Trager I.
Bei einem Durchlauftrager mit Kragarm am Ende ist als Belastungswert
M .. = -M./2 einzusetzen. Da M. negativ ist, ergibt sich in diesem Fall
ein positives Einspannmoment M ...
Die Benutzung der Tafelwerte flihrt auch bei b c
Durchlauftragern iiber mehr als 4 Felder mit
geringem Rechenaufwand zu genauen Ergeb
nissen. Es werden dabei zweckmaBig die ersten
4 Felder als Durchlauftrager mit starrer Ein
spannung an der letzten Stiitze behandelt und
dann ein zweiter Vierfeldtrager berechnet, der
die weiteren Felder einschlieBt. Die bereits bei Abb.3
dem ersten Trager beriicksichtigten Belastungen
entfallen bei dem zweiten Trager, aber das Einspannmoment des ersten
Tragers ist als Belastungswert an der betreffenden Stiitze des zweiten Tragers
einzusetzen. Durch Addition der entsprechenden Momente beider Trager
erhalt man die endgiiltigen Stiitzenmomente.
In entsprechender Weise kann man stets die Momente eines Tragers,
dessen Stiitzenweitenverhaltnis die Tafeln nicht enthalten, aus den Momenten
solcher Trager zusammensetzen, die sich mit Hilfe der Tafeln berechnen
lassen. Unter den nachfolgenden Beispielen ist die Berechnung eines Fiinf
feldtragers in dieser Weise durchgefiihrt.
4 Zahlenb eispiele
2. Zahlenbeispiele
1. Der in der Einleitung als Beispiel gewil.hlte Vierfeldtrager mit den
Stiitzweiten l1 = 5,3 m, I, = 12,5 m, 13 = 9,7 m, l, = 7,5 m und dem Steifig
keitsverhaltnis l~: 1;: l~: l~ = 1: 1,6: j,4: 1,4 erhalt die gleichmaBig verteilte
Belastung g + p = 2,0 + 3,0 = 5,0 tim. Die GroBtwerte der Stiitzen- und
Feldmomente sind zu bestimmen.
Tafelwerte nach Tafel 32
I I I
Mb g= 2,0 P =3,0
I -
1. - 0,0526· 5,32 2,96 - 4,441
:sl 2. - 0,0605. 12,52 - 18,90 - 28,35
~cu 3. + 0,0157· 9,71 + 2,96 + 4,44 1
4. - 0,0053· 7,52 - 0,60 1 - 0,89 1
BelastungsfiUle
1. 1.4
min Mb - 19,50 - 33,68 = - 53,2
1,8
maxM1 - 19,50 0 = - 19,5
1.4
maxM, - 19,50 - 29,24 = - 48,7
I I I
Mr g = 2,0 p = 3,0
1. + 0.0149· 5.32 + 0,84 + 1,25
;l. - 0,0537 . 12,52 - 16,78 - 25,17
~
~ 3. - 0,0508· 9,72 9,56 - 14,34
4. + 0,0170· 7,52 + 1,91 + 2,87
BelastungsUiJle 2. a
min Me - 23,59 - 39,51 = - 63,1
1.8
maxMa - 23,59 - 13,09 = -36,7
1.4
maxM, - 23,59 - 22,030 = - 45,9
I I I
Md g = 2,0 p = 3,0
1. - 0,0038· 5,32 - 0,21 - 0,32
:sl 2. + 0,0135 . 12,52 + 4,22 + 6,32
cu
~ 3. '- 0,0498 . 9,72 - 9,37 - 14,05
4. - 0,0668· 7,52 -7,52 - 11,27
Belastungsfalle 11. a. 4
minMd - 12,88 - 25,64 = - 38,5
1.3
maxMa - 12,88 - 14,37 = - 27,3
2. ,
max.!'I!, - 12,88 - 4,95 = - 17,8
Zahlen beispiele 5
min Mb = - 53,2 tm
abc d e min Me = - 63,1 tm
Abb.4 min Md = - 38,5 tm
min Me Mb = - 19,5, Me = - 36,7, Md = - 27,3 tm
Abb.5 max M 1= (5 , 0 .52,-3 -159-,3,5 )2 ·2-'-51=, 0 +92' tm
1 maxM = _ 367 + (5 O. 9,7 - 27,3 + 36,7)2. _1_
aIS a ' , 2 + 9,7 2 . 5,0
Abb.6 = - 36,7 + 63,7 = + 27,Otm
maxM 1.3 ~8¥1 Mb = - 48,7, Me = - 45,9, Md = - 17,8 tm
a IA'bbd.7 e max M ~ = _ 48 , 7 + (5,0 .122, 5 + -45,192 ,+5 48,7)2 ._2 '15,_0
8 m = - 48,7 + 99,2 = + 50,5 tm
maxM2•4 g
bAebb.8d max M 4 = (5 "0 '7",25 - 177,5,8 )2 . 2. 15 ,0 = + 26,8 tm
6 Zahlenb eispiele
2. Gegeben ist ein Vierfeldtrager mit dem Stiitzweitenverhaltnis 11: 12: 13: I,
=
1: 1,6: 1,6: 1,333. Das Tragheitsmoment ist in allen Feldern gleich. Am
Endauflager ist der Trager starr eingespannt. Die EinfluBlinie fiir das Stiit
zenmoment Mb ist zu berechnen.
W!eg .en der starren Einspannung ist
l~ = 1,333 = 1 zu setzen, also c2S J cl e
l~ : I~ : I~ : l~ = 1 : 1,6 : 1,6 :'1. Abb. 9
Tafelwerte nach Tafel 38, Einspannmomente nach S. 10
x
Feld/ T
0,2 - 0,0960 (1 - 0,580) = -0,0403
0,4 - 0,1680 (1 - 0,580) = -0,0705
1
0,6 - 0,1920 (1 - 0,580) = -0,0806
0,8 - 0,1440 (1 - 0,580) = -0,0604
0,2 - (0,1280·0,580 + 0,0320·0,154) . 1,6 = - 0,1268
0,4 - (0,1440·0,580 + 0,0960·0,154) . t,6 = - 0,1.574
2 0,6 - (0,0960·0,580 + 0,1440·0,154) . 1,6 = - 0,J246
0,8 - (0,0320·0,580 + 0,1280·0,154) . 1,6 = - 0,0612
0,2 + (0,1280·0,154 + 0,0320·0,035) . 1,6 = + 0,0333
0,4 + (0,1440·0,154 + 0,0960·0,035) . 1,6 = + 0,0408
3 0,6 + (0,0960·0,154 + 0,1440·0,035) . 1,6 = + 0,0317
0,8 + (0,0320·0,154 + 0,1280·0,035) . 1,6 = + 0,0150
0,2 - 0,1280·0,035 . 1,333 = --0,0060
0,4 - 0,1440 . 0,035 . 1,333 = -0,0067
4
0,6 - 0,0960 . 0,035 . 1,333 = -0,0045
0,8 - 0,0320 . 0,035 . 1,333 = -0,0015
~I ~
I e
=-- ~
c d
Abb.l0