Table Of ContentMomenten-Einflu13zahlen
für Durchlauft räger mit beliebigen
Stützweiten
Von
Dr.-Ing. H. Graudenz
Fünfte Auflage
Mit 80 Zahlentafeln und 15 Abbildungen
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
ISBN 978-3-540-03515-2 ISBN 978-3-662-00588-0 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-00588-0
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Copyright 1951 by Sprlnger-Verlag, Berlln/Heldelberg
© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1966
Urspriinglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1966
Llbrary of Congress Catalog Card Number 57 -27880
Titelnummer 0329
Vorwort
Zu den Hilfsmitteln, die die Lösung häufig vorkommender Aufgaben der
Praxis erleichtern sollen, gehören seit langem Tabellen zur vereinfachten
Berechnung von Durchlaufträgern. Der Anwendungsbereich der bekannten
Tabellenbücher ist verhältnismäßig eng begrenzt: aus der unendlichen Zahl
möglicher Stützweitenverhältnisse wurden bestimmte Trägerfälle ausgewählt
und die Stützen-und Feldmomente für verschiedene Belastungen berechnet.
Die Zusammenfassung der Momenten beiträge der einzelnen Felder zu je einem
Tabellenwert für jedes Moment macht die Anwendung solcher Tafeln zwar
sehr bequem, bedingt aber schon bei geringer Abweichung des gegebenen
Stützweitenverhältnisses vom Tafelverhältnis erhebliche Ungenauigkeiten
und schließt die Berücksichtigung feldweise wechselnder Trägheitsmomente
aus. Dem Bedürfnis der Praxis nach einem Tabellenbuch, das in jedem Fall,
also auch bei ganz unregelmäßigen Feldteilungen, schnell zu Ergebnissen von
ausreichender Genauigkeit führt, tragen die vorliegenden Tafeln Rechnung.
Die Tafeln enthalten Einfiußzahlen für die Stützmomente durchlaufender
Träger über 2,3 und 4 Felder mit 496 verschiedenen reduzierten Stützweiten
verhältnissen. Die Berechnung der Tafelwerte wurde mit Hilfe des CROSS
Verfahrens durchgeführt. Feldmomente sind nicht in die Tafeln aufgenom
men, um die allgemeine Verwendbarkeit und Genauigkeit nicht einzuschrän
ken, da die genaue Berechnung der Feldmomente erst möglich ist, wenn
neben dem reduzierten auch das tatsächliche Stützweiten- und das Be
lastungsverhältnis festliegt.
Zum schnellen Heraussuchen des nächstliegenden Tafelverhältnisses für
einen gegebenen Träger dient die systematische übersicht auf Seite 11 bis 12.
Jedes enthaltene Stützweitenverhältnis ist nur einmal aufgeführt, die frei
gebliebenen Stellen der übersicht entsprechen solchen Trägerfällen, die rück
wärts gelesen schon an anderer Stelle stehen. Formeln zur Berechnung der
Belastungswerte sind im Abschnitt 3 wiedergegeben, für gleichmäßig ver-,
teilte Belastung sind bereits die Stützenmomente in den Tafeln enthalten.
Duisburg, im Oktober 1956 H. Graudenz
In der 5. Auflage wurde d<ls bisherige Zahlenbeispiel 3 (Vierfeldträger,
durch Zusammensetzen zweier Dreifeldträger berechnet) durch 2 neue Bei
spiele ersetzt:
3. Dreifeldträger mit Wechsel-Einzellasten,
4. Fünffeldträger, durch Zusammensetzen zweier Vierfeldträger be-
rechnet.
Ferner wurde die Einleitung ergänzt därch Erläuterung des Hechnungs
ganges bei am Ende eingespannten Trägern mit gleichmäßig verteilter Be
lastung.
Duisburg, im Dezember 1965 H. Graudenz
Inhaltsverzeichnis
l. Einleitung .................................................. .
2. Zahlenbeispiele ............................................... 4
3. Einspannmomente ............................................ 9
4. Übersicht über die Tafeln ................................ 11
5. Tafel für Zweifeldträger (Tafel 1) ............................... 13
6. Tafeln für Dreifeldträger (Tafel 2-16) ........................... 14
7. Tafeln für Vierfeldträger (Tafel 17-80) ........................... 29
1. Einleitung
Für die Berechnung von Durchlauft rägern und Rahmen hat in neuerer
Zeit das CRosssche Verfahren immer mehr Anwendung gefunden. Der Ge
danke, die Vorzüge dieses Verfahrens auszunutzen, dabei jedoch die Durch
führung des Momentenausgleichs zu ersparen, ist der Aufstellung der vor
liegenden 7..ahlentafeln zugrunde gelegt.
Erfahrungsgemäß hat bei der Berechnung statisch unbestimmter Trag
werke eine Änderung der Steifigkeitszahlen nur verhältnismäßig geringen
Einfluß auf die Ergebnisse. Bei Abweichungen der vorausgesetzten Steiftg
keitsverhältnisse von den vorhandenen bis etwa 20% können die Auswir
kungen noch als unbedeutend angesehen werden. Unter dieser Annahme sind
die vorliegenden Zahlentafeln für durchlaufende Träger über 2, 3 und 4 Felder
aufgestellt. Die Tafeln enthalten für die betreffende Felderzahl sämtliche
möglichen Verhältnisse der reduzierten Stützweiten I' = 1 IclI von 1:1 bis
1: 2 in den Abstufungen 1 :2, 1: 1,4 . .. sowie für Zwei- und Dreifeldträger
die Verhältnisse von 1: 2 bis 1: 3 in den Abstufungen 1: 2,25, 1 :2,5 usw. Bei
den praktisch vorkommenden Trägern wird in den meisten Fällen der größte
Unterschied der reduzierten Stützweiten nicht über das Verhäl1nis 1: 2 hin
ausgehen, da man bei größeren Feldunterschieden auch die Trägheits
momente entsprechend abstufen wird. Die Tafeln erfassen also in den an
gegebenen Grenzen die Gesamtheit der Durchlaufträger und ermöglichen die
schnelle und genaue Momentenermittlung bei beliebigen Feldweiten und feld
weise beliebig wechselnden Trägheitsmomenten.
Jeder in den Tafeln enthaltene Trägerfall wird gekennzeichnet durch
das Verhältnis der reduzierten Stützweiten, z. B. 1~ : l~: 1; : I~ = 1,4:1: 1,8: 1,2.
Im Falle gleichen Trägheitsmoments in allen Feldern ist dieses das Verhältnis
der Feldweiten. Wie beim CRossschen Verfahren müssen zunächst die Be
lastungswerte, d.h. die Einspannmomente in den einzelnen Feldern unter der
gegebenen Belastung ermittelt werden. Die Multiplikation dieser Belastungs
werte mit den Einflußzahlen der Tafeln liefert sofort die Stützenmomente des
Trägers. Um die Rechenarbeit für den am häufigsten vorkommenden Fall der
gleichmäßig verteilten Belastung noch weiter zu verringern, sind ferner die
Momentenbeiträge aus Gleichstreckenlast der einzelnen Felder angegeben, so
daß in diesem Fall die Ermittlung der Belastungswerte entfällt.
Damit ergibt sich die Anwendung der Tafeln wie folgt: Es sei z. B. ein
Vierfeldträger zu berechnen mit
11 = 5,3 m 12 = 12,5 m 13 = 9,7 m 14 = 7,5 m
Il/Ie = 1,6 121Ie = 2,4 13/L, = 2,1 141Ie = 1,7.
Die reduzierten Stützweiten 1 Icll sind
l~ = 3,3 1; = 5,2 1; = 4,6 l~ = 4,4 .
abc d e
Wird der kleinste Wert gleich 1 gesetzt, so ist D. f 15. 2 15.J15.f/-c,
l~ : l~ : l~ : l~ = 1 : 1,58 : 1,39 : 1,33 . Abb.l
2 Einleitung
An Hand der übersicht sucht man nun den Fall heraus, der dem vorhan
denen Verhältnis der reduzierten Stützweiten am nächsten kommt, hier
t: 1,6: 1,4 : 1,4.
Man bestimmt die Belastungswerte
Mba = Einspannmoment des bei a freiaufliegenden, bei b starr eingespannten
Trägers a ... b unter der gegebenen Belastung,
Mbc = Einspannmoment des beiderseitig eingespannten Trägers b ... e bei b,
Mcb = Einspannmoment des beiderseitig eingespannten Trägers b ... e bei e,
usw.
Für die wichtigsten Belastungsfälle auf S. 9 die Formeln für die Ein
spannmomente wiedergegeben. Die Formeln sind dem Buch von JO HANNSON
"Das CRoss-Verfahren" entnommen, das noch weitere Belastungsfälle ent
hältl. Bei der Ermittlung von Einflußlinien werden als Belastungswerte die
Einflußordinaten für die Einspannmomente benötigt. Diese sind, entnommen
aus ANGER, "Zehnteihge Einflußlinien für durchlaufende Träger", auf S. 10
wiedergegeben. Erwähnt sei noch die bei jedem Belastungsfall geltende Be
ziehung zwischen dem Einspannmoment M des bei a freiaufliegenden
ba
Trägers und den Einspannmomenten M'ab und M'b. des beiderseitig ein
gespannten Trägers a ... b:
I + 1,
Mba = 111ba Z-Jlab •
Man bildet nun an jeder Stütze die Differenz der beiden Einspannmomente
und erhält durch Multiplikation mit den Tafelwerten .»nd Addition die
Stützenmomente. Im Fall 1: 1,6: 1,4: 1,4 ist z. B. nach Tafel 32
Mb = Mba
- 0,579 (Mba - Mb.)
+ 0,146 (M.b - M.d)
- 0,042 (Md. - Md.)
Alle Momente sind mit ihren Vorzeichen einzusetzen, wobei die übliche
Regel gilt: positive Momente erzeugen Zug an der Unterseite, negative Mo
mente Zug an der Oberseite des Balkens.
Bei gleichmäßig verteilter Belastung ist im
vorliegenden Fall
Mb = - 0,0526 qll~
- 0,0605 q, l~
+ 0,0157 q8 l~
- 0,0053 q.ll
Das größte Feldmoment ergibt sich bei gleich
mäßig verteilter Belastung in bekannter Weise zu
ll- MI)!
MF=M1 + ( q-I '+ M '-1 .
Abb.2 2 I 2q
1 S. auch BEYER: Die Statik im Stahlbetonbau, 2. Auti. Berichtigter Neu
druck. Berlin, Springer 1948, und SCHLEICHER: Taschenbuch für Bauinge
nieure. Berichtigter Neudruck. BerlinfGöttingenfHeidelberg: Springer 1949.
Zahlenb eispiele 3
Ist der durchlaufende Träger am Ende eingespannt, so muß bei Ermitt
lung des Stützweitenverhältnisses die Stützweite des Endfeldes nur mit 3/.
ihrer Größe eingesetzt werden, also I~ = 0,75/11./11, Das Einspannmoment
M ist in diesem Fall für beider'seitige Einspannung des Trägers a .. , b zu
to
bestimmen, und das endgültige Einspannmoment bei a erhält man aus
Werden die Tafelwerte für gleichmäßig verteilte Belastung auf Träger mit
Endeinspannung angewendet, so müssen die Momentenbeiträge aus dem
eingespannten Feld mit 2/3 multipliziert werden. Zum Beispiel:
Vierfeldträger mit Il = 5,0 m, 12 = 4,3 m, 13 = 6,0 m, I. = 6,4 m, am
Endauflager e eingespannt, l~ = 0,75 . 6,4 = 4,8 m, Trägheitsmomente in
allen Feldern gleich,
I; :l~ :l;:l~ = 1,16: 1: 1,40: 1,12,
nächstes Tafelverhältnis 1,2: 1: 1,4: 1,2, Tafel 61.
Md = -0,0045 qt1i
- 0,0465 q21~ - 0,0459 q2 l~ + 0,0125 q2 I;
+ 0,0139 q3 1: ! - 0,0610 q3 l~ ! - 0,0508 q3 I; !
- 0,0044 q, I! . + 0,0193 q,l! . - 0,0630 q4/~ .
.'\1..
M M Md
• = .d+2-2'
V gl. hierzu auch das Zahlenbeispiel 4, Träger 1.
Bei einem Durchlauft räger mit Kragarm am Ende ist als Belastungswert
Mto = -M./2 einzusetzen. Da M. negativ ist, ergibt sich in diesem Fall
ein positives Einspannmoment M .. ,
Die Benutzung der Tafelwerte führt auch bei a b c
Durchlauft rägern über mehr als 4 Felder mit
geringem Rechenaufwand zu genauen Ergeb
nissen. Es werden dabei zweckmäßig die ersten
4 Felder als Durchlauft räger mit starrer Ein
spannung an der letzten Stütze behandelt und
dann ein zweiter Vierfeldträger berechnet, der
die weiteren Felder einschließt. Die bereits bei Abb, :J
dem ersten Träger berücksichtigten Belastungen
entfallen bei dem zweiten Träger, aber das Einspannmoment des ersten
Trägers ist als Belastungswert an der betreffenden Stütze des zweiten Trägers
einzusetzen. Durch Addition der entsprechenden Momente beider Träger
erhält man die endgültigen Stützenmomente,
In entsprechender Weise kann man stets die Momente eines Trägers,
dessen Stützenweitenverhältnis die Tafeln nicht enthalten, aus den Momenten
solcher Träger zusammensetzen, die sich mit Hilfe der Tafeln berechnen
lassen. Unter den nachfolgellden Beispielen ist die Berechnung eines Fünf
feldträgers in dieser Weise durchgeführt.
4 Zahlen beispiele
2. Zahlenbeispiele
1. Der in der Einleitung als Beispiel gewählte Vierfeldträger mit den
Stützweiten 1 = 5,3 m, 1 = 12,5 m, l3 = 9,7 m, 1 = 7,5 m und dem Steifig
1 2 4
keitsverhältnis 1~: l~: li: l~ = 1: 1,6: j ,4: 1,4 erhält die gleichmäßig verteilte
Belastung g + P = 2,0 + 3,0 = 5,0 tim. Die Größtwerte der Stützen- und
Feldmomente sind zu bestimmen.
Tafelwerte nach Tafel 32
I I I
Mb g = 2,0 P =3,0
I -
1. - 0,0526· 5,32 2,96 - 4,441
:g 2. - 0,0605· 12,52 - 18,90 - 28,35 [
~'" 3. + 0,0157· 9,72 + 2,96 + 4,44 I
4. - 0,0053· 7,52 - 0,60 1 - 0,89
Belastungsfälle
1. 2,4
min Mb - 19,50 - 33,68 = - 53,2
1,3
max MI - 19,50 0 = - 19,5
2.4
maxM2 - 19,50 - 29,24 I = - 48,7
I I I
Me g = 2,0 P =3,0
1. + 0,0149· 5,32 + 0,84 + 1,25
:g 7.. - 0,0537 . 12,52 - 16,78 - 25,17
~'" 3. - 0,0508· 9,72 9,56 - 14,34
4. + 0,0170· 7,52 + 1,91 + 2,87
Belastungsfälle 2. a
minMc - 23,59 - 39,51 = - 63,1
1.3
maxMa - 23,59 - 13,09 = - 36,7
2.4
maxM - 23,59 - 22,30 = - 45,9
2
Md g =2,0 I P = 3,0 I
1- - 0,0038· 5,32 - 0,21 - 0,32
,:g 2. + 0,0135 . 12,52 + 4,22 + 6,32
.'.".. 3. -- 0,0498· 9,72 - 9,37 - 14,05
4. - 0,0668· 7,52 -7,52 - 11,27
Belastungsfälle
11.3.4
minMd - 12,88 - 25,64 = - 38,5
1.3
maxMa - 12,88 - 14,37 = - 27,3
2. ,
max2\1, - 12,88 - 4,95 = - 17,8
Zahlen beispiele 5
min Mb = - 53,2 tm
abc d e minMr = - 63,1 tm
Abb.4 min Md = - 38,5 tm
minMc g i ZS 1 1 Mb = - t9,5, Me = - 36,7, Md = - 27,3 tm
Ab(b) .5 max M 1 = (5 , 0 . -52,-3 - -159,3,5 )2 . -2·51-, 0 = + 9'2 tm
R i 1 +
dzs max M 3 -- -3,67 + (5,0 '"9".27 + - 27,39 .7 36,7)2 . 2 .15 ,0
Abb.6 = - 36,7 + 63,7 = + 27,0 tm
maxM 1.3 F738~1 Mb = - 48,7, Me = - 45,9, Md = - 17,8 tm
a 1 ' d e M 48 7 (5 0 12,5 - 45,9 + 48,7)2 1
Abb.~ max ~ = - , + , '2+ 12,5 '2.5,0
gm m
= - 48,7 + 99,2 = + 50,5 tm
b c d max M 4 = (5, 0. "7",25 - 177,5,8 )2 . 2 . 15 ,0 = + 26 ,8 tm
Abb.8
6 Zahlenb eispiele
2. Gegeben ist ein Vierfeldträger mit dem Stützweitenverhältnis 11: 12: la: 1,
= 1: 1,6: 1,6: 1,333. Das Trägheitsmoment ist in allen Feldern gleich. Am
Endauflager ist der Träger starr eingespannt. Die Einftußlinie für das Stüt
zenmoment Mb ist zu berechnen.
Wegen der starren Einspannung ist
I;' = "34 . 1,333 = 1 zu setzen, also c2S J dzs 'I- e~ .
l~: l~ : l~ : l~ = 1 : 1,6 : 1,6 :'1. Abb.9
Tafelwerte nach Tafel 38, Einspannmomente nach S. 10
I x
Feld I
5
0,2 - 0,0960 (1 - 0,580) = -0,0403
0,4 - 0,1680 (1 - 0,580) = -0,0705
1
0,6 - 0,1920 (1 - 0,580) = -0,0806
0,8 - 0,1440 (1 - 0,580) = -0,0604
0,2 - (0,1280·0,580 + 0,0320·0,154) . 1,6 = - 0,1268
0,4 - (0,1440·0,580 + 0,0960·0,154) . t,6 = - 0,1574
2 0,6 - (0,0960·0,580 + 0,1440·0,154) . 1,6 = - 0,1.246
0,8 - (0,0320·0,580 + 0,1280·0,154) . 1,6 = - 0,0612
0,2 + (0,1280·0,154 + 0,0320·0,035) . 1,6 = + 0,0333
0,4 + (0,1440·0,154 + 0,0960·0,035) . 1,6 = + 0,0408
3 0,6 + (0,0960·0,154 + 0,1440·0,035) . 1,6 = + 0,0317
0,8 + (0,0320·0,154 + 0,1280·0,035) . 1,6 = + 0,0150
0,2 - 0,1280·0,035· 1,333 = --0,0060
0,4 - 0,1440·0,035· 1,333 = -0,0067
4
0,6 - 0,0960·0,035· 1,333 = -0,0045
0,8 - 0,0320 . 0,035 . 1,333 = -0,0015
~~ ~
I e
- _ Mb C d
Abb.10
