Table Of ContentSitzungsberichte der Heidelberger
Akademie der Wissenschaften
Mathematisch-naturwissenschaitliche KIasse
Die Jahrgiinge bi8 1921 einschliefJlich er8chienen im Verlag von Carl Winter, Univer8itiit8'
buchhandlung in Heidelberg, die Jahrgiinge 1922-1933 im Verlag Walter de Gruyter &: Co.
in Berlin, die Jahrgiinge 1934-1944 bei der WeifJ8chen Univer8itiit8buchhandlung in
Heidelberg. 1945,1946 und 1947 8ind keine Sitzung8berichte er8chienen.
Ab Jahrgang 1948 er8cheinen die "Sitzung8berichte" im Springer. Verlag
Inhalt des Jahrgangs 1949:
1. H. MAAss. Automorphe Funktionen und indefinite quadratische Formen. DM 3.60.
2. O. H. ERDMANNSDORFFER. Ober Fasergranite und Bollsteiner Gneis. DM 1.20.
3. K. H. SCHUBERT. Die eindeutige Zerlegbarkeit eines Knotens in Primknoten.
DM2.S0.
4. K. HOLLDACK. Grenzen der Herzauskultation. DM 4.20.
5. K. FREUDENBERG. Die Bildung ligninahnlicher Stoffe unter physiologischen Be·
dingungen. DM 1.-.
6. W. TROLL und H. WEBER. Morphologische und anatomische Studien an hoheren
Pflanzen. DM 7.S0.
7. W. DOERR. Pathologische Anatomie der Glykolvergiftung und des Alloxandiabetes.
DM9.S0.
S. W. THRELFALL. Knotengruppe und Homologieinvarianten. DM 1.50.
9. F.OEHLKERS. Mutationsauslosung durch Chemikalien. DM 3.80.
10. E. SPERNER. Beziehungen zwischen geometrischer und -algebraischer Anordnung.
DM3.-.
II. F. HELLER. Ursus (Plionarctos) stehlini Kretzoi. DM 4.S0.
12. W. RAUH. Klimatologie und VegetationsverhaltniBSe der Athos-Halbinsel und der
ostll.gaischen Inseln Lemnos, Evstratios, Mytiline und Chios. DM 10.50.
13. Y. REENPli. Die Schwellenregein in der Sinnesphysiologie und das psychophysi8che
Problem. DM 1.60.
Inhalt des Jahrgangs 1950:
1. W. TROLL und W. RAUH. Das Erstarkungswachstum krautiger Dikotylen, mit
besonderer Beriicksichtigung der primaren Verdickungsvorga.nge. DM 13.40.
2. A. MrrrASCH. Friedrich Nietzsches NaturbefliBSenheit. DM 8.80.
3. W. BOTHE. Theorie des Doppellinsen-p-Spektrometers. DM 1.90.
4. W. GRAEUB. Die semilinearen Abbildungen. DM 7.20.
5. H. STEINWEDEL. Zur Strahlungsriickwirkung in der klassischen Mesonentheorie. -
Die klassische Mesondynamik als Fernwirkungstheorie. DM 1.80.
6. B. HACCIUS. Weitere Untersuchungen zum Verstandnis der zerstreuten Blattstellungen
bei den Dikotylen. DM 6.20.
7. Y. REENPli. Die Dualitat des Verstandes. DM 6.80.
8. PETERSSON. Konstruktion der Modulformen und der zu gewiBBen Grenzkreisgruppen
gehorigen automorphen Formen von positiver reeller Dimension und die vollstandige
Bestimmung ihrer Fourierkoeffizienten. DM 9.80.
Sitzungsberich te
der Heidelberger Akademie der Wissenschaften
Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse
Jahrgang 1967, 1. Abhandlung
Modulformen zweiten Grades
zum rational en und Gau:Gschen Zahlkorper
Von
Eberhard Freitag
Mathematisches Institut der U niversitat Heidelberg
(Vorgelegt in der Sitzung vom 3. Dezember 1966)
Heidelberg 1967
Sp r in g e r -V e rl a g
ISBN-13: 978-3-540-03976-1 e-ISBN-13: 978-3-642-87533-5
DOl: 10.1007/978-3-642-87533-5
AIle Rechte, insbesondere das der Ubersetzung in fremde Sprachen,
vorbehalten
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stattet, diese Abhandlung oder Teile daraus auf photomeehanisehem
Wege (Photokopie, Mikrokopie) zu vervielfaltigen
© by Springer-Verlag, Berlin· Heidelberg· New York 1967
Die Wiedergabe von Gebrauehsnamen, Handelsnamen, W arenbezeich
nungen usw. in dieser Abhandlung bereehtigt aueh ohne besondere
Kennzeiehnung nieht zu der Annahme, daB solehe N amen im Sinne der
Warenzeichen-und Markensehutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten
waren und daher von jedermann bcnutzt werden diirften.
Titel-Nr.6723
Modulformen zweiten Grades zum rationalen
und GauBschen Zahlkorper
EBERHARD FREITAG
Mathematisches Institut der Universitat Heidelberg
I. Einleitung
Die genaue Struktur des Rorpers der Modulfunktionen oder all
gemeiner, die genaue Struktur des graduierten Ringes der Modul
formen ist in mehreren Veranderlichen nur in wenigen Spezialfallen
bekannt. So bewies IGUSA [7], daB alle Siegelschen Modulformen
zweiten Grades geraden Gewichts als isobare Polynome in den
Eisensteinreihen vom Gewicht 4,6, 10, 12 darstellbar sind. Hieraus
ergibt sich, daB der Rorper der Siegelschen Modulfunktionen zwei
ten Grades rational ist. In [4] wurde mit Hilfe von Thetareihen ein
elementarer Beweis dieses Satzes gegeben. Mit der hierbei verwen
deten Methode war es schon GUNDLACH [5] ge1ungen, das entspre
chende Problem im Falle der Hilbertschen Modulgruppe zum Zahl
korper Q CV5) zu losen. Der Korper der symmetrischen Modulfunk
tionen zu dieser Gruppe erwies sich ebenfalls als rational.
Es gelang kurzlich HAMMOND zu zeigen, daB der Satz von GUND
LACH aus dem Satz von IGUSA hergeleitet werden kann, wenn man
Satz 1 aus [4] zur Verfiigung hat. Dieser besagt im wesentlichen,
daB die einzige Spitzenform vom Gewicht 10 (zur Siegelschen
Modulgruppe zweiten Grades) als Produkt von Thetareihen dar
stellbar ist und auBer gewissen Zwangsnullstellen keine weiteren
Nullstellen besitzt. HAMMOND fand unabhangig von [4] einen Beweis
dieses Satzes unter Zuhilfenahme der Theorie der Abelschen Funk
tionen. Auf diesem Wege erhielt HAMMOND die Struktursatze fur
die erweiterten Hilbertschen Modulgruppen zu Q (V2). Q (VS).
Es sei noch bemerkt, daB GUNDLACH [6] einen anderen Beweis
des Struktursatzes zu Q (V2) fand. Er verwendet dabei gewisse Rang
formeln von SHIMIZU [11], die mittels der Selbergschen Spurformel
gewonnen wurden. Mit derselben Methode loste GUNDLACH das
Problem auch fiir Q (V3). Auch hier erwies sich der Korper der sym
metrischen Modulfunktionen als rational.
Ib Heidelberger Sitzungsberichte t 967 -3-
4 E. FREITAG:
In der vorliegenden Arbeit wird das analoge Problem im Falle
der Hermiteschen Modulgruppe zweiten Grades r 2 (K) zum GauB
schen Zahlkorper K= Q (i) und - in engem Zusammenhang hier-
mit - im Faile der Siegelschen Stufengruppe r (~ ~) untersucht.
Beide Gruppen gestatten eine Erweiterung vom Index zwei; zu
diesen werden Modulformen und -funktionen bestimmt. Die Korper
der Modulfunktionen zu den erweiterten Gruppen erweisen sich
auch hier als rational. Die verwendete Methode stellt eine Verall
gemeinerung von [4] dar. Mittels gewisser Thetareihen wird eine
symmetrische Modulform e(Z) vom Gewicht 10 zu r2(K) kon
struiert, die auBer Zwangsnullsteilen keine weiteren Nullstellen be
sitzt. Der Beweis dieses Satzes kann im Gegensatz zu [4] nicht mehr
allein durch Abschatzung der Thetareihen gegeben werden. Aus
numerischen Grunden ist es nur moglich, die Nullstellen im Funda
mentalbereich zu r2(K) auBerhalb eines gewissen Kompaktums zu
bestimmen. Mit Hilfe eines allgemeinen Satzes liber Nullstellen von
Modulformen, der mit einer Kompaktifizierungstheorie bewiesen
wird, kann diese Schwierigkeit uberwunden werden.
Die Form e(Z) spielt bei der Bestimmung der symmetrischen
Modulformen zu r 2 (K) dieselbe Rolle, wie die Diskriminante L1 (z)
im FaIle der elliptischen Modulgruppe und die in [4] und [5] auf
tretenden Thetaprodukte. Sie gestattet die Reduktion des Problems
r
auf die Bestimmung der Modulformen zu (~ ~), genauer zu der
erwahnten Erweiterung vom Index zwei. Auch hier wird mit Theta
reihen eine Modulform konstruiert, deren Nullstellenmannigfaltig
keit vollstandig bestimmt wird und welche die Reduktion des Pro
blems auf den Fall der elliptischen Modulgruppe zulaBt.
Wir geben noch einen kurzen Uberblick.
In II sind Bezeichnungen und Definitionen zusammengestellt.
In III werden die interessierenden zehn Thetareihen eingefiihrt
und ihr Transformationsverhalten bei Modulsubstitutionen, soweit
als notig, entwickelt.
IV ist der Abschatzung der Thetareihen gewidmet, aufgrund
derer die Nullstellen ihres Produkts e(Z) auBerhalb eines gewissen
Kompaktums im Fundamentalbereich der Modulgruppe bestimmt
werden konnen.
In V wird die Siegelsche Stufengruppe r (~ ~) gemaB ihrer
Bedeutung flir die Hermitesche Modulgruppe r2(K) eingefuhrt und
- 4 -
Modulformen zweiten Grades zum rationalen und GauBschen Zahlkorper 5
eine Modulform konstruiert, deren Nullstellenmannigfaltigkeit voll
sHindig bestimmt wird.
In VI werden gewisse Modulformen konstruiert und die ange
kundigten Struktursatze bewiesen.
1m Anhang wird die benotigte Kompaktifizierungstheorie ent
wickelt. Man konnte sie aus einer allgemeinen Theorie von BAILY
und BOREL [lJ herauspraparieren. Da sie jedoch in dem benotigten
Spezialfall besonders einfach wird, habe ich mich entschlossen, sie
in einem Anhang moglichst elementar darzustellen.
Meinem verehrten Lehrer, Herrn Professor Dr. HANS MAASS,
danke ich fur sein teilnehmendes Interesse an meiner Arbeit.
II. Bezeichnungen und Deftnitionen
GroBe lateinische Buchstaben bezeichnen, falls nicht ausdrUcklich
anderes bemerkt wird, quadratische komplexe Matrizen. Der obere
Index n bringt zum Ausdruck, daB A eine n-reihige Matrix ist.
(n)
E bzw. 0 wird fUr die n-reihige Einheits- bzw. Nullmatrix vorbe
halten. A' ist die zu A transponierte Matrix. Eine beliebige (kom
plexe) Matrix Z =z{n) zerlegen wir in ihren "Hermiteschen Real-und
Imaginarteil"
X=)('; Y=¥'.
Wenn Z symmetrisch ist, so sind X und Y reelle symmetrische
Matrizen.
Der Hermitesche Halbraum Hn besteht aus allen Matrizen
Z =z{n), deren Hermitescher Imaginarteil positiv definit ist.
Hn={Zlz=z{n)=X+iY; Y>o}. (1)
Der Siegelsche Halbraum Sn besteht aus den symmetrischen Ma
trizen des Hermiteschen Halbraums
Sn={ZIZ=Z'EHn}. (2)
Wir definieren nun die Hermitesche und die reelle symplektische
Gruppe.
u,,={MIM=M{2n); M'IM=I; I=(_;!)} (3)
an={MEllnIMreell}. (4)
Un bzw. an operiert auf Hn bzw. S" als Gruppe analytischer Auto
morphismen mittels
+ +
Z--'J-M(Z) = (AZ B)(CZ D)-l; M=(~ ~). (5)
-5-
6 E. FREITAG:
Sei r eine Untergruppe von an bzw. Un; vein Abelscher Charakter
von r. Eine auf Hn bzw. Sn definierte komplexwertige Funktion f
heiSt automorphe Form zu r vom Gewicht k (ganz rationale Zahl)
zum Multiplikatorsystem v, wenn gilt:
1. fist holomorph,
2. flkM =v(M). f fUr MEr.
Dabei werde allgemein
=1
flkM(Z) CZ +DI-kf(M<Z»); M = (~ ~) (6)
gesetzt. Wir definieren nun die Hermitesche Modulgruppe n-ten
Grades zum imaginar-quadratischen Zahlk6rper K:
rn(K) = {ME anlM ganz in K} (7)
und die Siegelsche Modulgruppe n-ten Grades:
rn={MEllnIM ganz rational}. (8)
1m folgenden ist r stets eine mit rn (K) bzw. rn kommensurable
Untergruppe von an bzw. Un.
Wichtige Beispiele von Gruppen, die mit rn kommensurabel sind,
hat man in d n Siegelschen Stufengruppen
(E° 0) (E° 0)-1
r(T) = T ro(T) T ' (9)
wobei T eine Elementarteilermatrix vom Typus
mit ganz rationalen t.>O; tilti+! fiir alle i,j und
ro(T) = {M =M(2n)IM' (_~ ~)M = (_~ ~); M ganz rat.} (10)
sei. Eine automorphe Form zu r heiSt Hermitesche bzw. Siegelsche
Modulform n-ten Grades zu r, wenn im Falle n= 1 noch eine gewisse
Beschranktheitsbedingung "im Unendlichen" erfiillt ist. Der Vek
torraum dieser Formen wird mit [r, k, v] bezeichnet oder auch mit
[r, k], wenn es sich urn das triviale Multiplikatorsystem v == 1 han
delt. Bekanntlich gilt
a,
{ falls v$1
dim[r,k,v]<oo; dim[r,O,v]=
1, falls v-1
dim [r,k,v] =0, falls k<O.
- 6 -
Modulformen zweiten Grades zum rationalen und GauBschen Zahlkorper 7
Obwohl sich ein Teil der vorliegenden Untersuchungen verallge
meinern HiBt, wird aus Griinden der Einfachheit n= 2 und K= Q (i)
(GauBscher Zahlkorper) vorausgesetzt. Die ganz algebraischen
a+ia a, a.
Zahlen in K sind die Zahlen a= mit ganz rationalen
Wir nennen sie ganz schlechthin.
m. Konstruktion gewisser Modulformen mitte1s Thetareihen
Zu zwei ganz rationalen Spalten a= (;); 6= (~1) definieren wir
die Thetareihe a a
!9(Z;a,6)=L>(Z{9+ 1~i a}+2Re 1~i6'9); ZEHz, (11)
9
wobei allgemein
e( z) = eni• und Z {3'} = f Z 3' (12)
gesetzt werde. Die Summation laufe iiber alle ganzen Spalten 9 = (;:).
Die Reihe !9(Z; a, 6) steht in engem Zusammenhang mit der z.B.
in [4J eingefiihrten Thetareihe
O(Z;a,6)=Le(Z{9+ta}+6'9) (ZESz)· (13)
9
Die Summation ist hier iiber alle ganz rationalen Spalten 9 zu er
strecken. Wir leiten einige einfache Eigenschaften dieser Theta
reihen her.
a) 1st a==a*mod 2, 6 -6*mod 2, so gilt
±
!9(Z; a, 6) = !9(Z; a*, 6*), O(Z; a, 6) = O(Z; a*, 6*),
wie die Substitution
1+· 1
9-9+-T (a* -a) bzw. 9-9 +2 (a*-a)
zeigt.
b) !9(Z; a, 6) und O(Z; a, 6) verschwinden identisch, wenn
a'6=1 mod 2 gilt.
Die Transformation 9 - - i 9 - i a zeigt namlich
!9(Z; a, 6) = (_1)n'b !9(Z; a, 6).
Fiir 0 (Z; a, 6) kann man ahnlich schlieBen, die Behauptung folgt
aber auch aus
c) !9(Z;a,6)=OZ(Z;a,6) fiir ZESz•
- 7 -
8 E. FREITAG:
Fur symmetrische Z gilt namlich
Z{g+ 1~i a}=z{g+ ~ a}+Z{g+ ~ a},
wenn 9 bzw. g den Real- bzw. Imaginarteil von g bezeichnet.
d) (9(Z; a, b) = (9(Z'; a, b).
Zum Beweis hat man die Formel Z {~} =Z' {~} zu verwenden.
Es gibt mod 2 zehn verschiedene Moglichkeiten fUr a, bunter
der Nebenbedingung a'b:=oO mod 2, namlich
0 0 0 0 1 1 0 0 1 1)
Q)
( ( 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1
b= 0101000101'
0011010001
Das Produkt der dadurch bestimmten zehn Thetareihen wird (ab
weichend von [4J) mit
(9(Z) = II (9(Z; a, b) fUr ZEH2, (14)
{}(Z)=II{}(Z;a,b) fUr ZE8 (1 5)
2
bezeichnet. Nach c) gilt
(9(Z) = {}2 (Z) fur Z E 82, (16)
Die folgenden Untersuchungen verallgemeinern Satz 1 in [4J.
Satz 1. (1) (9(Z) ist eine symmetrische Modulform vom Gewicht 10
zu T2(K), d.h. es ist
(9(Z)E[T2(K),10J und (9(Z) = (9(Z').
(2) (9(Z) verschwindet auf der Mannigfaltigkeit
in erster Ordnung, und jede Nullstelle von (9(Z) ist einem Punkt in N
bezuglich T (K) iiquivalent.
2
Teil (1) dieses Satzes ist leicht zu beweisen. Man verwendet
zweckmiiBig, daB T2(K) von den speziellen Substitutionen
+
(a) Z ~Z S; S = (~o S1); So, S2 ganz rational; S1 ganz,
S1 S2
(b) Z~Z{U}=U'ZU; Uunimodular (d.h. Uund U-1ganz),
(c)
Z~_Z-1
- 8 -
Modulformen zweiten Grades zum rationalen und GauBschen Zahlkorper 9
erzeugt wird. Der Wittsche Beweis [13J fur das rationale Analogon
dieses Satzes ist auf den Fall der Hermiteschen Modulgruppe zum
GauBschen Zahlkorper unmittelbar zu ubertragen.
Die Gruppe der ganzen Hermiteschen Matrizen wird von den
speziellen Matrizen
51=(~ ~); 52=(~ ~); 53=(~ ~); 54=(_~~)
erzeugt. Fur diese gilt
e(Z + 51; cr, 0) = en-i2-al e (z; cr, 0 + C~ ~)),
e(Z + 52; cr, 0) = en-i2-as e (z; cr, 0 + C~ aJ),
e(Z + 5a; cr, 0) = e"ia1a, e(Z; cr, 0 + ii) ,
+ +
e(z 54; cr, 0) = e(Z; cr, 0 0),
falls cr = (:~; 0 = (::) gesetzt wird.
Da es unter den zehn Thetareihen jeweils genau vier mit al = 1
und a = 1 und genau zwei mit a a = 1 gibt und da entsprechend
2 l 2
Permutatione n der zehn Restklassen (~) mod 2 bedeuten, folgt
+
e(Z 5) = e(Z) fur 5 = (~o 51);
51 Sa
(17)
So, S2 ganz rational; SI ganz.
Wir untersuchen nun das Transformationsverhalten von e(Z) bei
unimodularen Substitutionen. Die Gruppe der zweireihigen uni
modularen Matrizen wird von den speziellen Matrizen
Ul=(~ :); U2=(~ ~); U3=(~~)
erzeugt.
1. U= Ul, U2.
Mit 9 durchHiuft U galle ganzen Spalten, also gilt
e(Z{U}; cr, 0) = e(Z; U cr, U'-10).
Die zehn in Frage kommenden Werte von cr,o werden durch
(~) ~ (~/-l~) (mod 2)
- 9 -
