Modelos Estocásticos Ambit para la Turbulencia

92 Pages·2012·0.75 MB·Spanish

Centro de Investigación en Matemáticas

Modelos Estocásticos Ambit para la
Turbulencia

Tesis
que para obtener el grado de

Maestro en Ciencias con especialidad
en Probabilidad y Estadística

Presenta
José Ulises Márquez Urbina

Director de Tesis
Dr. Víctor Manuel Pérez-Abreu Carrión

Guanajuato, Guanajuato a 3 de agosto de 2012.
Integrantes del jurado

Presidente: Dr. Miguel Nakamura Savoy.
Secretario: Dr. Juan Carlos Pardo Millán.
Vocal: Dr. Joaquín Ortega Sánchez.

Asesor:

______________________________________
Dr. Víctor Manuel Pérez-Abreu Carrión.

Sustentante:

______________________________________
José Ulises Márquez Urbina.
Agradecimientos
A mis padres y mi hermana por su apoyo constante y su cariño.
A mi asesor, el Dr. Víctor Manuel Pérez-Abreu Carrión, por su gran entu-
siasmo, su enorme paciencia, gran dedicación y valiosos comentarios.
A mis sinodales, el Dr. Miguel Nakamura Savoy, el Dr. Joaquín Ortega
Sánchez y el Dr. Juan Carlos Pardo Millán, por sus observaciones, preguntas y
valiosas sugerencias.
A todos mis profesores, amigos y compañeros que compartieron conmigo a
lo largo de mis estudios de maestría.
Al CIMAT por la formación y los conocimientos que adquirí durante mis
estudios de maestría y licenciatura.
Al CONACYT por el apoyo económico que me otorgó para poder realizar
mis estudios de maestría (CVU 374959).
1
So, naturalists observe, a flea
Hath smaller fleas that on him prey;
And these have smaller fleas to bite ’em,
And so proceed ad infinitium,
Thus every poet, in his kind,
Is bit by him that comes behind.
- Jonathon Swift
Índice general
1. Introducción 3
2. Preliminares 11
2.1. Turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1. Aspectos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.2. Fenomenología de la turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2. Integración de bases de Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.1. Bases de Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.2. Ejemplos de bases de Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.3. Integración: el caso determinista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.4. Integración: el caso L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3. Procesos Ambit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.1. Aspectos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.2. Procesos Ambit basados en la hoja Browniana . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.3. Proceso Browniano semi-estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3. Modelación Estocástica de Campos de Velocidades 45
3.1. Modelo espacio-temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.1. Dinámica Lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.2. El número de Reynolds en la microescala de Taylor . . . . . . . . . . . . . 50
3.2. Modelo temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.1. Evolución de los incrementos de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.2. La variable de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1
4. Modelación Estocástica del Proceso de Disipación de Energía 65
4.1. Generalidades del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2. Construcción de un conjunto Ambit vía los 2-correlacionadores . . . . . . . . . . 68
4.3. Relación con multifractalidad: caso multiescala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5. Conclusiones 79
Bibliografía 83
2
Capítulo 1
Introducción
Cuando el agua de un río fluye por su cauce sabemos que existen diferentes formas de flujo.
Si la velocidad del agua es pequeña, entonces este flujo es regular; si el agua pasa por alguna
piedra que está en el río, simplemente la rodea y el flujo continúa de manera regular. En este
caso se dice que el flujo es laminar, pues su movimiento ocurre como si un conjunto de láminas
de agua fluyera una sobre otra.
Sinembargo,alaumentarlavelocidaddelaguallegaciertomomentoenqueelflujosevuelve
altamente irregular. Nos damos cuenta de que al bordear la piedra se producen remolinos. Si la
velocidad del agua es mucho más alta todavía, aparecen remolinos dentro de los remolinos. En
estas condiciones el flujo del agua es turbulento.
La turbulencia es un término científico para describir ciertos movimientos complejos e im-
previsibles en un fluido, fenómeno que ha sido parte de nuestra experiencia diaria por mucho
tiempo. Varios ejemplos de turbulencia se evidencian sin la necesidad de instrumentos, como
lo son las volutas de humo de un cigarrillo, los elegantes arabescos de la crema vertida en el
café, los vigorosos remolinos de un arroyo de montaña y las ráfagas de “clear air turbulence”
en un viaje en avión. Hay otros fenómenos turbulentos donde es necesario utilizar instrumentos
de tecnología avanzada para poder observarlos. Por ejemplo, la ecografía puede revelar un flujo
sanguíneo turbulento en nuestras arterias, imágenes de satélite pueden mostrar perturbaciones
meteorológicas turbulentas y simulaciones por ordenador desvelan fluctuaciones turbulentas de
la masa en el Universo en escalas de decenas de megaparsecs. Por otro lado, sin turbulencia, la
contaminación urbana podría permanecer durante décadas, el calor producido por reacciones
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nucleares en el interior de las estrellas no sería capaz de escapar en una escala de tiempo
aceptable y los fenómenos meteorológicos serían predecibles casi siempre.
La palabra “turbulencia” (del latín: turbulentia) originalmente se refiere al movimiento
desordenado de una muchedumbre (turba). En la Edad Media fue usada frecuentemente como
sinónimode“problemas”(trouble),untérminoquederivadeella.Inclusohoyendía,lapalabra
“turbulento” puede aludir a un comportamiento social o personal. Su uso científico se refiere
al movimiento irregular y aparentemente aleatorio de un fluido. Esta concepción, que está lejos
de ser exhaustiva, trata de expresar de manera sintética uno de los fenómenos más complejos y
fascinantes de las ciencias naturales, desde la antigüedad hasta nuestros días.
Eltematieneunahistoriaextensa.Hacemásdedosmilaños,Lucreciodescribióelmovimien-
to de un remolino en su obra “De rerum natura”. Siglos después, en 1507, Leonardo Da Vinci
fue probablemente el primero en utilizar la palabra turbulencia (en italiano turbolenza) en su
sentido moderno y observar la lenta descomposición de los remolinos formados detrás de los
pilares de un puente. En 1757, Euler escribió las ecuaciones de un fluido ideal incompresible (o
con cero viscosidad) en dos y tres dimensiones y se dio cuenta de la importancia de la vortici-
dad. Casi setenta años después de Euler, en 1822, Navier generalizó está ecuación para incluir
a la viscosidad. Debido a los trabajos posteriores de Stokes en la década de 1840, dichas ecua-
ciones se conocen como las ecuaciones de Navier-Stokes (NS). Ellas constituyen un conjunto de
ecuaciones de evolución no lineales y no locales para el campo de velocidad 3-dimensional →−u
de un flujo. En notación moderna, la primera ecuación de Navier-Stokes, la cual expresa la ley
de Newton aplicada a elementos de fluido arbitrarios, se escribe como
∂t→−u +→−u →−u = p+ν 2→−u,
·∇ −∇ ∇
dondepdenotaalapresión(dividaporladensidaddelfluido)yν eslaviscosidadcinemática.La
segunda ecuación de Navier-Stokes, debida a d’Alembert en 1752, expresa la incompresibilidad
→−u =0.
∇·
Debido a que la turbulencia es un fenómeno descrito por variaciones en la velocidad y presión
de un fluido, este puede ser descrito mediante las ecuaciones NS.
4
Kelvin fue el primero en proponer el estudio de la turbulencia usando soluciones aleatorias1
de las ecuaciones de Navier-Stokes. Reynolds mostró en 1883 que, dada una geometría de la
corriente,losdistintosregímenesquepuedentenerlugar(laminaryturbulento)soncontrolados
por el número adimensional (ahora se llama el número de Reynolds)
LV
Re= ,
ν
donde L y V son, respectivamente, una escala típica y una velocidad típica del flujo.
Paraabundarenlosaspectoshistóricostempranosdelaturbulenciaquenoabordamosaquí,
recomendamos consultar el libro de Darrigol [26].
Puesto que las ecuaciones básicas para la evolución de un flujo turbulento son conocidas,
la pregunta es: ¿cuánto podemos lograr en el estudio de la turbulencia con las ecuaciones
de Navier-Stokes? La respuesta corta es que muy poco, pues su carácter no-lineal y no-local
complicansuestudio.Nopodemos,porejemplo,mostrarquelassolucionesdelasecuacionesde
NS con condiciones iniciales “agradables” y suaves permanecen “agradables”, suaves y únicas
para todos los tiempos, al menos no en 3D. Incluso Jean Leray especuló en la década 1930 que
el carácter aleatorio de la turbulencia se origina a partir de la no unicidad de las soluciones de
las ecuaciones de NS. Hoy en día se sabe lo suficiente acerca de cómo el caos puede aparecer en
sistemasdinámicosdeterministasquenohaynecesidadderecurriralanounicidadparaexplicar
laturbulencia.Poréstayotrasrazonessurgelanecesidaddeestablecermodelosfenomenológicos
para la turbulencia.
Los enfoques teóricos más fructíferos para el estudio de la turbulencia se han basado en
argumentos de escala, es decir, esencialmente en un análisis dimensional. Las ideas de escala
tienen una larga historia en la mecánica de fluidos, comenzando desde que Newton derivó la
dependenciacuadrática dela fricciónrespecto ala velocidadrelativaentre uncuerpo yel fluido
ambiente. Argumentos de escala y análisis dimensional juegan un papel clave en el desarrollo
de está tesis.
Probablemente el enfoque más importante basado en ideas de escala es la cascada de
Richardson. En 1922, Richardson propusó una visión cualitativa que explica la forma en que
1i. e. soluciones con condiciones iniciales aleatorias.
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la energía cinética fluye en un sistema turbulento. Según él, en un flujo turbulento, la energía
cinética comienza creando remolinos de gran tamaño y estos remolinos se parten en remolinos
de menor tamaño repartiéndose la energía cinética. Este proceso continúa hasta que la energía
se convierte en calor. El proceso descrito anteriormente se conoce como cascada de Richardson,
aunque también suele llamársele cascada de Kolmogorov.
Más tarde, en 1941, Kolmogorov definió un marco conceptual para la turbulencia con
números altos de Reynolds que se aplica a la turbulencia homogénea e isótropica; es decir,
a la turbulencia estadísticamente invariante bajo traslaciones y rotaciones. Dicho marco se
conoce como teoría K41 [35, 36, 30]. En K41 se establecen dos postulados con respecto al límite
infinito del número de Reynolds. Por un lado, Kolmogorov supone que la tasa de disipación de
energía ǫ tiene un límite finito no-nulo cuando la viscosidad tiende a cero, siempre y cuando se
mantengan fijas la escala típica y la velocidad característica en la producción de la turbulencia.
Por otra parte, Kolmogorov supone que, en el límite de números de Reynolds muy grandes, se
alcanzaunaescaladeinvarianzaestadísticaenlacascadadeRichardson.Laprimerasuposición,
que generalmente se conoce como la existencia de una anomalía disipativa (en un fluido lami-
nar, la disipación tiende a cero con la viscosidad), está apoyada por resultados experimentales
y numéricos. La segunda hipótesis es válida sólo de manera aproximada. La teoría K41 y su
extensión de 1962 constituyen el marco teórico básico para la turbulencia en este trabajo.
Debido a las dificultades en el estudio de las ecuaciones de NS, surge la necesidad de contar
conmodelosfenomenológicosquenosayudenadilucidaryapredeciraspectosdelaturbulencia.
El presente trabajo trata sobre un par de esta clase de modelos, los cuales están basados en
procesos estocásticos. Los modelos aquí expuestos fueron introducidos por Barndorff-Nielsen y
Schmiegel [3] como generalizaciones de los modelos de cascada multiplicativa en línea con la
teoría K41. A partir de los modelos de Barndorff-Nielsen y Schmiegel, se dio forma a una nueva
teoría matemática: los procesos Ambit. Por está razón nos referimos a los modelos propuestos
por Barndorff-Nielsen y Schmiegel como modelos Ambit.
Se ha mostrado, mediante simulaciones númericas y datos experimentales, que los modelos
Ambit logran capturar diversos aspectos que están presentes en los flujos turbulentos [6, 7,
10, 11]. Por ejemplo, las distribuciones condicionales de la variable de Kolmogorov tienen un
comportamiento que aproxima bastante bien a lo observado en la naturaleza. Además, los
6