Modellierung reaktiver Strömungen unter Verwendung automatisch reduzierter Reaktionsmechanismen

112 Pages·1996·4.39 MB·German

by  Schmidt D.

I N A U G U R A L - D I S S E R T A T I O N
zur
Erlangung der Doktorwu(cid:127)rde
der
Naturwissenschaftlich - Mathematischen Gesamtfakult(cid:127)at
der
Ruprecht - Karls - Universit(cid:127)at
Heidelberg
vorgelegt von
Diplom-Physiker Dietmar Schmidt
geboren in Geislingen an der Steige
Tag der mu(cid:127)ndlichen Pru(cid:127)fung: 09.07.1996
T h e m a
Modellierung reaktiver Str(cid:127)omungen
unter Verwendung
automatisch reduzierter Reaktionsmechanismen
Gutachter: Prof. Dr. Ju(cid:127)rgen Warnatz
Prof. Dr. Ju(cid:127)rgen Wolfrum
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 5
2 Mathematische Modellierung reaktiver Str(cid:127)omungen 8
2.1 Einfu(cid:127)hrung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8
2.2 Erhaltungsgleichungen und empirische Gesetze : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9
3 Automatische Reduktion von Reaktionsmechanismen 13
3.1 Einfu(cid:127)hrung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 13
3.2 Dynamik chemischer Reaktionssysteme : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 14
3.2.1 Allgemeine chemisch reagierende Systeme : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 14
3.2.2 Homogene Reaktionssysteme : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 14
3.2.3 Begri(cid:11)sbildung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 14
3.2.4 Chemische Kinetik am Beispiel der Methanoxidation : : : : : : : : : : : : : : 16
3.2.5 Erhaltungsgr(cid:127)o(cid:25)en, partielle Gleichgewichte und station(cid:127)are Zust(cid:127)ande : : : : : 25
3.2.6 Eigenwertanalysen chemischer Systeme: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 28
3.3 Intrinsische niedrig-dimensionale Mannigfaltigkeiten : : : : : : : : : : : : : : : : : : 31
3.3.1 Einfu(cid:127)hrung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 31
3.3.2 Mathematische Formulierung der ILDM : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 33
3.3.3 Numerische Berechnung niedrig-dimensionaler Mannigfaltigkeiten : : : : : : : 49
3.3.4 Kopplung von chemischer Reaktion und Transport : : : : : : : : : : : : : : : 56
4 Anwendungen 65
4.1 Einfu(cid:127)hrung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 65
4.2 Homogene Reaktionssysteme : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 67
4.2.1 Einfu(cid:127)hrung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 67
4.2.2 Erhaltungsgleichungen und L(cid:127)osungsansatz : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 67
4.2.3 Geschlossenes homogenes System : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 68
4.2.4 O(cid:11)ener Reaktor und Zu(cid:127)ndung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 69
4.2.5 O(cid:11)ener Reaktor, Mischung mit unverbranntem Gas : : : : : : : : : : : : : : 71
4.3 Simulation eindimensionaler laminarer Flammen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 72
4.3.1 Einfu(cid:127)hrung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 72
4.3.2 Erhaltungsgleichungen und L(cid:127)osungsansatz : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 72
4.3.3 Laminare CH4-Vormisch(cid:13)ammen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 74
4.3.4 Laminare C7H16Vormisch(cid:13)ammen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 84
4.3.5 Laminare Methanol-Flamme : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 85
4.3.6 Zu(cid:127)ndung eines Methanol-Luft-Gemisches : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 88
4.4 Simulation von Hyperschallstr(cid:127)omungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 93
4.4.1 Einfu(cid:127)hrung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 93
4.4.2 Erhaltungsgleichungen und L(cid:127)osungsansatz : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 93
4.4.3 Str(cid:127)omung um einen Wiedereintrittsk(cid:127)orper : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 95
3
4 INHALTSVERZEICHNIS
5 Zusammenfassung 99
6 Symbolverzeichnis 108
Kapitel 1
Einleitung
Chemisch reagierende Str(cid:127)omungen sind charakterisiert durch das komplexe Zusammenspiel von
chemischer Reaktion, Konvektion und molekularem Transport. Vor allem auf dem Feld der de-
taillierten Reaktionsmechanismen, aber auch der Beschreibung von Transportprozessen, sind in
den letzten Jahren gro(cid:25)e Anstrengungen unternommen worden, um z.B. Verbrennnungsprozesse
genauer zu beschreiben. Die mathematische Modellierung hat dabei inzwischen einen Stellenwert
eingenommen, der es erlaubt, ein tiefergehendes Verst(cid:127)andnis der komplizierten Zusammenh(cid:127)ange
zu erlangen. Dadurch ist eine systematische Untersuchung der komplexen Vorg(cid:127)ange in typischen
Verbrennungssystemen mit Hilfe des Computersm(cid:127)oglich. Insbesondere aufdem Gebiet der lamina-
ren Str(cid:127)omungen ist der Kenntnisstand inzwischen so gut, da(cid:25) die auf dem Computer gewonnenen
Ergebnisse sehr gut mit Experimenten u(cid:127)bereinstimmen [1{9]. Da aber die verwendeten Reaktions-
und Transportmodelle immer komplexer, und damit auch immer realit(cid:127)atsnaher, werden, ist man
allerdings immer noch auf sehr vereinfachte Geometrien beschr(cid:127)ankt. So sind Simulationen in zwei
Raumrichtungen, die detaillierte Reaktionsmechanismen und detaillierten Transport beru(cid:127)cksich-
tigen, auf heutigen Rechnern kaum m(cid:127)oglich [3,10{12]. Geht man noch einen Schritt weiter und
untersucht die in der Praxis h(cid:127)au(cid:12)ger vorkommenden turbulenten Str(cid:127)omungen, so st(cid:127)o(cid:25)t man schon
sehr schnell an die Grenzen des Machbaren. Insbesondere die Kopplung an die chemische Reaktio-
nen bereitet doch erhebliche Schwierigkeiten [13{15].
Der Grund fu(cid:127)r die Probleme numerischer Simulationen mit Hilfe detaillierter Reaktionsmecha-
nismen ist, da(cid:25) fu(cid:127)r jede chemische Spezies (um so mehr, je detaillierter und besser der Reakti-
onsmechanismus ist) eine Erhaltungsgleichung gel(cid:127)ost werden mu(cid:25). Es kommt erschwerend hinzu,
da(cid:25) die unterschiedlichen Reaktionen mit Zeitskalen ablaufen, die sich u(cid:127)ber mehr als 10 Zehner-
potenzen erstrecken. Das erfordert fu(cid:127)r die numerische Simulation implizite L(cid:127)osungsmethoden, die
sehrRechenzeit-intensiv sind. Bei technischen Verbrennungsvorg(cid:127)angenliegt ein komplexesGemisch
h(cid:127)oherer Kohlenwassersto(cid:11)e vor. Dabei erh(cid:127)alt man aber leicht mehr als 100 chemische Spezies mit
u(cid:127)ber 1000 Reaktionen. Das ist auf realit(cid:127)atsnahen Gittern auf Jahre hinaus rechnerisch nicht zu
bew(cid:127)altigen. Deshalb hat in den letzten Jahren die Entwicklung vereinfachter Kinetiken an Bedeu-
tung gewonnen. Dabei mu(cid:25) natu(cid:127)rlich gew(cid:127)ahrleistet sein, da(cid:25) die vereinfachte Kinetik die Realit(cid:127)at
ausreichend genau beschreibt.
Die erstenArbeiten aufdem Gebietder Mechanismenreduktion gehen dabei aufBodenstein [16]
und Semenov [17] zuru(cid:127)ck. Sie beobachteten, da(cid:25) schnelle Reaktionsprozesse zu quasistation(cid:127)aren
Zust(cid:127)anden und partiellen Gleichgewichten fu(cid:127)hrten. Diese Idee wurde vielerorts aufgegri(cid:11)en, um
detaillierte Reaktionsmechanismen zu vereinfachen [14,18{23]. Dabei werden zwei Ziele gleichzei-
tig verfolgt: zum einen die Reduktion der Anzahl der Spezies fu(cid:127)r die man die Erhaltungsglei-
chungen l(cid:127)osen mu(cid:25) (jede Annahme von Quasistationarit(cid:127)at und partiellem Gleichgewicht erniedrigt
die Dimension des Gleichungssystems um eins, da die entsprechende Di(cid:11)erentialgleichung in ei-
ne algebraische Gleichung u(cid:127)berfu(cid:127)hrt wird), und zum zweiten damit verbunden eine Reduktion
der Steifheit des Gleichungssystems. Um die heutigen komplexen Reaktionsmechanismen mit Hil-
5
6 KAPITEL 1. EINLEITUNG
fe der (globalen) Annahmen der Quasistationarit(cid:127)at und partieller Gleichgewichte zu vereinfachen,
ist allerdings ein sehr hoher Kenntnisstand der ablaufenden Prozesse und der chemischen Kinetik
notwendig. Au(cid:25)erdem ist der Arbeitsaufwand sehr hoch, da fu(cid:127)r jedes neue Problem der detaillierte
Reaktionsmechanismus neu untersucht werden mu(cid:25). So (cid:127)andern sich z.B. bei nicht vorgemischter
Verbrennung die Reaktionspfade beim U(cid:127)bergang von einem fetten Bereich in einen mageren. Fu(cid:127)r
jeden Reaktionspfad mu(cid:25) aber der Reaktionsmechanismus erneut vereinfacht werden. Die auf die-
sen globalen Annahmen beruhenden vereinfachten Mechanismen sind also nur begrenzt einsetzbar.
Dies ist besonders schwerwiegend, wenn man technisch relevante Verbrennungsprozesse, die in der
Regel turbulenter Natursind, beschreiben will. Dorthat man den kompletten Parameterbereich zu
beschreiben, d.h. sehr fette und magere Bedingungen in stark unterschiedlichen Temperaturenbe-
reichen.
Die meisten Probleme bei der Reduktion der Reaktionsmechanismen lassen sich vermeiden,
wenn man den detaillierten Reaktionsmechanismus einer mathematischen Analyse unterzieht. Lam
und Goussis haben die Idee der singul(cid:127)aren St(cid:127)orungstheorie zur Identi(cid:12)kation partieller Gleichge-
wichte und quasistation(cid:127)aren Zust(cid:127)anden aufReaktionsmechanismen angewandt[24,25].Diese Infor-
mationen k(cid:127)onnen dann zur Entwicklung reduzierter Reaktionsmechanismen benutzt werden [26].
DasVerfahren kann auch direkt zur L(cid:127)osung der chemischen Reaktionsgleichungen angewendet wer-
den.DamitwirddieL(cid:127)osungdesDi(cid:11)erentialgleichungssystems sehre(cid:14)zientgel(cid:127)ost,damandurchdie
mathematische Analyse automatisch die schnellen Zeitskalen identi(cid:12)zieren und entkoppeln kann.
Allerdings bietet die Methode keine M(cid:127)oglichkeit, auch die Dimension des Gleichungssystems zu
reduzieren.
Fu(cid:127)r praktische Anwendungen ist es notwendig, die Zahl der Freiheitsgrade zu verringern, da
es auf heutigen Rechneranlagen unm(cid:127)oglich ist, bei anwendungsorientierten Geometrien mehrere
hundert Erhaltungsgleichungen zu l(cid:127)osen. Deshalb ist das Ziel bei der Entwicklung reduzierter Re-
aktionsmechanismen, sowohl die Steifheit als auch die Zahl der reaktiven Variablen zu verkleinern,
ohneeinen zugro(cid:25)enVerlustanGenauigkeitinKaufnehmen zumu(cid:127)ssen.Indervorliegenden Arbeit
soll nun ein Verfahrenvorgestellt und aufkomplexe Reaktionsmechanismen angewandtwerden,das
dieobigenBedingungen erfu(cid:127)llt[27{33].DasPrinzip desVerfahrensberuhtaufeinermathematischen
Analyse des Reaktionssystems, die Informationen u(cid:127)ber die Zeitskalen der Reaktionsprozesse liefert.
Dabei erkenntman,da(cid:25)die chemischen Reaktionen unterschiedlich schnell sind (typischerweisevon
(cid:0)10
10 s bis 1 s). Str(cid:127)omung und Transport laufen in typischen Verbrennungssystemen dagegen mit
Zeitskalen im Bereich von 100 (cid:22)s bis 10 ms ab. Zwischen den sehr schnell ablaufenden chemischen
Prozessen undden physikalischen Zeitskalen desmolekularen Transports(cid:12)ndet keine direkte Kopp-
lung statt.D.h.,die sehr schnellen chemische Vorg(cid:127)angefu(cid:127)hren zurAusbildung vonquasistation(cid:127)aren
Zust(cid:127)anden und partiellen Gleichgewichten. Fu(cid:127)r diese Prozesse lassen sich, basierend auf der ma-
thematischen Analyse, die Gleichgewichtsbedingungen (cid:12)nden, so da(cid:25) die schnellsten Prozesse vom
Di(cid:11)erentialgleichungssystem entkoppelt werden k(cid:127)onnen. Die einzige Information, die das Verfah-
ren ben(cid:127)otigt, sind dabei die Anzahl der Gleichgewichtsbedingungen, oder in anderen Worten, der
Grad der Vereinfachung. Die komplette Analyse basiert auf einem mathematischen Algorithmus.
Dadurch erreicht man, da(cid:25) fu(cid:127)r die Durchfu(cid:127)hrung der Vereinfachung eines Reaktionsmechanismus
kein Fall-zu-Fall-Verst(cid:127)andnis mehr notwendig ist. Au(cid:25)erdem erfordert die Methode keine globalen
Vorausannahmen,soda(cid:25)einundderselbe reduzierteMechanismusu(cid:127)bereinenweitenParametersatz
der St(cid:127)ochiometrie und der Temperatur Gu(cid:127)ltigkeit hat.
Das hier angedeutete Verfahren kommt in dieser Arbeit zur Anwendung und wird in Kap. 3.3
eingehend vorgestellt. Zuvor werden in Kap. 2 die mathematischen Modelle reaktiver Str(cid:127)omun-
gen behandelt. Da die Reduktionsmethode auf der Analyse der chemischen Kinetik basiert, wird
in Kap. 3.2 auf die allgemeine chemische Kinetik eingegangen. Inbesondere wird auf die Kinetik
der Methanoxidation vorgestellt, da diese den Hauptbestandteil der Anwendungen in dieser Arbeit
repr(cid:127)asentiert. In diesem Zusammenhang wird auf eine anschauliche Art und Weise gezeigt, da(cid:25)
die chemische Kinetik im allgemeinen von einer vieldimensionalen Beschreibung auf ein Beschrei-
7
bung durch wenige Variable projiziert werden kann. Die vereinfachte Darstellung entspricht einer
Bewegung in niedrig-dimensionalen Unterr(cid:127)aumen, sogenannten intrinsischen niedrig-dimensionalen
Mannigfaltigkeiten (ILDM), des Zustandsraumes, der durch die Anzahl aller im Reaktionssystem
vorkommenden Spezies charakterisiert ist. Die niedrig-dimensionalen Mannigfaltigkieten, werden
dagegen durch wenige Reaktionsfortschrittsvariablen beschrieben. Das mathematische Modell und
die Ableitung derMethodeder intrinsischen niedrig-dimensionalen Mannigfaltigkeiten wird in Kap.
3.3vorgestellt. Dabei zeigt sich, da(cid:25) besonderer Wert auf die Kopplung der reduzierten chemischen
Dynamik mit der Str(cid:127)omung und molekularem Transport gelegt werden mu(cid:25). Die Validierung der
Methode und Anwendung auf komplexe Reaktionsmechanismen sind in Kap. 4 zusammengestellt.
Hier werden vereinfachte Mechanismen der Methan-, Methanol-, und Heptanoxidation und der
Dissoziation von Luft auf technisch relevante Simulationsbeispiele angewandt. Diese sind die Simu-
lationperfektdurchmischterReaktorenundeindimensionale Flammen(sowohlstation(cid:127)areFlammen
als auch instation(cid:127)are Flammenausbreitung). Da(cid:25) die Methode nicht nur auf Verbrennungssysteme
anwendbar ist, wird bei der Simulation einer Hyperschallumstr(cid:127)omung eines Raumgleiters beim
Wiedereintritt in die Erdatmosph(cid:127)are gezeigt.
Kapitel 2
Mathematische Modellierung
reaktiver Str(cid:127)omungen
2.1 Einfu(cid:127)hrung
Die Dynamik chemisch reaktiver Systeme wird durch die mathematische Modellierung von Erhal-
tungsgleichungen beschrieben. Die zugrunde liegenden Gleichungen fu(cid:127)r die Variablen der Gesamt-
masse, der verschiedenen Teilchenmassen, des Impulses und der Energie bilden ein gekoppeltes
nichtlineares Di(cid:11)erentialgleichungssystem, welches mit numerischen Methoden gel(cid:127)ost werden kann.
Erhaltungsgleichungen lassen sich makroskopisch (siehe Kap. 2.2) oder mikroskopisch [34] fu(cid:127)r die
extensiven Variablen herleiten. Diese extensiven Variable sind charakterisiert durch ihre Sto(cid:11)men-
genabh(cid:127)angigkeit (z.B. Gesamtmasse, Energie und Impuls). Intensive Variablen, wie Temperatur
oder Druck, sind dagegen sto(cid:11)mengenunabh(cid:127)angig.
S n
f f
f
q q
f
d q
Abbildung 2.1: A(cid:127)nderung einer extensiven Gr(cid:127)o(cid:25)e in einem Volumenelement.
Ein Volumenelement (cid:18) sei durch seine Ober(cid:13)(cid:127)ache @(cid:18) begrenzt. In (cid:18) (cid:127)andert sich eine extensive
Gr(cid:127)o(cid:25)e F bzw. seine Dichte f (~r;t) durch verschiedene Prozesse (vergleiche Abb. 2.1):
(cid:15) Flu(cid:25) durchdie Ober(cid:13)(cid:127)ache @(cid:18) (Di(cid:11)usion, W(cid:127)armeleitung, Reibung) (cid:30)~f~ndS,wobei (cid:30)~f = Strom-
dichte, ~n = Normalenvektor auf der Ober(cid:13)(cid:127)ache @(cid:18) und dS = di(cid:11)erentielles Ober(cid:13)(cid:127)achenele-
ment bedeutet.
(cid:15) Produktion im Volumenelement (chemische Produktion) qf.
(cid:15) Fernwirkung (Strahlung, Gravitation) Sf.
Bilanziert man die verschiedenen Prozesse auf, erh(cid:127)alt man fu(cid:127)r die zeitliche A(cid:127)nderung der Dichte
von F
@f
+ div (cid:30)~f = qf +Sf : (2.1)
@t
(cid:16) (cid:17)
8
2.2. ERHALTUNGSGLEICHUNGEN UND EMPIRISCHE GESETZE 9
2.2 Erhaltungsgleichungen und empirische Gesetze
Kontinuit(cid:127)atsgleichung
Die Erhaltungsgleichung der Gesamtmasse wird durch die Kontinuit(cid:127)atsgleichung beschrieben,
@(cid:26)
+ div((cid:26)~v)= 0 : (2.2)
@t
DieErhaltungsgr(cid:127)o(cid:25)eistdieDichte(cid:26)und~vistderGeschwindigkeitsvektordesstr(cid:127)omendenMediums.
Da chemische Reaktionen weder Gesamtmasse erzeugen noch sie vernichten, gibt es in der Konti-
nuit(cid:127)atsgleichung keinen Quellterm.
Teilchenerhaltung und chemische Reaktion
Die Dichte (cid:26) der Mischung setzt sich aus den Partialdichten (cid:26)i aller Spezies i in der Mischung
zusammen: (cid:26) = i(cid:26)i(cid:26)wi, mit wi = Massenbruch der Spezies i. Fu(cid:127)r die Partialdichten erh(cid:127)alt man
die Erhaltungsgleichung
P
@(cid:26)i
+ div((cid:26)i~vi)= Mi!i : (2.3)
@t
Mi!i bezeichnet den Produktionsterm der Spezies i infolge chemischer Reaktionen mit Mi = mo-
lare Masse, !i = chemischer Umsatz der Spezies i und ~vi = Geschwindigkeit der Spezies i. Sie ist
D
durch einen konvektiven Anteil und der Di(cid:11)usionsgeschwindigkeit gegeben: ~vi = ~v +~vi . Fu(cid:127)r eine
Multikomponentenmischung h(cid:127)angt die Di(cid:11)usionsgeschwindigkeit einer Spezies von den Gradienten
der anderen Spezieskonzentrationen ab. Da deren Beru(cid:127)cksichtigung mit einem gro(cid:25)en Rechenauf-
wand verbunden ist, n(cid:127)ahert man dies meistens durch eine Di(cid:11)usion der Spezies i in die Mischung
an. Die Di(cid:11)usionsgeschwindigkeit der Spezies i h(cid:127)angt in diesem Fall nur noch vom Gradienten des
Molenbruchs der Spezies i ab [35]. Detaillierte Transportmodelle beru(cid:127)cksichtigen zudem noch die
Thermodi(cid:11)usion der Teilchen. Der Di(cid:11)usionsstrom ergibt sich somit zu
~ji = ~jiD+~jiT
T
(cid:26)wi Di
= (cid:0) Dirxi(cid:0) rT : (2.4)
xi (cid:26)T
Dabei ist wi = Massenbruch, xi = Molenbruch der Spezies i, T = Temperatur. Die Transport-
T
koe(cid:14)zienten Di und Di folgen aus der kinetischen Gastheorie verdu(cid:127)nnter Gase [34,36]. Fu(cid:127)r weite
Bereiche lassen sie sich als Polynome der Temperatur darstellen.
Die Teilchenerhaltungsgleichung l(cid:127)a(cid:25)t sich zusammenfassen zu
@(cid:26)i
+ div((cid:26)i~v)+ div ~ji = Mi!i : (2.5)
@t
(cid:16) (cid:17)
Die Reaktionsgeschwindigkeiten der Spezies erh(cid:127)alt man durch Bilanzierung aller chemischen Reak-
tionen,
ncr ns
ajl
!i = (a^il(cid:0)ail)kl cj :
0 1
l=1 j=1
X X
@ A
Dabei sind ncr = Anzahl der chemischen Reaktionen im System, a^il;ail = die st(cid:127)ochiometrischen
Koe(cid:14)zienten der Edukte und Produkte, kl = Geschwindigkeitskoe(cid:14)zienten des Reaktionssystems
der Spezies Xi in der Form
ns ns
kl
ailXi ! ^ailXi l = 1;:::;ncr :
i=1 i=1
X X
10 KAPITEL 2. MATHEMATISCHE MODELLIERUNG REAKTIVER STRO(cid:127)MUNGEN
Der Geschwindigkeitskoe(cid:14)zient kl wird durch einen erweitertem Arrheniusansatz ausgedru(cid:127)ckt,
(cid:12)l Eal
kl(T)= AlT exp ;
RGasT
(cid:26) (cid:27)
wobei T = Temperatur, Al = pr(cid:127)aexponentieller Faktor, (cid:12)l = Temperaturexponent, Eal = Aktivie-
rungsenergie der Reaktion l und RGas = allgemeine ideale Gaskonstante sind.
Impulserhaltung
Die Impulserhaltungsgleichungen sind gegeben durch die Navier-Stokes-Gleichungen
@(cid:26)~v
+ div((cid:26)~v(cid:10)~v)+ div(p)= (cid:26)~g : (2.6)
@t
~v ist dabei das Geschwindigkeitsfeld und ~g die Erdbeschleunigung (die im folgenden vernachl(cid:127)assigt
wird). p ist der Drucktensor, der sich aus dem hydrostatischem Druck pE und dem viskosen Span-
nungstensor(cid:25) zusammensetzt(E =Einheitstensor).Empirischergibtsichfu(cid:127)rdenSpannungstensor
nach dem Newtonschen Spannungsgesetz [34,36]
T 2
(cid:25) = (cid:0)(cid:22) grad(~v)+ grad(~v) (cid:0) div(~v)E : (2.7)
3
(cid:18) (cid:19)
Ein Quellterm des Impulses existiert nicht. (cid:22) ist der Viskosit(cid:127)atskoe(cid:14)zient, der analog zum Di(cid:11)usi-
onskoe(cid:14)zient als Polynom der Temperatur dargestellt wird.
Energieerhaltung
Die Erhaltungsgleichung der inneren Energie lautet
@(cid:26)u
+ div((cid:26)u~v)+ div ~jq +p: grad(~v)= qr :
@t
(cid:16) (cid:17)
~jq steht fu(cid:127)r die W(cid:127)armestromdichte, p fu(cid:127)r den Drucktensor und qr fu(cid:127)r einen Strahlungsquellterm.
In typischen Verbrennungssystemen wird allerdings meist eine Erhaltungsgleichung fu(cid:127)r die spe-
zi(cid:12)sche Enthalpie h, die durch (cid:26)h = (cid:26)u+p (mit p = Druck) gegeben ist, verwendet. Die Erhal-
tungsgleichung der spezi(cid:12)schen Enthalpie lautet
@h @p
(cid:0) + div (cid:26)h~v+~jq +p : grad(~v)(cid:0) div(p~v)= qr : (2.8)
@t @t
(cid:16) (cid:17)
Die W(cid:127)armestromdichte ergibt sich empirisch aus dem Fourierschem W(cid:127)armeleitungsgesetz [34,36]
und dem di(cid:11)usiven Transport der spezi(cid:12)schen Enthalpie. Vernachl(cid:127)assigt man die Druckabh(cid:127)angig-
keit, ist sie gegeben durch
ns
~jq = (cid:0)(cid:21)grad(T)+ hi~ji : (2.9)
i=1
X
(cid:21) ist der W(cid:127)armeleitf(cid:127)ahigkeitskoe(cid:14)zient und hi die spezi(cid:12)sche Enthalpie der Spezies i. Sie ergibt
sich durch Integration der spezi(cid:12)schen W(cid:127)armekapazit(cid:127)at der Spezies i u(cid:127)ber die Temperatur
T
0 0 0
hi(T)= hi + cp;i T dT :
T0
Z
(cid:0) (cid:1)
0
hi ist die Bildungsenthalpie der Spezies i zur Temperatur T0 (in der Regel gilt T0 = 298 K).
cp;i ist die spezi(cid:12)sche W(cid:127)armekapazit(cid:127)at der Spezies i bei konstantem Druck p. Fu(cid:127)r die spezi(cid:12)sche
W(cid:127)armekapazit(cid:127)at cp und Enthalpie h der Mischung gelten
ns ns
cp = wicp;i und h= wihi :
i=1 i=1
X X